第三章期權(quán)價(jià)格的性質(zhì)(金融衍生品定價(jià)理論講義)

第三章期權(quán)價(jià)格的性質(zhì)

在第一章里，我們定性地討論了期權(quán)價(jià)格的性質(zhì)。我們不但描述了影響期權(quán)價(jià)格的各

種因素，而且討論了在各種情況下期權(quán)的支付。在這?節(jié)里，我們將應(yīng)用無(wú)套利原理嚴(yán)格

證明歐式期權(quán)價(jià)格的一些重要的性質(zhì)。需要強(qiáng)調(diào)的是，我們并不對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)的未來(lái)價(jià)格的

分布作任何假設(shè)。在上一章中，我們利用標(biāo)的資產(chǎn)和債券合成構(gòu)造遠(yuǎn)期合約和期貨合約，

投資銀行可以利用這種方法來(lái)為遠(yuǎn)期合約和期貨合約做市及對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。同樣地，在本章

中，我們利用合成構(gòu)造期權(quán)的方法來(lái)為期權(quán)做市及對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。我們僅僅研究以同?種資產(chǎn)

為標(biāo)的物的看漲和看跌期權(quán)價(jià)格之間最基本的關(guān)系。本章主要內(nèi)容：美、歐式期權(quán)價(jià)格的

上下界；美式期權(quán)的提前執(zhí)行；紅利對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響；看漲和看跌期權(quán)價(jià)格之間的平價(jià)

關(guān)系。

我們不妨假設(shè)標(biāo)的物為某種股票，其在時(shí)間/的價(jià)格為S’,期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為K,到

期日為一期，即，7=1,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為。（或者廠），按離散或者連續(xù)方式計(jì)算復(fù)利。我

們以的,C,,0,6分別表示歐式看漲、美式看漲、歐式看跌、美式看跌期權(quán)在時(shí)間，的價(jià)

格。

1.期權(quán)價(jià)格的上、下界

由第一章內(nèi)容，期權(quán)價(jià)格受標(biāo)的股票的價(jià)格、執(zhí)行價(jià)格、標(biāo)的股票的價(jià)格的方差、到

期日、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率和到期日之前標(biāo)的資產(chǎn)的預(yù)期紅利六種因素的影響。

1.1上界

美式或者歐式看漲期權(quán)的持有者擁有以一定價(jià)格購(gòu)買一份股票的權(quán)利，所以在任何情

形下，期權(quán)的價(jià)值不會(huì)超過(guò)標(biāo)的股票的價(jià)格

2slct<s,

否則，買入股票，賣空看漲期權(quán)就能獲得套利機(jī)會(huì)。

例子：標(biāo)的股票價(jià)格為30元，執(zhí)行價(jià)格為25元的看漲期權(quán)，其價(jià)格不超過(guò)30元（不管是美

式還是歐式）。如果價(jià)格為40元，如何構(gòu)造套利機(jī)會(huì)？

看漲期權(quán)的價(jià)格永遠(yuǎn)不會(huì)超過(guò)標(biāo)的股票的價(jià)格。即使執(zhí)行價(jià)格為零，期權(quán)永遠(yuǎn)不到

期，期權(quán)的價(jià)格也至多為S,。甚至在這種極端情形下，期權(quán)的價(jià)格也可能比標(biāo)的股票的價(jià)

格低，因?yàn)楣善庇羞x舉權(quán)，而期權(quán)沒(méi)有。

美式或者歐式看跌期權(quán)的持有者擁有以執(zhí)行K價(jià)格賣一份股票的權(quán)利，所以在任

何情形下，期權(quán)的價(jià)值不會(huì)超過(guò)K

p,<KP,<K

對(duì)歐式看跌期權(quán)而言，我們知道它在到期日的價(jià)格不會(huì)超過(guò)K,所以

否則，賣出期權(quán)，投資在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.，獲得套利

例子：r=5%?S,=30元，K=25元，p,K25?一"

1.2以不支付紅利股票為標(biāo)的物的歐式期權(quán)價(jià)格的下界

我們?cè)谶@里僅僅關(guān)注標(biāo)的股票的價(jià)格和執(zhí)行價(jià)格的影響，所以，我們可以把看漲期權(quán)在時(shí)

間，的價(jià)格寫成，K),下面，我們討論第一條性質(zhì)。

性質(zhì)1：Co(So，K)AmaxSo-%+/“O(1)

當(dāng)期權(quán)被執(zhí)行的概率嚴(yán)格位于。和1之間時(shí)，即，在到期日，股票價(jià)格5'7大于執(zhí)行價(jià)格K的

概率嚴(yán)格位于0和1之間，上述不等式嚴(yán)格成立。

證明：我們證明嚴(yán)格不等式?？紤]如下的策略：賣空一份標(biāo)的股票，買一份歐式看漲

期權(quán)，再以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。借出%。該策略的初始成本為c()(So，K)-So+K/d+zy),到

期日的支付為：

s”K

ST-K-ST+K=O

C

-ST+K>0ST<K

因?yàn)椴呗缘钠谀┲Ц妒欠秦?fù)的，且嚴(yán)格為正的概率大于0,所以，由無(wú)套利原理，初始成本

也應(yīng)該嚴(yán)格大于零。即有，

c(i(S(),K)—S0+K/(l+ry)>0o

這個(gè)不等式等價(jià)于

c0(So,K)>S°-+o)。(2)

最后，因?yàn)槠跈?quán)的持有者只有買標(biāo)的物的權(quán)利而沒(méi)有必須買的義務(wù)，所以期權(quán)的價(jià)格是非

負(fù)的。又因?yàn)榧僭O(shè)期權(quán)被執(zhí)行的概率嚴(yán)格位于0和1之間，所以期權(quán)的價(jià)格嚴(yán)格大于零，

即，?(So，K)>O。這個(gè)式子與(2)式結(jié)合起來(lái)，得到我們需要的結(jié)果。

#

注：(I)在性質(zhì)1中，我們是針對(duì)時(shí)間。的價(jià)格討論的，該性質(zhì)對(duì)到期口以前的任何時(shí)

間均成立，只需把(1)式中角標(biāo)由0換成并對(duì)執(zhí)行價(jià)格的折現(xiàn)作相應(yīng)的修改。

(2)通過(guò)類似的方法，我們可以得到以不支付紅利股票為標(biāo)的物的歐式看跌期權(quán)價(jià)格

的下界為

(3)這個(gè)性質(zhì)的直觀意義在于，如果在期末必須以價(jià)格K買一份股票，這種義務(wù)的

現(xiàn)值為So-7+o。當(dāng)股票價(jià)格S7小于執(zhí)行價(jià)格K的概率嚴(yán)格位于。和1之間時(shí)，不買股

票的權(quán)利的價(jià)值嚴(yán)格大于零。因此，歐式看漲期權(quán)的的價(jià)格嚴(yán)格大于S。-。另一方

面，由于期權(quán)被執(zhí)行的概率是嚴(yán)格正的，所以，c0(S(),K)>0o

例子：歐式看漲期權(quán)

假設(shè)標(biāo)的股票的價(jià)格為55元，執(zhí)行價(jià)格為50元，期權(quán)三個(gè)月到期，三個(gè)月的簡(jiǎn)單利率為

8.9%,在這3個(gè)月內(nèi)，股票不支付紅利，求歐式看漲期權(quán)價(jià)格的下界，如果期權(quán)的價(jià)格為4

無(wú)，如何構(gòu)造套利機(jī)會(huì)。

2

例子：歐式看跌期權(quán)

3個(gè)月到期的歐式看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為50元，股票價(jià)格為45元，三個(gè)月的簡(jiǎn)單利率為

8.9%,在這3個(gè)月內(nèi)，股票不支付紅利，求歐式看跌期權(quán)價(jià)格的下界，如果期權(quán)的價(jià)格為3

元，如何構(gòu)造套利機(jī)會(huì)。

性質(zhì)2：歐式看漲期權(quán)的價(jià)格是其執(zhí)行價(jià)格的凸函數(shù)，即,

%⑸,K)+(l-a)q⑸，必)2q(S,,R)

這里，K=aK+(\-a)K,ae(O.l)。當(dāng)S/e(K,右的概率嚴(yán)格正時(shí)，上式中的嚴(yán)格不等式

成立。

證明：考慮如下的策略：買入a份以K為執(zhí)行價(jià)格的歐式看漲期權(quán)，買入1-a份以聲

為執(zhí)行價(jià)格的歐式看漲期權(quán)，賣空一份以欠為執(zhí)行價(jià)格的歐式看漲期權(quán)。這個(gè)策略在

f(zvl)時(shí)的成本為的⑸,K)+(1-Q)G⑸積)-々⑸穴)。不失一般性,假設(shè)江,K。這個(gè)

策略在到期日的支付為：

0如果ST<K,

a(Sy—K)>0如果KvSr?N,

(l-rz)(K-Sr)>0如果K<ST<K,

0如果Sr>R,

在任何情況下，支付均為非負(fù)的。因此，由無(wú)套不蜉理有：

acl(St,K)+(\-a)ct(Sl,k)-c,(Sl,K)>0

這即為(3)式。當(dāng)S7e(K,處的概率嚴(yán)格正時(shí)，(3)式中的嚴(yán)格不等式成立。

注：我們可以證明歐式看漲期權(quán)的價(jià)格是其執(zhí)行價(jià)格的減函數(shù)，從而，歐式看漲期權(quán)

的價(jià)格是其執(zhí)行價(jià)格的單調(diào)遞減的凸函數(shù)。

例子:

3

1.3美式期權(quán)的下界

性質(zhì)：美式看漲期權(quán)價(jià)格的下界為

C,>max{O,a-K}

證明：(1)C,>0

(2)不妨假設(shè)S,2K。如果G<S,-K,構(gòu)造套利機(jī)會(huì)：

以G買入美式看漲期權(quán)，馬上執(zhí)行，現(xiàn)金流為Sr-K,凈利潤(rùn)為

S,-K-G>0

例子：設(shè)美式看漲期權(quán)的價(jià)格為2元，設(shè)股價(jià)為50元，執(zhí)行價(jià)格為45元，是否存在套利機(jī)

會(huì)？

性質(zhì)：如果兩個(gè)美式看漲期權(quán)具有相同的執(zhí)行價(jià)格，相同的標(biāo)的物，則到期日越長(zhǎng)的期

權(quán)，價(jià)格越高。

圖：美式看漲期權(quán)價(jià)格的界

性質(zhì)：美式看跌期權(quán)價(jià)格的下界為

P,>max{O,AT-S,}

證明：

例子：設(shè)美式看跌期權(quán)到期日為78天，價(jià)格為3元，執(zhí)行價(jià)格為55元，標(biāo)的股票價(jià)格為55

兀，是否存在套利機(jī)會(huì)？

圖：美式看跌期權(quán)價(jià)格的界

5

2.提前執(zhí)行：以不支付紅利股票為標(biāo)的物的美式期權(quán)

本節(jié)的目的是證明：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行。對(duì)期權(quán)

定價(jià)理論感興趣的讀者可以參考Merton在1973年的開(kāi)創(chuàng)性工作。

由于歐式期權(quán)只能在到期口執(zhí)行，，而美式期權(quán)在到期口前的任何時(shí)間都能執(zhí)行，所

以，歐式期權(quán)的定價(jià)比美式期權(quán)定價(jià)容易。但是，當(dāng)標(biāo)的股票不支付紅利時(shí)，我們可以證

明美式看漲期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，從而美式看漲期權(quán)的價(jià)格和歐式看漲期權(quán)的價(jià)格一致。下

面，我們證明這一重要的定理。

定理1：以不支付紅利的股票為標(biāo)的物的美式看漲期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行。

證明：設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為采用連續(xù)計(jì)算復(fù)利的方式；歐式和美式期權(quán)的到期日為

T,執(zhí)行價(jià)格均為K；不支付紅利的標(biāo)的股票在，時(shí)的價(jià)格為

由前面知道：

9(跖,7,K)>max0,S,-e~rf(T~nK^(9)

方程(9)對(duì)一個(gè)歐式看漲期權(quán)成立。但是，由前面的分析我們知道，和一個(gè)歐式看漲期權(quán)等

價(jià)的美式看漲期權(quán)的價(jià)格總比歐式看漲期權(quán)的價(jià)格大。因此，

C,(S,,T,K)>c,(St,T,K)>rnaxfo,S,-e小°K](10)

而且，如果執(zhí)行，美式看漲期權(quán)的價(jià)值是max[0,5-K],它比max[0,S,-打刈小。在這種

情況下，美式期權(quán)的持有者在證券市場(chǎng)上賣掉期權(quán)總會(huì)優(yōu)于提前執(zhí)行該期權(quán).

從(10)式，我們可以更合理的解釋為什么當(dāng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率上升時(shí)，看漲期權(quán)的價(jià)格會(huì)上

升？假設(shè)股票的價(jià)格是50元，執(zhí)行價(jià)格是3()元，期權(quán)一年到期。如果無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是5%,則

期權(quán)價(jià)格的下限是21.46元。如果現(xiàn)在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率變?yōu)?0%,則下限增為22.85元。直觀上來(lái)

說(shuō)，現(xiàn)在期權(quán)更值錢是因?yàn)闊o(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的上長(zhǎng)，使得現(xiàn)在購(gòu)買一年后支付一元的零息債券

的價(jià)格降低。

例子：以不支付紅利股票為標(biāo)的物的美式看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為40元，股票的價(jià)格為

50元,期權(quán)一個(gè)月到期。(deepinmoney)

(I)如果投資者計(jì)劃持有股票的時(shí)間大于一個(gè)月，則馬上提前執(zhí)行不是最好的策略：支付

40元的執(zhí)行價(jià)格，損失1個(gè)月利息；持有股票沒(méi)有獲得紅利的優(yōu)勢(shì)；股價(jià)有可能跌到40元以

下，持有期權(quán)等于持有一份保險(xiǎn)。

(2)如果投資者計(jì)劃持有股票的時(shí)間小于一個(gè)月，認(rèn)為股價(jià)過(guò)高，提前執(zhí)行，再賣掉股票

也不是最優(yōu)的策略，因?yàn)橘u掉期權(quán)比提前執(zhí)行的收入更大。

圖：美式看漲期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的物價(jià)格的關(guān)系

6

利率越大，到期日越長(zhǎng)，或者股票波幅越大，美式看漲期權(quán)的價(jià)格越大。

不同于美式看漲期權(quán)?即使在標(biāo)的股票不支付紅利的條件下，提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)

可能是最優(yōu)的。原因在于，當(dāng)股價(jià)充分下降以后，從股價(jià)進(jìn)一步下降得到的利潤(rùn)可能比馬

上執(zhí)行得到的現(xiàn)金的利息少。

例子：設(shè)執(zhí)行價(jià)格為25元看跌期權(quán)，股價(jià)為1元，6個(gè)月到期，6個(gè)月的簡(jiǎn)單利率為9.5%。

美式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)在提前執(zhí)行問(wèn)題上的不同源于看漲期權(quán)的收入是無(wú)I：

界的，而看跌期權(quán)的收入是有上界的。既然看漲期權(quán)無(wú)上界，等待總有可能獲得利潤(rùn)，而

看跌期權(quán)有上界，所以最好提前執(zhí)行，獲取利息。

例子；假設(shè)執(zhí)行價(jià)格為10元，股價(jià)為0元。馬上執(zhí)行，獲得的收入為10元，如果等

待，執(zhí)行時(shí)收入最多也只為10元，而且提前執(zhí)行可以獲得利息。

圖：美式看跌期權(quán)的價(jià)格與標(biāo)的物價(jià)格的關(guān)系

利率越小，波幅越大，或者到期日越大，美式看跌期權(quán)價(jià)格越大。

圖：歐式看跌期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的物價(jià)格的關(guān)系

7

3.美式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價(jià)格之間的關(guān)系

看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價(jià)格之間的平價(jià)關(guān)系僅僅對(duì)于歐式期權(quán)成立。但是，我們也可以

得到以不支付紅利股票為標(biāo)的物的美式期權(quán)價(jià)格之間的關(guān)系。我們?cè)O(shè)P,為美式看跌期權(quán)的

價(jià)格，為歐式看跌期權(quán)的價(jià)格。其余的符號(hào)和這一章里一樣。因?yàn)槊朗狡跈?quán)總能在到期

日以前執(zhí)行，所以，美式看跌期權(quán)價(jià)格總大于歐式看跌期權(quán)價(jià)格，即，P,>Pl.我們采用

連續(xù)計(jì)算及利的方式。由歐式期權(quán)價(jià)格的平價(jià)關(guān)系有

，f{Tt}

pt=c,+Ke~-St,

從而有

Ptct+-S,o

因?yàn)闃?biāo)的股票不支付紅利，所以

G=G。

我們得到

rf{T，}

P,>Ct+Ke~~-S,,

或者

rf{T,}

Ct-Pf<,St-Ke~~n(12)

為了進(jìn)一步說(shuō)明G與巴之間的關(guān)系，我們考慮：

證券組合1:一份歐式看漲期權(quán)和數(shù)量為K的現(xiàn)金

證券組合2：一份美式看跌期權(quán)和一份標(biāo)的股票

兩種證券組合中的期權(quán)具有相同的執(zhí)行價(jià)格和到期日。假設(shè)證券組合1中的現(xiàn)金可以以

無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資。(1)如果看跌期權(quán)不提前執(zhí)行，則證券組合2在到期日7的支付為

max(Sy,K)0

這時(shí)，證券組合1的支付為

max(Sr，K)+Ke"g)-K。

因此，證券組合1比證券組合2的價(jià)值大。(2)下面，我們假設(shè)證券組合2中的看跌越權(quán)提

前執(zhí)行，例如，在時(shí)間『執(zhí)行。這說(shuō)明證券組合2在時(shí)間r的價(jià)值為K。但是，即使證券組

合1中的看漲期權(quán)無(wú)價(jià)值，證券組合1在時(shí)間r的的價(jià)值為Ke。。')。由這兩種情況分析，我

們得到，在任何情況下，證券組合I都比證券組合2的價(jià)值高。因此，我們有

cf+K>Pf+SfQ

因?yàn)閝=G，所以

Ct+K>Pt+Sr9

或者

G—P,>S,-KO

由(12)與上式，我們得到

rf(T,>

S,-Ke~~>C,-Pt>S,-K.(13)

例子：以不支付紅利股票為標(biāo)的物的美式看漲期權(quán)的執(zhí)廳價(jià)格為20元，5個(gè)月到期，期權(quán)的

價(jià)格為1.5元。假設(shè)現(xiàn)在股票的價(jià)格為19元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每年8%。

由歐式期權(quán)價(jià)格之間的平價(jià)關(guān)系，對(duì)應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為

1.5+20"°"%2-19=1.68

由(13)

8

-l=19-20<C-P<19-20e如用=-0.18

從而

1.68<P<2.5

4.紅利的影響

我們?cè)谇懊嬗懻撈跈?quán)的價(jià)格性質(zhì)時(shí)，標(biāo)的股票均不支付紅利。下面，我們討論紅利的

影響。當(dāng)標(biāo)的股票有紅利支付時(shí)，我們不能保證美式看漲期權(quán)不提前執(zhí)行。有時(shí)，美式看

漲期權(quán)在紅利支付前的瞬間執(zhí)行是最優(yōu)的，因?yàn)?，紅利的支付將使得股票的價(jià)格下降，從

而導(dǎo)致期權(quán)的價(jià)值下降。

下面這?定理更注重實(shí)際。我們分析當(dāng)標(biāo)的股票支付紅利時(shí)，美式看漲期權(quán)的

價(jià)值會(huì)有什么變化？因?yàn)榇蠖鄶?shù)上市公司都是支付紅利的，所以期權(quán)合約的持有者應(yīng)該注

意，當(dāng)標(biāo)的股票因支付紅利而價(jià)格下降時(shí)，并不能保證期權(quán)的價(jià)格不下降。

在1976年12月份的某一天，通用汽車公司的股票大約為每股75美元。以此為標(biāo)的物的

看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為60美元。在第二天，通用汽車公司按計(jì)劃每股分配紅利3美元。這意

味著該公司的股票價(jià)格將降至約每股72美元。從(7.19)式我們知道，在分紅之前，看漲期權(quán)

的價(jià)格不會(huì)低于S-K,或者15美元。到了第二天，每人都知道公司的股票價(jià)格將下降，

所以看漲期權(quán)的價(jià)格將下降(約降至12.63美元)。知道先一天期權(quán)約值15美元，第二天期

權(quán)的價(jià)格將下降，作為投資者，唯?理性的行為就是在分紅之前執(zhí)行期權(quán)。

定理：當(dāng)標(biāo)的股票支付紅利時(shí)，美式看漲期權(quán)是可能提前執(zhí)行的。

證明：假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為采用連續(xù)計(jì)算復(fù)利的方式；美式期權(quán)的到期口為了，執(zhí)

行價(jià)格均為K；標(biāo)的股票在，時(shí)的價(jià)格為S,，在到期日支付紅利。；。在時(shí)間7■到期，面

值為1的無(wú)息債券在/時(shí)的價(jià)格為用考慮甲、乙兩種證券組合，甲證券組合：

以價(jià)格Co(S°,7；K)買一份歡式看漲期權(quán)，以價(jià)格(K+Q)8°購(gòu)買K+。份債券。乙證券組

合：以價(jià)格.％買一份股票。下表說(shuō)明了兩種證券組合的終端支付的關(guān)系：

證券組合

證券組合在到期日T的支付

證券組合在時(shí)間，的價(jià)值

ST<KST>K

甲Cf(S”T,K)+(K+D)Bj0+K+OST-K

+K+O

乙S,Sy+DST+D

甲、乙在7'的V.|>Vz,y尸藝

支付的關(guān)系___________________________________________________________

在到期日，當(dāng)股票的價(jià)格小于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，期權(quán)不會(huì)被執(zhí)行，從而期權(quán)沒(méi)有價(jià)值,證券組

合甲的支付為K+。。但是，由于S『vK,所以證券組合甲的支付大于證券組合乙的支

付。另一方面，當(dāng)股票的價(jià)格大于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，證券組合甲、乙在到期日的支付相等。不

管在哪種情況下，證券組合甲的支付大于或者等于證券組合乙的支付。由無(wú)套利原理，我

們有：

ct(SnT,K)+(K+D)Bt>St

從這個(gè)式子可以得到；

,T,K)>max[0,S,-(K+](II)

從上式可以看出，當(dāng)紅利的規(guī)模和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率取恰當(dāng)?shù)闹禃r(shí)，有可能得到：

(K+D)Bt>St

這時(shí)，(II)式中期權(quán)的價(jià)值為零。但是，如果有可能提前執(zhí)行時(shí)，美式看漲期權(quán)的價(jià)值是

max[0,S,-K]。所以美式期權(quán)的持有者有可能提前執(zhí)行該期權(quán)。

例子：

9

下面討論紅利對(duì)期權(quán)價(jià)格界的影響。我們假設(shè)在期權(quán)的到期日以前，標(biāo)的股票支

付的紅利的現(xiàn)值為為簡(jiǎn)單計(jì)，我們假設(shè)紅利一次性支付。

歐式看漲期權(quán)與看跌期權(quán)價(jià)格的下界

我們定義證券組合A、B如下：

證券組合A：一份歐式看漲期權(quán)和數(shù)最為。+心力(的現(xiàn)金

證券組合B：一份標(biāo)的股票

在證券組合A中，如果現(xiàn)金流以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，則在到期日7,這個(gè)現(xiàn)金流變?yōu)?/p>

Derf(T-l)+Ko如果S“K,則看漲期權(quán)在7執(zhí)行，證券組合A的支付為

rf{Tt}

ST-K+De~+Ko如果vK,則看漲期權(quán)在T不執(zhí)行，證券組合A的支付為

+K。所以，證券組合A在到期日7的支付為

max卜「+Derf(T~{\K+卜

在證券組合B中，如果紅利現(xiàn)金流以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，則在到期口T,這個(gè)現(xiàn)金流變?yōu)?/p>

D/g).所以，證券組合B在到期日7的支付為+無(wú)論在哪種情況下，證券

組合A的到期日支付都不會(huì)小于證券組合B的到期日支付，有時(shí)，還嚴(yán)格大于B的終端支

付。因此，有無(wú)套利原理，證券組合A現(xiàn)在的價(jià)值應(yīng)該大于證券組合B現(xiàn)在的價(jià)值，即，

c,+D+Ke~rf{T~，＞＞S,,(14)

或者

rf{Tl}

c1＞S,-D-Ke~~o(15)

這是我們得到的，當(dāng)標(biāo)的股票具有紅利支付時(shí)，歐式看漲期權(quán)的下界。

接著，我們定義證券組合C和D如下：

證券組合C：一份歐式看跌期權(quán)和一份標(biāo)的股票

證券組合D：數(shù)量等于。+公一小「7的現(xiàn)金流

在證券組合C中，如果標(biāo)的股票的紅利現(xiàn)金流以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，則在到期日7,這個(gè)現(xiàn)

金流變?yōu)槿绻鹲rWK,證券組合C中的看跌期權(quán)在7?執(zhí)行，證券組合C的支付

為K+D/g)o如果＞K,則看跌期權(quán)在下不執(zhí)行，證券組合C的支付為

S7+/V?T)。所以，證券組合c在到期日T的支付為

max3廣+De，＞C，t),K+o

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在證券組合D中，如果現(xiàn)金流以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率投資，則在到期日7,這個(gè)現(xiàn)金流變?yōu)?/p>

Der^T-l)+Ko無(wú)論在哪種情況下，證券組合C的終端支付都不會(huì)小于證券組合D的到期日

支付，有時(shí)，還嚴(yán)格大于D的到期口支付。因此，有無(wú)套利原理，證券組合C現(xiàn)在的價(jià)值應(yīng)

該大于證券組合D現(xiàn)在的價(jià)值，即，

p.+S,>D+Kefg),(15)

或者

—S,。(16)

這是我們得到