2024-2025學年高中數學第1章計數原理1.2排列與組合1.2.1排列學案新人教B版選修2-3

PAGEPAGE11．2.1排列1.了解基本計數原理與排列的關系．2.理解排列的概念及排列數公式．3．能用排列的概念、排列數公式解決一些簡潔的實際問題．1．排列的相關概念(1)排列：一般地，從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素，依據肯定的依次排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．(2)全排列：一般地，n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列．(3)兩個排列相同：組成排列的元素相同，并且元素的排列依次也相同．2．排列數與排列數公式(1)排列數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的全部排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．(2)排列數公式①排列數公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)，這里n，m∈N＋，并且m≤n.②全排列數公式：Aeq\o\al(n,n)＝n?。垡?guī)定：0！＝1．1．推斷(對的打“√”，錯的打“×”)(1)a，b，c與b，a，c是同一個排列．()(2)同一個排列中，同一個元素不能重復出現．()(3)在一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發(fā)生改變．()(4)從4個不同元素中任取三個元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．下列問題屬于排列問題的是()①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；④從數字5，6，7，8中任取兩個不同的數作冪運算．A．①④ B．①②C．④ D．①③④答案：A3．Aeq\o\al(2,4)＝________，Aeq\o\al(3,3)＝________．答案：1264．若Aeq\o\al(m,10)＝10×9×…×5，則m＝________．答案：6排列的概念[學生用書P5]推斷下列問題是否為排列問題：(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(4)選10人組成一個學習小組；(5)選3個人分別擔當班長、學習委員、生活委員；(6)某班40名學生在假期相互通信．【解】(1)中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在依次問題，所以不是排列問題．(2)植樹和種菜是不同的，存在依次問題，屬于排列問題．(3)(4)不存在依次問題，不屬于排列問題．(5)中每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在依次問題，屬于排列問題．(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著依次問題，屬于排列問題．所以在上述各題中(2)(5)(6)屬于排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題．eq\a\vs4\al()(1)推斷一個問題是不是排列問題，關鍵看是否與元素的依次有關．若與依次有關，就是排列問題，與依次無關，就不是排列問題，必要時可以變換元素的依次比較是否有改變．(2)枚舉全部排列時留意“樹形圖法”、“列表法”等方法的應用．從0，1，2，3這四個數字中，每次取出三個不同的數字排成一個三位數．(1)能組成多少個不同的三位數，并寫出這些三位數．(2)若組成這些三位數中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個位，則這樣的三位數共有多少個，并寫出這些三位數．解：(1)組成三位數分三個步驟：第一步：選百位上的數字，0不能排在首位，故有3種不同的排法；其次步：選十位上的數字，有3種不同的排法；第三步：選個位上的數字，有2種不同的排法．由分步乘法計數原理得共有3×3×2＝18個不同的三位數．畫出下列樹形圖：由樹形圖知，全部的三位數為102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321.(2)干脆畫出樹形圖：由樹形圖知，符合條件的三位數有8個：201，210，230，231，301，302，310，312.排列數公式的有關運算或證明[學生用書P5](1)用排列數表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n<55)；(2)計算eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))；(3)求證：Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).【解】(1)因為55－n，56－n，…，69－n中的最大數為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15個元素，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).(2)eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1.(3)證明：法一：因為Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(（n＋1）！,（n＋1－m）！)－eq\f(n！,（n－m）！)＝eq\f(n！,（n－m）！)·(eq\f(n＋1,n＋1－m)－1)＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,（n＋1－m）！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，所以Aeq\o\al(m,n)＋1－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).法二：Aeq\o\al(m,n＋1)表示從n＋1個元素中取出m個元素的排列個數，其中不含元素a1的有Aeq\o\al(m,n)個．含有a1的可這樣進行排列：先排a1，有m種排法，再從另外n個元素中取出m－1個元素排在剩下的m－1個位置上，有Aeq\o\al(m－1,n)種排法．故Aeq\o\al(m,n)＋1＝mAeq\o\al(m－1,n)＋Aeq\o\al(m,n)，所以mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n).eq\a\vs4\al()排列數公式的形式及選擇方法排列數公式有兩種形式，一種是連乘積的形式，另一種是階乘的形式，若要計算含有數字的排列數的值，常用連乘積的形式進行計算，而要對含有字母的排列數的式子進行變形或作有關的論證時，一般用階乘式．解不等式：Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8).解：由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)，得eq\f(8！,（8－x）！)<6×eq\f(8！,（10－x）！)，化簡得x2－19x＋84<0，解之得7<x<12，①又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－2≥0，))所以2≤x≤8，②由①、②及x∈N＋，得x＝8.排列的應用[學生用書P6]某一天的課程表要排入政治、語文、數學、物理、體育、美術共六節(jié)課，假如第一節(jié)不排體育，最終一節(jié)不排數學，那么共有多少種不同課程表的排法？【解】法一：6節(jié)課總的排法是Aeq\o\al(6,6)，其中不符合要求的可分為：體育排在第一節(jié)有A55種排法，如圖中Ⅰ；數學排在最終一節(jié)有Aeq\o\al(5,5)種排法，如圖中Ⅱ；但這兩種方法，都包括體育在第一節(jié)，數學排在最終一節(jié)，如圖中Ⅲ，這種狀況有Aeq\o\al(4,4)種排法，因此符合條件的排法應是：Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504種．法二：依據要求，課程表支配可分為四種狀況：(1)體育、數學既不排在第一節(jié)也不排在最終一節(jié)，這種狀況有Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)種排法；(2)數學排在第一節(jié)但體育不排在最終一節(jié)，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)種排法；(3)體育排在最終一節(jié)但數學不排在第一節(jié)，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)種排法；(4)數學排在第一節(jié)，體育排在最終一節(jié)，有Aeq\o\al(4,4)種排法．這四類排法并列，不重復也不遺漏，故總的排法有：Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(4,4)＝504種．eq\a\vs4\al()本例用間接法(法一)求解時，簡潔出現的錯誤是：在全排列中，解除了第一節(jié)排體育課，又解除了最終一節(jié)排數學課后，卻未加上第一節(jié)排體育課且最終一節(jié)排數學課這種狀況．事實上這種狀況在兩種狀況(2Aeq\o\al(5,5))都被解除了，因而被解除了兩次，但事實上只能解除一次，故須要重新加上這種狀況．從六名老師中選四名老師去西藏、新疆、青海、甘肅援教，要求每個省份去一名老師，且這六名老師中甲、乙兩名老師不去西藏，則有多少種不同的方案？解：法一：先從六名老師中把甲、乙兩名老師去掉，然后從余下的四名老師中選一名老師去西藏的方案有Aeq\o\al(1,4)種，然后從包括甲、乙兩名老師在內的五名老師中選三名老師去其他三個省份的方案有Aeq\o\al(3,5)種，所以符合要求的方案為Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＝240種．法二：去除法(間接法)6名老師中任選4名去4個省份的方案有N1＝Aeq\o\al(4,6)＝360種，甲老師去西藏的方案有N2＝Aeq\o\al(3,5)＝60種，乙老師去西藏的方案有N3＝Aeq\o\al(3,5)＝60種．所以符合要求的方案為N＝N1－N2－N3＝240種．————————————————————————————————————————————————1．排列數兩個公式的選取技巧(1)排列數的第一個公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)適用m已知的排列數的計算以及排列數的方程和不等式．在運用時要留意它的特點，從n起連續(xù)寫出m個數的乘積即可．(2)排列數的其次個公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,（n－m）！)用于與排列數有關的證明、解方程、解不等式等，在詳細運用時，應留意先提取公因式再計算．2．求解排列問題的主要方法干脆法把符合條件的排列數干脆列式計算優(yōu)先法優(yōu)先支配特別元素或特別位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時留意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中

續(xù)表定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉化的方法1．在排列數公式中，Aeq\o\al(m,n)中的m、n滿意條件m≤n且m、n∈N＋，在解方程和不等式時，要留意限制條件．2．對于間接法，要清晰不適合題意的排法總數，不要“多減”或“少減”．1．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．Aeq\o\al(4,n) B．Aeq\o\al(n－4,n)C．n?。?! D．Aeq\o\al(n－3,n)解析：選D.原式可寫成n·(n－1)·…×6×5×4，故選D.2.已知Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，則n＝________．解析：由Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，得(n＋1)·n－n(n－1)＝10，解得n＝5.答案：53．6名學生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數為________．解析：排法種數為Aeq\o\al(6,6)＝720.答案：7204．5位母親帶領5名兒童站成一排照相，兒童不相鄰的站法有________種．解析：第1步，先排5位母親的位置，有Aeq\o\al(5,5)種排法；第2步，把5名兒童插入5位母親所形成的6個空位中，如下所示：母親____母親____母親____母親____母親____，共有Aeq\o\al(5,6)種排法．由分步乘法計數原理可知，符合條件的站法共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(5,6)＝86400種．答案：86400[A基礎達標]1．已知下列問題：①從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參與數學、物理愛好小組；②從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參與一項活動；③從a，b，c，d中選出3個字母；④從1，2，3，4，5這五個數字中取出2個數字組成一個兩位數．其中是排列問題的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選B.由排列的定義知①④是排列問題．2．已知Aeq\o\al(2,n)＝132，則n等于()A．11 B．12C．13 D．14解析：選B.Aeq\o\al(2,n)＝n(n－1)＝132，且n∈N＋，所以n＝12.3．要從a，b，c，d，e5個人中選出1名組長和1名副組長，但a不能當副組長，則不同的選法種數是()A．20 B．16C．10 D．6解析：選B.不考慮限制條件有Aeq\o\al(2,5)種選法，若a當副組長，有Aeq\o\al(1,4)種選法，故a不當副組長，有Aeq\o\al(2,5)－Aeq\o\al(1,4)＝16種選法．4．從0，2中選一個數字，從1，3，5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數，其中奇數的個數為()A．24 B．18C．12 D．6解析：選B.若選0，則0只能在十位，此時組成的奇數的個數是Aeq\o\al(2,3)；若選2，則2只能在十位或百位，此時組成的奇數的個數是2×Aeq\o\al(2,3)＝12，依據分類加法計數原理得總個數為6＋12＝18.5．12名選手參與校內歌手大獎賽，大賽設一等獎、二等獎、三等獎各一名，每人最多獲得一種獎項，則不同的獲獎種數為()A．123 B．312C．Aeq\o\al(3,12) D．12＋11＋10解析：選C.從12名選手中選出3名并支配獎次，共有Aeq\o\al(3,12)種不同的獲獎狀況．6．若集合P＝{x|x＝Aeq\o\al(m,4)，m∈N＋}，則集合P中共有________個元素．解析：因為x＝Aeq\o\al(m,4)，所以有m∈N＋且m≤4，所以P中的元素為Aeq\o\al(1,4)＝4，Aeq\o\al(2,4)＝12，Aeq\o\al(3,4)＝Aeq\o\al(4,4)＝24，即集合P中有3個元素．答案：37．六個停車位置，有3輛汽車須要停放，若要使三個空位連在一起，則停放的方法數為________．解析：把3個空位看作一個元素，與3輛汽車共有4個元素全排列，故停放的方法有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24種．答案：248．若Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)，則x＝________．解析：因為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，,x≥3，))所以x≥3，x∈N＋，由Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x)得(2x＋1)2x(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)．化簡得，4x2－35x＋69＝0，解得，x1＝3，x2＝eq\f(23,4)(舍)．所以方程的解為x＝3.答案：39．分別求出符合下列要求的不同排法的種數．(1)6名學生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名學生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相鄰．解：(1)分排與直排一一對應，故排法種數為Aeq\o\al(6,6)＝720.(2)甲不能排頭尾，讓受特別限制的甲先選位置，有Aeq\o\al(1,4)種選法，然后其他5人排，有Aeq\o\al(5,5)種排法，故排法種數為Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480.(3)甲、乙不相鄰，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；其次步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之間的空位中排，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480種排法．10．用1，2，3，4，5，6，7排出無重復數字的七位數，按下述要求各有多少個？(1)偶數不相鄰；(2)偶數肯定在奇數位上；(3)1和2之間恰夾有一個奇數，沒有偶數．解：(1)用插空法，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝1440個．(2)先把偶數排在奇數位上有Aeq\o\al(3,4)種排法，再排奇數有Aeq\o\al(4,4)種排法，所以共有Aeq\o\al(3,4)Aeq\o\al(4,4)＝576個．(3)在1和2之間放一個奇數有Aeq\o\al(1,3)種方法，把1，2和相應的奇數看成整體和其他4個數進行排列有Aeq\o\al(5,5)種排法，所以共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(5,5)＝720個．[B實力提升]11．某班從8名運動員中選取4人參與4×100米接力賽，則不同參賽方案的種數是()A．1680 B．24C．1681 D．25解析：選A.不同的參賽方案共有Aeq\o\al(4,8)＝1680種．12．某停車站畫出一排12個停車位置，今有8輛不同的車須要停放，若要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停車方法有()A．Aeq\o\al(8,12)種 B．2Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(4,4)種C．8Aeq\o\al(8,8)種 D．9Aeq\o\al(8,8)種解析：選D.將4個空車位視為一個元素，與8輛車共9個元素進行全排列，共有Aeq\o\al(9,9)＝9Aeq\o\al(8,8)種．13．一條鐵路有n個車站，為適應客運須要，新增了m個車站，