7.3離散型隨機變量的數(shù)字特征講義-【新教材】2020-2021學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊

倒賣拉黑，關(guān)注更新免費領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關(guān)注更新免費領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育第七章隨機變量及其分布第七章隨機變量及其分布7.37.3離散型隨機變量的數(shù)字特征知識梳理知識梳理知識點一離散型隨機變量的均值離散型隨機變量的均值的概念一般地，若X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi為隨機變量X的均值離散型隨機變量的均值的意義均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平．離散型隨機變量的均值的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.證明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，X是隨機變量，那么Y也是隨機變量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列為Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.離散型隨機變量的均值與樣本平均值之間的關(guān)系均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合隨機變量的取值和取值的概率，反映隨機變量取值的平均水平．若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，X是隨機變量，那么Y也是隨機變量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列為Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn于是E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(1)區(qū)別：隨機變量的均值是一個常數(shù)，不依賴于樣本的抽取，樣本平均值是一個隨機變量，它隨樣本抽取的不同而變化．(2)聯(lián)系：對于簡單的隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來越接近于總體的均值．知識點二離散型隨機變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)離散型隨機變量X的分布列如表所示．Xx1x2…xnPp1p2…pn我們用X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，關(guān)于取值概率的加權(quán)平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度．我們稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱eq\r(DX)為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)．離散型隨機變量方差的性質(zhì)1．設(shè)a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝a2D(X)．2．D(c)＝0(其中c為常數(shù))．題型探究題型探究例1．某小微企業(yè)生產(chǎn)一種如下圖所示的電路子模塊，要求三個不同位置1、2、3接入三種不同類型的電子元件，且備選電子元件為A、B、C型，它們正常工作的概率分別為0.9、0.8、0.7.假設(shè)接入三個位置的元件能否正常工作相互獨立.當(dāng)且僅當(dāng)1號位元件正常工作，同時2號位與3號位元件中至少有一件正常工作時，電路子模塊才能正常工作.（1）共可組裝出多少種不同的電路子模塊？（2）求電路子模塊能正常工作的概率最大值；（3）若以每件5元、3元、2元的價格分別購進(jìn)A、B、C型元件各1000件，組裝成1000套電路子模塊出售，設(shè)每套子模塊組裝費為20元.每套子模塊的售價為150元，但每售出1套不能正常工作子模塊，除退還購買款外，還將支付購買款的3倍作為賠償金.求生產(chǎn)銷售1000套電路子模塊的最大期望利潤.【答案】（1）6；（2）；（3）27600元.【詳解】（1）電子元件為A、B、C設(shè)接入三個位置共有種不同的子模塊；（2）根據(jù)1號位放入A、B、C三種元件，共有三種情況，記其正常工作為A、B、C事件，可得：，，，則，所以1號位接型電子元件時，子模塊正常工作的概率最大為；（3）若要最大利潤，選擇正常工作的概率最大的電路子模塊，應(yīng)把A型元件接入1號位，此時，設(shè)1000套子模塊中能正常工作的套數(shù)為X，利潤為Y，則，則，所以，，故生產(chǎn)銷售1000套電路子模塊的最大期望利潤為27600元.例2．2021年4月17日，江蘇園博會正式向公眾開放.昔日廢棄采礦區(qū)化繭成蝶，變身成了"世界級山地花園群”.園博園的核心景區(qū)蘇韻薈谷以流水串聯(lián)，再現(xiàn)了江蘇13個地市歷史名園的芳華，行走其間，仿佛穿游在千年歷史長河中，吸引眾多游客前來打卡某旅行社開發(fā)了江蘇園博園一-日游線路，考慮成本與防疫要求，每團(tuán)人數(shù)限定為不少于35人，不多于40人除去成本，旅行社盈利100元/人.已知該旅行社已經(jīng)發(fā)出的10個旅行團(tuán)的游客人數(shù)如下表所示∶序號12345游客人數(shù)3935383836序號678910游客人數(shù)3940374038（1）該旅行社計劃從這10個團(tuán)隊中隨機抽取3個團(tuán)隊的游客，就服務(wù)滿意度進(jìn)行回訪，求這3個團(tuán)隊人數(shù)不全相同的概率；（2）預(yù)計暑假期間發(fā)團(tuán)200個，將盈利總額記為X(單位∶萬元)，用上表中的頻率估計概率，求X的數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）(萬元).【詳解】解：游客人數(shù)353637383940次數(shù)統(tǒng)計111322頻率(注∶上述表格不一定要出現(xiàn)，只要在解題中說明各種人數(shù)出現(xiàn)次數(shù)就可以)（1）設(shè)這3個團(tuán)隊人數(shù)不全相同為事件A故這3個團(tuán)隊人數(shù)不全相同的概率是（2）X的可能取值為70，72，74，76，78，80.X的分布列為X707274767880P(萬元).例3．“云課堂”是基于云計算技術(shù)的一種高效?便捷?實時互動的遠(yuǎn)程教學(xué)課堂形式使用者只需要通過互聯(lián)網(wǎng)界面，進(jìn)行簡單的操作，可快速高效地與全球各地學(xué)生?教師家長等不同用戶同步分享語音?視頻及數(shù)據(jù)文件隨著計算機虛擬技術(shù)的不斷成熟和虛擬技術(shù)操作更接近于大眾化，虛擬課堂在各大院校以及企業(yè)大學(xué)中的應(yīng)用更廣泛?更靈活?智能，對現(xiàn)今教育體制改革和職業(yè)人才培養(yǎng)起到很大的推動作用某大學(xué)采取線上“云課堂”和線下面授的形式授課.現(xiàn)為調(diào)查學(xué)生成績獲得優(yōu)秀與否與每天“云課堂”學(xué)習(xí)時長是否有關(guān)，隨機抽取學(xué)生樣本50人進(jìn)行學(xué)習(xí)時長統(tǒng)計，并按學(xué)生每天“云課堂”學(xué)習(xí)時長是否超過6小時分為兩類，得到如下列聯(lián)表.每天“云課堂”學(xué)習(xí)時長超過6小時每天“云課堂”學(xué)習(xí)時長不超過6小時合計優(yōu)秀5不優(yōu)秀10合計50已知在50人中隨機抽取一人，是優(yōu)秀且每天“云課堂”學(xué)習(xí)時長超過6小時的概率為0.4.（1）請將上面的列聯(lián)表補充完整(不用寫計算過程).（2）是否有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)生成績獲得優(yōu)秀與否與每天“云課堂”學(xué)習(xí)時長有關(guān)？（3）該校通過“云課堂”學(xué)習(xí)的學(xué)生，在期末測試時被要求現(xiàn)場完成答題，每答對一道題積2分，答錯積0分，每人有3次答題機會(假設(shè)每個人都答完3道題).已知甲同學(xué)每道題答對的概率為，3道題之間答對與否互不影響，設(shè)甲同學(xué)期末測試得分為，求的數(shù)學(xué)期望.附：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析；（2）有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)生成績獲得優(yōu)秀與否與每天“云課堂”學(xué)習(xí)時長有關(guān)；（3）.【詳解】（1）完成列聯(lián)表如下每天“云課堂”學(xué)習(xí)時長超過6小時每天“云課堂”學(xué)習(xí)時長不超過6小時合計優(yōu)秀20525不優(yōu)秀101525合計302050（2），所以有99.5%的把握認(rèn)為學(xué)生成績獲得優(yōu)秀與否與每天“云課堂”學(xué)習(xí)時長有關(guān).（3）甲同學(xué)期末測試得分的可能取值為0，2，4，6，則，，，，所以隨機變量的分布列為0246所以.例4．國際比賽賽制常見的有兩種，一種是單敗制，一種是雙敗制．單敗制即每場比賽的失敗者直接淘汰，常見的有等等．表示雙方進(jìn)行一局比賽，獲勝者晉級．表示雙方最多進(jìn)行三局比賽，若連勝兩局，則直接晉級；若前兩局兩人各勝一局，則需要進(jìn)行第三局決勝負(fù)．現(xiàn)在四人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽賽制采用單敗制，A與B一組，C與D一組，第一輪兩組分別進(jìn)行，勝者晉級，敗者淘汰；第二輪由上輪的勝者進(jìn)行，勝者為冠軍．已知A與比賽，A的勝率分別為；B與比賽，B的勝率分別；C與D比賽，C的勝率為．任意兩局比賽之間均相互獨立．（1）在C進(jìn)入第二輪的前提下，求A最終獲得冠軍的概率；（2）記A參加比賽獲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【詳解】解：（1）進(jìn)入第二輪的概率為，與比賽，獲勝，與比賽，獲勝，且與比賽，獲勝，其概率為，故在進(jìn)入第二輪的前提下，最終獲得冠軍的概率．（2）參加比賽獲勝的局?jǐn)?shù)的取值有0，1，2，3．，，，．的分布列為：0123．例5．某企業(yè)有甲?乙兩條生產(chǎn)同種產(chǎn)品的生產(chǎn)線，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，100次生產(chǎn)該產(chǎn)品所用時間的頻數(shù)分布表如下：所用的時間(單位：天)10111213甲生產(chǎn)線的頻數(shù)10201010乙生產(chǎn)線的頻數(shù)520205假設(shè)訂單約定交貨時間為11天，訂單約定交貨時間為12天(將頻率視為概率，當(dāng)天完成即可交貨).（1）為最大可能在約定時間交貨，判斷訂單和訂單應(yīng)如何選擇各自的生產(chǎn)線(訂單互不影響)；（2）已知甲?乙生產(chǎn)線每次的生產(chǎn)成本均為3萬元，若生產(chǎn)時間超過11天，生產(chǎn)成本將每天增加5000元，求這100次生產(chǎn)產(chǎn)品分別在甲?乙兩條生產(chǎn)線的平均成本.【答案】（1）訂單選擇甲生產(chǎn)線，訂單選擇乙生產(chǎn)線；（2）甲生產(chǎn)線的平均成本為萬元，乙生產(chǎn)線的平均成本為萬元.【詳解】（1）頻率分布表如下：所用的時間(單位：天)10111213甲生產(chǎn)線的頻率乙生產(chǎn)線的頻率設(shè)分別表示訂單選擇甲?乙生產(chǎn)線在約定時間交貨；分別表示訂單選擇甲?乙生產(chǎn)線在約定時間交貨.則，，，所以訂單選擇甲生產(chǎn)線，訂單選擇乙生產(chǎn)線.（2）記為甲生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本的取值，為甲生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本的取值，由題意可得，可能取的值為，，；可能取的值為，，；由（1）可知，，，，，，甲生產(chǎn)線的平均成本為萬元，乙生產(chǎn)線的平均成本為萬元.課后小練課后小練1.某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售價6元.如果當(dāng)天賣不完，剩下的奶茶只能倒掉.奶茶店記錄了60天這款新品奶茶的日需求量，整理得下表：日需求量杯數(shù)20253035404550天數(shù)55101510105以60天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.（1）從這60天中任取2天，求這2天的日需求量至少有一天為35的概率；（2）①若奶茶店一天準(zhǔn)備了35杯這款新品奶茶，用ξ表示當(dāng)天銷售這款新品奶茶的利潤(單位：元)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；②假設(shè)奶茶店每天準(zhǔn)備的這款新品奶茶倍數(shù)都是5的倍數(shù)，有顧客建議店主每天準(zhǔn)備40杯這款新品奶茶，你認(rèn)為店主應(yīng)該接受這個建議嗎？請說明理由.2.為了解華人社區(qū)對接種新冠疫苗的態(tài)度，美中亞裔健康協(xié)會日前通過社交媒體，進(jìn)行了小規(guī)模的社區(qū)調(diào)查，結(jié)果顯示，多達(dá)73.4%的華人受訪者最擔(dān)心接種疫苗后會有副作用.其實任何一種疫苗都有一定的副作用，接種新型冠狀病毒疫苗后也是有一定副作用的，這跟個人的體質(zhì)有關(guān)系，有的人會出現(xiàn)副作用，而有的人不會出現(xiàn)副作用.在接種新冠疫苗的副作用中，有發(fā)熱、疲乏、頭痛等表現(xiàn).為了了解接種某種疫苗后是否會出現(xiàn)疲乏癥狀的副作用，某組織隨機抽取了某地200人進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：無疲乏癥狀有疲乏癥狀總計未接種疫苗10020120接種疫苗xyn總計160m200（1）求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，m，n的值，并確定能否有85%的把握認(rèn)為有疲乏癥狀與接種此種疫苗有關(guān).（2）從接種疫苗的n人中按是否有疲乏癥狀，采用分層抽樣的方法抽出8人，再從8人中隨機抽取3人做進(jìn)一步調(diào)查.若初始總分為10分，抽到的3人中，每有一人有疲乏癥狀減1分，每有一人沒有疲乏癥狀加2分，設(shè)得分結(jié)果總和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.P(0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.6353.自“新冠肺炎”爆發(fā)以來，中國科研團(tuán)隊一直在積極地研發(fā)“新冠疫苗”，在科研人員不懈努力下，我國公民率先在2020年年末開始可以使用安全的新冠疫苗，使我國的“防疫”工作獲得更大的主動權(quán)，研發(fā)疫苗之初，為了測試疫苗的效果，科研人員以白兔為實驗對象，進(jìn)行了一些實驗．（1）實驗一：選取10只健康白兔，編號1至10號，注射一次新冠疫苗后，再讓它們暴露在含有新冠病毒的環(huán)境中，實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，除2號、3號和7號白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，現(xiàn)從這10只白兔中隨機抽取4只進(jìn)行研究，將仍被感染的白兔只數(shù)記作X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（2）科研人員在另一個實驗中發(fā)現(xiàn)，疫苗可多次連續(xù)注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗對白兔是否有效互相不影響，相互獨立，試問，若將實驗一中未被感染新冠病毒的白兔的頻率當(dāng)做疫苗的有效率，那么一只白兔注射兩次疫苗能否保證有效率達(dá)到96%，如若可以請說明理由，若不可以，請問每支疫苗的有效率至少要達(dá)到多少才能滿足以上要求．4.某公司開發(fā)了一款手機應(yīng)用軟件，為了解用戶對這款軟件的滿意度，推出該軟件3個月后，從使用該軟件的用戶中隨機抽查了1000名，將所得的滿意度的分?jǐn)?shù)分成7組：[30,40),[40,50),???,[90,100]，整理得到如下頻率分布直方圖.根據(jù)所得的滿意度的分?jǐn)?shù)，將用戶的滿意度分為兩個等級：滿意度的分?jǐn)?shù)[30,60)[60,100]滿意度的等級不滿意滿意（1）從使用該軟件的用戶中隨機抽取1人，估計其滿意度的等級為“滿意”的概率；（2）用頻率估計概率，從使用該軟件的所有用戶中隨機抽取2人，以X表示這2人中滿意度的等級為“滿意”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.5.甲、乙、丙三人參加學(xué)?！霸┘文耆A”競答游戲，活動的規(guī)則為：甲、乙、丙三人先分別坐在圓桌的A，B，C三點，第一輪從甲開始通過擲骰子決定甲的競答對手，如果點數(shù)是奇數(shù)，則按逆時針選擇乙，如果是偶數(shù)，則按順時針選丙，下一輪由上一輪擲骰子選中的對手繼續(xù)通過擲骰子決定竟答對手，如果點數(shù)是奇數(shù)按逆時針選對手，點數(shù)是偶數(shù)按順時針選對手，已知每場競答甲對乙、甲對丙、乙對丙獲勝的概率分別為23，13，12且甲、乙、丙之間競答互不影響，各輪游戲亦互不影響，比賽中某選手累計獲勝場數(shù)達(dá)到2（1）求比賽進(jìn)行了3場且甲晉級的概率；（2）當(dāng)比賽進(jìn)行了3場后結(jié)束，記甲獲勝的場數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

答案解析【答案】（1）由題意得，從60天中任取2天的日需求量至少有一天為35的概率為：P=1-C452C602=26如果當(dāng)天只賣出20杯，則利潤ξ=20×2-15×4=-20元，P(如果當(dāng)天只賣出25杯，則利潤ξ=25×2-10×4=10元，P(如果當(dāng)天只賣出30杯，則利潤ξ=30×2-5×4=40元，P(如果當(dāng)天賣出35杯，則利潤ξ=35×2=70元，P所以ξ的分布列為：ξ-20104070P1112則E(ξ)=-20×②若店主每天準(zhǔn)備40杯這款新品奶茶，如果當(dāng)天只賣出20杯，則利潤ξ=20×2-20×4=-40元，P(如果當(dāng)天只賣出25杯，則利潤ξ=25×2-15×4=-10元，P(如果當(dāng)天只賣出30杯，則利潤ξ=30×2-10×4=20元，P(如果當(dāng)天賣出35杯，則利潤ξ=35×2-5×4=50元，P(如果當(dāng)天需求大于等于40杯，則利潤ξ=40×2=80，P所以ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ因為45<1052，所以每天準(zhǔn)備40【解析】

（1）從這60天中任取2天，則這2天的日需求量至少有一天為35杯的概率P=1-C452C602=2659

；

（2）①由題意可得：若當(dāng)天只賣出20杯，則利潤ξ=20×2-15×4=-20

元；同理可得若當(dāng)天只賣出25杯、30杯、35杯的利潤，即可得出ξ的分布列與E(ξ)；

②若店主每天準(zhǔn)備40杯這款新品奶茶，若當(dāng)天需求20杯，可得利潤ξ=20×2-20×4=-40

元，P(ξ=-40)=1122.【答案】（1）解：由題意得：m=200-160=40，y=mx=160-100=60，n因為K2所以有85%的把握認(rèn)為有疲乏癥狀與接種此種疫苗有關(guān).

（2）解：從接種疫苗的n人中按是否有疲乏癥狀，采用分層抽樣的方法抽出8人，可知8人中無疲乏癥狀的有6人，有疲乏癥狀的有2人，再從8人中隨機抽取3人，當(dāng)這3人中恰有2人有疲乏癥狀時，X=10；當(dāng)這3人中恰有1人有疲乏癥狀時，X=13；當(dāng)這3人中沒有人有疲乏癥狀時，因為P(X=10)=C22C61所以X的分布列如下：X101316P3155期望E(【解析】（1）由2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)求出x，y，m，n的值，得出K2≈2.083＞2.072，即可得出結(jié)論；

（2）隨機變量X所有可能取的值為10，13，16，求出對應(yīng)的概率，得到分布列，然后求解期望即可．3.【答案】（1）解：因為X可取0,1,2,3，所以P(所以P(x=0)=C3P(x=2)=C32所以X的分布列如下：X0123P1131E(x)=0×16+1×12+2×所以注射一次疫苗的有效率為0.7，又因為每次注射的疫苗對白兔是否有效相互獨立，所以一只白兔注射兩次疫苗的有效率為：1-(1-0.7)2設(shè)每支疫苗有效率至少達(dá)到t才能滿足要求，則1-(1-t)2=96%所以每支疫苗的有效率至少要達(dá)到80%才能滿足以上要求.【解析】（1）先分析出

X的可能可取值，然后根據(jù)超幾何分布模型求解

X取不同值時的概率，由此可求得的分布列，并根據(jù)分布列可計算出數(shù)學(xué)期望；

（2）根據(jù)已知條件先分析出注射一次疫苗的有效率，然后計算