廣東省深圳市南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)2021-2022學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年廣東省深圳市南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.已知，則的值是（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，用b表示出a，然后代入比例式進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：∵∴∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，用b表示出a是解題的關(guān)鍵．2.如圖，一個水晶球擺件，它是由一個長方體和一個球體組成的幾何體，從正面看到的這個幾何體的形狀圖是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)球從正面看的形狀圖是圓，長方體從正面看的形狀圖是長方形，結(jié)合放置位置判斷即可．【詳解】∵球從正面看的形狀圖是圓，長方體從正面看的形狀圖是長方形，∴從正面看到的這個幾何體的形狀圖是，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了從不同方向看的形狀圖，常見幾何體的不同方向看的形狀圖，熟練掌握形狀圖是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在中，點(diǎn)，分別在，邊上，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式計算即可．【詳解】解：，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4.已知點(diǎn)A(﹣1，y1)，B(2，y2)，C(4，y3)都在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，則下列結(jié)論中正確的是（）A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y3＜y1 C.y1＜y3＜y2 D.y3＜y2＜y1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知y=-的圖象在二、四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，進(jìn)而根據(jù)所在的象限即可判斷的大小關(guān)系【詳解】解：，y=-的圖象在二、四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)A（-1，y1），B（2，y2），C（4，y3）都在反比例函數(shù)y=-的圖象上，∴A在第二象限，B、C在第四象限，∴y1＞0，∵2＜4，∴y2＜y3＜0，∴y2＜y3＜y1，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.設(shè)a，b是方程x2+x﹣2021＝0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A.0 B.1 C.2021 D.2020【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的根的意義求得的值，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得的值，將化為，進(jìn)而代入求解即可．【詳解】a，b是方程x2+x﹣2021＝0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的意義，根與系數(shù)的關(guān)系，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解．6.在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個，能讓燈泡L1發(fā)光的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與能讓燈泡L1發(fā)光的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，能讓燈泡L1發(fā)光的有2種情況，∴能讓燈泡L1發(fā)光的概率為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7.菱形的一個內(nèi)角是，邊長是，則這個菱形的較短的對角線長是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的四邊相等和一個內(nèi)角是60°，可判斷較短對角線與兩邊組成等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求較短的對角線長．【詳解】解：因?yàn)榱庑蔚乃倪呄嗟?，?dāng)一個內(nèi)角是60°，則較短對角線與兩邊組成等邊三角形．∵菱形的邊長是，∴這個菱形的較短的對角線長是3cm．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形四邊都相等性質(zhì)及等邊三角形的判定，解題關(guān)鍵是判斷出較短對角線與兩邊構(gòu)成等邊三角形．8.如圖，在長為32米、寬為12米的矩形地面上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分）余下部分鋪設(shè)草坪，要使得草坪的面積為300平方米，則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將每條道路平移到矩形的一邊處，表示出新矩形的長和寬，利用矩形的面積的計算方法得到方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：；

故答案為：．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程及矩形和平行四邊形的面積的求解，將每條道路平移到矩形的一邊處，表示出新矩形的長和寬是解本題的關(guān)鍵．9.如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝6，BC＝8，過點(diǎn)O作OM⊥AC，交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥BD，垂足為N，則OM+MN的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)可得AO＝CO＝BO＝DO＝5，由三角形的面積和差關(guān)系可求解．【詳解】解：∵AB＝6，BC＝8，∴AC10，∵四邊形ABCD是矩形，∴AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD＝10，∴AO＝CO＝BO＝DO＝5，∵S△ABCAB×BC＝24，∴S△BOC＝12，∵S△BOC＝S△BOM+S△COM，∴125×MN5×OM，∴OM+MN，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積關(guān)系，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，點(diǎn)F在射線AM上，且AF＝，過點(diǎn)F作AD的平行線交BA的延長線于點(diǎn)H，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC、EG、EF．下列結(jié)論：①CG＝；②AEG的周長為8；③EGF的面積為．其中正確的是（）A.①②③ B.①③ C.①② D.②③【答案】D【解析】【分析】先判斷出∠H＝90°，進(jìn)而求出AH＝HF＝1＝BE．進(jìn)而判斷出△EHF≌△CBE（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判斷出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，求出S△ECF，先判斷出四邊形APFH是矩形，進(jìn)而判斷出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PF＝AH＝1，同理：四邊形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，F(xiàn)Q＝5，CQ＝3，再判斷出△FPG∽△FQC，得出，求出PG，再根據(jù)勾股定理求得EG，即△AEG的周長為8，判斷出②正確；先求出DG，進(jìn)而在Rt△CDG中，根據(jù)勾股定理得，CG，故①錯誤，用S△ECG＝S正方形ABCD﹣S△AEG﹣S△EBC﹣S△GDC求出面積，進(jìn)而求出S△EGF＝S△ECF﹣S△ECG，故③正確．【詳解】解：如圖，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，∴∠HAD＝90°，∵HF∥AD，∴∠H＝90°，∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，∴∠AFH＝∠HAF．∵AF，∴AH＝HF＝1＝BE．∴AE＝3，EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，∴△EHF≌△CBE（SAS），∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴HEF+∠BEC＝90°，∴∠FEC＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，∴EC2＝BE2+BC2＝17，∴S△ECFEF?ECEC2，過點(diǎn)F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，∴四邊形APFH是矩形，∵AH＝HF，∴矩形AHFP是正方形，∴AP＝PF＝AH＝1，同理：四邊形ABQP是矩形，∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP＝1，F(xiàn)Q＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，∵AD∥BC，∴△FPG∽△FQC，∴，∴，∴PG，∴AG＝AP+PG，∴DG＝AD﹣AG＝4，在Rt△EAG中，根據(jù)勾股定理得，EG，∴△AEG的周長為AG+EG+AE3＝8，故②正確；在Rt△CDG中，根據(jù)勾股定理得，CG，故①錯誤；∵S△ECG＝S正方形ABCD﹣S△AEG﹣S△EBC﹣S△GDC＝AD2AG?AEGD?DCEB?BC＝42341×4，∴S△EGF＝S△ECF﹣S△ECG，故③正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)和判斷，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求出AG是解本題的關(guān)鍵．二、填空題11.一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．【答案】x1=0，x2=1【解析】【分析】方程左邊分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解．【詳解】方程變形得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故答案為x1=0，x2=1．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵．12.如圖，在長為8的線段上，作如下操作：經(jīng)過點(diǎn)作，使得；連接，在上截?。辉谏辖厝?，則的長為______．【答案】【解析】【分析】由=8，，可求，由，在Rt△ABC中,根據(jù)線段和差A(yù)E=AC-CE=即可．【詳解】解：∵=8，∴∵，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中,∴AE=AC-CE=AC-BC=∴AD=AE=，故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，線段和差倍分，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．13.已知x＝1是關(guān)于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一個根，則另一個根是___．【答案】﹣3【解析】【分析】把x＝1代入方程ax2﹣2x+3＝0求得a＝﹣1，設(shè)方程另一個根為x2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出1×x2＝﹣3，解之可得答案．【詳解】解：∵x＝1是關(guān)于x的方程ax2﹣2x+3＝0的一個根，∴a﹣2+3＝0，∴a＝﹣1，設(shè)方程的另一個根為x2，根據(jù)題意，得：1×x23，解得：x2＝﹣3，即方程的另一個根為﹣3，故答案為：﹣3．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2，x1x2．14.如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且軸于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，則的面積為______．【答案】【解析】【分析】由題意可設(shè)點(diǎn)，進(jìn)而可得，△ABD的高為點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，然后問題可求解．【詳解】解：由題意可設(shè)點(diǎn)，則有：∴，∵△ABD的高為點(diǎn)D的到AB的距離，，∴△ABD的高為點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何的綜合，熟練掌握反比例函數(shù)與幾何的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15.平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個動點(diǎn)，當(dāng)是等腰三角形時，點(diǎn)的坐標(biāo)為__．【答案】或或或．【解析】【分析】分四種情況討論，①當(dāng)時，②當(dāng)時，作于，③當(dāng)時，作于，當(dāng)時，作于，再利用勾股定理進(jìn)行計算，從而可得答案.【詳解】解：點(diǎn)，點(diǎn)，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，是等腰三角形，①當(dāng)時，由勾股定理可以求得，②當(dāng)時，作于，則四邊形是矩形，；③當(dāng)時，作于，同理可得：由勾股定理，得，，；當(dāng)時，作于，同理可得：由勾股定理，得，，．，，，．故答案為：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查是矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的定義與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，坐標(biāo)與圖形，清晰的分類討論是解題的關(guān)鍵.三．解答題16.解下列方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）2x2﹣5x+1＝0．【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；（2）x1，x2．【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【詳解】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，則（x﹣5）（x+1）＝0，則x﹣5＝0或x+1＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1；（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，∴x，∴x1，x2．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．17.如圖，已知A(﹣4，n)，B(3，﹣4)是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）結(jié)合圖象，直接寫出不等式kx+b﹣＜0的解集．【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為；一次函數(shù)解析式為；（2）或【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求得反比例函數(shù)解析式，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得的值，進(jìn)而根據(jù)的坐標(biāo)待定系數(shù)法求解析式即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖像的交點(diǎn)，直接寫出一次函數(shù)在反比例函數(shù)圖象下方的自變量的范圍即可【詳解】解：（1）根據(jù)題意，將代入，解得則反比例函數(shù)的解析式為將點(diǎn)代入，即，解得則點(diǎn)將點(diǎn),代入即解得一次函數(shù)解析式為（2）,是一次函數(shù)y＝kx+b的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點(diǎn)，觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時，kx+b﹣＜0kx+b﹣＜0的解集為或【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求不等式的解集，掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.某學(xué)校為了解全校學(xué)生對電視節(jié)目（新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲）的喜愛情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并把調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據(jù)以上信息，解答下列問題（1）這次被調(diào)查的學(xué)生共有多少名？（2）請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；（3）若該校有3000名學(xué)生，估計全校學(xué)生中喜歡體育節(jié)目的約有多少名？（4）該校宣傳部需要宣傳干事，現(xiàn)決定從喜歡新聞節(jié)目的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選取2名，用樹狀圖或列表法求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率．【答案】（1）50名；（2）見解析；（3）600名；（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)動畫類人數(shù)及其百分比求得總?cè)藬?shù)；（2）總?cè)藬?shù)減去其他類型人數(shù)可得體育類人數(shù)，據(jù)此補(bǔ)全圖形即可；（3）用樣本估計總體的思想解決問題；（4）根據(jù)題意先畫出列表，得出所有情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．【詳解】解：（1）這次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為（名；（2）喜愛“體育”的人數(shù)為（名，補(bǔ)全圖形如下：（3）估計全校學(xué)生中喜歡體育節(jié)目約有（名；（4）列表如下：甲乙丙丁甲（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙）?。?，丁）（乙，?。ū?，丁）所有等可能的結(jié)果為12種，恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的有2種結(jié)果，所以恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小．19.如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形和菱形的判定證明即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可．【詳解】解：（1）證明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，∴AE＝CE＝BC，∴四邊形AECD是菱形；（2）過A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝，∵，∴AH＝，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC＝10，四邊形AECD是菱形，∴CD＝CE＝5，∵S?AECD＝CE?AH＝CD?EF，∴EF＝AH＝．【點(diǎn)睛】此題考查菱形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形和菱形的判定和性質(zhì)解答．20.今年是我國脫貧勝利年，我國在扶貧方面取得了巨大的成就，技術(shù)扶貧也使得我省某縣的一個電子器件廠脫貧扭虧為盈．該電子器件廠生產(chǎn)一種電腦顯卡，2019年該類電腦顯卡的出廠價是200元/個，2020年，2021年連續(xù)兩年在技術(shù)扶貧的幫助下改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2021年該電腦顯卡的出廠價調(diào)整為162元/個．（1）這兩年此類電腦顯卡出廠價下降的百分率相同，則平均每年下降的百分率是；（2）2021年某賽格電腦城以出廠價購進(jìn)若干個此類電腦顯卡，以200元/個銷售時，平均每天可銷售20個．為了減少庫存，商場決定降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低5元，每天可多售出10個，如果每天盈利1150元，單價應(yīng)降低多少元？【答案】（1）10%（2）單價應(yīng)降低15元【解析】【分析】（1）設(shè)平均下降率為x，利用2021年該類電腦顯卡的出廠價=2019年該類電腦顯卡的出廠價×(1-下降率)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)單價應(yīng)降低m元，則每個的銷售利潤為（38-m）元，每天可售出（20+2m）個，利用每天銷售該電腦顯卡獲得的利潤=每個的銷售利潤×日銷售量，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：設(shè)平均下降率為x，依題意得：，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合題意，舍去）．答：平均下降率為10%．故答案為：10%．【小問2詳解】設(shè)單價應(yīng)降低m元，則每個的銷售利潤為（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）個，依題意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，整理得：，解得：m1＝15，m2＝13．∵要減少庫存，∴m＝15．答：單價應(yīng)