北約自主招生試題及答案解析

2013“北約”自主招生試題

2013-03-16

(時間90分鐘，滿分120分)

一、選擇題(每題8分，共48分)

1.以應(yīng)和1-為兩根的有理系數(shù)多項式的最高次數(shù)最小為()

A.2B.3C.5D.6

【解】由％=虛河知V=2,同理由1-次=%可知(1-4=2;

所以方程(/—2)[(1-X)3-2]=O的次數(shù)最小，其次數(shù)為5,故選C.

2.在6x6的表中停放3輛完全相同的紅色和3輛完全相同的黑色車，每一行每一列只有一輛

車，每輛車只占一格，共有種停放方法.

A.720B.20C.518400D.14400

【解】紅色車選3列有C；=20種方法，再從這三列中選三行有C：=20種方法，另外將紅色

車放在已選好的三列三行中有3x2=6種方法，同理黑色車只能從剩下的三行三列九個格

中選，也有3x2=6種方法，因此方法數(shù)有(20x20x6)x6=14400種.故選D.

3.已知x2=2y+5,y2=2x+5(xwy),貝ijx3一212y2值為()

A.-10B.-12C.-14D.-16

【解】由Y=2y+5與V=2x+5兩式作差得x+y=—2(xwy),代入兩式中分別化出

X2+2x-l=0.V+2y_l=0,所以乂y是方程r+2—1=0的兩個不等實根，于是

x+y=-2,個=-1,也所以

x3-2x2y2+V=(%+y)[(x+y)2-3xy]-2(xy)2=(-2)x7-2=-16.故選D.

4.在數(shù)列｛q｝中,q=1,=4an+2(〃N1),則^I3值為()

A.3019x22012B.3019x220'3C.3018x22012D.無法確定

【解】由q=1,S〃+1=4q+2(〃N1)……①可知，

當〃=1時,S2=4《+2,所以q=5;

當〃N2時，有S“=44“+2(n>2)……②，由①-②式得，

?=44-4%(?>2),即q川一〃=2(見一%)522),且&-二3

所以《「24=3x21同除以2"得，巴&一%=且華=1:

”2"2"T22°

所以蕓=1+3〃，故令〃=2012時，得a刈3=22m%3019,故選A.

22

5.在A4BC中，。為BC中點,平分N4■交AB于點〃，。乂平分NAOC交AC于N,

則BM+CN與MN的關(guān)系為（）

A.BM+CN>MN-

B.MN+CN<MN

C.BM+CN=MN

D.無法確定

【解】如圖，在DA取￡）石二。8,連接ME,NE,MN

則顯然可證ME=MB,EN=NC、

且有ME+NENMN，即BM+CNNMN,

上述不等式當且僅當/MED+4DEN=180,

也即N8+NC=18（T,

這顯然與三角形內(nèi)角和定理矛盾，故等號取不到,

也即選A.

6.模長都為1的復(fù)數(shù)A,B,C滿足A+5+CHO,則，--------的模長為（）

A+8+C

A.--B.1C.2D.無法確定

2

【解】由題知4A=88=。。=1,所以

BC+AC+AB2BC+AC-ABBC+AC+AB

-----------------x——-

A+3+CA+8+CA+8+C

2----------------------

BC+AC+ABBC+AC+ABBC-^-AC+AB

也即=-------------------------------x——=-=~=——

A+8+CA+8+CA+3+C

3+BA+CA+AB+C8+AC+8c,,

=------=1,故選B.

3+AB+AC+3A+8C+CA+CB

二、解答題（每題18分，共72分）

7.最多能找多少個兩兩不相等的正整數(shù)使其任意三個數(shù)之和為質(zhì)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

【解】:至多有4個.首先可以取137,9這四個數(shù),它們?nèi)我馊齻€數(shù)之和分別為11,13,17,19符

合質(zhì)數(shù)定義.下面再證明5個正整數(shù)是不符合題意的.

若有5個正整數(shù)，則考慮這五個數(shù)被3除的余數(shù)，如果有一個數(shù)的余數(shù)為0,那么考慮余

下的4個數(shù)被3除的余數(shù),如果余數(shù)既有1也有2,那么這兩個數(shù)與前面余數(shù)為0的數(shù)的和剛

好為3的倍數(shù)，故不符合題意，如果余下四個數(shù)的余數(shù)均相等，顯然取余下四個數(shù)中的三個數(shù),

則這三個數(shù)的和為3的倍數(shù)不是質(zhì)數(shù)，也不符合題意,如果這5個數(shù)被3除的余數(shù)都不等于

0,則由抽屜原理，至少有3個數(shù)被3除的余數(shù)相同，這三個數(shù)的和是3的倍數(shù)不是質(zhì)數(shù)，也不

符合題意.綜上可知,不存在5個止整數(shù)符合題意，即全多有4個止整數(shù)符合題意.

-

8.已知q+/+/+…+。2013=0,且—2%1=1%-2/1=-??=1?2OBI-

證明：q=a2=%=…=&0[3=0.

【證明】：觀察可知4+/+6+…+々2013=°，

即(2%—q)+(2%—啰)+…+(2生013一。2012)+(2q一々OK)=0......①

又|--2a2H々一招1=…=1々2013-2%],不妨設(shè)|%-2%1=t，

則①可寫為寫一(2013-4)r=0(0WNN2013[wN)4|](2*-2013)/=0,

又顯然2k-2013Ho，則有f=0,于是有

q=2〃2，&=2々3，'?'Mzoiz=2a2013M2oi3=,所以q=2".4,即q=0.

也所以q=%=%=,?=&m3=。,即證.

9.對于任意。，求32cos6?！猚os6，-6cos46—15cos2夕的值.

【解】32cos6，-cos6，-6cos48-15cos2〃

=32(J+c0s-cos60-6cos4,-15cos10

2

=4(1+cos320+3cos20+3cos226)-(3cos32。-4cos26)-6cos4。-15cos20

=4+12cos228—6cos4。=4+6(1+8s4。)一6cos46=10即求.

10有一個mx〃的數(shù)表,己知每一行的數(shù)均是由小到大排列.現(xiàn)在將每一列的數(shù)由小到大重

新排列，則新的數(shù)表中每一行的數(shù)滿足什么樣的關(guān)系？請證明你的結(jié)論.

K原題敘述次已知有n個實數(shù)，排列成mxn階數(shù)陣，記作｛4｝…，使得數(shù)陣中的每一行從

左到右都是遞增的，即對意的，=1,2,3,???，加，當/<A時，都有/V，?現(xiàn)將｛%%”的

每一列原有的各數(shù)按照從上到下遞增的順序排列，形成一個新的mx〃階數(shù)陣，記作｛《｝皿,

即對任意的，=1,2,3,???,〃,當I；<i2時，都有處<4八試判斷｛4｝E中每一行的〃個

數(shù)的大小關(guān)系，并說明理由.

【解】：數(shù)陣｛"｝心“中每一行的〃個數(shù)從左到右都是遞增的，理由如下：

顯然，我們要證明數(shù)陣｛q；｝,“〃中每一行的“個數(shù)從左到右都是遞增的，我們只需證明，

對于任意，=1,2,3,???,加,都有淇中）=1,2,3,?,?,（〃一1）.

若存在一組或>或2）,

a

令4（q+】）=iks+1）淇中左=123,???,人｛彳,。，…，iJ=｛12