第07講 直線與圓的位置關系-【暑假自學課】新九年級數學暑假課（蘇科版）

第07講直線與圓的位置關系【學習目標】1.理解并掌握直線與圓的各種位置關系；2.理解切線的判定定理、性質定理和切線長定理，了解三角形的內切圓和三角形的內心的概念，并熟練掌握以上內容解決一些實際問題；【基礎知識】一．直線與圓的位置關系（1）直線和圓的三種位置關系：①相離：一條直線和圓沒有公共點．②相切：一條直線和圓只有一個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點叫切點．③相交：一條直線和圓有兩個公共點，此時叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．（2）判斷直線和圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r②直線l和⊙O相切?d＝r③直線l和⊙O相離?d＞r．二．切線的性質（1）切線的性質①圓的切線垂直于經過切點的半徑．②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．（2）切線的性質可總結如下：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過圓心；②直線過切點；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質的運用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．簡記作：見切點，連半徑，見垂直．三．切線的判定（1）切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應用判定定理時注意：①切線必須滿足兩個條件：a、經過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時，直線和圓相切“這個結論直接得出來的．③在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點時，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點，作垂線段，證半徑”；當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點，作半徑，證垂直”．四．切線的判定與性質（1）切線的性質①圓的切線垂直于經過切點的半徑．②經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點．③經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心．（2）切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（3）常見的輔助線的：①判定切線時“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”；②有切線時，常常“遇到切點連圓心得半徑”．五．弦切角定理（1）弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半．如右圖所示，直線PT切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦，則有∠PCA＝∠PBC（∠PCA為弦切角）．六．切線長定理（1）圓的切線長定義：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．（4）切線長定理包含著一些隱含結論：①垂直關系三處；②全等關系三對；③弧相等關系兩對，在一些證明求解問題中經常用到．七．切割線定理（1）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．幾何語言：∵PT切⊙O于點T，PBA是⊙O的割線∴PT的平方＝PA?PB（切割線定理）（2）推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．幾何語言：∵PBA，PDC是⊙O的割線∴PD?PC＝PA?PB（切割線定理推論）（割線定理）由上可知：PT2＝PA?PB＝PC?PD．八．三角形的內切圓與內心（1）內切圓的有關概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓，三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點．（2）任何一個三角形有且僅有一個內切圓，而任一個圓都有無數個外切三角形．（3）三角形內心的性質：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．【考點剖析】一．直線與圓的位置關系（共3小題）1．（2022?邗江區(qū)校級開學）已知⊙O的直徑是8，圓心O到直線a的距離是3，則直線a和⊙O的位置關系是（）A．相交 B．相離 C．相切 D．外切2．（2021秋?江北區(qū)期末）已知圓與直線有兩個公共點，且圓心到直線的距離為4，則該圓的半徑可能為（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2021秋?信都區(qū)期末）半徑為5的四個圓按如圖所示位置擺放，若其中有一個圓的圓心到直線l的距離為4，則這個圓可以是（）A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4二．切線的性質（共2小題）4．（2022春?朝陽區(qū)校級月考）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點，點C為⊙O上一點，若∠P＝40°則∠ACB的度數為（）A．70° B．50° C．20° D．40°5．（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB延長線上，CD與⊙O相切于點D，連接AD，若∠ACD＝20°，則∠CAD的度數等于（）A．20° B．25° C．35° D．45°三．切線的判定（共2小題）6．（2022?東明縣一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點E，在AC上取一點D，使得DE＝AD，（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）當BC＝10，AD＝4時，求⊙O的半徑．7．（2021秋?玉林期末）AB是⊙O的弦，D為半徑OA的中點，過D作CD⊥OA交弦AB于點E，交⊙O于點F，且CE＝CB．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）連接AF，BF，求∠ABF的度數．四．切線的判定與性質（共2小題）8．（2021秋?源匯區(qū)校級月考）如圖，AB為⊙D的切線，BD是∠ABC的平分線，以點D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC相交于點E．求證：BC是⊙D的切線．9．（2021秋?臺江區(qū)校級月考）已知：如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，AD平分∠BAC交弦BC于F，DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）若DF＝2，AF＝6，求⊙O的半徑．五．弦切角定理（共1小題）10．如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于E，過B作⊙O的切線，交AC的延長線于D．求證：∠CBD∠CAB．六．切線長定理（共3小題）11．（2021秋?中山市期末）如圖，⊙O內切于四邊形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，則AD的長度為（）A．8 B．9 C．10 D．1112．（2021秋?上思縣期末）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB分別切⊙O于A、B，CD切⊙O于點E，分別交PA、PB于點C、D，若PA＝5，則△PCD的周長為（）A．5 B．7 C．8 D．1013．（2021秋?無為市校級月考）如圖，PA和PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點．C是弧AB上任意一點，過點C畫⊙O的切線，分別交PA和PB于D，E兩點，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周長．七．切割線定理（共2小題）14．（2021秋?襄都區(qū)校級期末）如圖，點P是⊙O直徑AB的延長線上一點，PC切⊙O于點C，已知OB＝3，PB＝2．則PC等于（）A．2 B．3 C．4 D．515．（2020秋?崇川區(qū)月考）如圖，P是圓O外的一點，點B、D在圓上，PB、PD分別交圓O于點A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝．八．三角形的內切圓與內心（共4小題）16．（2021秋?大余縣期末）如圖，⊙O是△ABC的內切圓，若∠A＝70°，則∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°17．（2021秋?信都區(qū)期末）已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE分別是△ABC中線和高線，則（）A．D點是△ABC的內心 B．D點是△ABC的外心 C．E點是△ABC的內心 D．E點是△ABC的外心18．（2021秋?涼山州期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點M是△ABC的內心，連接BM并延長交AC于點F交⊙O于點E，連接OE與AC相交于點D．（1）求證：ODBC；（2）求證：EM＝EA．19．（2022春?定遠縣校級月考）已知：如圖，⊙O是Rt△ABC的內切圓，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半徑r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半徑r．【過關檢測】一．選擇題（共5小題）1．（2022春?岳麓區(qū)月考）已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為25°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，則∠D等于（）A．25° B．30° C．35° D．40°2．（2021秋?大余縣期末）如圖，⊙O是△ABC的內切圓，若∠A＝70°，則∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°3．（2021秋?建鄴區(qū)期末）如圖，若⊙O的半徑為6，圓心O到一條直線的距離為3，則這條直線可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l44．（2021秋?濱?？h期末）如圖，以點O為圓心作圓，所得的圓與直線a相切的是（）A．以OA為半徑的圓 B．以OB為半徑的圓 C．以OC為半徑的圓 D．以OD為半徑的圓5．（2021秋?蘭山區(qū)期末）等邊三角形的內切圓半徑、外接圓半徑和高的比為（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2二．填空題（共6小題）6．（2021秋?海淀區(qū)校級期末）在平面直角坐標系中，⊙O的圓心在坐標原點，半徑為2，點A的坐標為（0，4），直線AB為⊙O的切線，B為切點，則B點的坐標為．7．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知正三角形的內切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，則r：R＝．8．（2022?越秀區(qū)校級一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，AC與⊙O交于點D，若BC＝3，AD，則AB的長為．9．（2022?朝陽區(qū)校級一模）如圖，已知∠AOB＝30°，M為OB邊上任意一點，以M為圓心，2cm為半徑作⊙M，當OM＝cm時，⊙M與OA相切．10．（2022?越秀區(qū)校級模擬）如圖，PA，PB分別切⊙O于點A，B，∠P＝70°，則∠ABO＝．11．（2022?玉環(huán)市一模）如圖，已知⊙O內切于Rt△ABC，∠C＝90°，BC邊上切點為點D．作⊙O的直徑DE，連結AE并延長AE交BC于點F，若∠AFC＝45°，F(xiàn)D＝2，則AB的長為．三．解答題（共10小題）12．（2022?富平縣一模）如圖，已知直線PA交⊙O于A、B兩點，AE是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC平分∠PAE．（1）過點C作⊙O的切線交BP于點D，求證：CD⊥PA；（2）若⊙O的半徑為5，AB＝6，求BD的長．13．（2020秋?佳木斯期末）已知AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一個動點，連接OP，CP．（1）如圖①，△OPC的最大面積是；（2）如圖②，延長PO交⊙O于點D，連接DB，當CP＝DB時，求證：CP是⊙O的切線．14．（2022?泗陽縣一模）如圖，AB是⊙O的直徑，射線BC交⊙O于點D，E是劣弧AD上一點，且，過點E作EF⊥BC于點F，延長FE和BA的延長線交于點G．（1）證明：GF是⊙O的切線；（2）若AG＝6，GE＝6，求△GOE的面積．15．（2022?蘭溪市模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，延長AB至點D，CD切⊙O于點C，點B是CF的中點，弦CF交AB于點E，連結OF、BC，過B點作BG⊥CD于點G．（1）若∠BCD＝28°，求∠F的度數；（2）若CF＝4OE，⊙O的半徑為，求BG的長．16．（2022?和平區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，△ACD是⊙O的內接三角形，PB切⊙O于點B．（Ⅰ）如圖①，延長AD交PB于點P，若∠C＝40°，求∠P和∠BAP的度數；（Ⅱ）如圖②，連接AP交⊙O于點E，若∠D＝∠P，，求∠P和∠BAP的度數．17．（2022?邳州市一模）如圖，正方形ABCD的邊長AD為⊙O的直徑，E是AB上一點，將正方形的一個角沿EC折疊，使得點B恰好與圓上的點F重合．（1）求證：CF與⊙O相切；（2）若⊙O的半徑為1，則AE的長為．18．（2022?藍田縣二模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點O為BC上一點，以O為圓心、OB為半徑的⊙O切AC于點D，連接OA、BD，OA與BD相交于點E．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）若∠C＝30°，⊙O的半徑為10，求OE的長．19．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，△ABC內接于⊙O，過點C作BC的垂線交⊙O于D，