2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第7章概率2古典概型2.2古典概型的應(yīng)用一學(xué)案含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGE1-2.2古典概型的應(yīng)用(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解互斥事務(wù)概率加法公式、對(duì)立事務(wù)的概率公式，并能應(yīng)用公式解決應(yīng)用問(wèn)題．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))2．駕馭較困難的古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題的解法．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．通過(guò)對(duì)互斥事務(wù)概率加法公式、對(duì)立事務(wù)的概率公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過(guò)解決較困難的古典概型的概率問(wèn)題，培育數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．互斥事務(wù)的概率加法公式(1)在一個(gè)試驗(yàn)中，假如事務(wù)A和事務(wù)B是互斥事務(wù)，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．特殊地，P(A)＝1－P(eq\x\to(A))．(2)一般地，假如事務(wù)A1，A2，…，An是互斥事務(wù)，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．思索：(1)設(shè)事務(wù)A發(fā)生的概率為P(A)，事務(wù)B發(fā)生的概率為P(B)，那么事務(wù)A＋B發(fā)生的概率是P(A)＋P(B)嗎？[提示]不肯定．當(dāng)事務(wù)A與B互斥時(shí)，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；當(dāng)事務(wù)A與B不互斥時(shí)，P(A＋B)≠P(A)＋P(B).(2)從某班任選6名同學(xué)作為志愿者參與市運(yùn)動(dòng)會(huì)服務(wù)工作，記“其中至少有3名女同學(xué)”為事務(wù)A，那么事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)eq\x\to(A)是什么？[提示]事務(wù)A的對(duì)立事務(wù)eq\x\to(A)是“其中至多有2名女同學(xué)”．1.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.42 B．0.28C．0.3 D．0.7C[∵“摸出黑球”是“摸出紅球或摸出白球”的對(duì)立事務(wù)，∴“摸出黑球”的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故選C.]2．甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行足球競(jìng)賽，若兩隊(duì)?wèi)?zhàn)平的概率是eq\f(1,4)，乙隊(duì)勝的概率是eq\f(1,3)，則甲隊(duì)勝的概率是________．eq\f(5,12)[記甲隊(duì)勝為事務(wù)A，則P(A)＝1－eq\f(1,4)－eq\f(1,3)＝eq\f(5,12).]3．中國(guó)乒乓球隊(duì)中的甲、乙兩名隊(duì)員參與奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打競(jìng)賽，甲奪得冠軍的概率為eq\f(3,7)，乙?jiàn)Z得冠軍的概率為eq\f(1,4)，那么中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為_(kāi)_______．eq\f(19,28)[由于事務(wù)“中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事務(wù)“甲奪得冠軍”和“乙?jiàn)Z得冠軍”，但這兩個(gè)事務(wù)不行能同時(shí)發(fā)生，即彼此互斥，所以可按互斥事務(wù)概率的加法公式進(jìn)行計(jì)算，即中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).]互斥事務(wù)的概率加法公式及應(yīng)用【例1】一盒中裝有各色球12個(gè)，其中5個(gè)紅球、4個(gè)黑球、2個(gè)白球、1個(gè)綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率．[解]法一：(1)從12個(gè)球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9種不同取法，任取1球有12種取法．∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)從12個(gè)球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得白球有2種取法，從而得紅球或黑球或白球的概率為eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).法二：(利用互斥事務(wù)求概率)記事務(wù)A1＝{任取1球?yàn)榧t球}，A2＝{任取1球?yàn)楹谇騷，A3＝{任取1球?yàn)榘浊騷，A4＝{任取1球?yàn)榫G球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).依據(jù)題意知，事務(wù)A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事務(wù)概率公式，得(1)取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4).(2)取出1球?yàn)榧t球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).法三：(利用對(duì)立事務(wù)求概率)(1)由法二知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事務(wù)為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1∪A2的對(duì)立事務(wù)為A3∪A4，所以取得1球?yàn)榧t球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的對(duì)立事務(wù)為A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).概率公式的應(yīng)用(1)互斥事務(wù)的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一個(gè)特別重要的公式，運(yùn)用該公式解題時(shí)，首先要分清事務(wù)間是否互斥，同時(shí)要學(xué)會(huì)把一個(gè)事務(wù)分拆為幾個(gè)互斥事務(wù)，然后求出各事務(wù)的概率，用加法公式得出結(jié)果．(2)當(dāng)干脆計(jì)算符合條件的事務(wù)個(gè)數(shù)比較煩瑣時(shí)，可間接地先計(jì)算出其對(duì)立事務(wù)的個(gè)數(shù)，求得對(duì)立事務(wù)的概率，然后利用對(duì)立事務(wù)的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合條件的事務(wù)的概率．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．在數(shù)學(xué)考試中，小王的成果在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：(1)小王在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上(含80分)成果的概率；(2)小王數(shù)學(xué)考試及格的概率．[解]設(shè)小王的成果在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分別為事務(wù)A，B，C，且A，B，C兩兩互斥．(1)設(shè)小王的成果在80分以上(含80分)為事務(wù)D，則D＝A＋B，所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)設(shè)小王數(shù)學(xué)考試及格為事務(wù)E，由于事務(wù)E與事務(wù)C為對(duì)立事務(wù)，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.有序和無(wú)序型問(wèn)題【例2】從含有兩件正品a1，a2和一件次品b的三件產(chǎn)品中，每次任取一件．(1)若每次取后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取后放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率．[解](1)每次取出一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有6個(gè)，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2).其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品．總的事務(wù)個(gè)數(shù)為6，而且可以認(rèn)為這些樣本點(diǎn)是等可能的．用A表示“取出的兩件中恰有一件次品”這一事務(wù)，所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．因?yàn)槭聞?wù)A由4個(gè)樣本點(diǎn)組成，所以P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其全部可能的結(jié)果為(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9個(gè)樣本點(diǎn)組成．由于每一件產(chǎn)品被取到的機(jī)會(huì)均等，因此可以認(rèn)為這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的．用B表示“恰有一件次品”這一事務(wù)，則B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事務(wù)B由4個(gè)樣本點(diǎn)組成，因而P(B)＝eq\f(4,9).解決有序和無(wú)序問(wèn)題應(yīng)留意兩點(diǎn)(1)關(guān)于不放回抽樣，計(jì)算樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看做是有依次的，也可以看做是無(wú)依次的，其最終結(jié)果是一樣的．但不論選擇哪一種方式，視察的角度必需一樣，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤．(2)關(guān)于有放回抽樣，應(yīng)留意在連續(xù)取出兩次的過(guò)程中，因?yàn)橄群笠来尾煌?a1，b)，(b，a1)不是同一個(gè)樣本點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是要清晰無(wú)論是“不放回抽取”還是“有放回抽取”，每一件產(chǎn)品被取出的機(jī)會(huì)都是均等的．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．一個(gè)袋中裝有四個(gè)形態(tài)、大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4.(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n＜m＋2的概率．[解](1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個(gè)．從袋中取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不大于4的事務(wù)有：1和2，1和3，共2個(gè)，因此所求事務(wù)的概率為P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，登記編號(hào)為m，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，登記編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16個(gè)．又滿(mǎn)意條件n≥m＋2的有：(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3個(gè)．所以滿(mǎn)意條件n≥m＋2的事務(wù)的概率為P1＝eq\f(3,16)，故滿(mǎn)意條件n＜m＋2的事務(wù)的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).較困難的古典概型問(wèn)題[探究問(wèn)題]1．計(jì)算樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)的方法包含哪些？提示：列舉法，列表法和樹(shù)狀圖法等．2．列表法和樹(shù)狀圖法分別適用于什么情形？提示：列表法適合于較簡(jiǎn)潔的試驗(yàn)的題目，樣本點(diǎn)較多的試驗(yàn)不適合用列表法；樹(shù)狀圖法適合于較困難的試驗(yàn)的題目．【例3】有A，B，C，D四位貴賓，應(yīng)分別坐在a，b，c，d四個(gè)席位上，現(xiàn)在這四人均未留意，在四個(gè)席位上隨意就坐時(shí)．(1)求這四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求這四人恰好都沒(méi)坐在自己的席位上的概率．[思路點(diǎn)撥]eq\x(利用樹(shù)狀圖法列舉事務(wù))→eq\x(計(jì)算樣本點(diǎn)個(gè)數(shù))→eq\x(利用古典概型概率公式計(jì)算概率)[解]將A，B，C，D四位貴賓就座狀況用下面圖形表示出來(lái)：如上圖所示，本題中的樣本點(diǎn)的總數(shù)為24.(1)設(shè)事務(wù)A為“這四人恰好都坐在自己的席位上”，則事務(wù)A只包含1個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(A)＝eq\f(1,24).(2)設(shè)事務(wù)B為“這四個(gè)人恰好都沒(méi)有坐在自己席位上”，則事務(wù)B包含9個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(B)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).1．求這四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．[解]設(shè)事務(wù)C為“這四個(gè)人恰有1位坐在自己席位上”，則事務(wù)C包含8個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(C)＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).2．求這四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率．[解]法一：設(shè)事務(wù)D為“這四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事務(wù)E為“這四人中有2人坐在自己的席位上”，則事務(wù)E包含6個(gè)樣本點(diǎn)，則D＝A＋E,且事務(wù)A與E為互斥事務(wù)，所以P(D)＝P(A＋E)＝P(A)＋P(E)＝eq\f(1,24)＋eq\f(6,24)＝eq\f(7,24).法二：設(shè)事務(wù)D為“這四人中至少有2人坐在自己的席位上”，則eq\x\to(D)＝B＋C，所以P(D)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－eq\f(3,8)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,24).1．當(dāng)事務(wù)個(gè)數(shù)沒(méi)有很明顯的規(guī)律，并且涉及的樣本點(diǎn)又不是太多時(shí)，我們可借助樹(shù)狀圖法直觀(guān)地將其表示出來(lái)，這是進(jìn)行列舉的常用方法．樹(shù)狀圖可以清晰精確地列出全部的樣本點(diǎn)，并且畫(huà)出一個(gè)樹(shù)枝之后可猜想其余的狀況．2．在求概率時(shí)，若事務(wù)可以表示成有序數(shù)對(duì)的形式，則可以把全體樣本點(diǎn)用平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示，即采納圖表的形式可以精確地找出樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)．故采納數(shù)形結(jié)合法求概率可以使解決問(wèn)題的過(guò)程變得形象、直觀(guān)，給問(wèn)題的解決帶來(lái)便利．1．互斥事務(wù)概率的加法公式是一個(gè)很基本的計(jì)算公式，解題時(shí)要在詳細(xì)的情景中推斷各事務(wù)間是否互斥，只有互斥事務(wù)才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).2．求困難事務(wù)的概率通常有兩種方法：(1)將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥事務(wù)的并事務(wù)；(2)先求其對(duì)立事務(wù)的概率，再求所求事務(wù)的概率．1．思索辨析(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)若A與B為互斥事務(wù)，則P(A)＋P(B)＝1. ()(2)若P(A)＋P(B)＝1，則事務(wù)A與B為對(duì)立事務(wù)． ()(3)某班統(tǒng)計(jì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)測(cè)試成果，事務(wù)“全部同學(xué)的成果都在60分以上”的對(duì)立事務(wù)為“全部同學(xué)的成果都在60分以下”． ()[提示](1)錯(cuò)誤．只有當(dāng)A與B為對(duì)立事務(wù)時(shí)，P(A)＋P(B)＝1.(2)錯(cuò)誤．(3)錯(cuò)誤．事務(wù)“全部同學(xué)的成果都在60分以上”的對(duì)立事務(wù)為“至少有一個(gè)同學(xué)的成果在60分以下”．[答案](1)×(2)×(3)×2．甲、乙