2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第6講幾何概型創(chuàng)新教學(xué)案含解析新人教版

PAGE第6講幾何概型[考綱解讀]1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率．2．了解幾何概型的意義，并能求與長度或面積有關(guān)的幾何概型的概率．(重點)[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講是高考的熱點之一．預(yù)料2024年將會考查：①與長度有關(guān)的幾何概型，常與函數(shù)、不等式、向量結(jié)合；②與面積有關(guān)的幾何概型，常涉及線性規(guī)劃、定積分等內(nèi)容．題型為客觀題，試題難度不大，屬中、低檔試題.1.幾何概型的定義假如每個事務(wù)發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的eq\o(□,\s\up1(01))長度(面積或體積)成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型．2．幾何概型的兩個基本特點3．幾何概型的概率公式P(A)＝eq\o(□,\s\up1(01))eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).1．概念辨析(1)幾何概型的試驗結(jié)果的個數(shù)是無限的，古典概型中試驗結(jié)果的個數(shù)是有限的．()(2)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形態(tài)有關(guān)．()(3)幾何概型中，每一個基本領(lǐng)件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等．()(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．()答案(1)√(2)×(3)√(4)√2．小題熱身(1)有四個嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一個玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的嬉戲盤是()答案A解析如題干選項中圖，各種狀況的概率都是其面積比，中獎的概率依次為P(A)＝eq\f(3,8)，P(B)＝eq\f(2,8)，P(C)＝eq\f(2,6)，P(D)＝eq\f(1,3)，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故選A.(2)在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則m＝()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析區(qū)間[－2,4]的長度為6，在[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(5,6)，則對應(yīng)區(qū)間長度為5，由[－2,3]的長度為5，得m＝3.(3)(2024·福州四校聯(lián)考)如圖，在圓心角為90°的扇形AOB中，以圓心O為起點在eq\o\ac(AB,\s\up15(︵))上任取一點C作射線OC，則使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,6)答案A解析記事務(wù)T是“作射線OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如圖，記eq\o\ac(AB,\s\up15(︵))的三等分點為M，N，連接OM，ON，則∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，則符合條件的射線OC應(yīng)落在扇形MON中，所以P(T)＝eq\f(∠MON,∠AOB)＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3)，故選A.(4)在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點答案1－eq\f(π,12)解析正方體的體積為2×2×2＝8，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πr3＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×13＝eq\f(2π,3)，則點P到點O的距離大于1的概率為1－eq\f(\f(2π,3),8)＝1－eq\f(π,12).題型一與長度(角度)有關(guān)的幾何概型1．在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數(shù)x，則事務(wù)“－1≤logeq\s\do4(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)答案A解析不等式－1≤logeq\s\do4(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化為logeq\s\do4(\f(1,2))2≤logeq\s\do4(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\s\do4(\f(1,2))eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).條件探究1將本例中的條件“－1≤logeq\s\do4(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”改為“使函數(shù)y＝eq\r(log\s\do4(\f(1,2))4x－3)有意義”，則其概率為________．答案eq\f(1,8)解析由logeq\s\do4(\f(1,2))(4x－3)≥0得0＜4x－3≤1，即x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))，由幾何概型的概率公式，得P＝eq\f(1－\f(3,4),2－0)＝eq\f(1,8).條件探究2將本例中的條件“－1≤logeq\s\do4(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”改為“2≤2x＋eq\s\up4(\f(1,2))≤4”，則其概率為________．答案eq\f(1,2)解析由2≤2x＋eq\f(1,2)≤4得1≤x＋eq\f(1,2)≤2，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，由幾何概型的概率公式，得P＝eq\f(\f(3,2)－\f(1,2),2－0)＝eq\f(1,2).2．(2024·東北三省三校聯(lián)考)如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝1，BC＝eq\r(3)，在邊AD上任取點E，連接BE交AC于點F，則AF<eq\f(1,2)的概率為________．答案eq\f(\r(3),3)解析由題意，得△ABC為直角三角形，由AB＝1，BC＝eq\r(3)，得AC＝2.當(dāng)AF＝eq\f(1,2)時，CF＝eq\f(3,2)，因為△AFE∽△CFB，所以eq\f(AE,AF)＝eq\f(BC,CF)，即eq\f(AE,\f(1,2))＝eq\f(\r(3),\f(3,2))，所以AE＝eq\f(\r(3),3)，且點E的活動區(qū)域為線段AD，AD＝1.所以AF<eq\f(1,2)的概率為eq\f(\f(\r(3),3),1)＝eq\f(\r(3),3).3．如圖，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C作射線CM交AB于點M，則使得AM小于AC的概率為________．答案eq\f(3,4)解析當(dāng)AM＝AC時，△ACM為以A為頂點的等腰三角形，∠ACM＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°.當(dāng)∠ACM＜67.5°時，AM＜AC，所以AM小于AC的概率P＝eq\f(∠ACM的度數(shù),∠ACB的度數(shù))＝eq\f(67.5°,90°)＝eq\f(3,4).1．與長度有關(guān)的幾何概型(1)假如試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域長度,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度).(2)與時間、不等式及其解有關(guān)的概率問題與時間、不等式及其解有關(guān)的概率問題可依據(jù)轉(zhuǎn)化與化歸思想將其轉(zhuǎn)化為與長度有關(guān)的幾何概型，利用幾何概型求解．2．與角度有關(guān)的幾何概型當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，且不行用線段的長度代替，這是兩種不同的度量手段．1．(2024·河南八市重點中學(xué)聯(lián)盟模擬)函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋8(－4≤x≤6)，在其定義域內(nèi)任取一點x0，使f(x0)≥0的概率是()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案C解析由題意，得f(x0)≥0，即－xeq\o\al(2,0)＋2x0＋8≥0，解得{x0|－2≤x0≤4}，所以由長度的幾何概型可得概率為P＝eq\f(4－－2,6－－4)＝eq\f(3,5).2．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧eq\o\ac(DE,\s\up15(︵))，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為.答案eq\f(1,3)解析因為在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則等可能基本領(lǐng)件為“∠DAB內(nèi)作射線AP”，所以它的全部等可能事務(wù)所在的區(qū)域是∠DAB，當(dāng)射線AP與線段BC有公共點時，射線AP落在∠CAB內(nèi)，區(qū)域為∠CAB，所以射線AP與線段BC有公共點的概率為eq\f(∠CAB,∠DAB)＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3).題型二與面積有關(guān)的幾何概型角度1與隨機模擬相關(guān)的幾何概型1．(2024·鄭州三模)關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過很多很有創(chuàng)意的求法，如聞名的蒲豐試驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的試驗來估計π的值，試驗步驟如下：①先請高二年級n名同學(xué)每人在小卡片上隨機寫下一個實數(shù)對(x，y)(0<x<1,0<y<1)；②若卡片上的x，y能與1構(gòu)成銳角三角形，則將此卡片上交；③統(tǒng)計上交的卡片數(shù)，記為m；④依據(jù)統(tǒng)計數(shù)n，m估計π的值．可以估計π的值約為()A.eq\f(m,n) B.eq\f(n－m,n)C.eq\f(4n－m,n) D.eq\f(4m,n)答案C解析如圖所示，實數(shù)對(x，y)在邊長為1的正方形OABC的內(nèi)部(不包括邊界)，若能和1構(gòu)成銳角三角形，則x，y滿意x2＋y2>1，則實數(shù)對(x，y)在如圖所示的陰影部分(不包括邊界)，則能構(gòu)成銳角三角形的概率為eq\f(1－\f(π,4),1)＝eq\f(m,n)，解得π＝eq\f(4n－m,n).角度2與平面圖形面積有關(guān)的問題2．(2024·晉冀魯豫中原名校聯(lián)考)1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教化日志》上發(fā)表了勾股定理的一種證明方法，即在如圖的直角梯形ABCD中，利用“兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形的面積之和等于直角梯形面積”，可以簡潔明白地推證出勾股定理.1881年加菲爾德就任美國其次十任總統(tǒng)．后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、易懂的證明，就把這一證明方法稱為“總統(tǒng)證法”．如圖，設(shè)∠BEC＝15°，在梯形ABCD中隨機取一點，則此點取自等腰直角三角形CDE中(陰影部分)的概率是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(3,4)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(2),2)答案C解析在直角三角形EBC中，a＝ccos15°，b＝csin15°，則P＝eq\f(S△CDE,S梯形ABCD)＝eq\f(\f(1,2)c2,\f(1,2)a＋b2)＝eq\f(c2,c2cos15°＋sin15°2)＝eq\f(1,1＋sin30°)＝eq\f(2,3).角度3與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概型3．(2024·大慶模擬)設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,x＋y≥0，,x－y≥0，))表示的平面區(qū)域為Ω，在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點P(x，y)，則P點的坐標滿意不等式x2＋y2≤2的概率為()A.eq\f(π,8) B.eq\f(π,4)C.eq\f(1,2＋π) D.eq\f(1,\r(2)＋π)答案A解析畫出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≤0，,x＋y≥0，,x－y≥0))所表示的區(qū)域Ω，易知A(2,2)，B(2，－2)，所以△AOB的面積為4，滿意不等式x2＋y2≤2的點，在區(qū)域Ω內(nèi)是一個以原點為圓心，eq\r(2)為半徑的eq\f(1,4)圓面，其面積為eq\f(π,2)，由幾何概型的公式可得其概率為P＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).角度4與定積分有關(guān)的幾何概型4．(2024·常德一中模擬)如圖，在矩形OABC中的曲線分別是y＝sinx，y＝cosx的一部分，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，C(0,1)，在矩形OABC內(nèi)隨機取一點，若此點取自陰影部分的概率為p1，取自非陰影部分的概率為p2，則()A．p1<p2 B．p1>p2C．p1＝p2 D．大小關(guān)系不能確定答案B解析依據(jù)題意，得陰影部分的面積的一半為eq∫\s(\f(π,4),0)(cosx－sinx)dx＝sinx＋cosxeq|\s(\f(π,4),0)＝eq\r(2)－1，于是此點取自陰影部分的概率為p1＝2×eq\f(\r(2)－1,\f(π,2))＝eq\f(4\r(2)－1,π)>eq\f(4×1.4－1,3.2)＝eq\f(1,2).又p2＝1－p1<eq\f(1,2)，故p1>p2.1．與平面幾何、解析幾何等學(xué)問交匯問題的解題思路利用平面幾何、解析幾何等相關(guān)學(xué)問，先確定基本領(lǐng)件對應(yīng)區(qū)域的形態(tài)，再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê凸?，計算出其面積，進而代入公式求概率．見舉例說明1、2.2．與線性規(guī)劃交匯問題的解題思路先依據(jù)約束條件作出可行域，再確定形態(tài)，求面積大小，進而代入公式求概率．見舉例說明3.3．與定積分交匯問題的解題思路先確定基本領(lǐng)件對應(yīng)區(qū)域的形態(tài)構(gòu)成，再將其面積轉(zhuǎn)化為某定積分的計算，并求其大小，進而代入公式求概率．見舉例說明4.1．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”．太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．依據(jù)太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標系中，圓O被函數(shù)y＝3sineq\f(π,6)x的圖象分割為兩個對稱的魚形圖案(如圖)，其中小圓的半徑均為2，現(xiàn)從大圓內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,18) D.eq\f(1,36)答案B解析因為函數(shù)y＝3sineq\f(π,6)x的圖象與x軸交于點(6,0)和點(－6,0)，則大圓的半徑為6，所以S大圓＝36π.又小圓的半徑為2，故兩個小圓的面積和為8π，所以所求的概率為P＝eq\f(8π,36π)＝eq\f(2,9).2．如圖，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)＝x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于________．答案eq\f(5,12)解析由題圖可知S陰影＝S矩形ABCD－eq\i\in(1,2,)x2dx＝1×4－eq\f(x3,3)|eq\o\al(2,1)＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)－\f(1,3)))＝eq\f(5,3)，則所求事務(wù)的概率P＝eq\f(S陰影,S矩形ABCD)＝eq\f(\f(5,3),4)＝eq\f(5,12).3．已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.(1)若a，b分別表示將一質(zhì)地勻稱的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、其次次出現(xiàn)的點數(shù)，求y＝f(x)恰有一個零點的概率；(2)若a，b∈[1,6]，求滿意y＝f(x)有零點的概率．解(1)設(shè)(a，b)表示一個基本領(lǐng)件，則拋擲兩次骰子的全部基本領(lǐng)件共36個．用A表示事務(wù)“y＝f(x)恰有一個零點”，即Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，則a＋1＝2b.則A包含的基本領(lǐng)件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3個，所以P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).即事務(wù)“y＝f(x)恰有一個零點”的概率為eq\f(1,12).(2)用B表示事務(wù)“y＝f(x)有零點”，即a＋1≥2b.試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6}，構(gòu)成事務(wù)B的區(qū)域為{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6，a－2b＋1≥0}．如圖所示：所以所求的概率為P(B)＝eq\f(\f(1,2)×5×\f(5,2),5×5)＝eq\f(1,4).即事務(wù)“y＝f(x)有零點”的概率為eq\f(1,4).題型三與體積有關(guān)的幾何概型某個四面體的三視圖如圖所示，若在該四面體的外接球內(nèi)任取一點，則點落在四面體內(nèi)的概率為()A.eq\f(9,13π) B.eq\f(1,13π)C.eq\f(9\r(13),169π) D.eq\f(\r(13),169π)答案C解析由三視圖可知該立體圖形為三棱錐，其底面是一個直角邊長為3eq\r(2)的等腰直角三角形，高為4，所以該三棱錐的體積為12，又外接球的直徑2r為以三棱錐的三個兩兩垂直的棱為長、寬、高所作的長方體的對角線，即2r＝eq\r(42＋3\r(2)2＋3\r(2)2)＝2eq\r(13)，所以球的體積為eq\f(52\r(13)π,3)，所以點落在四面體內(nèi)的概率為eq\f(12,\f(52\r(13)π,3))＝eq\f(9\r(13),169π).與體積有關(guān)的幾何概型問題假如試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用空間幾何體的體積表示，則其概率的計算公式為：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事務(wù)A的區(qū)域體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積).求解的關(guān)鍵是計算事務(wù)的總體積以及事務(wù)A的體積.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，則使四棱錐M－ABCD的體積小于eq\f(1,6)的概率為________．答案eq\f(1,2)解析過M作平面α∥平面ABCD，則兩平面間的距離是四棱錐M－ABCD的高，明顯M在平面α上隨意位置時，四棱錐M－ABCD的體積都相等．若此時四棱錐M－ABCD的體積等于eq\f(1,6).只要M在截面以下即可小于eq\f(1,6)，當(dāng)VM－ABCD＝eq\f(1,6)時，即eq\f(1,3)×1×1×h＝eq\f(1,6)，解得h＝eq\f(1,2)，即點M究竟面ABCD的距離，所以所求概率P＝eq\f(1×1×\f(1,2),1×1×1)＝eq\f(1,2).組基礎(chǔ)關(guān)1．在區(qū)間[0,2π]上隨機取一個數(shù)x，則事務(wù)“sinx≤eq\f(1,2)”發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)答案C解析當(dāng)x∈[0,2π]時，由sinx≤eq\f(1,2)得0≤x≤eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)≤x≤2π，因此所求概率為P＝1－eq\f(\f(5π,6)－\f(π,6),2π)＝eq\f(2,3).2．(2024·山東師范高校附中模擬)“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的珍寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣．為了測算某火紋紋樣(如圖中陰影部分所示)的面積，作一個邊長為5的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機投擲1000個點，已知恰有400個點落在陰影部分，據(jù)此可估計陰影部分的面積是()A．2 B．3C．10 D．15答案C解析設(shè)陰影部分的面積是S，由題意得eq\f(400,1000)＝eq\f(S,52)，∴S＝10，選C.3．(2024·陜西南鄭中學(xué)模擬)如圖，矩形OABC的四個頂點依次為O(0,0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，C(0,1)，記線段OC，CB以及y＝sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(π,2)))的圖象圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)為Ω，若向矩形OABC內(nèi)隨意投一點M，則點M落在區(qū)域Ω內(nèi)的概率為()A.eq\f(π,2)－eq\f(2,π) B.eq\f(1,π)C.eq\f(2,π) D．1－eq\f(2,π)答案D解析易知題圖中矩形空白處的面積S＝eq∫\s(\f(π,2),0)sinxdx＝(－cosx)eq|\s(\f(π,2),0)＝1，故陰影部分的面積為1×eq\f(π,2)－S＝eq\f(π,2)－1，由幾何概型的概率計算公式可得所求概率P＝eq\f(\f(π,2)－1,\f(π,2))＝1－eq\f(2,π).4．古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深化探討比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：將一線段AB分為兩線段AC，CB，使得其中較長的一段AC是全長AB與另一段CB的比例中項，即滿意eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618.后人把這個數(shù)稱為黃金分割數(shù)，把點C稱為線段AB的黃金分割點．在△ABC中，若點P，Q為線段BC的兩個黃金分割點，在△ABC內(nèi)任取一點M，則點M落在△APQ內(nèi)的概率為()A.eq\f(\r(5)－1,2) B.eq\r(5)－2C.eq\f(\r(5)－1,4) D.eq\f(\r(5)－2,2)答案B解析設(shè)BC＝1，則BQ＝PC＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以BC＋PQ＝BQ＋PC＝eq\r(5)－1，所以PQ＝eq\r(5)－2，所以所求概率P＝eq\f(S△APQ,S△ABC)＝eq\f(PQ,BC)＝eq\r(5)－2.故選B.5．已知區(qū)域Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，區(qū)域E＝{(x，y)|x－2y≥0，x≤4，y≥0}，若向區(qū)域Ω內(nèi)隨機投一點P，則點P落在區(qū)域E內(nèi)的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,9) D.eq\f(2,9)答案D解析如圖，區(qū)域Ω表示的平面區(qū)域為△AOB的邊界及其內(nèi)部，區(qū)域E表示的平面區(qū)域為△COD的邊界及其內(nèi)部，所以點P落在區(qū)域E內(nèi)的概率為eq\f(S△COD,S△AOB)＝eq\f(\f(1,2)×2×4,\f(1,2)×6×6)＝eq\f(2,9).故選D.6．(2024·青島二中模擬)在區(qū)間[－2,2]上隨機取一個數(shù)b.若使直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝a有交點的概率為eq\f(1,2)，則a＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．2答案B解析由直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝a有交點，得圓心到直線的距離d＝eq\f(|b|,\r(2))≤eq\r(a)，解得b∈[－eq\r(2a)，eq\r(2a)]．又b∈[－2,2]，且直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝a有交點的概率為eq\f(1,2)，所以由幾何概型的概率公式可知P＝eq\f(\r(2a)－－\r(2a),2－－2)＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,2).7．如圖，正四棱錐S－ABCD的頂點都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O內(nèi)任取一點，則這點取自正四棱錐內(nèi)的概率為________．答案eq\f(1,2π)解析設(shè)球的半徑為R，則所求的概率為P＝eq\f(V錐,V球)＝eq\f(\f(1,3)×\f(1,2)×2R×2R×R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(1,2π).8．(2024·安徽馬鞍山月考)如圖，扇形AOB的圓心角為eq\f(π,2)，點P在弦AB上，且OP＝eq\r(2)AP，延長OP交弧AB于點C，則∠AOC＝________；現(xiàn)向該扇形內(nèi)隨機投一點，則該點落在扇形AOC內(nèi)的概率為________．答案eq\f(π,6)eq\f(1,3)解析在△AOP中，eq\f(OP,sin\f(π,4))＝eq\f(AP,sin∠AOC)，因為OP＝eq\r(2)AP，所以s