廣東省深圳市羅湖區(qū)翠園中學(xué)初中部2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年廣東省深圳市羅湖區(qū)翠園中學(xué)初中部九年級(jí)（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）1.的化簡(jiǎn)結(jié)果為（）A.3 B.﹣3 C.±3 D.9【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次根式性質(zhì)直接求解即可．【詳解】解：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，涉及到絕對(duì)值運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．2.下列美麗的圖案，不是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】解：A是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；B不是中心對(duì)稱圖形，符合題意；C是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；D是中心對(duì)稱圖形，不符合題意，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱圖形，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．3.若，則下列式子中正確的是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式兩邊同時(shí)乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（3）不等式兩邊同時(shí)乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等式的方向改變；據(jù)此判斷即可．【詳解】A、由可得，正確，符合題意；B、由可得，錯(cuò)誤，不符合題意；C、由可得，錯(cuò)誤，不符合題意；D、由可得，錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，熟知不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．4.下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（）.（１）a2+2a+4；（２）a2+2a－1；（３）a2+2a＋1；（４）－a2+2a＋1；（５）－a2－2a－1；（６）a2－2a－1.A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)【答案】A【解析】【詳解】解：(1)不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；(2)不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；(3)原式=；(4)不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；(5)原式=；(6)不能用完全平方公式進(jìn)行因式分解；

故選A．5.關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是（）A.﹣2 B.3 C.﹣3 D.2【答案】A【解析】【分析】首先把所給的分式方程化為整式方程，然后根據(jù)分式方程有增根，得到x-1=0，據(jù)此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【詳解】解：去分母，得：x-3=m，由分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，把x=1代入整式方程，可得：m=-2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的增根，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）化分式方程為整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．6.如圖，已知直線y1＝x+m與y2＝kx﹣1相交于點(diǎn)P（﹣1，2），則關(guān)于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)圖象，找出直線y=x+m在直線y=kx-1的下方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可【詳解】解：根據(jù)圖象得,當(dāng)x<-1時(shí)，x+m<kx-1故選D【點(diǎn)睛】此題考查在數(shù)軸上表示不等式的解集和一次函數(shù)與ー元一次不等式，解題關(guān)鍵在于判定函數(shù)圖象的位置關(guān)系7.如圖，平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論中不正確的是（）A.當(dāng)AB＝BC時(shí)，它是菱形B.當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形C.當(dāng)AC＝BD時(shí)，它是矩形D.當(dāng)AC垂直平分BD時(shí)，它是正方形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、∵四邊形ABCD平行四邊形，AB＝BC，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC垂直平分BD，∴四邊形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的應(yīng)用，能正確運(yùn)用判定定理進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵，難度適中．8.下列命題是假命題的是（）A.直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半B.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等C.平行四邊形是中心對(duì)稱圖形D.對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形【答案】D【解析】【分析】利用直角三角形的性質(zhì)、三角形的外心的性質(zhì)、平行四邊形的對(duì)稱性及判定分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，正確，是真命題；

B、三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，正確，是真命題；

C、平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，正確，是真命題；

D、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解直角三角形的性質(zhì)、三角形的外心的性質(zhì)、平行四邊形的對(duì)稱性及判定．9.如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)，∠ACD＝2∠ACB，若DG＝3，EC＝1，則DE的長(zhǎng)為()A.2 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得DG=AG，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到，由三角形外角的性質(zhì)，可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量關(guān)系可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ＣＤ＝ＤＧ，最后由勾股定理解題即可．【詳解】為AF的中點(diǎn)，即DG為斜邊AF的中線，設(shè)在中，根據(jù)勾股定理得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．10.如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點(diǎn)M在CD的邊上，且DM=1，ΔAEM與ΔADM關(guān)于AM所在的直線對(duì)稱，將ΔADM按順時(shí)針方向繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到ΔABF，連接EF，則線段EF的長(zhǎng)為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接BM.證明△AFE≌△AMB得FE=MB，再運(yùn)用勾股定理求出BM的長(zhǎng)即可.【詳解】連接BM，如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AM=AF.∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM與ΔADM關(guān)于AM所在的直線對(duì)稱，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=∴FE=.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)．二、填空題（本題共有5小題，每小題3分，共15分）11.若分式的值為零，則=_______．【答案】-3【解析】【分析】根據(jù)分式的值為零的條件得到|x|-3=0且x-3≠0，解方程即可確定x的值．【詳解】根據(jù)題意得|x|-3=0且x-3≠0，解|x|-3=0得x=3或-3，而x-3≠0，所以x=-3．故答案為-3．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為零的條件：分式的分子為0，分母不為0，則分式的值為0．12.分解因式：a2y﹣4y＝___．【答案】y（a+2）（a﹣2）【解析】【分析】原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：原式＝y(tǒng)（a2﹣4）＝y(tǒng)（a+2）（a﹣2）．故答案為：y（a+2）（a﹣2）．【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．13.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，其中OA＝1，OB＝2，則菱形ABCD的面積為_____．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線之積的一半可得答案．【詳解】解：∵OA＝1，OB＝2，∴AC＝2，BD＝4，∴菱形ABCD的面積為×2×4＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì),關(guān)鍵在于熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí).14.“6l8購(gòu)物節(jié)”前，天貓某品牌服裝旗艦店采購(gòu)了一大批服裝，已知每套服裝進(jìn)價(jià)為240元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為360元，為了避免滯銷庫(kù)存，商店準(zhǔn)備打折銷售，但要保持利潤(rùn)不低于20%，那么至多可打_________折【答案】八．【解析】【分析】設(shè)打了x折，用售價(jià)×折扣-進(jìn)價(jià)得出利潤(rùn)，根據(jù)利潤(rùn)率不低于20%，列不等式求解．【詳解】解：設(shè)打了x折，

由題意得360×0.1x-240≥240×20%，

解得：x≥8．

則要保持利潤(rùn)不低于20%，至多打8折．

故答案為八．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出打折之后的利潤(rùn)，根據(jù)利潤(rùn)率不低于20%，列不等式求解．15.如圖△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BE=4，CD=6，則DE的長(zhǎng)為________．【答案】【解析】【詳解】解：∵AB=AC，∴可把△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AD′B，∴BD′=DC=6，AD′=AD，∠D′AB=∠DAC，∵∠BAC=120°，∠EAD=60°，∴∠BAE+∠DAC=60°，∴∠D′AE=∠D′AB+∠BAE=60°，在△D′AE和△DAE中AD'=AD，∠D'AE=∠DAE，AE=AE，∴△D′AE≌△DAE（SAS），∴D′E=DE，過D′作D'F⊥BE于點(diǎn)F，連接D′F，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠C=∠D′BA=30°，∴∠D′BF=60°，∴∠BD′F=30°，∴BF=BD′=3，D′F=3，∵BE=4，∴FE=BE-BF=1，Rt△D′FE中，由勾股定理可得D′E=，∴ED=．點(diǎn)睛：本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共7小題，共55分）16.（1）解方程：＝；（2）解不等式組：．【答案】（1）x＝﹣2；（2）【解析】【分析】（1）先在方程兩邊同時(shí)乘以2（x+3），去分母變?yōu)檎椒匠毯笤俳庹椒匠碳纯桑⒁猓夥质椒匠桃欢ㄒ獧z驗(yàn)；（2）根據(jù)一元一次不等式的解法分別解出兩個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組的解集的確定方法得到不等式組的解集．【詳解】解：（1）兩邊同時(shí)乘以2（x+3），得：4+3（x+3）＝7，解得:x＝﹣2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，2（x+3）＝2≠0，∴x＝﹣2是原方程的解；（2），解①得，，解②得，，∴不等式組的解集為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解分式方程和解一元一次不等式組，掌握確定不等組的解集的方法：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到是解題的關(guān)鍵，注意，解分式方程一定要檢驗(yàn)．17.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中m＝．【答案】，【解析】【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算順序與運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再將m的值代入計(jì)算可得．【詳解】解：原式=[+]÷=×=，當(dāng)m=時(shí)，原式=，【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．18.如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點(diǎn)△ABC和△DEF（頂點(diǎn)為網(wǎng)格線的交點(diǎn)），以及過格點(diǎn)的直線l．（1）將△ABC向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，畫出平移后的三角形；（2）畫出△DEF關(guān)于直線l對(duì)稱的三角形；（3）填空：∠C+∠F＝．【答案】（1）如圖所示；（2）如圖所示；（3）90°.【解析】【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可．（2）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)分別作出D，E，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′，A'，F(xiàn)′即可．（3）依據(jù)圖中∠F與∠C互余，可得∠C＋∠F＝90°．【詳解】（1）如圖，△A'B'C'即為所求．（2）如圖，△A'D'F'即為所求．（3）由圖可得，∠C＋∠F＝90°．故答案為：90°【點(diǎn)睛】本題考查作圖?軸對(duì)稱變換，平移變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱變換，平移變換的性質(zhì)正確作出圖形．19.如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對(duì)角線，，，，E為AD的中點(diǎn)，連接BE．（1）求證：四邊形BCDE菱形；（2）連接AC，若AC平分，，求AC的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析．（2）．【解析】【分析】（1）先證明四邊形BCDE是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等即可；（2）連接AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等角對(duì)等邊證明AB=1，AD=2，可知，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出是含的特殊三角形，最后根據(jù)勾股定理即可求AC的長(zhǎng)．【小問1詳解】，E為AD的中點(diǎn)，，，∴四邊形BCDE是平行四邊形，，，，∴四邊形BCDE是菱形．【小問2詳解】解：連接AC．，AC平分，，，，，，四邊形BCDE是菱形，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是連接AC構(gòu)造．20.某校為了改善辦公條件，計(jì)劃從廠家購(gòu)買A、B兩種型號(hào)電腦．已知每臺(tái)A種型號(hào)電腦價(jià)格比每臺(tái)B種型號(hào)電腦價(jià)格多0.1萬(wàn)元，且用10萬(wàn)元購(gòu)買A種型號(hào)電腦的數(shù)量與用8萬(wàn)購(gòu)買B種型號(hào)電腦的數(shù)量相同．（1）求A、B兩種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格各為多少萬(wàn)元？（2）學(xué)校預(yù)計(jì)用不多于9.2萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩種電腦共20臺(tái)，其中A種型號(hào)電腦至少要購(gòu)進(jìn)10臺(tái)，請(qǐng)問有哪幾種購(gòu)買方案？【答案】（1）A、B兩種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格分別是0.5萬(wàn)元和0.4萬(wàn)元（2）有3種方案，即：購(gòu)買A種型號(hào)電腦10臺(tái)、購(gòu)買B種型號(hào)電腦10臺(tái)；購(gòu)買A種型號(hào)電腦11臺(tái)、購(gòu)買B種型號(hào)電腦9臺(tái)；購(gòu)買A種型號(hào)電腦12臺(tái)、購(gòu)買B種型號(hào)電腦8臺(tái)【解析】【分析】（1）設(shè)A種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格為x萬(wàn)元，則B種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格（x﹣0.1）萬(wàn)元．根據(jù)“用10萬(wàn)元購(gòu)買A種型號(hào)電腦的數(shù)量與用8萬(wàn)購(gòu)買B種型號(hào)電腦的數(shù)量相同”列出分式方程并解答．（2）設(shè)購(gòu)買A種型號(hào)電腦y臺(tái)，則購(gòu)買B種型號(hào)電腦（20﹣y）臺(tái)．根據(jù)“A種型號(hào)電腦至少要購(gòu)進(jìn)10臺(tái)”、“用不多于9.2萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩種電腦”列不等式解答．【小問1詳解】解：設(shè)A種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格為x萬(wàn)元，則B種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格（x﹣0.1）萬(wàn)元．根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝0.5是原方程的解，x﹣0.1＝0.4，答：A、B兩種型號(hào)電腦每臺(tái)價(jià)格分別是0.5萬(wàn)元和0.4萬(wàn)元．小問2詳解】解：設(shè)購(gòu)買A種型號(hào)電腦y臺(tái)，則購(gòu)買B種型號(hào)電腦（20﹣y）臺(tái)．根據(jù)題意得：0.5y+0.4（20﹣y）≤9.2，解得：y≤12，又∵A種型號(hào)電腦至少要購(gòu)進(jìn)10臺(tái)，∴10≤y≤12，y的整數(shù)解為10、11、12，∴有3種方案．即：購(gòu)買A種型號(hào)電腦10臺(tái)、購(gòu)買B種型號(hào)電腦10臺(tái)；購(gòu)買A種型號(hào)電腦11臺(tái)、購(gòu)買B種型號(hào)電腦9臺(tái)；購(gòu)買A種型號(hào)電腦12臺(tái)、購(gòu)買B種型號(hào)電腦8臺(tái)．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用．分析題意，找到合適的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．21.如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，CM的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F（1）求證：CM=EM；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大??；（3）如圖2，若△DAE≌△CEM，點(diǎn)N為CM的中點(diǎn)，求證：AN∥EM【答案】（1）證明見解析；（2）∠EMF=100°；（3）證明見解析.【解析】【詳解】【分析】（1）在Rt△DCB和Rt△DEB中，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半進(jìn)行證明即可得；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠ABC=40°，根據(jù)CM=MB，可得∠MCB=∠CBM，從而可得∠CMD=2∠CBM，繼而可得∠CME=2∠CBA=80°，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可求得∠EMF的度數(shù)；（3）由△DAE≌△CEM，CM=EM，∠DEA=90°，結(jié)合CM=DM以及已知條件可得△DEM是等邊三角形，從而可得∠EDM=60°，∠MBE=30°，繼而可得∠ACM=75°，連接AM，結(jié)合AE=EM=MB，可推導(dǎo)得出AC=AM，根據(jù)N為CM中點(diǎn)，可得AN⊥CM，再根據(jù)CM⊥EM，即可得出AN∥EM.【詳解】（1）∵M(jìn)為BD中點(diǎn)，Rt△DCB中，MC=BD，Rt△DEB中，EM=BD，∴MC=ME；（2）∵∠BAC=50°，∠ACB=90°，∴∠ABC=90°-50°=40°，∵CM=MB，∴∠MCB=∠CBM，∴∠CMD=∠MCB+∠CBM=2∠CBM，同理，∠DME=2∠EBM，∴∠CME=2∠CBA=80°，∴∠EMF=180°-80°=100°；（3）∵△DAE≌△CEM，CM=EM，∴AE=EM，DE=CM，∠CME=∠DEA=90°，∠ECM=∠ADE，∵CM=EM，∴AE=ED，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴∠ABC=45°，∠ECM=45°，又∵CM=ME=BD=DM，∴DE=EM=DM，∴△DEM是等邊三角形，∴∠EDM=60°，∴∠MBE=30°，∵CM=BM，∴∠BCM=∠CBM，∵∠MCB+∠AC