直線及其方程參考課件

直線及其方程1．直線的傾斜角與斜率(1)x軸的正方向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角．我們規(guī)定直線與x軸平行或重合時(shí)的傾斜角為零度角，傾斜角的范圍是

.基礎(chǔ)知識梳理0°≤α＜180°(2)斜率與傾斜角的關(guān)系：當(dāng)一條直線的傾斜角為α?xí)r，斜率可以表示為

，其中傾斜角α應(yīng)滿足的條件是

．基礎(chǔ)知識梳理k＝tanαα≠90°2．直線的斜率公式經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式是k＝

.基礎(chǔ)知識梳理3．直線方程的幾種形式基礎(chǔ)知識梳理名稱方程的形式已知條件局限性點(diǎn)斜式(x1，y1)為直線上一定點(diǎn)，k為斜率不包括垂直于x軸的直線斜截式k為斜率，b是直線在y軸上的截距不包括垂直于x軸的直線y－y1＝k(x－x1)y＝kx＋b基礎(chǔ)知識梳理名稱方程的形式已知條件局限性兩點(diǎn)式(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩定點(diǎn)不包括垂直于x軸和y軸的直線截距式a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于x軸和y軸或過原點(diǎn)的直線一般式A，B，C為系數(shù)無限制，可表示任何位置的直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？【思考·提示】不一定．(1)若x1＝x2且y1≠y2，直線垂直于x軸，方程為x＝x1.(2)若x1≠x2且y1＝y(tǒng)2，直線垂直于y軸，方程為y＝y(tǒng)1.(3)若x1≠x2且y1≠y2，直線方程可用兩點(diǎn)式表示．基礎(chǔ)知識梳理思考？1．直線的傾斜角與斜率的關(guān)系課堂互動講練考點(diǎn)一直線的傾斜角和斜率但不能說直線的傾斜角α越大，斜率k也越大．1．已知m≠0，則過點(diǎn)(1，－1)的直線ax＋3my＋2a＝0的斜率為(

)三基能力強(qiáng)化答案：B2．已知點(diǎn)A(1,2)、B(3,1)，則線段AB的垂直平分線方程是(

)A．4x＋2y＝5B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5D．x－2y＝5答案：B三基能力強(qiáng)化3．下列四個(gè)命題中，假命題是(

)A．經(jīng)過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線不一定都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B．經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)來表示三基能力強(qiáng)化答案：D三基能力強(qiáng)化4．(2009年高考安徽卷改編)直線l過點(diǎn)(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0平行，則l的方程是________．答案：2x－3y＋8＝0三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化課堂互動講練(2)已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值根據(jù)k＝tanα來求斜率．3．利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＝x2＝x3或kAB＝kAC，則有A、B、C三點(diǎn)共線．提醒：斜率變化分兩段，90°是分界線，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論．課堂互動講練課堂互動講練例1已知兩點(diǎn)A(－1，－5)、B(3，－2)，直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，求l的斜率．【思路點(diǎn)撥】先用斜率公式求出直線AB的斜率，然后利用三角函數(shù)公式求直線l的斜率．課堂互動講練【解】

法一：設(shè)直線l的傾斜角為α，則直線AB的傾斜角為2α，由題意知課堂互動講練課堂互動講練【名師點(diǎn)評】在利用斜率公式時(shí)，要注意x1≠x2，若x1＝x2時(shí)，斜率不存在，不能再利用斜率公式．課堂互動講練求直線方程時(shí)，首先分析具備什么樣的條件；然后恰當(dāng)?shù)剡x用直線方程的形式準(zhǔn)確寫出直線方程．要注意若不能斷定直線具有斜率時(shí)，應(yīng)對斜率存在與不存在加以討論．在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0.若不確定，則需分類討論．課堂互動講練考點(diǎn)二求直線的方程課堂互動講練例2(2)經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；【思路點(diǎn)撥】尋找確定直線的兩個(gè)獨(dú)立條件，根據(jù)不同的形式建立直線方程．課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練∴直線l的方程為：y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.課堂互動講練【規(guī)律總結(jié)】用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：(1)設(shè)所求直線方程的某種形式．(2)由條件建立所求參數(shù)的方程(組)．(3)解這個(gè)方程(組)求參數(shù)．(4)把所求的參數(shù)值代入所設(shè)直線方程．利用直線方程解決問題，可靈活選用直線的形式，以便簡化運(yùn)算．一般地，已知一點(diǎn)通常選擇點(diǎn)斜式；已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式．課堂互動講練考點(diǎn)三直線方程幾種形式的靈活運(yùn)用另外，從所求的結(jié)論來看，若求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積或周長，常選用截距式或點(diǎn)斜式．提醒：(1)點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常見的直線方程形式，要注意在這兩種形式中要求直線的斜率存在．(2)“截距”并非“距離”，可以是正的，也可以是負(fù)的，還可以是0.課堂互動講練課堂互動講練例3如圖，過點(diǎn)P(2,1)作直線l，分別交x、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)．(1)當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)|PA|·|PB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．【思路點(diǎn)撥】求直線方程時(shí)，要善于根據(jù)已知條件，選取適當(dāng)?shù)男问剑捎诒绢}中給出了一點(diǎn)，且直線與x、y軸在正方向上分別相交，故有如下常見思路：(1)點(diǎn)斜式：設(shè)l的方程為y－1＝k(x－2)，分別求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)題目要求建立目標(biāo)函數(shù)，求出最小值并確立最值成立的條件；課堂互動講練(2,1)代入得出a與b的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，求最小值及最值成立的條件．(3)根據(jù)題意，設(shè)出一個(gè)角，建立目標(biāo)函數(shù)，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決．課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練課堂互動講練【名師點(diǎn)評】在研究最值問題時(shí)，可以從幾何圖形入手，找到最值時(shí)的情形，也可以從代數(shù)角度考慮，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值問題，這種方法常常隨變量的選擇不同而運(yùn)算的繁簡程度不同，解題時(shí)要注意選擇．課堂互動講練例3條件不變，求|OA|＋|OB|最小時(shí)，直線l的方程．課堂互動講練互動探究課堂互動講練用解析法解決實(shí)際應(yīng)用題，就是通過建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，實(shí)現(xiàn)了從實(shí)際問題到代數(shù)問題的轉(zhuǎn)化，利用代數(shù)的方法使問題得到解決．課堂互動講練考點(diǎn)四直線方程的實(shí)際應(yīng)用課堂互動講練例4(解題示范)(本題滿分12分)某小區(qū)內(nèi)有一塊荒地ABCDE，今欲在該荒地上劃出一塊長方形地面(不改變方位)進(jìn)行開發(fā)(如圖所示)．問如何設(shè)計(jì)才能使開發(fā)的面積最大？最大開發(fā)面積是多少？(已知BC＝210m，CD＝240m，DE＝300m，EA＝180m，∠C＝∠D＝∠E＝90°)【思路點(diǎn)撥】先建立直角坐標(biāo)系，求出AB的方程，然后求解．課堂互動講練【解】以BC所在直線為x軸，AE所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，由已知可得A(0,60)，B(90,0)，2分課堂互動講練(1)當(dāng)點(diǎn)在BC上時(shí)，S最大＝210×240＝50400(m2).5分(2)當(dāng)點(diǎn)在AE上時(shí)，S最大＝180×300＝54000(m2).6分課堂互動講練課堂互動講練比較可知點(diǎn)P距AE15m，距BC50m時(shí)所開發(fā)的面積最大，最大面積為54150m2.12分課堂互動講練【名師點(diǎn)評】

(1)確定線段方程時(shí)，易忽視x的取值范圍；(2)漏掉一頂點(diǎn)在BC上或AE上的情況．(本題滿分12分)如圖，l1，l2分別表示一種白熾燈和一種節(jié)能燈的費(fèi)用y(費(fèi)用＝燈的售價(jià)＋電費(fèi)(元))與照明時(shí)間x(小時(shí))的函數(shù)圖象，假設(shè)兩種燈的使用壽命都是2000小時(shí)，照明效果一樣．課堂互動講練高考檢閱(1)根據(jù)圖象，分別求出l1，l2的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)照明時(shí)間為多少時(shí)，兩種燈的費(fèi)用相等？(3)小明的房間計(jì)劃照明2500小時(shí)，他買了一個(gè)白熾燈和一個(gè)節(jié)能燈，請幫他設(shè)計(jì)最省錢的用燈方法，并求出最低費(fèi)用．課堂互動講練解：(1)設(shè)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.∵點(diǎn)(0,2)，(500,17)在l1上，(0,20)，(500,25)在l2上，∴l(xiāng)1：y＝0.03x＋2(0≤x≤2000)，l2：y＝0.01x＋20(0≤x≤2000).4分課堂互動講練課堂互動講練∴當(dāng)照明時(shí)間為900小時(shí)時(shí)，兩種燈費(fèi)用相等，都是29元.8分課堂互動講練(3)由題圖知，前2000小時(shí)使用節(jié)能燈的費(fèi)用較白熾燈低，后500小時(shí)使用白熾燈費(fèi)用較節(jié)能燈低.10分∴總費(fèi)用為2000×0.01＋20＋500×0