2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)周練卷2習(xí)題含解析新人教A版必修2

周練卷(2)一、選擇題(每小題5分，共35分)1．把直徑分別為6cm,8cm,10cm的三個鐵球熔成一個大鐵球，則這個大鐵球的半徑為(B)A．3cmB．6cmC．8cm D．12cm解析：設(shè)大鐵球的半徑為R，則有eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))3＋eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))3＋eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,2)))3，解得R＝6.2.已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為V1和V2，則V1V2＝(D)A．13 B．11C．21 D．31解析：V1∶V2＝(Sh)∶(eq\f(1,3)Sh)＝3∶1.3．已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(B)A.eq\f(2\r(2)π,3) B.eq\f(4\r(2)π,3)C．2eq\r(2)π D．4eq\r(2)π解析：由題意可知所得幾何體為兩個底面重合的圓錐，如圖所示．圓錐的底面半徑r＝eq\r(2)，高h＝eq\r(2).所以體積為V＝2×eq\f(1,3)×π×(eq\r(2))2×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2)π,3).4．若正方體的棱長為eq\r(2)，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為(B)A.eq\f(\r(2),6)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)解析：由題意可知，以正方體各個面的中心為頂點的凸多面體是正八面體(即由兩個同底等高的正四棱錐組成)，全部棱長均為1，其中每個正四棱錐的高均為eq\f(\r(2),2).故正八面體的體積V＝2V正四棱錐＝2×eq\f(1,3)×12×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),3).5．一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是(B)A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)解析：作出長、寬、高分別為2、1、1的長方體，該四面體是如圖所示的三棱錐P－ABC，表面積為eq\f(1,2)×1×2×2＋eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2×2＝2＋eq\r(3).6．如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)覺．我們來重溫這個宏大發(fā)覺，圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比分別為(C)A.eq\f(3,2)，1B.eq\f(2,3)，1C.eq\f(3,2)，eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)，eq\f(3,2)解析：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，∴V圓柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝eq\f(4,3)πR3.∴eq\f(V圓柱,V球)＝eq\f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2)，S圓柱＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，S球＝4πR2.∴eq\f(S圓柱,S球)＝eq\f(6πR2,4πR2)＝eq\f(3,2).7．用與球心距離為1的平面去截球，所得截面面積為π，則球的體積為(D)A.eq\f(32π,3)B.eq\f(8π,3)C．8eq\r(2)πD.eq\f(8\r(2)π,3)解析：設(shè)球的半徑為R，截面圓的半徑為r，則截面圓的半徑為r＝1，因此球的半徑R＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(2)π,3).二、填空題(每小題5分，共20分)8．以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于2π.解析：所得圓柱體的底面半徑為1，母線長為1，所以其側(cè)面積S＝2π×1×1＝2π.9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為12π.解析：由三視圖可知，該幾何體是由兩個底面直徑為4，高為1的圓柱和一個底面直徑為2，高為4的圓柱組合而成，故V＝π×22×1×2＋π×12×4＝12π.10．把y＝|x|和y＝2圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)360°，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為eq\f(32π,3).解析：由題意，y＝|x|和y＝2圍成的圖形如圖中陰影部分所示，則所得旋轉(zhuǎn)體為一個圓柱挖去兩個相同的共頂點的圓錐，∵V圓柱＝π×22×4＝16π，2V圓錐＝2×eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(16π,3)，∴所求幾何體體積為16π－eq\f(16π,3)＝eq\f(32π,3).11．三棱錐P-ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐D-ABE的體積為V1，P-ABC的體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).解析：如圖，設(shè)點C到平面PAB的距離為h，三角形PAB的面積為S，則V2＝eq\f(1,3)Sh，V1＝VE－ADB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,12)Sh，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,4).三、解答題(共45分)12．(本小題15分)已知正四棱錐底面正方形的邊長為4，高與斜高的夾角為30°，求正四棱錐的側(cè)面積和表面積．解：如圖，正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成Rt△POE.∵OE＝2，∠OPE＝30°，∴PE＝2OE＝4.因此S側(cè)＝4×eq\f(1,2)PE×BC＝4×eq\f(1,2)×4×4＝32，S表面＝S側(cè)＋S底＝32＋16＝48.13．(本小題15分)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F(xiàn)(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值．解：(1)交線圍成的正方形EHGF如圖：(2)作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因為EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為eq\f(9,7)(eq\f(7,9)也正確)．14．(本小題15分)在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為3eq\r(2)的正方形，且各側(cè)棱長均為2eq\r(3)，求該四棱錐外接球的表面積．解：取正方形ABCD的中心O1，連接SO1并延長交球面于點E.連接CO1，CE，如圖．則球心O在SE上，即SE為球的直徑，且SC⊥EC.∵AB＝3eq\r(2)，∴O1C＝3.在Rt△SO1C中，SC＝2eq