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文檔簡介
北京市第四中學(xué)2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),,若,對(duì)任意恒有,在區(qū)間上有且只有一個(gè)使,則的最大值為()A. B. C. D.2.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.3.已知命題:R,;命題:R,,則下列命題中為真命題的是()A. B. C. D.4.已知實(shí)數(shù)滿足線性約束條件,則的取值范圍為()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]5.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)(其中),求得的回歸方程是,則下列說法正確的是()A.至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上B.若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上,則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C.對(duì)所有的解釋變量(),的值一定與有誤差D.若回歸直線的斜率,則變量x與y正相關(guān)6.已知函數(shù),給出下列四個(gè)結(jié)論:①函數(shù)的值域是;②函數(shù)為奇函數(shù);③函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減;④若對(duì)任意,都有成立,則的最小值為;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.7.若的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為()A.85 B.84 C.57 D.568.已知集合,則等于()A. B. C. D.9.已知數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,設(shè),,則當(dāng)時(shí),的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.1110.設(shè)m,n為直線,、為平面,則的一個(gè)充分條件可以是()A.,, B.,C., D.,11.某幾何體的三視圖如圖所示,其俯視圖是由一個(gè)半圓與其直徑組成的圖形,則此幾何體的體積是()A. B. C. D.12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn),連接與y軸交于點(diǎn)M,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和且,設(shè),則的值等于_______________.14.在中,為定長,,若的面積的最大值為,則邊的長為____________.15.如圖,在△ABC中,AB=4,D是AB的中點(diǎn),E在邊AC上,AE=2EC,CD與BE交于點(diǎn)O,若OB=OC,則△ABC面積的最大值為_______.16.函數(shù)的最小正周期為________;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)一年之計(jì)在于春,一日之計(jì)在于晨,春天是播種的季節(jié),是希望的開端.某種植戶對(duì)一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種,每個(gè)坑播3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)每一個(gè)坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種,否則要補(bǔ)播種.(1)當(dāng)取何值時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大?最大概率為多少?(2)當(dāng)時(shí),用表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.18.(12分)秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念,為推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展,有必要調(diào)查研究新能源汽車市場的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量(單位:萬臺(tái))按季度(一年四個(gè)季度)統(tǒng)計(jì)制成的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中的值,并估計(jì)銷量的中位數(shù);(2)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量(同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表),并以此預(yù)計(jì)年的銷售量.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)設(shè),且當(dāng)時(shí),不等式有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=x(1)討論fx(2)當(dāng)x≥-1時(shí),fx+a21.(12分)已知橢圓:(),與軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點(diǎn),連接,并延長交直線于,兩點(diǎn),已知,求證:直線恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo).22.(10分)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極坐標(biāo)系的極點(diǎn),軸的正半軸為極軸.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,是上一動(dòng)點(diǎn),,點(diǎn)的軌跡為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程,并化為直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn),直線的參數(shù)方程(為參數(shù)),直線與曲線的交點(diǎn)為,當(dāng)取最小值時(shí),求直線的普通方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)的零點(diǎn)和最值點(diǎn)列方程組,求得的表達(dá)式(用表示),根據(jù)在上有且只有一個(gè)最大值,求得的取值范圍,求得對(duì)應(yīng)的取值范圍,由為整數(shù)對(duì)的取值進(jìn)行驗(yàn)證,由此求得的最大值.【詳解】由題意知,則其中,.又在上有且只有一個(gè)最大值,所以,得,即,所以,又,因此.①當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;②當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)或時(shí),都成立,舍去;③當(dāng)時(shí),,此時(shí)取可使成立,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),成立;綜上所得的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點(diǎn)和最值,考查三角函數(shù)的性質(zhì),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.2、D【解析】
利用直線與圓相交求出實(shí)數(shù)的取值范圍,然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交,則,解得.因此,所求概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率的計(jì)算,同時(shí)也考查了利用直線與圓相交求參數(shù),考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
根據(jù),可知命題的真假,然后對(duì)取值,可得命題的真假,最后根據(jù)真值表,可得結(jié)果.【詳解】對(duì)命題:可知,所以R,故命題為假命題命題:取,可知所以R,故命題為真命題所以為真命題故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用,識(shí)記真值表,屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】
作出可行域,表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率,觀察可行域可得最小值.【詳解】作出可行域,如圖陰影部分(含邊界),表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率,,,過與直線平行的直線斜率為-1,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的非線性規(guī)劃.解題關(guān)鍵是理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,本題表示動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率,由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論.5、D【解析】
對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn),但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上﹐故A錯(cuò)誤;所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上,則變量間的相關(guān)系數(shù)為,故B錯(cuò)誤;若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上,則的值與相等,故C錯(cuò)誤;相關(guān)系數(shù)r與符號(hào)相同,若回歸直線的斜率,則,樣本點(diǎn)分布應(yīng)從左到右是上升的,則變量x與y正相關(guān),故D正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6、C【解析】
化的解析式為可判斷①,求出的解析式可判斷②,由得,結(jié)合正弦函數(shù)得圖象即可判斷③,由得可判斷④.【詳解】由題意,,所以,故①正確;為偶函數(shù),故②錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,故③正確;若對(duì)任意,都有成立,則為最小值點(diǎn),為最大值點(diǎn),則的最小值為,故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的綜合運(yùn)用,涉及到函數(shù)的值域、函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)奇偶性及函數(shù)最值等內(nèi)容,是一道較為綜合的問題.7、A【解析】
先求,再確定展開式中的有理項(xiàng),最后求系數(shù)之和.【詳解】解:的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256故,要求展開式中的有理項(xiàng),則則二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)系數(shù)之和為:故選:A【點(diǎn)睛】考查二項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)及展開式中有理項(xiàng)系數(shù)的確定,基礎(chǔ)題.8、C【解析】
先化簡集合A,再與集合B求交集.【詳解】因?yàn)椋?,所?故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)題意計(jì)算,,,解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,∴.∵是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴.∴.∵,∴,解得.則當(dāng)時(shí),的最大值是9.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,f分組求和,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.10、B【解析】
根據(jù)線面垂直的判斷方法對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng),,時(shí),由于不在平面內(nèi),故無法得出.對(duì)于B選項(xiàng),由于,,所以.故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng),時(shí),可能含于平面,故無法得出.對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng),時(shí),無法得出.綜上所述,的一個(gè)充分條件是“,”故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直的判斷,考查充分必要條件的理解,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】由三視圖可知,該幾何體是下部是半徑為2,高為1的圓柱的一半,上部為底面半徑為2,高為2的圓錐的一半,所以,半圓柱的體積為,上部半圓錐的體積為,所以該幾何體的體積為,故應(yīng)選.12、C【解析】
利用三角形與相似得,結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系,從而求得雙曲線的漸近線方程?!驹斀狻吭O(shè),,由,與相似,所以,即,又因?yàn)椋?,,所以,即,,所以雙曲線C的漸近線方程為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、7【解析】
根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),,可得,進(jìn)而得數(shù)列為等比數(shù)列,再計(jì)算可得,進(jìn)而可得結(jié)論.【詳解】由題意,當(dāng)時(shí),,又,解得,當(dāng)時(shí),由,所以,,即,故數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,故,又,,所以,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、函數(shù)求值,考查了推理能力與計(jì)算能力,計(jì)算得是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.14、【解析】
設(shè),以為原點(diǎn),為軸建系,則,,設(shè),,,利用求向量模的公式,可得,根據(jù)三角形面積公式進(jìn)一步求出的值即為所求.【詳解】解:設(shè),以為原點(diǎn),為軸建系,則,,設(shè),,則,即,由,可得.則.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算,建系是關(guān)鍵,屬于難題.15、【解析】
先根據(jù)點(diǎn)共線得到,從而得到O的軌跡為阿氏圓,結(jié)合三角形和三角形的面積關(guān)系可求.【詳解】設(shè)B,O,E共線,則,解得,從而O為CD中點(diǎn),故.在△BOD中,BD=2,,易知O的軌跡為阿氏圓,其半徑,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的面積問題,把所求面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16、【解析】
直接計(jì)算得到答案,根據(jù)題意得到,,解得答案.【詳解】,故,當(dāng)時(shí),,故,解得.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性,意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)當(dāng)或時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大,最大概率為;(2)見解析.【解析】
(1)將有3個(gè)坑需要補(bǔ)種表示成n的函數(shù),考查函數(shù)隨n的變化情況,即可得到n為何值時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大.(2)n=1時(shí),X的所有可能的取值為0,1,2,3,1.分別計(jì)算出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,求期望即可.【詳解】(1)對(duì)一個(gè)坑而言,要補(bǔ)播種的概率,有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率為.欲使最大,只需,解得,因?yàn)椋援?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以當(dāng)或時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大,最大概率為.(2)由已知,的可能取值為0,1,2,3,1.,所以的分布列為01231的數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率求法,離散型隨機(jī)變量的概率分布,二項(xiàng)分布,主要考查簡單的計(jì)算,屬于中檔題.18、(1),中位數(shù)為;(2)新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量為萬臺(tái),以此預(yù)計(jì)年的銷售量約為萬臺(tái).【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計(jì)算出的值,利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得銷量的中位數(shù)的值;(2)利用每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積,相加可得出銷量的平均數(shù),由此可預(yù)計(jì)年的銷售量.【詳解】(1)由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為,則,解得,由于,因此,銷量的中位數(shù)為;(2)由頻率分布直方圖可知,新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量為(萬臺(tái)),由此預(yù)測年的銷售量為萬臺(tái).【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖求參數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2).【解析】
(1)通過分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào),進(jìn)而解不等式組求得結(jié)果;(2)將不等式整理為,根據(jù)能成立思想可知,由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),可化為,由,解得;由,解得;由,解得.綜上所述:所以原不等式的解集為.(2),,,,有解,,即,又,,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的求解、根據(jù)不等式有解求解參數(shù)范圍的問題;關(guān)鍵是明確對(duì)于不等式能成立的問題,通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為所求參數(shù)與函數(shù)最值之間的比較問題.20、(1)見解析;(2)-∞,1【解析】
(1)f′(x)=(x+1)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).對(duì)a分類討論,即可得出單調(diào)性.
(2)由xex-ax-a+1≥0,可得a(x+1)≤xex+1,當(dāng)x=-1時(shí),0≤-1e+1恒成立.當(dāng)x>-1時(shí),a≤xe【詳解】解法一:(1)f①當(dāng)a≤0時(shí),x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)單調(diào)遞增.②當(dāng)a>0時(shí),f'(x)=0的根為x=ln若lna>-1,即a>x(-∞,-1)-1(-1,ln(f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1),(lna,+∞)上單調(diào)遞增,在若lna=-1,即a=f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立,所以f(x)在若lna<-1,即0<a<x(-∞,ln(-1(-1,+∞)f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,lna),(-1,+∞)上單調(diào)遞增,在綜上:當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)0<a<1e時(shí),f(x)在(-∞,lna),自a=1e時(shí),f(x)在當(dāng)a>1e時(shí),f(x)在(-∞,-1),(ln(2)因?yàn)閤ex-ax-a+1≥0當(dāng)x=-1時(shí),0≤-1當(dāng)x>-1時(shí),a≤x令g(x)=xex設(shè)h(x)=e因?yàn)閔'(x)=e即hx=e又因?yàn)閔0=0,所以g(x)=xex則g(x)min=g(0)=1綜上,a的取值范圍為-∞,1.解法二:(1)同解法一;(2)令g(x)=f(x)+a所以g'當(dāng)a≤0時(shí),g'(x)≥0,則g(
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