遼寧省朝陽市重點高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024—2025學(xué)年高一上學(xué)期十二月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列舉出集合B中的元素，由并集的定義求.【詳解】集合，，則.故選：C.2.命題:“，”的否定為（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可得到結(jié)果.【詳解】因為原命題為全稱命題，根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，并且需要否定結(jié)論，所以原命題“，”的否定為“，”，故選：D.3.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)逐個判斷即可.【詳解】對于AC，當(dāng)時，AC顯然錯誤；對于B，取滿足，顯然，顯然不成立，故錯誤；對于D，由，因為，所以，所以，故D正確.故選：D4.下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）①與；②與；③與；④與.A.①② B.③④ C.②④ D.①④【答案】C【解析】【分析】整理函數(shù)解析式并求其定義域，逐項進(jìn)行比較，可得答案.【詳解】對于①，由函數(shù)可得，解得，則其定義域為，由函數(shù)可得，解得，則其定義域為，故①不符合題意；對于②，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，故②符合題意；對于③，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，故③不符合題意；對于④，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，故④符合題意.故選：C5.命題“”為真命題的一個必要不充分條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由存在量詞命題為真求得的范圍，再根據(jù)“必要不充分條件”即可確定選項.【詳解】由，可得在上能成立，因，故得.由題意知，是選項的范圍的真子集即可.故選：D.6.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最大值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先解含參數(shù)的一元二次不等式得到和的值，再代入中，結(jié)合均值不等式求解最值即可.【詳解】不等式可化，因為，所以，所以不等式的解集為，所以，，則，因為，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以.故選：D．7.設(shè)，，，則a，b，c的大小順序是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因為，，，又因為在上單調(diào)遞增，所以，即，因為，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上：.故選：D.8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且對任意，有，當(dāng)時，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.B.C.函數(shù)有3個零點D.當(dāng)時，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性和奇偶性，可得的周期可判斷A；根據(jù)解析式及周期，代入數(shù)據(jù)可判斷B；分別作出和y=fx的圖象可判斷C；根據(jù)函數(shù)周期及奇偶性，化簡整理，可判斷D.【詳解】對于A，因為，且為偶函數(shù)，所以，即4是的一個周期，故A正確；對于B，由4是的一個周期，知，，所以，故B錯誤；對于C，令，可得，作函數(shù)和y=fx的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個函數(shù)圖象有3個交點，故C正確；對于D，當(dāng)時，，則，故D正確．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.方程組的解集是B.若集合中只有一個元素，則C.“”是“一元二次方程有一正一負(fù)根”的充要條件D.已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為4【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)一元一次方程組的解是有序數(shù)對可判斷A；對參數(shù)是否為零進(jìn)行分類討論可得或可判斷B；利用韋達(dá)定理可判斷C；由可得是集合的子集可判斷D.【詳解】對于A，因為，解得，所以解集為，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，解得，此時集合，滿足題意；當(dāng)時，需滿足，可得，因此或，故B錯誤；對于C，由可知一元二次方程的判別式，即該方程有兩根，且兩根之積，即兩根異號，所以充分性成立；若一元二次方程有一正一負(fù)根，可知兩根之積為負(fù)，即，也即，所以必要性成立，故C正確；對于D，由可知是集合的子集，所以集合可以是，，，共4個，故D正確.故選：CD.10.已知正數(shù)，滿足，下列說法正確的是（）A.的最大值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式及“1”的妙用逐項求解判斷即可.【詳解】正數(shù)，滿足，對于A，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，A錯誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，D正確.故選：BCD11.對于函數(shù)下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，的最小值為0B.當(dāng)時，存在最小值C.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增D.的零點個數(shù)為，則函數(shù)的值域為【答案】AD【解析】【分析】對于A，寫出此時函數(shù)解析式，得到當(dāng)時，取得最小值，最小值為0；對于B，舉出反例；對于C，兩分段均單調(diào)遞增，但端點處，左端點的函數(shù)值不一定小于右端點的函數(shù)值，故③錯誤；對于D，分類討論，結(jié)合零點存在性定理得到函數(shù)的值域為.【詳解】選項A：時，，又因為，，故函數(shù)最小值為0（當(dāng)x=0時取到），選項正確；選項B：不妨設(shè)，此時，當(dāng)時，當(dāng)時，故，此時函數(shù)不存在最小值，選項錯誤；選項C：在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，故當(dāng)時，在R上不單調(diào)遞增，選項錯誤；選項D：在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，設(shè)，顯然單調(diào)遞增，又t?1<0,t?12>0當(dāng)時，無解，即在上無零點，此時有兩個零點，0和，故此時，當(dāng)時，在上有1個零點，此時有兩個零點，0和，故此時，當(dāng)時，，由A知，此時有1個零點，即，當(dāng)時，在上無零點，在上也無零點，此時，則函數(shù)的值域為，選項正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】分和兩種情況討論，當(dāng)時只需即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，符合題意，所以；當(dāng)，只需，解得，綜上實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.13.函數(shù)y=fx是上的增函數(shù)，且y=fx的圖象經(jīng)過點和，則不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性性和經(jīng)過和，確定自變量取值范圍，再解不等式即可.【詳解】因為y=fx的圖象經(jīng)過點和，所以，.又，所以，即．因為函數(shù)y=fx是上的增函數(shù)，所以，即2x?1>?22x?1<1，即x>?1所以，故答案為：.14.已知函數(shù)若，則函數(shù)的零點個數(shù)為______；若函數(shù)的最小值為a，則實數(shù)a的值為______.【答案】①.1②.或【解析】【分析】討論與0，1的大小關(guān)系，判斷在和兩區(qū)間和上的單調(diào)性與最小值，根據(jù)的最小值列方程求出答案．【詳解】（1）當(dāng)時，fx=當(dāng)時，由，得，解得，當(dāng)時，由，得，，無解，所以函數(shù)的零點為，即函數(shù)y=fx的零點個數(shù)為1；（2）①若，即時，則fx=a+1所以在上單調(diào)遞減，最小值為；在上的最小值為．因為函數(shù)最小值為，所以．②當(dāng)，即時，則，所以在上先減后增，最小值為；在上的最小值為．因為函數(shù)最小值為，所以，解得，不合題意，舍去．③當(dāng)，即時，則，所以在上先減后增，最小值為；在上的最小值為．因為函數(shù)最小值為，所以，解得或（舍去）．綜上可得或.故答案為：1；或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由分段函數(shù)求參數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是討論與0，1的大小關(guān)系，判斷在和兩區(qū)間和上的單調(diào)性與最小值．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)集合，.（1）若，求；；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出集合和集合的取值，再根據(jù)集合的運算求出結(jié)果；（2）根據(jù)“”是“”的充分不必要條件，得到是的真子集，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，，，所以，或，則或x>6=x|x≠6【小問2詳解】因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集，對于集合，不等式，即，解得，所以，因為是B的真子集，，所以m-1>-1m+1<6，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.16.某國產(chǎn)車企業(yè)在自動駕駛技術(shù)方面日益成熟，近期擬推出一款高階智駕新車型，并決定大量投放市場.已知該車型年固定研發(fā)成本為3000萬元，每生產(chǎn)百輛，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每輛車的售價為9萬元，且生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.（1）求出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售量×售價成本）（2）年產(chǎn)量為多少百輛時，該企業(yè)所獲年利潤最大？并求出最大年利潤.【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為百輛時，該企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為萬元.【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤=銷售量×售價成本，即可得利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別根據(jù)配方法和基本不等式求出每段函數(shù)的最大值，再比較大小即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，.綜上所述，【小問2詳解】當(dāng)時，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以當(dāng)時，.所以當(dāng)，即當(dāng)年產(chǎn)量為百輛時，該企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為萬元.17.已知，函數(shù)是奇函數(shù)，.（1）求實數(shù)a的值；（2）若，，使得，求實數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，建立方程，結(jié)合對數(shù)運算，經(jīng)過驗根，可得答案；（2）整理是函數(shù)解析式，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，求得函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的最小值，由題意化簡不等式，可得答案.【小問1詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)，則，可得，，，解得，由，則，當(dāng)時，，可得，，解得，所以函數(shù)的定義域為，經(jīng)檢驗，符合題意.【小問2詳解】由函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值；由函數(shù)，且當(dāng)時，，則在上的最小值.由，，使得，則，即，解得.18.已知函數(shù).（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）判斷的奇偶性，并求在區(qū)間上的值域；（3）解不等式.【答案】（1）在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明見解析（2）為奇函數(shù)，理由見解析，在區(qū)間的值域為；（3）【解析】分析】（1）定義法判斷函數(shù)單調(diào)性步驟，取點，作差，變形判號，下結(jié)論；（2）由題可得函數(shù)的定義域，并得到，可判斷函數(shù)的奇偶性，并根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)值域；（3）先根據(jù)定義域得到，分和兩種情況，變形得到和mm+2m2?m?1>0，標(biāo)根法求出不等式的解集，得到答案.【小問1詳解】在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，因為，且，所以，故，所以，故在區(qū)間上的單調(diào)遞增；【小問2詳解】為奇函數(shù)，理由如下：的定義域為，，故為奇函數(shù)，由于在區(qū)間上的單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，，故在上值域為；【小問3詳解】的定義域為，令，解得，由得，當(dāng)，即時，可得，整理得，所以，所以，所以，其中的根為或，由數(shù)軸標(biāo)根法得到不等式解為或，又，所以或，當(dāng)，即或時，由得，所以mm+2其中的根為或，同理得到不等式解為或或，又或，所以或，故不等式的解為19.已知函數(shù)對一切實數(shù)，，都有成立，且，.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）若關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題目中的等式，利用賦值法，整理方程，可得答案（2）由（1）的結(jié)果，利用賦值法整理等式，結(jié)合題意，可得答案；（3）利用換元法整理方程并構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)分類討論研究新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，