考研題庫(kù) 《數(shù)學(xué)分析》（第三冊(cè)）配套題庫(kù)（考研真題+章節(jié)題庫(kù)+模擬試題）

第一部分名?？佳姓骖}第13章多元函數(shù)的極限和連續(xù)在[0,1]上連續(xù)，,使第14章多元微分學(xué)第15章重積分第16章曲線積分與曲面積分第17章含參變量積分,在u∈(0,+o)上一致收斂.,又在(1,+0)上單調(diào)遞減且一致趨于0,故由Dinchlet判別法知在te(0,+0)上一致收斂.故對(duì)任意的ε>0,存在，當(dāng),所以，即，因此.第二部分章節(jié)題庫(kù)第13章多元函數(shù)的極限和連續(xù)有(對(duì)一致),則f(x,y)在D上連續(xù).并記.由可知，存在使又由f的連續(xù)性，可知存在，使得.因?yàn)?且，而是單變量y的連續(xù)函數(shù)，所以在上式中令，導(dǎo)出(1)設(shè)在D上連續(xù)，且，則在(a,b)上連續(xù).(2)設(shè)，f(x,y)在D上連續(xù).若，則(3)設(shè)在D上連續(xù).令則即(2)對(duì)，令，易知注意到f在D上一致連續(xù)，故是一族等度連續(xù)函數(shù).對(duì)任給，存在，使得(3)令，注意到f在D上的一致連續(xù)性可知，對(duì)，存在，使得,即在上連續(xù)，自然也是一致連續(xù)的.因此，存在，使得證明：(1)注意到f在D上一致連續(xù)，故對(duì)任給，存在，使得,即在上連續(xù).對(duì)任給，存在使得(2)顯然，F(xiàn)(x,y)在上連續(xù).對(duì)處，根據(jù)的連續(xù)性可知，對(duì)任給，存在，使得(3)由三種極限間的關(guān)系及步驟(2)中的結(jié)果可知不存在0,存在δ=δ(ε)>0,使對(duì)于此域中的任意兩點(diǎn)只要時(shí)，就有由于f(x,y)關(guān)于x對(duì)變數(shù)y一致連續(xù)，故對(duì)任給的ε>0,存在使當(dāng)(x,y')EG,又因f(x,y)在點(diǎn)關(guān)于變數(shù)x是連續(xù)的，故對(duì)上述的ε,存在使當(dāng)時(shí)，就有因此，f(x,y)在點(diǎn)連續(xù).由的任意性知，函數(shù)f(x,y)在G內(nèi)是連續(xù)的即它是處處有定義的有理函數(shù).又當(dāng)y=0時(shí)，顯然是連續(xù)的.于是，當(dāng)變數(shù)y固定時(shí)，函數(shù)f(x,y)對(duì)于變數(shù)x是連續(xù)的.同理可證，當(dāng)變數(shù)x固定時(shí)，函數(shù)f(x,y)對(duì)于變數(shù)y是連續(xù)的.對(duì)于不同的k可得不同的極限值，從而知不存在.因此，函數(shù)f(x,y)在原點(diǎn)不是第14章多元微分學(xué)證明：(1)問(wèn)題等價(jià)于證明不等式綜上便知在上成立.(2)易知W中第i行第j列的元素是若記其余子式為，則從而可得因此，有(3)依題設(shè)易知，且有由此知存在，使得，即上遞增.(1)設(shè)且充分小，則(2)作，則且，從而可知存在點(diǎn)使得達(dá)到最大(小)值.由此得，從而導(dǎo)出解：(1)由可知f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù).因?yàn)橛幸字獣r(shí)有，故在點(diǎn)(0,0)不可微.(2)因?yàn)?，所以?dǎo)出取，則，這說(shuō)明f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不可微.解：(1)(i)注意到，故得(ii)注意到，故得式①左端證明：(1)不妨假定，則有可知這說(shuō)明f(x,y)在點(diǎn)處可微.(4)因?yàn)樗杂杏蒰(x,y)在點(diǎn)(0,0)處的連續(xù)性可知，這說(shuō)明F(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微.從而立即可得在點(diǎn)(0,0)處的微分為解：(1)由題設(shè)知，故有(2)由條件知，即由此得到，若令此比值為λ(常數(shù)),則有(因?yàn)檫B續(xù)，所以此式對(duì)x=y=0仍真).這說(shuō)明,則對(duì)n=k+1,有解之可得臨界點(diǎn)直線x=0,2y+3z=a上的點(diǎn)平面y=0上的點(diǎn)平面z=0上的點(diǎn)(若c=0,則由推出f無(wú)臨界點(diǎn)).(iii)a=0時(shí)，有故(a,a)不是z的極值點(diǎn).(2)令由于有f(x,y)≥0以及注意到在0x軸上，有故又知f(x,0)在點(diǎn)(2,0)處取到最大值.同理可知，點(diǎn)(0,2)也是f(0,y)的最大值點(diǎn).因?yàn)樗詅(x,y)在第一象限中的最大值是這說(shuō)明(3)取對(duì)數(shù)，往證Inlna+alnb>Inlnb+blna.令x=Ina/Inb>1,y=Inb,命題轉(zhuǎn)為求證再令則由可知F(x,y)<F(x,0)=x-1.(2)(i)反證法.假定則不妨又假定點(diǎn)是f的最小值點(diǎn)(注意，),從而有記則點(diǎn)為g(x)的臨界點(diǎn).而根據(jù)可知，點(diǎn)是g(x)的極大值點(diǎn).注意到在(存在)取ε充分小，使得在圓周上F(x,y)>0,則依(i)知，即(3)依題設(shè)知，在點(diǎn)處取到極大值，故同理可推出此外，還有即得所證.(4)作則有從而可知除非F(x,y)1,否則在D內(nèi)可取到極小值.即有使得這說(shuō)明即得所證.解：(1)易知f(x,y,z)與的極值點(diǎn)相同，故只需考察在條件x+y+z=a下函數(shù)函數(shù)f在點(diǎn)處取極小值在處取極大值；在點(diǎn)處，由于故點(diǎn)不是f的極值點(diǎn).(3)根據(jù)題設(shè)，可令作輔助函數(shù)G(x,y,,并解方程組由于命題的最大值必存在，故定有非零解因此該方程組的行列式必為0.即用代入式①,并依次以乘各式，再相加可得由可知，這是f(x,y,z)在單位球面上的最大值.從而知，當(dāng)時(shí)，z取到極小值；當(dāng)時(shí)，z取到極大值.(2)對(duì)條件方程取對(duì)數(shù)：且記，則命題化為：求f(x,y,z)在條件下的極值.(ii)在點(diǎn)處，由，以及再記，則當(dāng)S<0時(shí)f達(dá)到極小值，當(dāng)S>0時(shí)達(dá)到極大值，其值為得解從而知顯然(8/5,3/5)就是所要求的點(diǎn).(3)問(wèn)題歸結(jié)為求在約束條件下的最小值.從而作函數(shù)(4)設(shè)(x,y)是拋物線上一點(diǎn)(即)是直線上一點(diǎn)(即，則此兩點(diǎn)間的距離為從而(3)整個(gè)積分區(qū)域分成與兩部分，并以不同斜線在圖15-3中表示出.(2)令則由題設(shè)知(2)令則積分式I可寫(xiě)為(5)(i)用直線x+y=i(i=1,2,3)分割D成為四個(gè)區(qū)域：見(jiàn)圖15-6.因?yàn)樗杂们€分割D為四個(gè)區(qū)域：如圖15-7,有D由y=0,y=x,x+y=1圍成。 解：(1)令則D變?yōu)榍曳e分成為(2)令則D變成(3)令將三角形內(nèi)的點(diǎn)表示為(4)令即此時(shí)IJI=2,積分區(qū)域D變?yōu)閺亩傻闷渲蠨是它在x0y平面投影：(6)易知該兩曲面的交線為由此知，z=a或z=4a.若z=4a,則得兩曲面的交點(diǎn)(0,0,4a);若z=a,則得兩曲面的交線在x0y平面上的投影曲線為(圖15-9)+3,以及圓周x2+y2=4圍成，因此D位于第一象限.圓周與x軸(正向)交于(2,0),與y軸(正向)交于(0,2)(也是與直線y=2的交點(diǎn)),直線x=y+3與x軸交于(3,0),與直線y=2交于(5,2).因此(1)當(dāng)φ從0變到時(shí)，對(duì)于每一固定的φ,r從0變到，其中，為拋物線的極坐標(biāo) 對(duì)作替換x=rcosα,y=rsinα,則又知易知第16章曲線積分與曲面積分首先求曲線C的參數(shù)方程：由，x+y+z=0消去y,可得配方后得到解：(1)令(2)作替換：可知(3)作新坐標(biāo)系，使得原點(diǎn)仍與坐標(biāo)系的原點(diǎn)相同，而點(diǎn)(x,y)位于軸上，此時(shí)有(積分號(hào)下級(jí)數(shù)一致收斂，可作逐項(xiàng)積分),故，且得(2)由，可知,采用極坐標(biāo)，又得由此知，引用題(1),有(3)因?yàn)?，所以有得其次，?故在這里也來(lái)算出d(y/x),而,易知只需計(jì)算其位于第一象限的部分曲面積S1(圖16-3)對(duì)J,作變量替換，又得 (2)由可知，從而可得從而有有將D變成D*,又變成光滑曲面解：(1)易知對(duì)變換其Jacobi行列式注意到 (2)易知直線L平行于0x軸，位于平面xOz上且截Oz軸一段長(zhǎng)為b的線段，令∑即 (3)記則證明：(1)對(duì)積分I采用球坐標(biāo)變換則得由此知其Gauss系數(shù)為(4)將處作Taylor展式：故知第17章含參變量積分(3)對(duì)任意的，函數(shù)及其對(duì)r的導(dǎo)(函)數(shù)在上連續(xù)，故知由此可得(常數(shù)，),隨之因連續(xù)性和rO的任意性，就有I(r)=C(0≤r<1).而有(4)設(shè)，且作函數(shù)從而可得，在區(qū)域上連續(xù).因此，有(計(jì)算積分可用替換t=tanx)由此還知(I(a)在a=0處連續(xù)).這樣，最后就得到以及f連續(xù)，故當(dāng)時(shí)，在每個(gè)區(qū)間(a,b)上一致收斂于故因?yàn)楫?dāng)時(shí)，遞增趨于f(x),所以根據(jù)Weierstrass判別法，積分F(t)關(guān)于一致收斂，從而由f(x)的連續(xù)性，即知極限是關(guān)于一致的.證畢.(i)對(duì)x≥0是單調(diào)的且一致有界于1,而積分是關(guān)于一致收斂，故對(duì)任給ε>0,存在充分大的X,使得(ii)對(duì)取定的X,令，可取(4)不妨假定f(x)遞增，則，故對(duì)任給ε>0,存在δ>0,使得由于，并考察兩個(gè)積分之差，則可得(應(yīng)用第二現(xiàn)在令，并假定，又取N,使得又顯然因此在x=0處不連續(xù)，但在x=1處連續(xù).當(dāng)0<x<1時(shí)，函數(shù)上連續(xù)，所以二重積分其中u,v作為積分變量，分別起著左邊積分中v,u的作用.于是可得當(dāng)0<x<1時(shí)，,從而直接計(jì)算可知并且顯然因此在x=0處不連續(xù)，但在x=1處連續(xù).解：(1)由于，故知注意到x=a時(shí)，上式右端為，故知證明：(1)收斂.(2)收斂.(3)收斂.(4)收斂.(5)記，則被積函數(shù)f(x,y)有估計(jì)證明：(1)因?yàn)殛P(guān)于一致收斂，又函數(shù)對(duì)x單調(diào)一致有界于1,所以，根據(jù)Abel判(2)(i)由于sin2x的原函數(shù)有界，以及遞減一致趨于0故根據(jù)Dirichlet判則，知積分關(guān)于∈(0,1)一致收斂.(ii)易知e-ax隨x單調(diào)，且(3)易知收斂，對(duì)x單調(diào)一致有界，由Abel判別法即得所證..從而有而由(i)又知，當(dāng)充分小時(shí)，有估計(jì)(3)只需指出或易知，對(duì)任給ε>0,存在M>0,使得.又知存在δ>0,使得所以積分g()關(guān)于是一致收斂的，也就是說(shuō)其次，由ε的任意性，即知.最后得出，(3)作變量替換，令，可知(3)令，則由此即知.因?yàn)?，所以?4)由于，故，且有由有解：(1)設(shè)，則易知f與上連續(xù).由可知積分在任一區(qū)間上一致收斂.此外，又由在上一致收斂.從而，積分在上連續(xù)，在上連續(xù).由式①可導(dǎo)出因此因?yàn)樗訡=0.這說(shuō)明若β=0,則積分I(α)僅在時(shí)收斂.此時(shí)，應(yīng)用分部積分公式，可知(2)x=0不是積分的瑕點(diǎn).又對(duì)，有故積分關(guān)于是一致收斂的.從而求導(dǎo)可在積分號(hào)下進(jìn)行，即得即知.最后，有(3)(i)看區(qū)域，令由的任意性可知，此結(jié)論對(duì)也真.易知第一個(gè)積分是的連續(xù)函數(shù)；由于，則第二個(gè)積分關(guān)于以及任意的一致收斂.再由f的連續(xù)性，可知第二個(gè)積分對(duì)連續(xù).從而根據(jù)即積分是一致收斂的，從而知上連續(xù).對(duì)有(實(shí)際上，對(duì)也真，因?yàn)樯蟽?nèi)閉一致收斂，由連續(xù)性再取極限即得.)在式②,對(duì)β第三部分模擬試題由y=ex得，于是從而，故曲線C3的方程為令取極限，據(jù)條件(1)得據(jù)柯西準(zhǔn)則，知存在.即等式①左端極限存在，記之為A由將x固定，由條件(1)使得時(shí)于是由②式知多高校(包括科研機(jī)構(gòu))指定為考研考博專(zhuān)業(yè)課參考書(shū)目。為了幫助參加研究生入學(xué)考試指定考研參考書(shū)目為伍勝?gòu)?fù)習(xí)專(zhuān)業(yè)課，我們根據(jù)教材和名?？佳姓骖}的命題規(guī)律精心編寫(xiě)了伍勝健《數(shù)學(xué)分析》輔導(dǎo)用書(shū)(均提供免費(fèi)下載，免費(fèi)升級(jí)):2[3D電子書(shū)]伍勝健《數(shù)學(xué)分析》(第1冊(cè))配套題庫(kù)【名?？佳姓骖}+章節(jié)題庫(kù)+模3[3D電子書(shū)]伍勝健《數(shù)學(xué)分析》(第2冊(cè))配套題庫(kù)【名?？佳姓骖}+章節(jié)題庫(kù)+模4[3D電子書(shū)]伍勝健《數(shù)學(xué)分析》(第3冊(cè))配套題庫(kù)【名校考研真題+章節(jié)題庫(kù)+模不同一般意義的傳統(tǒng)題庫(kù)，本題庫(kù)是詳解研究生入第一部分為名?？佳姓骖}及詳解。本部分從指定伍勝健主編考書(shū)目的名校歷年考研真題中挑選最具代表性的部分，并對(duì)選考研真題既注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，讓學(xué)員具有扎實(shí)的專(zhuān)業(yè)部分(包括教材中未涉及到的知識(shí)點(diǎn))進(jìn)行詳細(xì)闡釋?zhuān)允箤W(xué)員不遺漏任何一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)。第二部分為章節(jié)題庫(kù)及詳解。本部分嚴(yán)格按照伍勝健主編的行編寫(xiě)，每一章都精心挑選經(jīng)典常見(jiàn)考題，并予以第三部分為模擬試題及詳解。參照伍勝健主編的《數(shù)學(xué)分析考研真題的命題規(guī)律及熱門(mén)考點(diǎn)精心編寫(xiě)了1套考前模擬試題，并提供詳盡、標(biāo)準(zhǔn)解答。通過(guò)模擬試題的練習(xí)，學(xué)員既可以用來(lái)檢測(cè)學(xué)習(xí)該考試()提供全國(guó)各高校數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)考研考博輔導(dǎo)班【一對(duì)一輔導(dǎo)(面授/網(wǎng)授)、網(wǎng)授精講班等】、3D電子書(shū)、3D題庫(kù)(免費(fèi)下載，免費(fèi)升級(jí))、全套資料(歷年真題及答案、筆記講義等)、數(shù)學(xué)類(lèi)國(guó)內(nèi)外經(jīng)典教材名師講堂、考研教輔圖書(shū)等。本題庫(kù)特別適用于參加研究生入學(xué)考試指定考研參考書(shū)目為伍勝健《數(shù)1互動(dòng)學(xué)習(xí)：搖一搖、找學(xué)友，交友學(xué)習(xí)兩不誤搖一搖，找到學(xué)習(xí)本書(shū)的所有學(xué)友，可精確查找學(xué)友的具體學(xué)習(xí)(視頻、語(yǔ)音等形式),交友學(xué)習(xí)兩不誤；學(xué)習(xí)圈內(nèi)有學(xué)霸解答本書(shū)學(xué)習(xí)中的問(wèn)2720度立體旋轉(zhuǎn)：好用好玩的全新學(xué)習(xí)體驗(yàn)帶給你超逼真的3D學(xué)習(xí)體驗(yàn)，720度立體場(chǎng)景，任意角度旋轉(zhuǎn)，模擬紙質(zhì)書(shū)真實(shí)翻3質(zhì)量保證：每本e書(shū)都經(jīng)過(guò)圖書(shū)編輯隊(duì)伍多次反復(fù)修改，年年升級(jí)細(xì)研究與分析，掌握考試命題的規(guī)律和方向，并結(jié)合行業(yè)理各個(gè)科目的考試要點(diǎn)，把重要考點(diǎn)全部固化為試題形e書(shū)。同時(shí)，依托北京高校資源，我們聘請(qǐng)知名高校眾多專(zhuān)家組成顧問(wèn)團(tuán)隊(duì)嚴(yán)格審核，4免費(fèi)升級(jí)：更新并完善內(nèi)容，終身免費(fèi)升級(jí)如購(gòu)買(mǎi)本書(shū)，可終生使用。免費(fèi)自動(dòng)升級(jí)指我們一旦對(duì)該產(chǎn)品的內(nèi)容有所修訂、完善，系統(tǒng)立即自動(dòng)提示您免費(fèi)在線升級(jí)您的產(chǎn)品，您5功能強(qiáng)大：記錄筆記、答案遮擋等十大功能(1)e書(shū)閱讀器——工具欄豐富實(shí)用【為考試教輔量身定做】(2)便箋工具——做筆記、寫(xiě)反饋【獨(dú)家推出】(3)答案遮擋——先看題后看答案，學(xué)習(xí)效果好【獨(dú)家推出】6品種齊全：包括全部資格職稱(chēng)考試、、主要包括：資格職稱(chēng)e書(shū)、、,共2萬(wàn)余種，每天新上線約30種e書(shū)，每天下載約1萬(wàn)次。特別說(shuō)明：本書(shū)的部分內(nèi)容參考了部分網(wǎng)絡(luò)資料及相關(guān)資料。但由于特殊的原因，比如作者姓名或出處在轉(zhuǎn)載之前已經(jīng)丟失，或者未能及時(shí)與作者取得聯(lián)系等，因而可能沒(méi)有注明作者的姓名或出處。如果原作者或出版人對(duì)本書(shū)有任何異議，請(qǐng)與我們聯(lián)系，我們會(huì)在第一時(shí)間為您處理!()是一家為全國(guó)各類(lèi)考試和專(zhuān)業(yè)課學(xué)習(xí)提供輔導(dǎo)方案【保過(guò)班、網(wǎng)授班、3D電子書(shū)、3D題庫(kù)】的綜合性學(xué)習(xí)型視頻學(xué)習(xí)網(wǎng)站，擁有近100種考試(含418個(gè)考試科目)、194種經(jīng)典教材(含英語(yǔ)、經(jīng)濟(jì)、管理、證券、金融等共16大類(lèi)),合計(jì)近萬(wàn)小時(shí)的面授班、網(wǎng)授班課程。如您在購(gòu)買(mǎi)、使用中有任何疑問(wèn)，請(qǐng)及時(shí)聯(lián)系我們，我們將竭誠(chéng)為您服務(wù)!全國(guó)熱線：(8:30～00:30),(8:30～00:30)編輯部第一部分名?？佳姓骖}在[0,1]上連續(xù)，,使第15章重積分第16章曲線積分與曲面積分,在u∈(0,+o)上一致收斂.,又在(1,+o)上單調(diào)遞減且一致趨于0,故由對(duì)任意的ε>0,存在，當(dāng)時(shí)，有,所以，即，因此。單變量x的連續(xù)函數(shù)，且對(duì)任意的，有(對(duì)一致證明：(1)任取，往證為此，只需指出，對(duì)任并記.由可知，存在使又由f的連續(xù)性，可知存在，使得.因?yàn)?且，而是單變量y的連續(xù)函數(shù)，所以在上(2)設(shè)依題設(shè)知，對(duì)任給，存在，使得當(dāng)時(shí)有(3)設(shè)，依題設(shè)知，對(duì)任給，存在，使得(1)設(shè)在D上連續(xù)，且，則(3)設(shè)在D上連續(xù).令則記，則依條件，存在，使得即(2)對(duì)，令，易知注意到f在D上一致連續(xù)，故是一族等度連續(xù)函數(shù).對(duì)任給，存在，使得(3)令，注意到f在D上的一致連續(xù)性可知，對(duì),存在，使得,即在上連續(xù)，自然也是一致連續(xù)的.因此，證明：(1)注意到f在D上一致連續(xù)，故對(duì)任給,存在，使得,即在上連續(xù).對(duì)任給，存在使得(2)顯然，F(xiàn)(x,y)在上連續(xù).對(duì)處，根據(jù)求以及顯然不存在，所以不存在.(3)由三種極限間的關(guān)系及步驟(2)中的結(jié)在此域上一致連續(xù)，即對(duì)任給的ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使對(duì)于此域中的任意兩點(diǎn)只要時(shí)，就有對(duì)于上述的δ>0,因?yàn)樵赱a,A]上一致收斂，故的x∈[a,A],均有于是，對(duì)任給的ε>0,存在由于f(x,y)關(guān)于x對(duì)變數(shù)y一致連續(xù)，故對(duì)任給的ε>0,存在使當(dāng)(x,y')∈G,∈G且時(shí)，就有又因f(x,y)在點(diǎn)關(guān)于變數(shù)x是連續(xù)的，故對(duì)上數(shù)f在G內(nèi)是連續(xù)的.即它是處處有定義的有理函數(shù).又當(dāng)y=0時(shí)，顯然是連續(xù)的.于是，當(dāng)變數(shù)y固定時(shí)，函數(shù)f(x,y)對(duì)于變數(shù)x是連續(xù)的.同理可證，當(dāng)變數(shù)x固定時(shí)，函數(shù)f(x,y)對(duì)于變數(shù)y是連續(xù)的.對(duì)于不同的k可得不同的極限值，從而知不存在.因此，函數(shù)f在原點(diǎn)不是二元連續(xù)的.證明：(1)問(wèn)題等價(jià)于證明不等式令，這樣，證上述不等式只要證明.為此，在區(qū)域上考慮二元函數(shù).因?yàn)?，即?duì)固定的，函數(shù)f(x,y)是y的單調(diào)遞如果，顯然有；如果即，也有綜上便知在上成立.(3)依題設(shè)易知，且有(1)設(shè)且充分小，則(2)作，則且，從而可知存在點(diǎn)使得達(dá)到最大(小)值.由此得，從而導(dǎo)出解：(1)由可知f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù).因?yàn)橛幸字獣r(shí)有，故在點(diǎn)(0,0)不可微.(2)因?yàn)?，所以?dǎo)出取，則，這說(shuō)明f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不可證明：(1)不妨假定，則有這說(shuō)明f(x,y)在點(diǎn)處可微.(4)因?yàn)樗杂杏蒰(x,y)在點(diǎn)(0,0)處的連續(xù)性可知，這說(shuō)明F(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微.從而立即可得在點(diǎn)(0,0)處的微分為解：(1)由題設(shè)知，故有從而可得，即知，因此，根據(jù)或.這說(shuō)明(2)由條件知，即由此得到，若令此比值為λ(常數(shù)),則有(因?yàn)檫B續(xù)，所以此式對(duì)x=y=0仍真).這說(shuō)明并導(dǎo)出bx=ay,ax+by+c=0.注意到式①可求由推出f無(wú)臨界點(diǎn)).(2)令由于有f(y)≥0以及故f可取到最大值.因?yàn)槠珜?dǎo)方程組為注意到在Ox軸上，有故又知f(x,0)在點(diǎn)(2,0)處取到最大值.同理可知，點(diǎn)(0,2)也是f(0,y)的最大值點(diǎn).因?yàn)?3)取對(duì)數(shù)，往證lnlna+alnb>lnlnb+blna.令x=lna/lnb>1,y=lnb,命題轉(zhuǎn)為求證再令0.根據(jù)題設(shè)可知，0.證畢.(2)(i)反證法.假定則不妨又假定點(diǎn)是f的最小值點(diǎn)(注意，),從而有記則點(diǎn)為g(x)的臨界點(diǎn).而根據(jù)可知，點(diǎn)是g(x)的極大值點(diǎn).注意到在(存在)上，必有取ε充分小，使得在圓周上F(x,y)>0,則依(i)知，即(3)依題設(shè)知，在點(diǎn)處取到極大值，故同理可推出此外，還有即得所證.(4)作則有從而可知除非Fy)1,否則在D內(nèi)可取到極小值.即有使得解：(1)易知f(x,y,z)與的極值點(diǎn)相同，故只需考察在條件x+y+z=a下函數(shù)的極值.由于(3)根據(jù)題設(shè)，可令作輔助函數(shù)G(x,y,,并解方程組該方程組的行列式必為0.即用代入式①,并依次以乘各式，再相加可得(2)對(duì)條件方程取對(duì)數(shù)：且記，則命題化為：求f在條件下的極值.(i)在點(diǎn)處，由可知，f無(wú)極值.(ii)在點(diǎn)處，由，以及再記，則當(dāng)S<0時(shí)f達(dá)到極小值，當(dāng)S>0時(shí)達(dá)到極大值，其值為得解從而知顯然(8/5,3/5)就是所要求的則由可解出代入平面T的方程，可得，因此(3)問(wèn)題歸結(jié)為求在約束條件下的最小值.從因?yàn)?，故點(diǎn)是曲面上到原點(diǎn)距離最近的一點(diǎn).其它點(diǎn)亦然.(4)設(shè)(x,y)是拋物線上一點(diǎn)(即)是直線上一點(diǎn)(即，則此兩點(diǎn)間的距離為從而作函數(shù)第15章重積分(3)整個(gè)積分區(qū)域分成與兩部分，并以不同斜線在圖15-3中表示出.(2)令則由題設(shè)知(2)令則積分式I可寫(xiě)為(3)將D分解為可得(5)(i)用直線x+y=i(i=1,2,3)分割D成為四個(gè)區(qū)域：見(jiàn)圖15-6.因?yàn)樗云渲斜硎镜拿娣e.從而有用曲線分割D為四個(gè)區(qū)域：如圖15-7,有從而得到將區(qū)域表示為解：(1)令則D變?yōu)榍曳e分成為(2)令則D變成且原積分成為(3)令將三角形內(nèi)的點(diǎn)表示為(4)令即此時(shí)[J=2,積分區(qū)域D變?yōu)閺亩傻们矣?所圍平面區(qū)域?yàn)镈,故知其中為求V,顯然應(yīng)采用極坐標(biāo)變換：即令此時(shí)有變成從而可得為故有其中D是它在xOy平面投影：從而可得(用坐標(biāo)變換而且(6)易知該兩曲面的交線為由此知，z=a或z=4a.若z=4a,則得兩曲面的交點(diǎn)(0,0,4a)影曲線為(圖15-9)最后有線y=0).直線y=2,直線x=y+3,以及圓周軸(正向)交于(2,0),與y軸(正向)交于(0,2)(也是與直線y=2的交點(diǎn)),直線x=y+3與x軸交于(3,0),與直線y=2交于(5解：作變換：,則橢圓所圍成的域變?yōu)榍矣写藭r(shí)仍有而原曲面有表示式立體Ω關(guān)于yOz,xO易知第16章曲線積分與曲面積分首先求曲線C的參數(shù)方程：由，x+y+z=0消去y,可得配方后得到解：(1)令從而可知(2)作替換：可知(3)作新坐標(biāo)系，使得原點(diǎn)仍與坐標(biāo)系的原點(diǎn)相同，而點(diǎn)位于軸上，此時(shí)有(積分號(hào)下級(jí)數(shù)一致收斂，可作逐項(xiàng)積分),若，有(2)由，可知,采用極坐標(biāo)，又得由此知，引用題(1),有(3)因?yàn)?，所以有t,則L定向如圖16-1所示，從而可得其次，有.故在這里也來(lái)算出d,而從而可知,易知只需計(jì)算其位于第一象限的部分曲面積S1(圖16-3).(2)由可知，從而可得從而有有將D變成D*,)變成光滑曲面解：(1)易知對(duì)變換其Jacobi行列式注意到∑的參數(shù)方程為以及投影區(qū)域D=(2)易知直線L平行于Ox軸，位于平面xOz上解：(1)易知知即(3)記則解：(1)易知又可寫(xiě)為其定義區(qū)域?yàn)榇藭r(shí)，易證明：(1)對(duì)積分I采用球坐標(biāo)變換則得上式左端就是橢球面表面積S在極坐標(biāo)變換下的積分公式，證畢.可知從而可得作變量替換則的參數(shù)方程式為由此知其Gauss系數(shù)為故知第17章含參變量積分(2)記，在積分號(hào)下求導(dǎo)，并從偏導(dǎo)方程組(3)對(duì)任意的，函數(shù)及其對(duì)r的導(dǎo)(函)數(shù)在上連續(xù)，故知由此可得(常數(shù)，),隨之因連續(xù)性和rO的任意有(4)設(shè)，且作函數(shù)從而可得，在區(qū)域上連續(xù).因此，有(計(jì)算積分可用替換t=tanx)由此還知(I(a)在a=0處連續(xù)).這樣，最后以及f連續(xù)，故當(dāng)時(shí)，在每個(gè)區(qū)間(a,b)上-是關(guān)于一致的.證畢.關(guān)于一致收斂，故對(duì)任給ε>0,存在充分大的X,使得(ii)對(duì)取定的X,令，可取(4)不妨假定f(x)遞增，則，故對(duì)任給ε>0,存在δ>0,使得現(xiàn)在令，并假定，又取N,使得當(dāng)0<x<1時(shí)，函數(shù)上連續(xù)，所以二重積分,u的作用.于是可得當(dāng)0<x<1時(shí)，,從而但在x=1處連續(xù).解：(1)由于，故知分次序.從而有證明：(1)收斂.(2)收斂.(3)收斂.(4)收斂.(5)記，則被積函數(shù)f(x,y)有估計(jì)證明：(1)因?yàn)殛P(guān)于一致收斂，又函數(shù)對(duì)x單調(diào)一致有界于1,所以，根據(jù)Abel判別法即得所(2)(i)由于sin2x的原函數(shù)有界，以及遞減一致趨于0故根據(jù)Dirichlet判則，知積分關(guān)于∈(0,1)一致收斂.(ii)易知e-ax隨x單調(diào)，且(3)易知收斂，對(duì)x單調(diào)一致有界，由Abel判別法即得所證..從而有這說(shuō)明而由(i)又知，當(dāng)充分小時(shí)，有估計(jì)(3)只需指出或易知，對(duì)任給ε>0,存在M>0,使得.又知存在δ>0,使得所以積分g()關(guān)于是一致收斂的，也就是說(shuō)其所以根據(jù)Weierstrass判別法，積分關(guān)于一致收斂.類(lèi)似地可知，積分也在上一致收斂.(3)作變量替換，令，可知(3)令，則從而有由此即知.因?yàn)?，所以?4)由于，故，且有當(dāng)時(shí)，可得遞減，用中值公式，(因此，積分關(guān)于一致收斂.故二次連續(xù)可導(dǎo)，且有由由有解：(1)設(shè)，則易知f與上連續(xù).由可知積分在任一區(qū)間上一致收斂.此外，又由在上一致收斂.從而，積分在上連續(xù)，在上連續(xù).由式①可導(dǎo)出所以C=0.這說(shuō)明若β=0,則積分I(a)僅在時(shí)收斂.此時(shí)，應(yīng)用(2)x=0不是積分的瑕點(diǎn).又對(duì)，有故積分關(guān)于是一致收斂的.從而求導(dǎo)可在積分即知.最后，有(3)(i)看區(qū)域，令由的任意性可知，此結(jié)論對(duì)也真.易知第一個(gè)積分是的連續(xù)函數(shù)；由于，則第二個(gè)積分關(guān)于以及任意的一致收斂.再由f的連續(xù)性，可知第二個(gè)積分對(duì)連續(xù).從而根據(jù)的連續(xù)性，可作運(yùn)算最后有則在上連續(xù)，且有即積分是一致收斂的，從而知上連續(xù).對(duì)有(實(shí)際上，對(duì)也真，因?yàn)樯蟽?nèi)閉一致收斂，由連續(xù)性再取極限即得.)在式②,對(duì)β作積分， 易知而，故這說(shuō)明第三部分模擬試題又因?yàn)長(zhǎng)1的參數(shù)方程為，因此，令取極限，據(jù)條件(1)得據(jù)柯西準(zhǔn)則，知存在.即等式①左端極限存在，記之為A由將x固定，由條件(1)使得時(shí)于是由②式知第一部分名?？佳姓骖}識(shí)的掌握，讓學(xué)員具有扎實(shí)的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)；又對(duì)一些重難點(diǎn)部分(包括教材中未涉及到的知識(shí)點(diǎn))進(jìn)行詳細(xì)闡釋?zhuān)允箤W(xué)員不遺漏任何一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)。一、判斷題1若/)存在，則f(x)與f(x,)均存在.[上海交通大學(xué)研]【答案】錯(cuò)【解析】舉反例：例如)=ysin,顯然有l(wèi)mf(x,y)=°,limf(x,y)=°,但是f(x,)不存在.2設(shè)f(x,y)在(x,yo)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義且)[華東師范大學(xué)2008研]【答案】錯(cuò)【解析】舉反例：i顯然有但是即imf(x)是否為0還要取決于。的值，所以f(xy)在點(diǎn)(0.0)處不連續(xù).4,試討論函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處的連續(xù)性.[江蘇大學(xué)研]解：當(dāng)0<p<1時(shí)，由于當(dāng)x2+y2≠0時(shí)有,,故f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù).當(dāng)p≥1時(shí)，由于故f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù).5設(shè)Q為有理數(shù)集，且證明：(1)由于有理數(shù)在實(shí)數(shù)上是稠密的，所以存在有理數(shù)列{x}與{v}使得是(2)由于,則有由于(x-a2+(0?-b2*0,所以f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處不連續(xù)，故f(x,y)連續(xù).其中M、α均為常數(shù)且M>0、0<α≤1,問(wèn)g(x,y)在D內(nèi)是否連續(xù)，并說(shuō)明理ε>0,存在&>0,使得,,lecs)-gt,xNSIe(c)-g(,y+1s(x,-gtxk(nea.k-k&b-xs&證明：因?yàn)閒(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，所以f(x,y)在D上一致連續(xù)，即對(duì)由于納(x)}在[a,A]上一致收斂，所以對(duì)上述的δ,存在N>0,使得當(dāng)m、n>N,x8設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在正方形區(qū)域[0,1]×[0,1]上連續(xù).記J=[0,1].(1)試比較pr(,與c的大小并證明之；(2)給出并證明使等式C-y成立的(你認(rèn)為最好的)充分條件.[廈門(mén)大學(xué)研]p(r.)>spinf(r,y).f(n)-jinf()inbuef(r,y)在[0,1]上連續(xù)，,使故p()=f(z,y).2二元函數(shù)1定義證明：f(x,y)在(0,0)處連續(xù)但不可微.[中國(guó)科技大學(xué)研]證明：對(duì)任意的ε>0,存在δ,當(dāng)o<√r+y3<o時(shí)，有故f(x,y)在(0,0)處連續(xù)，根據(jù)偏導(dǎo)公式可得從而不唯一，所以在(0,0)點(diǎn)函數(shù)不可微.求(1)(2)是否在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)，f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處是否(2)由 所以f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微.3設(shè)函數(shù)(1)研究函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處是否連續(xù)，其偏導(dǎo)數(shù)是否存在，若存在是多(2)函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微嗎?為什么?[上海理工大學(xué)研]解：(1)由于當(dāng)(x,y)≠(0,0)時(shí)，有又,故由夾逼法知,所以f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連(2)由于所以f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不可微.所以f(x,y)當(dāng)x=0時(shí)也可微.故f(x,y)在平面中的可微點(diǎn)為整個(gè)平面.上有界，證明：f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù).[華南理工大學(xué)研]證明：因?yàn)閒(x,0)在x=0處連續(xù)，則對(duì)任意的ε>0,存在8>0使得當(dāng)lx-0kδ時(shí)，有,又因?yàn)閒,(x,y)在G上有界，存在M>0,使得If,(x,y)≤M對(duì)上述,時(shí)，有安電子科技大學(xué)研、清華大學(xué)2006研]證明：為了證明f(x,y)在點(diǎn)(x?,yo)處可微，就要證明z=f(x,y)的全增量可以表示成如下形式=1,(x?,y?Ax+f,(x?,yo)Ay+o(√Ar為此先把△z拆成兩部分以便能與偏導(dǎo)數(shù)所滿(mǎn)足的條件相聯(lián)系，利用f(x?+Ax,y)對(duì)y的導(dǎo)數(shù)存在，并由一元函數(shù)微分中值定理可得,,7討論函數(shù)性.[北京工業(yè)大學(xué)研、中山大學(xué)2007研]則故不可微.(3)由于沿：(cosα,sinα)的方向?qū)?shù)存在.中f(u,v)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).(2)若h0,0)=1,L.o.0)--1,.[上海理工大學(xué)研]解：(1)由鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則知(2)由(1)得到的結(jié)果知9設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ,證明：[中國(guó)地質(zhì)大學(xué)2006研]證明：因?yàn)橛谑?1確定α的值，使得函數(shù)在點(diǎn)(0,0)可微.[同濟(jì)大學(xué)研]解：f(x,y)在點(diǎn)(0,0)可微，則f.'0,0),J,'0,0)存在.由存在.則必有12在曲面+y+-上求點(diǎn)(),且≥0.≥0.m≥。使該點(diǎn)處曲面的切平面與三坐標(biāo)面圍成的四面體的體積最小.[北京航空航天大學(xué)研]解：過(guò)點(diǎn)(az)的切平面方程為因此四面體的體原問(wèn)題化為求V在限制條件+x+a-1下的極小值點(diǎn).作拉格朗日函數(shù)解,故m=學(xué)學(xué)學(xué)，且最小體積為13利用導(dǎo)數(shù)證明周長(zhǎng)一定的三角形中以等邊三角形的面積最大.[清華大學(xué)研]s=√D(p-)(p-y)(p-z).證明：設(shè)三角形三邊分別為x,y,z,其周長(zhǎng)為定數(shù)2p,則面積所求為S在限制條件+y+-2下的極大值，為此，作拉格朗日函數(shù)解得=--號(hào)，此時(shí)s--。14設(shè)u=x2+y2+z,其中z=f(x,y)“.[北京化工大學(xué)研]解：對(duì)方程x3+y3+z3=-3z,求一、二階偏導(dǎo)有解：令L(x,y,d)=ax2+2bxy+cy2+A(x2+y2-1),則44因1計(jì)算二重積分-T,其中D為區(qū)域lx|≤1,O≤y≤2.[北京師范大學(xué)研]圖15-1解：如圖示D可分為p.UD,在o內(nèi)>z,在p.內(nèi)，<,所以圖15-2909設(shè)a>0是常數(shù)，計(jì)算積分[北京大學(xué)研]解：作球坐標(biāo)變換x=rsinecosθ,y=rsinosinθ,z=rcose.則4求xz平面上的圓周(x-a)2+z2=b2(0<b<a),繞z軸一圈所畫(huà)的閉曲面所包圍的體積.[廈門(mén)大學(xué)研]解：令V為所畫(huà)閉曲面所圍的空間，則v=((r,y.)I-b≤<b.(a-√B-<x3+y<(a+√B-5計(jì)算積分!,D為由直線y=x、y=1及x=0所圍成的平面區(qū)域。[中科院武漢物理與數(shù)學(xué)研究所研]解：化為累次積分有,其中D是由直線y=x及拋物線x=y所圍成的區(qū)域。[中科院武漢物理與數(shù)學(xué)研究所、大連理工大學(xué)研]解：由題設(shè)知D為y2≤x≤y,o≤y≤1,從而7求[北京師范大學(xué)研]9其中0為z=√x+y與z=x2+2削成的有界區(qū)域。[北京大學(xué)2006研]證明：.[南開(kāi)大學(xué)2006研]故有··第16章曲線積分與曲面積分1以S表示橢球的上半部分(z≥0),λ,u,v表示S的外法線的方向余弦，計(jì)算曲面積[南京大學(xué)研]解：如圖示：補(bǔ)充xy平面上的橢圓S?與S構(gòu)成封閉曲面記為So,由于S?:z=0,從而圖16-12計(jì)算曲線積其中L是空間螺線，acost,y=asintz=a(a>0)上對(duì)應(yīng)于t=0與t=2π的兩點(diǎn)之間的一段曲線弧.[中山大學(xué)研]側(cè).[哈爾濱工業(yè)大學(xué)研]V:O≤≤2+y2,(x,y)∈D=(2+y2<1.x≥04計(jì)算d其中S是球面x2+y2+z2=a在第一卦限部分并取球面外側(cè)(a>0).[武漢大學(xué)圖16-25已知C是平面上任一簡(jiǎn)單閉曲線，問(wèn)常數(shù)a等于何值時(shí)，曲線積分解：記P=+Q=y(1)若原點(diǎn)在C外，欲使積分為零必須且只須器-嬰即(2)若原點(diǎn)在C內(nèi)，由多連通區(qū)域上的格林公式知，當(dāng)a=-1時(shí)，所以，當(dāng)a=-1時(shí)，總6設(shè)f(u)具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算積分其中z為x>0的錐面y2+z2-2=0與球面+y+2=1.z2+2+2=4所圍立體表面的外側(cè).[西安交通大學(xué)研]由奧高公式得所求積分,其中L是拋物線y=x2上從點(diǎn)(-1,1)到點(diǎn)(1,1)上的一段.[華南理工大學(xué)2006研]解：將y=x2,-1≤x≤1代入，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得=(sinx+x3)2+2x(x2+x?cos,L是取逆時(shí)針?lè)较虻膯挝粓A周.[華中科技大學(xué)研]解：原點(diǎn)在L所圍區(qū)域Ω的內(nèi)部，則在原點(diǎn)不連續(xù)，挖去一個(gè)以原點(diǎn)為中心，以長(zhǎng)軸為，短軸為3的橢圓C,則L與C外側(cè)所圍區(qū)域2滿(mǎn)足Green公式所以此處利用9計(jì)算曲線積分docdy,其中曲,方向與z軸構(gòu)成右手系.[中山大學(xué)2007研]10求'-[2-]+(z2-x)y+x2-y'],其中L為平i和立方體0≤x≤a,O≤y≤a,O≤z≤a的交線，站在第一象限處看L為逆時(shí)針?lè)较?[大連理工大學(xué)研]解：平位于立方體內(nèi)的部分記為S,它在Oxy平面上的射影區(qū)域記為Sy,Stokes公式可得11求球面x2+y2+z2=a2在柱面x+y2≤ax(a>0)內(nèi)部的面積S。[西安交通大學(xué)研]解：由于于是利用對(duì)稱(chēng)性知12計(jì)算曲面積分其中S是曲線x=e°(O≤y≤a)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面的外側(cè)。[中山大學(xué)研],其中2是單葉雙曲面x2+y2-z=1在的部分，取外側(cè)。[中山大學(xué)2006研]第17章含參變量積分故2證明：(1)積分sindr,(a>0)在ue(0,+0)上一致收斂.故由Cauchy收斂準(zhǔn)則知[esindu3證明：在(0,+0)上連續(xù).[華中科技大學(xué)2007研]證明：因?yàn)閷?duì)任意的A,存在M,有slsM,同時(shí)對(duì)任意的8>0,關(guān)于x在(1,+0)上單調(diào)遞減，且當(dāng)y∈(8,+0)時(shí)，有,所以當(dāng)y→+0時(shí)，在[8,+0]上一致收斂于0.故由Dirichlet判別法知在(8,+o)上一致收斂，因?yàn)楸环e函數(shù)連續(xù)，所以由一致收斂的反常積分性質(zhì)知Fo)-5*在[8,+0]上連續(xù).由δ>0的任意性知，在(0,+0)上連續(xù).證明：因?yàn)镚d于(c,d)一致收斂，所以任給ε>0,存在M>c對(duì)一切A?,A?>M(其中A?<A?),一致連續(xù)，所以任給∈[A,AJ,存在δ>故收斂.證明：(1)h.0,e[0.+],證明：1)對(duì)v∈ro,+2)因?yàn)槊總€(gè).在(0,+0)上都連續(xù)，且當(dāng)時(shí)]0對(duì)一切z∈[o,+都成立，所以可以在積分號(hào)下取極限，所以8證明：積分?！痹?0,+0)上不一致收斂.[北京大學(xué)研]9證明函數(shù))-5在區(qū)間(0,+0)上連續(xù)，在(0,+0)上有連續(xù)導(dǎo)函數(shù).[廈門(mén)大(x)在[0,+0]上連續(xù)10設(shè)F(x)=cssds.證明：(1)zr(a)+F(a)-(2)求F(x)[華中師范大學(xué)研]證明：(1)記s,則rc-顯然f(x,y),f'×(x,y)連續(xù).因?yàn)閷?duì)一切1ecosxyI≤e2.I-ye2sinxyI≤ye2,收斂，,所以，即，因此.第二部分章節(jié)題庫(kù)挑選經(jīng)典常見(jiàn)考題，并予以詳細(xì)解答。熟練掌握本書(shū)考題的解由于k可取不同值，故重極限不存在.(2)f(,kx)=A/(1+k),重極限不存在.f(r,-x+x2)=(-x2+x3)/x2→-1(x→0),故重極限不存在.limf(x,x)=lim(x2+x?)/故重極限不存在.imf(x,3-x3)=lim[r2+(3-x2°/3-l故重極限不存在.故重極限不存在.故重極限不存在.2討論下列函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處的重極限：(1)(x+y)ln(x2+y2).(2)In(1+xy)/(x+tanyIf(x,y)|=|r(cosθ+sin0)Inr2|(2)注意到f(x,0)=0,另一方面又有故重極限不存在.f(x,y)=e2m2+3≤e(2+3)2m2+3),(3)取對(duì)數(shù)再用參變量，我們有(1)e2+s3),(0,0).(2)e2-P·sin(2xy),(-○,+∞).3討論下列函數(shù)f(x,y)在指定點(diǎn)的極限狀況：由此可知，當(dāng)或即時(shí)極限存在.4試證明下列命題：上單變量連續(xù)的函數(shù).又有ECD且E=D.若有(對(duì)一致),則f(x,y)在D上連續(xù).并記.由可知，存在使又由f的連續(xù)性，可知存在，使得.類(lèi)似地可知，存在以及閉區(qū)間，使得，繼續(xù)這一過(guò)程，可得閉區(qū)間列，點(diǎn)列滿(mǎn)足根據(jù)區(qū)間套定理可知，存在xELI(nEN),從而有,以及1f(x,y)-f(x,yo)|<e/2(f(x,y)一f(xo,yo)|≤If(x,y)-f(x,yo)I+If(r,yo)-f(xo,y%)|<e.If(xo,y)-f(xo,yo)|<e/2(|y-yI<8i).If(x,yo±8)-f(xo,yo±δi)|<e/2(|x-x又存在，使得f(x,yo-&)≤f(x,y)≤f(x,yo+8?).Tf(x,y±à)-f(xo,yo)|≤If(r,yo±&i)-f(r+If(ro,yo±8)-f(xo,yo不妨假定f對(duì)y是遞增函數(shù)，則當(dāng)lx-zol<8?,ly-yol≤時(shí)，有5試證明下列命題：(1)設(shè)在D上連續(xù)，且，則在(a,b)上連續(xù).φ∈C([a,b]).If(r,y)-f(ro,yo)I<e(lx-x證明：(1)設(shè)(r?,y)∈D,則由題設(shè)知，對(duì)任給>0,存在a>0,使得lp(x)-p(x?)|=ly-y?I<δ(|x-x|<δ).記，則依條件，存在，使得If(x,p(x))-f(xo,p(xo))|<e(|x-xoI<8=min因此，對(duì)，有即(2)對(duì)，令，易知g(x)=sup(g,(x):y∈[0.17).注意到f在D上一致連續(xù)，故是一族等度連續(xù)函數(shù).對(duì)任給，存在，使得現(xiàn)在對(duì)滿(mǎn)足的，存在，使得根據(jù)等度連續(xù)性，又推出導(dǎo)出這說(shuō)明，隨之有，即f(xo,yo,z)-e<f(x,y,z)<f((3)令，注意到f在D上的一致連續(xù)性可知，對(duì)，存在，使得Ix'-x"|<8,|y'-y"I<8).,即在上連續(xù)，自然也是一致連續(xù)的.因此，存在，使得現(xiàn)在對(duì)任意取定的，我們有從而導(dǎo)出又根據(jù)式①可推知這說(shuō)明6試證明下列命題：則F(x)=fLx,p(x)]在[a,b]上一致收斂.證明：(1)注意到f在D上一致連續(xù)，故對(duì)任給，存在，使得l+(x)-,(x)|<8(n>N,p∈N,x∈[a,b]).If(r,p+。(x))一f(x,p.(x))|<e(n>N(2)注意到,故知,,(2)設(shè)f∈C(R1),且作函數(shù)證明：(1)定義f(0,y)=(y)(y∈R'),從而只需指出f|(x,y)-φ(yo)|<e/2(0<Ix|<8,,即在上連續(xù).對(duì)任給，存在使得lp(y)-(yo)|≤lφ(y)-f(x,y)I+I從而有f(x,y)-φ(yo)|I<8/2).由此即得所證.(2)顯然，F(xiàn)(x,y)在上連續(xù).對(duì)處，根據(jù)的連續(xù)性可知，對(duì)任給，存在，使得由此即得所證.8設(shè)求以及所以顯然不存在，所以不存在.(3)由三種極限間的關(guān)系及步驟(2)中的結(jié)果可知不存在上一致收斂并滿(mǎn)足條件b≤p.(x)≤B.證明：函數(shù)序列F,(x)=/[x,p.(x)](n=1也在[a,A]上一致收斂.0,存在δ=δ(ε)>0,使對(duì)于此域中的任意兩點(diǎn)只要時(shí)，就有對(duì)于一切的x∈[a,A],均有于是，對(duì)任給的ε>0,存在自然數(shù)N,使當(dāng)m>N,n>N因此在[a,A]上一致收斂.10證明：若函數(shù)f(x,y)在某域G內(nèi)對(duì)變數(shù)x是連續(xù)的，而關(guān)于x對(duì)變數(shù)y是一列連續(xù)的，則此函數(shù)在所考慮的域內(nèi)是連續(xù)的.證明：任意固定一點(diǎn)Pa(ro,yo)∈G.在G內(nèi)是連續(xù)的.時(shí)，函數(shù)f(x,y)對(duì)于變數(shù)x是連續(xù)的.同理可證，當(dāng)變數(shù)x固定時(shí)，函數(shù)f(x,y)作為二元函數(shù)，f(x,y)雖在除點(diǎn)(0,0)外的各點(diǎn)均連續(xù)，但在點(diǎn)(0,0)不連續(xù).事實(shí)上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)沿射線y=kx趨于原點(diǎn)時(shí)，有二元連續(xù)的.1解答下列問(wèn)題：,2試證明下列命題：f(0)=(g(0),h(0))=(0,0),了(0)=(g'(0),h(0))≠0,1,1)上值域在R中的連續(xù)可微函數(shù).若有證明：(1)問(wèn)題等價(jià)于證明不等式令，這樣，證上述不等式只要證明.為此，在區(qū)域上考慮二元函數(shù).因?yàn)?，即?duì)固定的，函數(shù)f(x,y)是如果，顯然有；如果即，也有綜上便知在上成立.因此，有=2:(g'(E)g't)+h'(E)h'(t)](0<6,<t).(3)依題設(shè)易知，且有1f,(x,y,z)|≤1,If,(x,y,z)|≤1((If(x?+△r,yo+△y,zo+△)-f(r?,≤lf(z+△r,y+△y,z+△z)-f(xa,y+△y,z+f(x,so+△y,z+△z)-f(ra,y,z+1f(xo,yo,z+△z)-≤I△rI+I△yl+If(zo,y%,z+△z)-f(x,,z0)|.(1)設(shè)且充分小，則由此以及依據(jù)題設(shè)即得所證.f,(ro,yo)=-4xo,f,(xo,(2)作，則且，從而可知存在點(diǎn)使得達(dá)到最大(小)值.由此得，從而導(dǎo)出因此有(2)f(x,y)=Vxy,(0,0).4討論下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的可微性：解：(1)由可知f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處連續(xù).因?yàn)橛衒(x,y)-f(0,0)=xy/√Y+y=p·a(r,y),a(x,y)=注意，由在點(diǎn)(0,0)的一個(gè)鄰域上存在有界偏導(dǎo)數(shù).f(x,y-f(0,0)=p·a(x,y)(a(x,y)=Vay/prp=√+y).取，則，這說(shuō)明f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不可微.5解答下列命題：解：(1)(i)注意到，故得(ii)注意到，故得(3)對(duì)兩式各求微分，可得從而可解出由此即得所證.(4)對(duì)兩式各求微分，可得從而可解出或若記此值為1/k,又知類(lèi)似地可知因此有式①左端6試證明下列命題：在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)，在則f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微.(3)設(shè)f(x,y)=lx-ylg(x,y),g(x,y)在零點(diǎn)的鄰域U?(8)上連續(xù)，且g(0,0)=0,則f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微.(4)設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微，且f(0,0)=0,又假定g(x,y在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)，則F(x,y)=f(x,y)g(r,y)在點(diǎn)(0,0)處可微，且有d(fg)=fdg(在點(diǎn)(0,0)處).=f(x?+△r,yo+△y)-f(xo,y+△y)+f(ro,y+△y)-f(=f,(xo,yo)△r+a△r+o(△r)+f,(r?,yo)△y+o(△y)(△x→0,△證明：(1)不妨假定，則有Ayl≤p,(Ar|≤p(p=√△r)+((2)依題設(shè)知，對(duì)任給>,存在>0,使得(3)因?yàn)閇f(x,y)-f(0,0)]/√R+=r|cosx-sinx|g(rcosθ,rsinθ)/r≤2g(rcosθ,r所以，注意到△F=F(x,y)-F(0,0)=f(r,y)=f,(0,0)g(0,0)△r+f,(0,0)g(0,0)△y+R(R(x,y)=f.(0.0)[g(x,y)-g(0,0)]Ax+f,(0,0[g(x,y)-g(0,0(4)因?yàn)樗杂杏蒰(x,y)在點(diǎn)(0,0)處的連續(xù)性可知，這說(shuō)明F(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微.從而立即可得在點(diǎn)(0,0)處的微分為7試證明下列命題：(2)設(shè)z=f(x,y)在區(qū)域ccx上可微，又假定x=p(s,t),y=(s,t)在區(qū)域DcR上可微，且以y乘式①,以x乘式②,相加可知類(lèi)似地可推得第二式.由此可導(dǎo)出又(估計(jì)上式最后三項(xiàng))8解答下列命題：(1)設(shè)R2上可微函數(shù)F(x,y)滿(mǎn)足(2)在上題中，改F(x,y)為連續(xù)可微，又條件(ii)改為F(x,y)=h(r),試求F(x,y).(3)設(shè)u=f(r,y,z)在上可微：(ii)若u/x=u/y=u:/z,則u是r的函數(shù).F(r,y)=C-In|x|+In|yl).從而可得，即知，因此，根據(jù)或.這說(shuō)明(2)由條件知，即由此得到，若令此比值為λ(常數(shù)),則有(因?yàn)檫B續(xù)，所以此式對(duì)x=y=0仍真).這說(shuō)明f=f·(-rsinOsinp)+f,·(r再依題設(shè)之比例又有綜上所述，即得所證.9解答下列問(wèn)題：可知g(x,y)=-(-f(x,y))=f(r,..10解答下列問(wèn)題：(1)試求滿(mǎn)足f(x,O)=x,f(0,y)=x的方y(tǒng)的解z=f(x,y).(2)試證明方程(u(x,y)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù))通過(guò)變換E=x+y,=x-y得解u=(x+y)p(x-y)+ψ(x-y).(4)f(x,y)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù).若有試求f(x,y).解：(1)由題設(shè)知(3)令u=F(r,t)/r(即F(r,t)=ru(r,t)),則F,=F+F,,F=F-F,;F",=F"+2F"+F",F"=F"-2F"+F".解：(1)在原式兩端對(duì)x求導(dǎo)，得-1/(1-),器-)(1-)(器≠1).①(3)應(yīng)用歸納法.首先對(duì)z=x+yφ(z)求導(dǎo)，可知②12解答下列問(wèn)題：解：(1)求出一階偏導(dǎo)數(shù)方程組解之可得臨界點(diǎn)直線x=0,2y+3z=a上的點(diǎn)平面y=0上的點(diǎn)平面z=0上的點(diǎn)再看二階偏導(dǎo)數(shù)，有f=2zx3(a-x-6y-3z),f=6xyz2f"=-6a3/7?,f".=-24a?/73.由此可知，在點(diǎn)x.f"=-6a3/7?,f".=-24a?/73.由此可知，在點(diǎn)x.處，其值為從而得到(在點(diǎn)x.處)極值點(diǎn).在點(diǎn)x處，有df=2zx2(a-x-3x)dy2.故在a-x-3z≠0,32≠0,z≠0時(shí)它有確定的符號(hào).這說(shuō)明此時(shí)，f在x.處有極值為0.在點(diǎn)x.處，f的二階微分恒為0,而df=6xy2(a-x-2y)dz3≠0.這說(shuō)明x,不是f的極值點(diǎn).(2)偏導(dǎo)數(shù)方程組為用乘第一式，用乘第二式，相加得并導(dǎo)出bx=ay,ax+by+c=0.注意到式①可求出臨界點(diǎn)x=a/c,y=b/c,c≠0(若c=0,則由推出f無(wú)臨界點(diǎn)).,(,)--(8+2)/(+號(hào)+1)",再求二階偏導(dǎo)數(shù)，可知(記a=2+y2+1,β=ax+by+c)13解答下列問(wèn)題：上的最大值.(2)試確定a值，使得z=3axy-x3-x在(a,a)處達(dá)到極值.解：(1)解偏導(dǎo)數(shù)方程組A=fIx=-8,B=fIx=2,C=fIx=-2,A由此知，f(0,0)是極大值.再看f在D的邊界上的值：對(duì)x=-1,有f(-1,y)=-5-2y-y2≤-3;對(duì)x=4,有f(4,y)=8y-x2.而f(y)是遞增函數(shù)，故f(4,1)=7(2)易知(a,a)為z(x,y)的臨界點(diǎn).根據(jù)A=zlc)=-6a,B=2lca)=3a,C=z(iii)a=0時(shí)，有故(a,a)不是z的極值點(diǎn).14試證明下列不等式：f(x,y)=x(1-x)<e-1((x,y)∈D).證明：(1)對(duì)取定的x?∈(0,1),由故知(x,作為y∈(0,f,(ro,y)=x(1-xo)(1+y·Inr?)=0o)的函數(shù)必達(dá)到最大值，且其最大值點(diǎn)(xo,y)滿(mǎn)足方程f(xo,y)≤f(xo,yo)=-e1(1-也就是說(shuō)，在惟一的點(diǎn)上達(dá)到最大值，=(1-x)+(x-12/2[1+8(x-1)]>1-x(再考察函數(shù)F(x)=-(1-x)/Inx(0<x<1).f(x,y)<e-1(0<x<1,0<y<).故F(x)<1.從而結(jié)合前述結(jié)果，有(2)令由于有f(x,y)≥0以及故f(x,y)可取到最大值.因?yàn)槠珜?dǎo)方程組為注意到在0x軸上，有故又知f(x,0)在點(diǎn)(2,0)處取到最大值.同理可知，點(diǎn)若F(x,y)≤0,則Inx>yF(x,y);若F(x,y)>0,則(1)設(shè)D={(x,y):0<x<1,0<y<1)},且令①(i)f(x,y)≥0(x2+y2≤1.(ii)f(x,y)>0(x2+y2≤1).(i)若最大值點(diǎn)位于D,則命題顯然成立.將上兩式相加，即可得出從而只需指出d≤0,e≤0.根據(jù)題設(shè)可知，從而有d≤-ax.令，又得d≤0.類(lèi)似地可推知e≤0.證畢.(2)(i)反證法.假定則不妨又假定點(diǎn)是f的最小值點(diǎn)(注意，),從而有此外，由式①可知，必有記則點(diǎn)為g(x)的臨界點(diǎn).而根據(jù)可知，點(diǎn)是g(x)的極大值點(diǎn).注意到在(存在)(ii)考察函數(shù)F(x,y)=f(r,y)-e(e2+e).因?yàn)橛蠪=f-ee2,F=f"-ee2,F,=f"-ee°,f(x,y)≥e(e2+e)>0(2+y2≤1).取ε充分小，使得在圓周上F(x,y)>0,則依(i)知，即(3)依題設(shè)知，在點(diǎn)處取到極大值，故同理可推出此外，還有即得所證.F(x,y)≥1(x2+y2=1);F(O,0)≤1.(4)作則有從而可知除非F(x,y)1,否則在D內(nèi)可取到極小值.即有使得這說(shuō)明即得所證.16解答下列問(wèn)題：(1)試求f(x,y,z)=xyz(m>0,n>0,k>0在條件x+y+z=a下的極值，其中r>0,y>0,z>0,a>0.F(x,y,z)=mlnr+nny+klnz+λ(x+y則可得可能的極值點(diǎn)為再看二階微分在點(diǎn)處的值，即得m"n"k*am+n+*/(m+n+k)m+由此知，g隨之f在點(diǎn)處達(dá)到最大值：F(x,y,z)=x2+y2+z2+A(x2/a2+y2/b2+z2/c2-1).(2)作輔助函：又聯(lián)立方程組Ai=-c,X?=(0,0,c);Az=-c,X?=(0,0,As=-a2,X,=(a,0,0);A=-a2,x?=(-a,0As=-B,X?=(0,b,0);Ag=-B,X?=(0,-b易知有解dF=2(1+A/a2)dx2+2(1+A/b2)dy2+2(1dF(X,,A)=2(1-c2/a2)dr2+2(1-c/b2)ddF(X,,A)=2(1-a2/b)dy2+2(1-a2/c)d所以有dF(X,,A)=2(1-b2/c2)dz2<0(dr=0,dzdF(X,a)=2(1-b2/a2)函數(shù)f在點(diǎn)處取極小值在處取極大值；在點(diǎn)處，由于故點(diǎn)不是f的極值點(diǎn).,并解方程組或①的特征值.由于命題的最大值必存在，故定有非零解因此該方程組的行列式必為0.即Ar?+By?+Ca8+2Dy。zo+2Ez?zo+2Froyo-λ(路+y+z)=0.由可知，這是f(x,y,z)在單位球面上的最大值.17解答下列問(wèn)題(用一般極值求法解條件極值):(1)試討論z=f(x,y)在條件(x,y)-下的極值，其中f(x,y),(x,)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù).解：(1)由--:/%可知f?(x,y)p,(x,y)-f,(x,y)p,(x,y)=0,現(xiàn)將極值點(diǎn)滿(mǎn)足的條件寫(xiě)為并使它與聯(lián)立解出點(diǎn)為判定其極值情形，將上述結(jié)果代入式從而知，當(dāng)時(shí)，z取到極小值；當(dāng)時(shí)，z取到極大值.(2)對(duì)條件方程取對(duì)數(shù)：且記，則命題化為：求f(x,y,z)在條件下的極值.采用代入法，化條件極值為一般極值，即從條件中解出z代入f,則f寫(xiě)為求解偏導(dǎo)方程組再求二階偏導(dǎo)，易知(i)在點(diǎn)處，由可知，f無(wú)極值.(ii)在點(diǎn)處，由，以及±[ln(abck)]/(lna)3(lnb)2(In再記，則當(dāng)S<0時(shí)f達(dá)到極小值，當(dāng)S>0時(shí)達(dá)到極大值，其值為18解答下列問(wèn)題：(1)試求橢圓x2+4y2=4上一點(diǎn)，使得此點(diǎn)到直線2x+3y=6的距離最短.(3)試求原點(diǎn)到曲面xyz=1上距離的最近的點(diǎn).(4)試求拋物線s-x與直線x-y-2=0之間的距離.解：(1)注意到點(diǎn)(x,y)到該直線的距離公式為F(x,y)=(2x+3y-6)2/13+A(x2+4y最小值.從而令聯(lián)立方程組得解從而知顯然(8/5,3/5)就是所要求的點(diǎn).F(x,y,z)=d+A(Ar+By+C+D).x=x-λA/2,y=yo-AB/2,z=z-則由可解出代入平面T的方程，可得，因此F(x,y,z)=x+y2+z+λ(ry(3)問(wèn)題歸結(jié)為求在約束條件下的最小值.從而作函數(shù)易得，以及x?=(1,1,1),X?=(-1,-1,1),X=(1,-1,-1),X.=(-1,從而解出因?yàn)?，故點(diǎn)是曲面上到原點(diǎn)距離最近的一點(diǎn).其它點(diǎn)亦然.(4)設(shè)(x,y)是拋物線上一點(diǎn)(即)是直線上一點(diǎn)(即，則此兩點(diǎn)間的距離為從而并解平衡點(diǎn)方程，可知有解：.故知1設(shè)f(x,y)在R2上連續(xù)，試交換下列累次積分的次序：解：(1)積分區(qū)域p.p.如圖15-1所示，有圖15-1(2)整個(gè)積分區(qū)域分成D?與D?,如圖15-2斜線部分所示.圖15-2(2)設(shè)f∈C([0,1]).若有等式證明：(1)由題設(shè)知，對(duì)x≥a有(用Cauchy—Schwarz不等式)(2)令則由題設(shè)知證明：(1)只需指出從而知(相加)根據(jù)f的遞減性，我們有(y-x)[f(x)-f(y)]≥0(0≤r,y≤1).這說(shuō)明2I≥0,即I≥0.(2)令則積分式I可寫(xiě)為再引用不等式即得所證.(3)只需指出更換變量符號(hào)，將I改寫(xiě)為由x,y的對(duì)稱(chēng)性，同樣可得將上兩式相加再除以2,得因?yàn)閒(x),g(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，故上式兩個(gè)方括號(hào)同號(hào)，即上式被積函數(shù)在D上取非負(fù)值，因而有J≥0.4試求下列積分I的值：解：(1)畫(huà)出區(qū)域D的圖(圖15-4),即知D={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤x}.故有oD?={(x,y):2≤x≤8,4-x≤yD?={(x,y):8≤x≤18,-√2x≤y≤是x的奇函數(shù)).以|D?|=|D?|=3/2,|D?I=其中表示的面積.從而有圖15-6(ii)注意到積分的對(duì)稱(chēng)性，易知用曲線分割D為四個(gè)區(qū)域：如圖15-7,有從而得到D.=((r,y):0≤x≤√4-k,x2+k-1U{cx,y):√4-k≤x≤√4-(k-1),x2+k-1≤y將區(qū)域表示為=√4-k+(5-k)(√5-k-√4-k)-[(5-k)?-(4-k)則可求出面積因此最后導(dǎo)致圖15-75解答下列問(wèn)題：(2)求R中由曲面z=xy,x+y+z=1,z=0所圍成的立體體積V.解：(1)易知立體所在區(qū)域Ω為a=((x,y,z):-1≤x≤1,x2≤y≤1,0≤x≤x2+y2).由此知Ω在x0y平面上的投影為D={(x,y):|x|≤1,x2<y≤1).從而得到D={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤1-x}.(2)易知該立體在x0y平面上的投影區(qū)域?yàn)榇送?，曲面xy=z與平面x+y+z=1的交線在x0y平面上的投影為y=(1-x)/(1+x)(x∈R'\-1}).D?={(x,y):0≤x≤1,0≤y≤(1-x)/(D?=《(x,y):0≤x≤1,(1-x)/(1+x)≤y≤1-x}.從而得到6解答下列問(wèn)題(用重積分求解單積分):(2)試求下列積分值(a>0,b>0)(3)試證明不等式不妨假'從而就(2)應(yīng)用公對(duì)于I,I?中的被積函數(shù)，在x=0時(shí)取值定為0,則它們都是連續(xù)函數(shù).從而交換積分次序，得出再作變量替換x=e?,有因此立即推得D?={(x,y):x2+y2≤u2},D?={(x,y):x2+易知I?≤4J2≤I?,以及(作極坐標(biāo)變換)由此即可得證.7試在下列積分I中實(shí)施變量替換：D由y=0,y=x,x+y=1圍成。是以(xi,yi)(i=1,2,3)為頂點(diǎn)的三角形)。(2)令則D變成(3)令將三角形內(nèi)的點(diǎn)表示為從而作變量替換“+0<≥0.其中S是該三角形之面積.(4)令即此時(shí)[J=2,積分區(qū)域D變?yōu)閺亩傻?解答下列問(wèn)題：(1)求由平面z=0,拋物面2z=x2/a2+y/B,以及用球面2+y+(z-c2=c與上述拋物面的交線作準(zhǔn)線的正柱面(a,b,c>0)圍成的立體體積V.(2)求由橢球圍成的立體體積V.(3)求由橢球與圓柱面圍成的立體體積V.(5)已知兩個(gè)球的半徑各為a,b(a>b),且小球球心位于大球球面上，試求小球位于大球內(nèi)的那一部分立體的體積V.(6)求曲面x2+y2+az=4a2將球x2+y2+z2≤4az分成兩部分立體的體積比(a>0).解：(1)易知交線在x0y平面上的投影為曲線且記1所圍平面區(qū)域?yàn)镈,故知其中為求V,顯然應(yīng)采用極坐標(biāo)變換：即令此時(shí)有變成(2)易知此兩曲面的交線在x0y平面上的投影為x2/a2+y2/b2=1/2,記其所圍區(qū)域?yàn)镈,則其中顯然應(yīng)采用極坐標(biāo)變換來(lái)求積分，即令由此可得(3)記曲所圍區(qū)域?yàn)榍矣蓪?duì)稱(chēng)性知只需考察位于第一象限中的D,記為故有其中令則(4)由題設(shè)知該立體為a={(x,y,z):(x,y)∈D,0≤z≤D=((x,y):0≤x≤a,0≤y≤從而可得(用坐標(biāo)變換而且對(duì)上式右端的積分，再作變換則有因此最后得到(5)建立坐標(biāo)系：以小球球心為原點(diǎn)，Oz軸穿過(guò)大球中心線，如圖15-8,則大、小球的方程可各寫(xiě)為x2+y2+(z-a)2=a2,x2+y易知此兩球之交線為它在x0y平面上的投影就是1.記1所圍區(qū)域?yàn)镈,則圖15-8(6)易知該兩曲面的交線為由此知，z=a或z=4a.若z=4a,則得兩曲面的交點(diǎn)(0,0,4a);若z=a,則得兩曲面的交線在x0y平面上的投影曲線為(圖15-9)又知該兩個(gè)曲面在柱坐標(biāo)系下的方程分別是即由此知，拋物面下與球面上所圍成的立體體積為而拋物面上與球面下所圍立體體積v?=V-V(V是球體體積),即最后有圖15-99計(jì)算下列三重積分：(2)設(shè)Ω是由曲面z=(x2+y2)/m,z=(x2+y2)/n;xy=a2,xy=b2;y=ax,y=Bx0<a<b,0<a<β?0<m<n;第一象限)圍成的立體.解：(1)易知應(yīng)采用球坐標(biāo)變換，有(2)作變換u=xy,y=ux,z=z,即此時(shí)J=1/2v>0.從而可得10計(jì)算：解：積分區(qū)域是位于第一象限的邊長(zhǎng)為a的正方形，過(guò)頂點(diǎn)(0,0)和(a,a)的對(duì)角線將它分為兩個(gè)三角形D?(經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,0))和D?.應(yīng)用極坐標(biāo)(r,0),Jacobi式等于和于是(也可用廣義極坐標(biāo)，令x=arcosθ,y=arsine).)11變換下列累次積分的積分順序：+3,以及圓周x2+y2=4圍成，因此D位于第一象限.圓周與x軸(正向)交于(2,0),與y軸(正向)交于(0,2)(也是與直線y=2的交點(diǎn)),直線x=y+3與x軸交于(3,0),與直線y=2交于(5,2).因此方程；于是，13計(jì)算下列二重積分：其積分域Ω是由橢圓所界的域。解：作變換：,則橢圓所圍成的域變?yōu)榍矣?。于是，所求的面積為15試證明下列積分等式：(2)兩端對(duì)x作[0,1]上的積分，再換序得另一方面，設(shè)tant=u,又可得從而有(對(duì)上式作積分)綜合上述結(jié)果，即可得證.16設(shè)f(x,y)在I=(a,b)×(c,d)上連續(xù)，且有(i)在I上存在且連續(xù)；(ii)對(duì)某個(gè)存在；(iii)I上存在且連續(xù)，則在I上存'且有證明：取y?∈(c,d),則對(duì)任意的(x,y)EI,有從而在等式兩端對(duì)y,x求導(dǎo)即可得證.17試證明下列命題：(1)設(shè)F(x,y,z)在a:[a,β]×[c,d]×[a,b]上的最大、最小值為M,m,在Ω上連續(xù)，則(2)設(shè)f(x)是R1上的正值連續(xù)函數(shù).若對(duì)任意的t∈R',,則對(duì)任意的=F(β,d,b)-F(a,d,b)+F(a,c,b)-F(β,c,≤4M-4m=4(M-m).證明：(1)將三重積分換成累次積分，有,則FEC([a,b])且有18解答下列問(wèn)題：解：(1)為求積分值，必須去掉絕對(duì)值，為此令D?=((x,y):f(r,y)≥0},D?從而可得對(duì)積分I?,I作變量替受+4x(3-A)-6m(2))作變量替換α=arctan則直線y+x=π分D為兩個(gè)區(qū)域(圖15-11):D?=((x,y):0≤r≤π,0≤yD?={(x,y):0≤x≤π,π-xD:x+y≥ππ-《+n-v≥π,圖15-11圖15-12D?={(θ,r):sinθ/4≤r≤sin?/2).(4)作替換x=rcosθ,y=rsinθ,則區(qū)域D變?yōu)閮蓚€(gè)區(qū)域：從而(注意對(duì)稱(chēng)性)可知(θ的交點(diǎn)之一為cosθ/4=sinθ/2)19求由下列曲面圍成的立體Ω的體積V:(2)其中=(a?)(i,j=1,2,3是正交矩陣。解：(1)注意到曲面方程中出現(xiàn)分離單變量x,故應(yīng)作變量替換：此時(shí)仍有而原曲面有表示式立體Ω關(guān)于yOz,x0y平面對(duì)稱(chēng)，則有(2)設(shè)A>0(i=1