第4小題 平面向量（2個(gè)命題點(diǎn)9大題型）2024年高考《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)題型分類(lèi)與方法點(diǎn)撥（解析版）

第4小題平面向量

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第4小題平面向量.......................................................................1

一、主干知識(shí)歸納與回顧.............................................................3

4.1.平面向量的概念.............................................................3

1.平面向量的概念：.........................................................3

4.2.平面向量的運(yùn)算...................................................4

2.1.向量的加法運(yùn)算.........................................................4

2.2.向量的減法運(yùn)算.........................................................4

2.3.向量的數(shù)乘運(yùn)算.........................................................4

2.4.向量的數(shù)量積...........................................................5

4.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示............................................5

3.1平面向量基本定理.......................................................5

3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示..........................................5

3.3平面向量加.減運(yùn)算的坐標(biāo)表示...........................................6

3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示............................................6

3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示..............................................6

（一）命題角度剖析.................................................................7

（二）考情分析......................................................................7

（三）高考預(yù)測(cè)......................................................................7

二、題型分類(lèi)與預(yù)測(cè).................................................................7

命題點(diǎn)一：可面向量的概念與運(yùn)算................................................7

1.1母題精析（三年高考真題）..............................................7

一.向量的概念與向量的模（共1小題）................................7

二.向量相等與共線（共1小題）.......................................8

三.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共3小題）.......................8

四.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共2小題）.................9

第1頁(yè)共92頁(yè)

五.平面向量的基本定理（共1小題）.................................10

六.數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共3小題）...........................11

七.數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共1小題）..................12

1.2解題模型...............................................................13

1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?............................................16

一.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共14小題）.....................16

二.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共2小題）................22

三.投影向量（共3小題）.............................................23

四.平面向量的基本定理（共1小題）..................................24

五.平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示（共2小題）....................25

六,數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共4小題）...................26

七.平面向量的綜合題（共1小題）....................................27

命題點(diǎn)二：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用........................................28

1.1母題精析（三年高考真題）.............................................28

一.向量的概念與向量的模（共1小題）...............................28

二.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共15小題）.....................29

三.平面向量的基本定理（共1小題）.................................43

四.數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共1小題）...........................44

五.數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共1小題）..................44

六.正弦定理（共1小題）.............................................45

七.余弦定理（共1小題）.............................................45

八.三角形中的幾何計(jì)算（共2小題）.................................46

1.2解題模型...............................................................47

1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?............................................48

一.向量的概念與向量的模（共1小題）...............................48

二.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共17小題）.....................48

三.平面向量的基本定理（共4小題）.................................63

四,正弦定理（共1小題）..............................................65

五.三角形中的幾何計(jì)算（共1小題）.................................66

第2頁(yè)共92頁(yè)

六.解三南形（共2小題）..................................................67

三、類(lèi)題狂刷（五年區(qū)模、校模）：.....................................................68

一.向量的概念與向量的模（共1小題）..................................69

二.平面向量的線性運(yùn)算（共1小題）....................................69

三.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共26小題）.......................70

四.投影向量（共2小題）................................................87

五.平面向量的基本定理（共2小題）....................................88

六.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（共1小題）....................................89

七.數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共3小題）.............................89

八.正弦定理（共1小題）................................................90

九.解三角形（共1小題）................................................91

一、主干知識(shí)歸納與回顧

固方位何相

4.1.平面向量的概念

1.平面向量的概念：

向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.

向量的模：向量蕊的大小，也就是向量茄的長(zhǎng)度（或稱(chēng)模），記作|萬(wàn).

零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作6.

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量.

平行（共線）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）.記作：a//b.

規(guī)定：零向量與任意向量平行.

相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

第3頁(yè)共92頁(yè)

2.4.向量的數(shù)量積

1.向量的夾角：

已知兩個(gè)非零向量Z九O是平面上的任意一點(diǎn)，作方=￡,。方=兀則/月。3=。(04。4萬(wàn))叫做向量

￡與否的夾角.

2.。與人垂直：如果。與人的夾角是勺，則。與人垂直，記作。_L/).

2

3.數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量3,它們的夾角為。，我們把數(shù)量同WcosO叫做向量"與B的數(shù)量積(或

內(nèi)積)，記作a-b,即ai=a6cos0.

4.投影向量：向量［在B上的投影向量：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作兩=￡,而=石，過(guò)點(diǎn)M作直線ON的

垂線，垂足為則0/%就是向量。在向量B上的投影向量.設(shè)與B同方向的單位向量為e,〃與B的夾

角為伍則0必=acosGe.

5.數(shù)量積的性質(zhì)：(1)=。cos。(2)〃J_B=Q*=O(3)?；颉?&.a=)

(4)a-b<ab

6,數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a-b=b-a(2)=2(a?族)=

(3)(a+4C=Q.C+"C結(jié)論：(a+B)=a+2a-b-}-b^,(a+一右)二〃~一石二

4.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

3.1平面向量基本定理

平面向量基本定理：

如果?是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)任一向量Z,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4,冬，

使工=41+41.{1,可叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

1.正交分解：把?個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

2.向量。的坐標(biāo)表示：

第5頁(yè)共92頁(yè)

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與X軸.y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為7,）,取F；）作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的

任意一個(gè)向量7由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得￡=+,這樣平面內(nèi)的任一向

量。都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)（x,y）叫做向量。的坐標(biāo)，記作Q=（x,y）,其中x叫做。在x軸上

的坐標(biāo)，y叫做。在y軸上的坐標(biāo)，a=（x,y）叫做向量。的坐標(biāo)表示.

3.3平面向■加.減運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.設(shè)。二（2,弘）[二卜2，?2），則：⑴。+否=（為+%2，%+%），⑵。一族二（七一工2,必一歹2），

即：兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差）

2.己知力（西，乂）,4（七，》2）,則己3=（%2一再”2-%）?

3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.設(shè)〃=貝=

2.設(shè)4=（陽(yáng),乂）1=（12，》2），則向量。，坂共線的充要條件是王丁2一%2%=0-

3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1.設(shè)Q=（x”必）,3=（%，%），則：（1）a-b=x]x2^y]y2（2）a=4x；+y：

（3）a.Lhoa-b=0ox,x,+y.y,=0（4）cos0==/上占+為必

1alM|斤嘉.豆57

（5）設(shè)力（再，M）,8（￡,%），則：4B=幾-3）2+（乃fl.

服，”學(xué)有筆記

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第6頁(yè)共92頁(yè)

.全疆裕盛

（-）命題角度剖析

1?平面向?的概念與運(yùn)2,平面向■在幾何圖形中的應(yīng)用★★★☆☆

清情今新

（二）考情分析

高考頻率：100%試題難度：中等呈現(xiàn)形式：以選擇題或填空題

a方考會(huì)例

（=）高考預(yù)測(cè)

試題以平面向量的基本運(yùn)算為主，考查平面向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的

夾角與模.著重考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想

二、題型分類(lèi)與預(yù)測(cè)

駕校方”

命題點(diǎn)一：平面向量的概念與運(yùn)算

1.1母題精析（三年高考真題）

向■的概念與向量的模（共1小題）

1.（2023?新高考H）已知向量萬(wàn),B滿(mǎn)足|。一加=百，|不+行=|22-5|,則|B|=_G_.

【分析】根據(jù)向顯數(shù)量積的性質(zhì)及方程思想，即可求解.

【解答】解：?.恒-昨6,

.?.a2+h2-2a-b=3,a2+b2+2ii?b=4a2+b2-4ab,

/.a2=2a^h,/.b2=3,

|6|=V3.

故答案為：6.

第7頁(yè)共92頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)及方程思想，屬基礎(chǔ)題.

二.向量相等與共線(共1小題)

2.(2022?全國(guó))已知向量不二(x+2,l+x),b=(x-2A-x).若G/區(qū)，則()

A.x2=2B.|x|=2C.x2=3D.|x|=3

【分析】由已知可得X+2)(17)-0+XXX-2)=0,計(jì)算即可.

【解答】解：一,a=(x+2,1+x),h=(x-2,1-x).

/.(x+2)(1-x)-(1+x)(x-2)=0,

/.-lx2+4=0>/.x2=2.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

三.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算(共3小題)

3.(2021?甲卷)若向量萬(wàn),5滿(mǎn)足|汨=3,I>一B|=5,a-b=\,則出|=_3及_.

【分析】由題意首先計(jì)算5-B)2,然后結(jié)合所給的條件，求出向量的模即可.

【解答】解：由題意,可得(口一&2=/-2葭］+"=25,

因?yàn)閨d|=3,a-b=\,所以9-2KI+戶(hù)=25,

所以戶(hù)=18,防上病=3夜.

故答案為：3及.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算和向量的模，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2021?新高考H)已知向量。+坂+^=6,|由=1,|h|=|c|=2,則①B+51+52=_—告

【分析】a+b+c=0^>a+b=-c^a+c=-bs^b+c=-a,三等式兩邊平方可解決此題.

【解答】解：方法1：由。+B+5=0得。+方=-三或方+0=-?；?+0=-),

.?.伍+Bp=(-c)2或伍+c)2=(一不)2或@+c)2=(-a)2,

又|^|=|c|=2,.?.5+2小5=4,5+2a-c=4,8+2坂七=1,

|1-7-9

/.ab=——，a-c=——，bc=一一，ab+ac+b-c=——.

2222

故答案為：《

第8頁(yè)共92頁(yè)

方法2:濟(jì)/兒"力=3“+＞一舊一所一何=（一"4-4=,.

222

故答案為：-？.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.（2022?乙卷）已知向量萬(wàn)，3滿(mǎn)足|由=1,循|=5舊_必|=3,則刁7=（）

A.-2B.-IC.1D.2

【分析】利用|G-2刈=而二詬結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.

【解答】解：因?yàn)橄蛄?。，B滿(mǎn)足|1|=1,汾|=百，|々-2刈二3,

所以|方一25|=1伍一2垃2=七、4展6+4廬=V-42?B+4x3=3,

兩邊平方得，

13-467-^=9,

解得G?B=1,

故選:C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

四.平面向■數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共2小題）

6.（202（）?浙江）己知平面單位向量q,e滿(mǎn)足12,-g夜.設(shè)2=4+4,b=3et+e2,向量d,力的

夾角為。，則COS?。的最小值是

【分析】設(shè)q、＜?2的夾角為a,由題意求出cosa..（；

再求），B的夾角。的余弦值cos”的最小值即可.

【解答】解：設(shè)［、［的夾角為a,由三，［為單位向量，滿(mǎn)足|21-￡|“后，

月〒以4q2—4et*e2+e^=4—4cosa十L.2，

解得cosa...之：

4

又1%，b=3et+e2,且1,B的夾角為6,

所以a*b=3eJ+4q/+e??=4+4cosa，

ci~=e1+2e］*e2+e2=2+2cosa,

第9頁(yè)共92頁(yè)

2

b=9eJ+6q*e2+e2~=10+6cosa；

一,8

,i2八伍石)2(4+4cosa)24+4cosa43

則mcos0=王一=rr=-----------------------------=-------------=----------------,

a~xZ>-(2+2cosa)(l0+6cosa)5+3cosa35+3cosa

8

所以cosa=?時(shí)，cos］。取得最小值為±——^—7=--

435+3x329

4

故答案為：—.

29

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積與夾角的運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題.

7.(2022?乙卷)己知向量。=(2,1),^=(-2,4),則|"5|=()

A.2B.3C.4D.5

【分析】先計(jì)算”5的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)模長(zhǎng)公式求解.

【解答】解：5=(4,-3),

故卜一司=,42+(-3)2=5,

故選：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向最坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

五.平面向量的基本定理(共1小題)

8.(2022?新高考I)在A/i8c中，點(diǎn)。在邊48上，BD=2DA.記m=冊(cè)，CD=ii,則而=()

A.3而一2萬(wàn)B.一2所+3萬(wàn)C.3所+2萬(wàn)D.2折+3萬(wàn)

【分析】宜接利用平面向量的線性運(yùn)算可得［而=3函-0，進(jìn)而得解.

22

CD=CA+Jb=CA+-DB^CA+-(CB-CD)=CA^-CB--Cb,

2222

-CB=-CD-CA,^CB=3CD-2CA=3n-2m.

22

第10頁(yè)共92頁(yè)

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

六.數(shù)■積表示兩個(gè)向■的夾角(共3小題)

9.(2023?甲卷)向量|A|=|B|=1,|?|=&,且1+B+己=6,則cos3-1,b-c)=()

A.--B.--C.-D.-

5555

【分析】根據(jù)題意，用1、B表示利用模長(zhǎng)公式求出cos<1,b>,再計(jì)算1與5-m的數(shù)量積和夾

角余弦值.

【解答】解：因?yàn)橄蛄縷々|=|石|=1,所|=&，且2+5+3=。，所以Y=2+

所以于=/+戶(hù)+此5,

BP2=l+l+2xlxlxcos<a?b>,

解得cos<ci?Z?>=0?

所以

y.a-c=2a+b,b-c=a+2b,

所以3一5)?(3—5)=(2萬(wàn)+司?(萬(wàn)+2勵(lì)=2/+2戶(hù)+55-5=24-2+0=4,

\a-c\=\b-c\=\l4a2+4a-h+h2=J4+0+1=石，

所以cos〈d-E

\a-c\\h-c\yj5xyJ55

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)夾角的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

10.(2023?甲卷)已知向量值=(3,1),B=(2,2),則COS〈G+B,a-b)=()

B后

A.171D.逑

17C55

【分析】根據(jù)題意,求出方+B和方一B的坐標(biāo),進(jìn)而求出|1+5|、恒一川和(4+楊?(〉一司的值,進(jìn)而由數(shù)

量枳的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，向晟1=(3,1),A=(2,2),

則2+B=(5,3),a-h=(\-\),

第11頁(yè)共92頁(yè)

則有伍+B|=125+9=衣,\a-b\=x/i+\=y/2,(a+b)-(a-b)=2,

(a+b)(a-b)2V17

故COS〈G+B,a-h)

\a+b\\a-b\-V34-V217,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的夾角，涉及向量的數(shù)量積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.(2022?新高考H)已知向量萬(wàn)=(3,4),B=(l,0),c=a+tb,若vG,c>=<b,c>,則/=()

A.-6B.-5C.5D.6

【分析】先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出m=(3+f,4),再由〈刁，c>=<b,c>,利用向量夾角余弦公式列

方程，能求出實(shí)數(shù)，的值.

【脩答】解：?.?向量2=(3,4),6=(1,0),c=a+lb,

c=(3+/,4),

,/<ci,c>=<b,c>,

ac_he.25+3/3+/

\a\-\c\=\b\.\c\'5=~T

解得實(shí)數(shù)f=5.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量夾角余弦公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

七.數(shù)■積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系(共1小題)

12.(2023?新高考I)已知向量2=B=(l,-1).若伍+焉)JL伍+曲,則()

A.2+//=1B.2+//=-1C.Xpi=1D.加=-1

【分析】由已知求得彳+/石與的坐標(biāo)，再由兩向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系列式求解.

【解答】解：.5=(1,-1),

J+=(2+1,1-A),I+=(〃+1,1-〃)，

由伍+2力_1_他+〃E),得(4+1)(〃+1)+(1-㈤(1一〃)=(),

整理得：2即+2=0,即初=-1.

第12頁(yè)共92頁(yè)

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量加法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩向

名總就支技

1.2解題模型

1.平面向■基本定理和性質(zhì)

(1)共線向量基本定理

如果1=4(&/?),則1/區(qū)；反之，如果。〃5且1*6,則一定存在唯一的實(shí)數(shù)力,使2=焉.

(口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘).

(2)平面向量基本定理

如果I和［是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量G,都存在唯一

的一對(duì)實(shí)數(shù)4入，使得)=若+施；，我們把不共線向量心［叫做表示這一平面內(nèi)所有向量

的一組基底，記為忖,可，布+41叫做向量值關(guān)于基底,號(hào)的分解式.

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量I與I不共線，平面內(nèi)的任一向量1都可以分解成

形如。=41十人1的形式，并且這樣的分解是唯一的.］叫做I，I的一個(gè)線性組合.平

面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表

示的基礎(chǔ).

推論1：若方=4,+=4“+46，則4=4，4=4.推論2：若。=則4=4=0.

(3)線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式

如圖所示，在△/BC中，若點(diǎn)。是邊4C上的點(diǎn)，且麗=2灰(4—1),則向量布="+"".在

1+2

向量線性表示(運(yùn)算)有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效,

建議熟練掌握.

BD

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(4)三點(diǎn)共線定理

平面內(nèi)三點(diǎn)4,B,。關(guān)線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)/1,〃，使1=2次+口赤，其中1+〃=1,O

為平面內(nèi)一點(diǎn).此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握.

A.B、。三點(diǎn)共線

=存在唯一的實(shí)數(shù)/，使得前=2而；=存在唯一的實(shí)數(shù)2,使得雙=刀+2萬(wàn)；

o存在唯一的實(shí)數(shù)2，使得反=(1-團(tuán)況+2赤；=存在丸+〃=1,使得反=2方+〃礪.

(5)中線向量定理

如圖所示，在△力BC中，若點(diǎn)。走邊8C的中點(diǎn)，則中線向量而=$而+就)，反之亦正確.

2.平面向?數(shù)■積的類(lèi)型及求法：

(D平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式〃.方=|“|他|COS。；二是坐標(biāo)公式

ab=x]x2+y}y2.

(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)

行比簡(jiǎn).

2.平面向量數(shù)量積主要有兩個(gè)應(yīng)用：

(1)求夾角的大?。喝簟埃榉橇阆蛄?，則由平面向量的數(shù)量積公式得cos0=3(夾角

1。1叫

公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度的問(wèn)題.

(2)確定夾角的范圍：數(shù)量積大于。說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明

不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.

3.向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法與步驟：

G)向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法

①坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)

行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決.

②基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的

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方程來(lái)進(jìn)行求解.

【注】用坐標(biāo)法解題時(shí)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用基向量解題時(shí)要選擇適當(dāng)?shù)幕?

（2）用向量解決平面幾何問(wèn)題的步驟

①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向

量問(wèn)題；

②通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題：

③把運(yùn)算結(jié)果"翻譯''成幾何關(guān)系.

4.利用向?求解三角函數(shù)問(wèn)題的一般思路：

（1）求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式.利用同角三角函

數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解.

（2）求角時(shí)通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，先求值再求角.

（3）解決與向量有關(guān)的二角函數(shù)問(wèn)題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過(guò)向量的相

關(guān)運(yùn)算把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題.

（4）解三角形.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利

用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問(wèn)題.

5.用向■法解決物理問(wèn)題的步驟如下：

（1）抽象出物理問(wèn)題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；（2）建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；

（3）利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；

（4）用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)解釋或分析物理問(wèn)題.

6.常見(jiàn)的向量表示形式：

。）重心.若點(diǎn)G是△44C的重心，則區(qū)）+用+詫=0或可=；（方+而+正）（其中p為平

面內(nèi)任意一點(diǎn)）.反之，若第+痂+而=0,則點(diǎn)G是△力8C的重心.

（2）垂心.若"是△/灰?的垂心，則必.麗=麗.阮=麻司.反之，若旬?麗=用屈=

麻?加，則點(diǎn)〃是△月8c的垂心.

（3）內(nèi)心.若點(diǎn)/是△力5。的內(nèi)心，則|比函+|國(guó)方+|明.元=0.反之，若|畫(huà)后+|西.

岳+|荔|兀=0,則點(diǎn)/是△43C的內(nèi)心.

（4）外心.若點(diǎn)。是的外心，則（而+礪）?麗=（而+方）?而=（反+厲）左=0或

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\OA\^OB\=\OC\.反之，若|西=|西=|沅I，則點(diǎn)。是△48。的外心.

已知非零向量。=（西，乂），b=（x2,y2）,6為向量4、〃的夾角.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模\a|=\iaa1止J-+y2

數(shù)量積a.〃=|a|cos0ab-xxx2+yxy2

a-bX(X2+匕y,

夾角cos6>=-=-^-cos0-/…1?-

lal|b|收+y；?收+￡

aJL6的充要條件ab=0中2+M.2=0

的充要條件a=4從bh0)中2+必必二°

b國(guó)列b|（當(dāng)且僅當(dāng)?！╞1中2+必為內(nèi)

|〃?川與|〃||力|的關(guān)系

時(shí)等號(hào)成立）y/x；+y；,+貨

1.3對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（四年省市?？迹?/p>

一.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共14小題）

1.（2023?福州模擬）已知向量力在單位向量2上的投影向量為-41,則伍+5）2=（）

A.-3B.-1C.3D.5

【分析】根據(jù)投影向量的概念，即可求解.

【解答】解：?.?向量B在單位向是，上的投影向量為-4A,乂|叫=1,

/.|6|cos<a,5>~=（空）d=（鼠b）a=-4a，

IaI

ab=-4,

：.（a+b）-a=a2+ab=[-4=-3.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查投影向量的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題.

2.（2023?泉州模擬）已知平面向量I,b,乙滿(mǎn)足|川=1,b-c=0,ab=\,ac=-\,則|很+1]的最

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小值為()

A.1B.y/2C.2D.4

【分析】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量的模的運(yùn)算及重要不等式的應(yīng)用求解即可.

【解答】解：已知平面向量b,K滿(mǎn)足|刈=1,

設(shè)萬(wàn)=(1,0),b=(x,y),5=(/",〃)，

X6?c=0,ab=1,ac=-1?

xm+yn=0

<x—1>

m=-1

即《x=1?

ny=1

則h+c=(0,y+n),

2

則|B+1|=J。+(<+”)2..J4y〃=2,

當(dāng)且僅當(dāng)y=〃=l時(shí)取等號(hào)，

即揚(yáng)+《的最小值為2,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了向量的模的運(yùn)算及重要不等式的應(yīng)用，屬基

礎(chǔ)題.

3.(2022?福州模擬)已知平面向量d,h,2均為單位向量，且-方|=1,則3-5)-(5-己)的最大值為(

)

113

A.-B.-C.ID.-

422

［分析】利用11-討=1和向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得〃?■=；，并將所求式子化為-l-cos<a-瓦？>,

由cos<a-b,c>e|-l<可求得結(jié)果.

【解答】解：-.^a-h^a2-2a-h+h2=2-2a-b=\,

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(i-b)(b-c)=ab-ac-b2+bc

22

cos<a-b,c>G[-1,1]?

-31

/.(a-b)-(b-c)的最大值為;.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)最積的運(yùn)算以及最大值問(wèn)題，屬于中檔題.

4.（2022?福州模擬）已知向量小B為單位向量，且5則「（4萬(wàn)-3B）=（）

A.-3B.3C.-5D.5

【分析】由題意可得|叫=1、歷|=1，萬(wàn)石=0,根據(jù)數(shù)最積的運(yùn)算律即可求得答案.

【解答】解：由題意可得,|汴1,防|=05=0,

則鼠（4］一3B）=4小5—3戶(hù)=-3戶(hù)二一3,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)量積的應(yīng)用，考查學(xué)生運(yùn)算能力，屬于中檔題.

5.（2022?龍巖模擬）已知不=（-51）,B=（-g,等），則萬(wàn)與B的夾角為（）

A.-B.-C.—D.—

6336

【分析】根據(jù)題意，求出|劃、|月|和不/的值，有向量數(shù)量枳的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，萬(wàn)=（一6，1）,5=（-；，*），

貝i」mi=x/m=2,IBI=%，則G?B=*+與=B

cos<a,b>=,則彳與〃的夾角為C；

miw26

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021?泉州一模）已知單位向量萬(wàn)，5滿(mǎn)足。石=',Rc=2a+b,則sin<。，c>=（）

4

'半B考。半它

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【分析】利用已知條件求出乙的長(zhǎng)度，a-c,然后求解向量數(shù)量積的余弦函數(shù)值，再求解sin<。，c>.

【解答】解：?jiǎn)挝幌蛄咳f(wàn)，B滿(mǎn)足小B=且云=21+石，

4

所以|3|=，0+4入6+必=瓜.

-19

a-c=a-(2a+b)=2+-=-,

44

9

所以cos<a,c>="「=-j==

I祚IR8

所以sin<I,c>=

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的求法與應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是中檔題.

7.(2019?漳州二模)已知向量八6滿(mǎn)足|引=1,且值與6央用為貝IJ4?(-6a-5)=()

A.6B.-6C.-7D.7

【分析】先去括號(hào)再用數(shù)量積的性質(zhì)運(yùn)算可得.

【解答】解：a*(-6a-b)=-6a2-ci*b=-6-0=-6

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

8.(2021?漳州模擬)已知向量I與4的夾角為45。，|叫=啦,|昨2,則五0-涕)=()

A.2B.-2C.4D.-4

【分析】直接利用向量的數(shù)量積的求法，化簡(jiǎn)求解即可.

【解答］解：向量值與5的夾角為45。，|G|=&,|凡=2,

貝|」入伍一2月)=32-2〃葦=2-2*石*2*孝=一2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的求法與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

9.(2021?龍巖模擬)已知|2|=2,向=1,且彳與B的夾角為：，則伍+B)-E=()

A.V3+1B.1C.2D.3

【分析】利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可.

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【解答】解：|J|=2,|^|=1,且俗與I的夾角為工,

3

+=P+56=1+2x1x1=2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積的求法，是基礎(chǔ)題.

10.(2023?泉州模擬)已知向量值=(6,1),B=(cose,sin0),則下列說(shuō)法正確的是()

A.若夕=——，則B.若G/而，則夕=工

36

C.小B的最大值為2D.B|的取值范圍是[1,3]

【分析】由平面向量共線及垂直的坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合平面向量的模的運(yùn)算及三角函數(shù)值域的求法逐一判斷即

可杼解.

【解答】解：已知向量方=(G,l),h=(cos^,sin^).

對(duì)于選項(xiàng)4,當(dāng)。=葛時(shí)，?=(-；，當(dāng))，

則萬(wàn)4二百、(一；)+1、*=0,

則GJ■鼠

即選項(xiàng)A正確;

對(duì)于選項(xiàng)3,若石/區(qū),

則、bsin0=cos0,

BPtan0=—,

3

則0=1+%乃，keZ,

6

即選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,a=75cos6^4-sin=2sin(6/4.y)G[-2,2],

即34的最大值為2,

即選項(xiàng)C正確：

對(duì)于選項(xiàng)。，萬(wàn)一了=(\/J-cosai-sin。)，

則一B|二J(逐一cos《A+(1—sin，尸二,5—4sin(0+()w[1,3],

即選項(xiàng)Z)正確.

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故選：ACD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量共線及垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量的模的運(yùn)算及三角函數(shù)值域的

求法，屬基礎(chǔ)題.

11.(2023?福建模擬)已知向量2=(1,2),1=(-4,2),則()

A.但-5)_1_伍+方)

B.\a-b\=\a+b\

C.在。上的投影向量是

D./在口+E上的投影向量是(-3,4)

【分析】先計(jì)算2-6和0+B,再根據(jù)平面向?qū)彅?shù)展積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可判斷選項(xiàng)4,由模長(zhǎng)的計(jì)算方法可

判斷選項(xiàng)8,根據(jù)投影向量的計(jì)算方法可判斷選項(xiàng)。和。.

【解答】解：因?yàn)?=(1,2),5=(-4,2),

所以G-B=(5,0),a+^=(-3,4),

選項(xiàng)力，(a-b)-(a+b)=-\5^0,所以伍-B)JL伍+很)不成立，即N錯(cuò)誤;

選項(xiàng)8,|萬(wàn)一解=5,|萬(wàn)+坂|=5,所以+即8正確；

選項(xiàng)C,(另一日)3=(-5,0)-(1,2)=-5,

_a(h-a)aa-51-

所以5-G在G上的投影向量為—M,a>=----------------=?—=?a=即C止確;

mimim石后

選項(xiàng)a-(a+b)=(\,2)-(一3,4)=5,

所以"在。+B上的投影向量為|I|cos<2,G+B>?>+,=」=^.1.(-3,4)=(-—,—),

\a+b\\a+b\\a+b\5555

即D錯(cuò)誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，投影向量的求法，考查邏輯推理能力和