7.2+離散型隨機(jī)變量及其分布列+講義-【新教材】2020-2021學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊

倒賣拉黑，關(guān)注更新免費領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關(guān)注更新免費領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育第七章隨機(jī)變量及其分布第七章隨機(jī)變量及其分布7.27.2離散型隨機(jī)變量及其分布列知識梳理知識梳理知識點一隨機(jī)變量的概念、表示及特征概念：一般地，對于隨機(jī)試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．表示：用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，如X，Y，Z；用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值，如x，y，z.特征：隨機(jī)試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng)，隨機(jī)變量有如下特征：(1)取值依賴于樣本點．(2)所有可能取值是明確的．知識點二隨機(jī)變量與函數(shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別?共同點：隨機(jī)變量和函數(shù)都是一種映射區(qū)別:隨機(jī)變量把試驗的結(jié)果映為實數(shù)，函數(shù)把實數(shù)映為實數(shù)聯(lián)系：試驗結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)與函數(shù)的值域；注意：所有隨機(jī)變量的取值范圍的集合叫做隨機(jī)變量的值域.知識點三隨機(jī)變量的分類：1)離散型隨機(jī)變量：對于隨機(jī)變量可能取的值，如果可以一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．2)連續(xù)型隨機(jī)變量:隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.知識點四離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)1．定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．2．分布列的性質(zhì)(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.題型探究題型探究例1．學(xué)校趣味運動會上增加了一項射擊比賽，比賽規(guī)則如下：向A、B兩個靶子進(jìn)行射擊，先向A靶射擊一次，命中得1分，沒有命中得0分；再向B靶連續(xù)射擊兩次，如果只命中一次得2分，一次也沒有命中得0分，如果連續(xù)命中兩次則得5分．甲同學(xué)準(zhǔn)備參賽，經(jīng)過一定的訓(xùn)練，甲同學(xué)的射擊水平顯著提高，目前的水平是：向A靶射擊，命中的概率是；向B靶射擊，命中的概率為．假設(shè)甲同學(xué)每次射擊結(jié)果相互獨立．（1）求甲同學(xué)恰好命中一次的概率；（2）求甲同學(xué)獲得的總分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為．【詳解】（1）記“甲同學(xué)恰好命中一次”為事件C，“甲射擊命中A靶”為事件D，“甲第一次射擊B靶命中”為事件E，“甲第二次射擊B靶命中”為事件F，由題意可知，．由于，．（2）隨機(jī)變量X的可能取值為：0，1，2，3，5，6．X012356P．例2．為了響應(yīng)政府“節(jié)能減排”的號召，某知名品牌汽車廠家決定生產(chǎn)一款純電動汽車.生產(chǎn)前，廠家進(jìn)行了人們對純電動汽車接受程度的調(diào)查.在20~60歲的人群中隨機(jī)抽取了100人，調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和接受純電動汽車的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如圖所示：年齡接受的人數(shù)（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為以歲為分界點的不同年齡人群對純電動汽車的接受程度有差異？歲以下歲及歲以上總計接受不接受總計（2）若以歲為分界點，從不接受“純電動汽車”的人群中，按分層抽樣的方法抽取人調(diào)查不接受“純電動汽車”的原因，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人.記抽到歲以下的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828附：【答案】（1）聯(lián)表答案見解析，能在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為以歲為分界點的不同人群對“純電動汽車”的接受程度有差異；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為.【詳解】解：（1）由題可得聯(lián)表如下：歲以下歲及歲以上總計接受354580不接受15520總計5050100∵.∴能在犯錯誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為以歲為分界點的不同人群對“純電動汽車”的接受程度有差異.（2）由題意可知，抽取的人中歲以下的有人，歲及歲以上的有人，所以的可能取值有，，.所以隨機(jī)變量的分布列為：.例3．某單位招考工作人員，須參加初試和復(fù)試，初試通過后組織考生參加復(fù)試，共5000人參加復(fù)試，復(fù)試共三道題，第一題考生答對得3分，答錯得0分，后兩題考生每答對一道題得5分，答錯得0分，答完三道題后的得分之和為考生的復(fù)試成績.（1）通過分析可以認(rèn)為考生初試成績服從正態(tài)分布，其中，，試估計初試成績不低于90分的人數(shù)；（2）已知某考生已通過初試，他在復(fù)試中第一題答對的概率為，后兩題答對的概率均為，且每道題回答正確與否互不影響.記該考生的復(fù)試試成績?yōu)椋蟮姆植剂屑皵?shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】（1）114人；（2）分布列見解析，.【詳解】（1）∵學(xué)生筆試成績服從正態(tài)分布，其中，，∴∴估計筆試成績不低于90分的人數(shù)為人（2）的取值分別為0，3，5，8，10，13，則的分布為故的分布列為：03581013例4．某籃球職業(yè)聯(lián)賽分為常規(guī)賽和季后賽兩個階段.常規(guī)賽采用循環(huán)賽，分主場比賽和客場比賽兩種，積分高的球隊進(jìn)入季后賽；季后賽采用五局三勝制進(jìn)行淘汰賽，最終決出總冠軍.(“局勝”制是指先勝局者獲得比賽勝利，比賽結(jié)束).下表是甲隊在常規(guī)賽場比賽中的比賽結(jié)果記錄表.季度比賽次數(shù)主場次數(shù)獲勝次數(shù)主場獲勝次數(shù)1季度231316112季度27112183季度30162313（1）根據(jù)表中信息，能否在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為“主客場”與“勝負(fù)”之間有關(guān)？（2）已知甲隊和乙隊在季后賽首輪比賽中相遇，假設(shè)每局比賽結(jié)果相互獨立，以甲隊常規(guī)賽場比賽獲勝的頻率估計甲隊在季后賽每局比賽獲勝的概率，記為本輪比賽結(jié)束時甲隊和乙隊所進(jìn)行的比賽的局?jǐn)?shù)，求的分布列及甲隊獲得這輪比賽勝利的概率.附：，P(K2≥k)0.1000.0500.025k2.7063.8415.024【答案】（1）不能在犯錯誤概率不超過的前提下認(rèn)為“主客場”與“比賽勝負(fù)”之間有關(guān)；（2）分布列答案見解析，概率為.【詳解】解：（1）根據(jù)表格信息列出2×2列聯(lián)表如下甲隊勝甲隊負(fù)合計主場32840客場281240合計602080所以不能在犯錯誤概率不超過0.100的前提下認(rèn)為“主客場”與“比賽勝負(fù)”之間有關(guān).（2）依題意得甲隊每局比賽獲勝的概率估計值為，X的所有可能取值為，，，所以X的分布列為X345P“甲隊獲得這輪比賽勝利”的概率為.例5．抖音是一款音樂創(chuàng)意短視頻社交軟件，是一個專注年輕人的15秒音樂短視頻社區(qū)，用戶可以通過這款軟件選擇歌曲，拍攝15秒的音樂短視頻，形成自己的作品．2018年6月首批25家央企集體入駐抖音，一調(diào)研員在某單位進(jìn)行刷抖音時間的調(diào)查，若該單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人．（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有3人是抖音迷，4人為非抖音迷，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的詳細(xì)登記．①用表示抽取的3人中是抖音迷的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望；②設(shè)為事件“抽取的3人中，既有是抖音迷的員工，也有非抖音迷的員工’’，求事件發(fā)生的概率．【答案】（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人；（2）①分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為；（3）．【詳解】（1）由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（2）①隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．．，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．②設(shè)事件為“抽取的3人中，是抖音迷的員工有1人，非抖音迷的員工有2人”；事件為“抽取的3人中，是抖音迷的員工有2人，非抖音迷的員工有1人”，則，且與互斥，由（Ⅰ）知，，故，所以事件發(fā)生的概率為．課后小練課后小練1.甲、乙是兩名射擊運動員，根據(jù)歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，甲一次射擊命中10、9、8環(huán)的概率分別為25、25、15，乙一次射擊命中10、9環(huán)的概率分別為16、（1）在一輪射擊中，求甲命中的環(huán)數(shù)不高于乙命中的環(huán)數(shù)的概率；（2）記一輪射擊中，甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和為X，求X的分布列；（3）進(jìn)行三輪射擊，求甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和不低于52環(huán)的概率．2.受新冠肺炎疫情影響，本學(xué)期同學(xué)們在家上網(wǎng)課時間達(dá)三個多月，電腦屏幕代替了黑板，對同學(xué)們的視力造成了很大的損傷.某學(xué)校為了了解同學(xué)們現(xiàn)階段的視力情況，對全校高三1000名學(xué)生的視力情況進(jìn)行了調(diào)查，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，繪制了頻率分布直方圖如圖：（1）求a的值，并估計這1000名學(xué)生視力的中位數(shù)（精確到0.01）；（2）為了進(jìn)一步了解視力與學(xué)生成績是否有關(guān)，對本年級名次在前50名與后50名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：前50名后50名近視4232不近視818根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有95%把握認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)？（3）若報考某高校某專業(yè)的資格為：視力不低于5.0，以該樣本數(shù)據(jù)來估計全市高三學(xué)生的視力，現(xiàn)從全市視力在4.8以上的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)，這4名同學(xué)中有資格報該校該專業(yè)的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.P0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.8793.2020年年初，新冠肺炎疫情防控工作全面有序展開.某社區(qū)對居民疫情防控知識進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)研，調(diào)研成績?nèi)慷荚?0分到100分之間.現(xiàn)從中隨機(jī)選取200位居民的調(diào)研成績進(jìn)行統(tǒng)計，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求a的值，并估計這200位居民調(diào)研成績的中位數(shù)；（2）在成績?yōu)閇40,50]，(90,100]的兩組居民中，用分層抽樣的方法抽取6位居民，再從6位居民中隨機(jī)抽取2位進(jìn)行詳談.記X為2位居民的調(diào)研成績在[40,50]的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.4.為了了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，現(xiàn)從某校學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行體能測試，測試的分?jǐn)?shù)（百分制）如莖葉圖所示，根據(jù)有關(guān)國家標(biāo)準(zhǔn)成績不低于79分的為優(yōu)秀，將頻率視為概率.（1）另從我校學(xué)生中任取3人進(jìn)行測試，求至少有1人成績是“優(yōu)秀”的概率；（Ⅱ）從抽取的這10人（成績見莖葉圖）中隨機(jī)選取3人，記X表示測試成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.5.某單位組織“學(xué)習(xí)強國”知識競賽，選手從6道備選題中隨機(jī)抽取3道題.規(guī)定至少答對其中的2道題才能晉級.甲選手只能答對其中的4道題。（1）求甲選手能晉級的概率；（2）若乙選手每題能答對的概率都是34，且每題答對與否互不影響，用數(shù)學(xué)期望分析比較甲、乙兩選手的答題水平。

答案解析1.【答案】（1）解：設(shè)一次射擊后，甲命中的環(huán)數(shù)為ξ，乙命中的環(huán)數(shù)為η，則甲命中的環(huán)數(shù)不高于乙命中的環(huán)數(shù)為P(ξ≤η)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)P(η=10)=15+25+P(X=17)=15×P(X=19)=25×所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：X17181920P16113025115

（3）解：每輪射擊后，甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和為17的概率為p=15三輪射擊后，甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和最小為17×3=51，因此，進(jìn)行三輪射擊，求甲、乙命中的環(huán)數(shù)之和不低于52環(huán)的概率為1-(【解析】（1）設(shè)一次射擊后，甲命中的環(huán)數(shù)為ξ，乙命中的環(huán)數(shù)為η，由題意可得P(ξ≤η)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)P(η=10)，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式與互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值有2.【答案】（1）解：(0.25+0.5+2a+1+1.75)×0.2=1，所以a=0.75視力在4.4以下的頻率為：(0.5+0.75)×0.2=0.25，視力在4.6以下的頻率為：(0.5+0.75+1.75)×0.2=0.6，所以中位數(shù)在4.4至4.6之間，設(shè)中位數(shù)為x，則(x-4.4)×1.75=0.5-0.25，x≈4.54，故中位數(shù)為4.54．

（2）解：因為K2的觀測值所以有95%把握認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān).

（3）解：視力在4.8以上的同學(xué)中，視力在5.0以上的同學(xué)所占的比例為：0.250.25+0.75所以從全市視力在4.8以上的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)，這4名同學(xué)中有資格報該校該專業(yè)的人數(shù)為X~B(4,14)，即P所以P(XP(X=1)=C41P(X=3)=C43所以X的分布列為：X01234P81272731E(【解析】（1）根據(jù)題意由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出a和中位數(shù)．

（2）首先求出X2≈5.2＞3.841，從而有95%把握認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)．

（3）根據(jù)題意即可得出視力在4.8以上的同學(xué)中，視力在5.0以上的同學(xué)所占有比例為14從全市視力在4.8以上的同學(xué)中隨機(jī)抽取4名同學(xué)，這4名同學(xué)中有資格報該校專業(yè)的人數(shù)X~B(4,14)由此能求出3.【答案】（1）解：(0.005+0.015+0.02+0.025×2+a)×10=1得a=0.01前3組的頻率之和為(0.005+0.015+0.02)×10=0.4，第4組的頻率為0.025×10=0.25，因為0.4+0.25=0.65>0.5，所以中位數(shù)在第4組.設(shè)中位數(shù)為x，則(x-70)×0.025=0.1，解得所以200位居民調(diào)研成績的中位數(shù)為74分.

（2）解：成績在[40,50]，(90,100]的居民人數(shù)分別為10人，20人，所以在[40,50]的居民中應(yīng)抽取630×10=2在(90,100]的居民中應(yīng)抽取630×20=4X的可能取值為0，1，2，P(XP(XP(X所以X的分布列為：X012P25815115【解析】（1）根據(jù)頻率之和為1，由此算出a的值，利用頻率分布直方圖求中位數(shù)的方法設(shè)中位數(shù)為x，列式計算即可得出結(jié)論；（2）可知成績在[40,50]，(90,100]的居民人數(shù)分別為10人，20人，根據(jù)分層抽樣，可知抽取的6位中，成績在[40,50]的人數(shù)為2人，成績在(90,100]的人數(shù)為4人，則x的可能取值為0，1，2，求出相應(yīng)概率，列出相應(yīng)的分布列