2024-2025學(xué)年江蘇省徐州市銅山區(qū)高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省徐州市銅山區(qū)高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)研試卷一、單選題1．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則等于（

）A．5 B．4 C．3 D．2【正確答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：D2．在三棱柱中，為中點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的是（）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得解.【詳解】如圖所示，在三棱柱中，，，依題意，故選：A.3．已知直線l的方向向量，平面的一個(gè)法向量為，若直線l在平面內(nèi)，則的值是（

）A． B． C．2 D．16【正確答案】A【分析】根據(jù)法向量的定義，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量垂直，即可列式求解.【詳解】由條件可知，，得.故選：A4．等比數(shù)列中，，則（

）A．4 B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，所以，所?故選：B.5．已知空間向量，，，，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)已知可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可得答案.【詳解】∵與垂直，∴，∴，所以，因?yàn)?，所?故選：D.6．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用，結(jié)合已知變形構(gòu)造數(shù)列，求出，進(jìn)而求出即可判斷得解.【詳解】數(shù)列中，由，得，整理得，則，數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，于是，即，而滿足上式，因此，，，ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C7．如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面【正確答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明，逐項(xiàng)分析、判斷作答.【詳解】在正四棱柱中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則，，，對于A，顯然與不共線，即與不平行，A不正確；對于B，因，則，即，B正確；對于C，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，因此與不垂直，即不平行于平面，C不正確；對于D，由選項(xiàng)C知，與不共線，即不垂直于平面，D不正確.故選：B8．已知數(shù)列滿足，記數(shù)列前項(xiàng)為，若對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】先求得，利用裂項(xiàng)求和法求得，根據(jù)單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】依題意，數(shù)列滿足，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，由于是單調(diào)遞增數(shù)列，而對于任意，不等式恒成立，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：C二、多選題9．設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．與均為的最大值 D．為的最小值【正確答案】AC【分析】由已知可得公差，進(jìn)而由與的關(guān)系可得，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確；因?yàn)槭堑炔顢?shù)列且，所以公差，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，又因?yàn)槭堑炔顢?shù)列且，所以與均為的最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．已知空間中三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．與夾角的余弦值是 D．平面的一個(gè)法向量是【正確答案】AC【分析】A：利用共線向量定義進(jìn)行判斷；B：與同向的單位向量；C：利用向量夾角余弦公式判斷；D：設(shè)平面的法向量為，則，由此能求出結(jié)果．【詳解】對于A：，與不是共線向量，故A錯(cuò)誤；對于B：，則與同向的單位向量是，故B正確；對于C：，∴，故C錯(cuò)誤；對于D：，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，故D正確．故選：AC．11．已知數(shù)列滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列的C．?dāng)?shù)列的前7項(xiàng)為負(fù)數(shù)D．?dāng)?shù)列最大項(xiàng)的值為【正確答案】ABD【分析】利用等比數(shù)列的定義結(jié)合條件等式變形可判定A，從而求出通項(xiàng)公式判斷BC，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷D.【詳解】根據(jù)，可知是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，故A正確；則有，所以，故B正確，C錯(cuò)誤；不妨設(shè)最大項(xiàng)為，則，即，解之得，即最大項(xiàng)為，故D正確.故選：ABD三、填空題12．已知，則．【正確答案】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)椋?故答案為.13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且成等比數(shù)列，則.【正確答案】0【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)求得，然后由等差數(shù)列前項(xiàng)公式計(jì)算．【詳解】因?yàn)楣睿页傻缺葦?shù)列，所以，即，解得，所以．故014．已知空間向量，，且與夾角的余弦值為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意和投影向量的概念計(jì)算即可求解.【詳解】，，與夾角的余弦值為，在上的投影向量為.故選：D．四、解答題15．已知正方體（1）求出對角線AC1（2）求出平面的一個(gè)法向量．16．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前100項(xiàng)和.【正確答案】(1)(2)200【分析】（1）設(shè)出公差，根據(jù)題目條件得到方程組，求出首項(xiàng)和公差，得到通項(xiàng)公式；（2）求出，利用分組求和公式得到答案.【詳解】（1）設(shè)公差為d，結(jié)合題設(shè)有，解得，則故的通項(xiàng)公式為.（2），所以.17．已知數(shù)列滿足：，.(1)若，求證：為等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)，即可得到，從而得證；（2）由（1）可得，從而得到，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，，又，所以是以為首?xiàng)，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）可得，則，所以，所以.18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，E為PC上一點(diǎn)，且．(1)求證：平面PBC；(2)求證：平面BDE．【正確答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，證明，，原題即得證；（2）設(shè)平面BDE的法向量為，證明即得證.【詳解】（1）證明：如圖，以A為原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以，，即，，又因?yàn)?，平面PBC．所以平面PBC．（2）證明：由（1）可得，，．設(shè)平面BDE的法向量為，則，即令，得，，則是平面BDE的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫鍮DE，所以平面BDE．19．已知數(shù)列滿足，對任意正整數(shù)、都有.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)在（2）中的，設(shè)，求數(shù)列中最小項(xiàng)的值.【正確答案】(1)(2).(3)【分析】（1）直接給賦值得到一個(gè)等比數(shù)列的關(guān)系式，求出的通項(xiàng)；（2）通過和前項(xiàng)和之間的關(guān)系求解通項(xiàng)即可；（3）通過判斷數(shù)列的單調(diào)性，確定最大值的