2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復(fù)習卷3.4 實際問題與一元一次方程 同步測控優(yōu)化訓(xùn)練(含答案)

2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復(fù)習卷3.4實際問題與一元一次方程同步測控優(yōu)化訓(xùn)練(含答案)3.4再探實際問題與一元一次方程一、課前預(yù)習(5分鐘訓(xùn)練)1.某人以8折的優(yōu)惠價買了一套服裝省了25元，那么買這套服裝實際用了（）A.31.25B.60C.125D.1002.一個商店把彩電按標價的九折出售，仍可獲利20%，若該彩電的進價是2400元，則彩電標價是（）A.3200元B.3429元C.2667元D.3168元3.球隊訓(xùn)練用的足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的，其中黑皮可看作正五邊形，白皮可看作正六邊形，黑、白皮塊的數(shù)目比為3∶5，要求出黑皮、白皮的塊數(shù)，若設(shè)黑皮的塊數(shù)為x，則列出的方程正確的是（）A.3x=32－xB.3x=5(32－x)C.5x=3(32－x)D.6x=32－x二、課中強化(10分鐘訓(xùn)練)1.我國政府為解決老百姓看病難，決定下調(diào)藥品價格，某種藥品在2003年漲價30%后，年降價70%調(diào)至a元，則這種藥品在2003年漲價前的價格為（）A.a元B.a元C.a（1－40%）元D.元2.某區(qū)中學生足球賽共賽8輪（即每隊均需參賽8場），勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.在這次足球聯(lián)賽中，猛虎隊踢平的場數(shù)是所負場數(shù)的2倍，共得17分，該隊共勝多少場？3.一件夾克，按成本加5成作為售價，后因季節(jié)關(guān)系，按售價的8折出售，降價后每件賣60元，問這批夾克每件成本是多少元.降價后每件是賠還是賺，賠或賺多少元？(生活中處處有數(shù)學，我們應(yīng)當善于用數(shù)學的眼光去看世界，用數(shù)學的方法去分析和解決問題)4.商場出售的A型冰箱每臺售價2190元，每日耗電量為1度，而B型節(jié)能冰箱每臺售價雖比A型冰箱高出10%，但每日耗電量卻為0.55度.商場如果將A型冰箱打9折出售(打一折后的售價為原價的)，消費者購買合算嗎？(按使用期為10每年365天，每度電0.40元計算)若不合算，商場至少打幾折，消費者購買才合算?三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.某商場同時賣出兩件上衣，每件都以135元賣出，若按成本計算，其中一件贏利25%，另一件虧損25%，問這次賣出的兩件上衣是賠了還是賺了.2.在社會實踐活動中，某校甲、乙、丙三位同學一同調(diào)查了高峰時段北京的二環(huán)路、三環(huán)路、四環(huán)路的車流量（每小時通過觀測點的汽車車量數(shù)），三位同學匯報高峰時段的車流量情況如下：甲同學說：“二環(huán)路車流量為每小時10000輛.”乙同學說：“四環(huán)路比三環(huán)路車流量每小時多2000輛.”丙同學說：“三環(huán)路車流量的3倍與四環(huán)路車流量的差是二環(huán)路車流量的2倍.”

請你根據(jù)他們所提供的信息，求出高峰時段三環(huán)路、四環(huán)路的車流量各是多少.3.隨著科技的進步，高科技產(chǎn)品的成本價在降低.某種品牌的電腦成本降低8%，而零售價不變，那么利潤將由目前的x%增加到（x+10）%，求x的值.4.某工業(yè)園區(qū)用于甲、乙兩個不同項目的投資共2000萬元.甲項目的年收益率為5.4%，乙項目的年收益率為8.28%，該工業(yè)園區(qū)僅以上兩個項目可獲得收益1224000元.問該工業(yè)園區(qū)對兩個項目的投資各是多少萬元.5.某牛奶加工廠現(xiàn)有鮮奶9噸，若在市場直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤500元；制成酸奶銷售，每噸可獲利1200元；制成奶片銷售，每噸可獲利2000元，該加工廠的生產(chǎn)能力是：如制成酸奶，每天可加工3噸，制成奶片，每天可加工1噸，受條件限制兩種加工方式不可同時進行，受氣溫影響牛奶必須在4天內(nèi)銷售或加工完畢，為此，該加工場設(shè)計了兩種生產(chǎn)、銷售方案：方案一：盡可能地制成奶片，其余直接銷售鮮牛奶.方案二：一部分制成奶片，其余全部加工成酸奶，并保證在四天內(nèi)完成.分別計算兩種方案的利潤，你認為哪種方案利潤高？6.某公司有2位股東，20名工人.從2000年至2002公司每年股東的總利潤和每年工人的工資總額如圖2－4－1所示.圖2－4－1(1)填寫下表：年份2000年2001年2002年工人的平均工資(元)5000股東的平均利潤(元)25000(2)假設(shè)在以后的若干年中，每年工人的工資和股東的利潤都按上圖中的速度增長，那么到哪一股東的平均利潤是工人的平均工資的8倍？7.夏季，為了節(jié)約用電，常對空調(diào)采取調(diào)高設(shè)定溫度和清洗設(shè)備兩種措施.某賓館先把甲、乙兩種空調(diào)的設(shè)定溫度都調(diào)高1℃，結(jié)果甲種空調(diào)比乙種空調(diào)每天多節(jié)電27度；再對乙種空調(diào)清洗設(shè)備，使得乙種空調(diào)每天的總節(jié)電量是只將溫度調(diào)高1℃后的節(jié)電量的1.1倍，而甲種空調(diào)節(jié)電量不變，這樣兩種空調(diào)每天共節(jié)電405度.求只將溫度調(diào)高1℃后兩種空調(diào)每天各節(jié)電多少度.參考答案一、課前預(yù)習(5分鐘訓(xùn)練)1.某人以8折的優(yōu)惠價買了一套服裝省了25元，那么買這套服裝實際用了（）A.31.25B.60C.125D.100思路解析：設(shè)這套服裝原價為x元，則x－0.8x=25，解得x=125.所以實際用了125－25=100元.答案:D2.一個商店把彩電按標價的九折出售，仍可獲利20%，若該彩電的進價是2400元，則彩電標價是（）A.3200元B.3429元C.2667元D.3168元思路解析：設(shè)標價為x，根據(jù)題意有0.9x=(1+0.2)×2400，解得x=3200.答案:A3.球隊訓(xùn)練用的足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的，其中黑皮可看作正五邊形，白皮可看作正六邊形，黑、白皮塊的數(shù)目比為3∶5，要求出黑皮、白皮的塊數(shù)，若設(shè)黑皮的塊數(shù)為x，則列出的方程正確的是（）A.3x=32－xB.3x=5(32－x)C.5x=3(32－x)D.6x=32－x思路解析：因為黑、白皮塊的數(shù)目比為3∶5，若設(shè)黑皮的塊數(shù)為x，則白皮塊數(shù)為32－x，由此得方程為5x=3(32－x).答案:C二、課中強化(10分鐘訓(xùn)練)1.我國政府為解決老百姓看病難，決定下調(diào)藥品價格，某種藥品在2003年漲價30%后，年降價70%調(diào)至a元，則這種藥品在2003年漲價前的價格為（）A.a元B.a元C.a（1－40%）元D.元思路解析：設(shè)在2003年漲價前的價格為x元，則有(1+0.3)(1－0.7)x=a，解得x=a.答案:A2.某區(qū)中學生足球賽共賽8輪（即每隊均需參賽8場），勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.在這次足球聯(lián)賽中，猛虎隊踢平的場數(shù)是所負場數(shù)的2倍，共得17分，該隊共勝多少場？思路解析：首先要利用一個未知數(shù)，表示勝、負、平的場數(shù)，再利用總分列出方程.解：設(shè)踢成負的場數(shù)是x，則踢平的場數(shù)是2x，踢勝的場數(shù)是8－x－2x=8－3x，則有2x+3(8－3x)=17，解得x=1.所以踢勝的場數(shù)為8－3=5場.3.一件夾克，按成本加5成作為售價，后因季節(jié)關(guān)系，按售價的8折出售，降價后每件賣60元，問這批夾克每件成本是多少元.降價后每件是賠還是賺，賠或賺多少元？(生活中處處有數(shù)學，我們應(yīng)當善于用數(shù)學的眼光去看世界，用數(shù)學的方法去分析和解決問題)思路解析：列表：一件夾克成本降價前一件夾克售價降價后一件夾克售價x元(1+50%)x元(1+50%)×80%x元解：設(shè)一件夾克的成本為x元，根據(jù)題意有(1＋50%)x×80%=60，解得x=50.所以60－x=60－50=10(元).答:一件夾克的成本為50元，降價后每件仍可賺10元.4.商場出售的A型冰箱每臺售價2190元，每日耗電量為1度，而B型節(jié)能冰箱每臺售價雖比A型冰箱高出10%，但每日耗電量卻為0.55度.商場如果將A型冰箱打9折出售(打一折后的售價為原價的)，消費者購買合算嗎？(按使用期為10每年365天，每度電0.40元計算)若不合算，商場至少打幾折，消費者購買才合算?思路解析：問題1可以通過計算出A型冰箱和B型節(jié)能冰箱10年各自的費用來判斷是否合算，問題2可以用方程來解.解：A型10年費用：2190×＋365×10×1×0.4=3431(元)，B型10年費用：2190×(1＋10%)＋365×10×0.55×0.4=3212(元)，所以消費者購買A型冰箱不合算.設(shè)商場打x折消費者購買才合算，根據(jù)題意，得2190x＋365×10×1×0.4=3212.解得x=0.8.所以，商場至少打8折，消費者購買才合算.三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.某商場同時賣出兩件上衣，每件都以135元賣出，若按成本計算，其中一件贏利25%，另一件虧損25%，問這次賣出的兩件上衣是賠了還是賺了.思路解析：要求出兩件上衣的進價，可分別根據(jù)售出的價格求出.解：設(shè)兩件上衣的成本分別為x、y元，根據(jù)題意，得（1+25%）x=135，（1－25%）y=135.分別解這兩個方程，得x=108，y=180.108+180=288＞270.答:所以這次出售是虧損，并且虧損了18元.2.在社會實踐活動中，某校甲、乙、丙三位同學一同調(diào)查了高峰時段北京的二環(huán)路、三環(huán)路、四環(huán)路的車流量（每小時通過觀測點的汽車車量數(shù)），三位同學匯報高峰時段的車流量情況如下：甲同學說：“二環(huán)路車流量為每小時10000輛.”乙同學說：“四環(huán)路比三環(huán)路車流量每小時多2000輛.”丙同學說：“三環(huán)路車流量的3倍與四環(huán)路車流量的差是二環(huán)路車流量的2倍.”

請你根據(jù)他們所提供的信息，求出高峰時段三環(huán)路、四環(huán)路的車流量各是多少.思路解析：此題關(guān)鍵在于理解題意，抽象出數(shù)學式子.解：設(shè)三環(huán)路的流量為每小時x（輛），則四環(huán)路的流量為每小時2000＋x（輛）,3x－2000－x=20000，解得x=11000,所以高峰時車流量為三環(huán)路11000輛，四環(huán)路13000輛.3.隨著科技的進步，高科技產(chǎn)品的成本價在降低.某種品牌的電腦成本降低8%，而零售價不變，那么利潤將由目前的x%增加到（x+10）%，求x的值.思路解析：題目中沒有成本價，而解題時要用到成本價，故可設(shè)成本價為a（或設(shè)為單位1）.解：設(shè)成本價為a，則原售價為a（1+），成本降低8%后新成本為a（1－8%），根據(jù)售價不變，利潤增加到（x+10）%，有a（1－8%）［1+（x+10）%］=a（1+），解得x=15.4.某工業(yè)園區(qū)用于甲、乙兩個不同項目的投資共2000萬元.甲項目的年收益率為5.4%，乙項目的年收益率為8.28%，該工業(yè)園區(qū)僅以上兩個項目可獲得收益1224000元.問該工業(yè)園區(qū)對兩個項目的投資各是多少萬元.思路解析：本題可采用間接設(shè)未知數(shù)法，抓住相等關(guān)系：“甲項目的收益+乙項目的收益=總收益”列方程.解：設(shè)對甲項目投資為x萬元，則對乙項目投資為(2000－x)萬元.根據(jù)題意，得5.4%x+8.28%(2000－x)=122.4.解得x=1500.從而2000－x=2000－1500=500.答:該工業(yè)園區(qū)對甲項目投資為1500萬元，對乙項目投資為500萬元.5.某牛奶加工廠現(xiàn)有鮮奶9噸，若在市場直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤500元；制成酸奶銷售，每噸可獲利1200元；制成奶片銷售，每噸可獲利2000元，該加工廠的生產(chǎn)能力是：如制成酸奶，每天可加工3噸，制成奶片，每天可加工1噸，受條件限制兩種加工方式不可同時進行，受氣溫影響牛奶必須在4天內(nèi)銷售或加工完畢，為此，該加工場設(shè)計了兩種生產(chǎn)、銷售方案：方案一：盡可能地制成奶片，其余直接銷售鮮牛奶.方案二：一部分制成奶片，其余全部加工成酸奶，并保證在四天內(nèi)完成.分別計算兩種方案的利潤，你認為哪種方案利潤高？思路解析：方案一的利潤易求.方案二中必須先知4天中用幾天制奶片，用幾天加工酸奶.故設(shè)用x天加工奶片，則用（4－x）天加工酸奶，依題意有1·x+3·（4－x）=9.∴x=1.5.此時利潤可求.

答案:方案二獲得利潤高些.6.某公司有2位股東，20名工人.從2000年至2002公司每年股東的總利潤和每年工人的工資總額如圖2－4－1所示.圖2－4－1(1)填寫下表：年份2000年2001年2002年工人的平均工資(元)5000股東的平均利潤(元)25000(2)假設(shè)在以后的若干年中，每年工人的工資和股東的利潤都按上圖中的速度增長，那么到哪一股東的平均利潤是工人的平均工資的8倍？思路解析：(1)直接由圖可填.(2)由圖可知：每位工人年平均工資增長1250元，每位股東年平均利潤增長12500元，設(shè)經(jīng)過x年每位股東年平均利潤是每位工人年平均工資的8倍.股東的平均利潤為25000＋12500x，每位工人年平均工資為5000＋1250x，由題意可得方程(5000＋1250x)×8=25000＋12500x，解出即可.答案:(1)年份2000年2001年2002年工人的平均工資(元)500062507500股東的平均利潤(元)250003750050000(2)設(shè)經(jīng)過x年每位股東年平均利潤是每位工人年平均工資的8倍.由圖可知：每位工人年平均工資增長1250元，每位股東年平均利潤增長12500元，所以(5000＋1250x)×8=25000＋12500x.解得x=6.答:到2010年每位股東年平均利潤是每位工人年平均工資的8倍.7.夏季，為了節(jié)約用電，常對空調(diào)采取調(diào)高設(shè)定溫度和清洗設(shè)備兩種措施.某賓館先把甲、乙兩種空調(diào)的設(shè)定溫度都調(diào)高1℃，結(jié)果甲種空調(diào)比乙種空調(diào)每天多節(jié)電27度；再對乙種空調(diào)清洗設(shè)備，使得乙種空調(diào)每天的總節(jié)電量是只將溫度調(diào)高1℃后的節(jié)電量的1.1倍，而甲種空調(diào)節(jié)電量不變，這樣兩種空調(diào)每天共節(jié)電405度.求只將溫度調(diào)高1℃后兩種空調(diào)每天各節(jié)電多少度.思路解析：本題文字比較多，條件也比較多，要注意抓主要問題，即“兩種空調(diào)每天共節(jié)電405度”，如果設(shè)只將溫度調(diào)高1℃后，乙種空調(diào)每天節(jié)電x度，則甲種空調(diào)每天節(jié)電(x+27)度.這樣可得方程1.1x+x+27=405，解出即可.解：設(shè)只將溫度調(diào)高1℃后，乙種空調(diào)每天節(jié)電x度，則甲種空調(diào)每天節(jié)電(x+27)度.依題意，得1.1x+x+27=405.解得x=180,∴x+27=207.答:只將溫度調(diào)高1℃后，甲種空調(diào)每天節(jié)電207度，乙種空調(diào)每天節(jié)電180度.3.4實際問題與一元一次方程1．配套問題(1)一般情況下，配套問題總有兩種事物，一般不是1個配1個，而是1配多，或按比列配置．比如螺釘、螺母，且一個螺釘配兩個螺母；桌面、桌腿，一個桌面配四條桌腿，等．(2)常用等量關(guān)系：個數(shù)相等．不管是2個配1個，還是4個配1個，通過乘以擴大倍數(shù)，得到兩種事物個數(shù)相等從而列出方程．這是配套問題中的等量關(guān)系，也是列方程的方法．析規(guī)律配套問題一般是用式子表示出各自的個數(shù)，再通過乘以倍數(shù)擴大數(shù)目少的或列比例式列出方程．【例1】某車間每天能生產(chǎn)甲種零件180個或乙種零件120個，若甲、乙兩種零件分別取3個、2個配成一套，那么要在30天內(nèi)生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品，應(yīng)怎樣安排生產(chǎn)甲、乙兩種零件的天數(shù)？分析：可設(shè)安排生產(chǎn)甲種零件x天，那么(30－x)天生產(chǎn)乙種零件，x天生產(chǎn)甲種零件180x個，(30－x)天生產(chǎn)乙種零件120(30－x)個，根據(jù)比例關(guān)系可知甲∶乙＝3∶2，或甲×2＝乙×3，列出方程求解．解：若安排生產(chǎn)甲種零件x天，那么生產(chǎn)乙種零件(30－x)天，根據(jù)題意，得180x∶120(30－x)＝3∶2(或列式子：2×180x＝3×120(30－x))．化簡，得360x＝360(30－x)，解得x＝15，30－x＝15.答：安排生產(chǎn)甲、乙兩種零件各15天，能生產(chǎn)最多的成套產(chǎn)品．2．工程問題(1)基本關(guān)系量：主要有三個量：工作量、工作效率、工作時間．在工程問題中，通常把全部工作量表示為1，如果甲單獨完成一項工作需要n小時，那么平均每小時完成的工作量就是eq\f(1,n).其中eq\f(1,n)即是1小時的工作量，也是甲的工作效率(工作效率：單位時間完成的工作量)．(2)基本關(guān)系式子：①工作量＝工作效率×工作時間；②工作量＝人均效率×人數(shù)×工作時間．(3)常用等量關(guān)系：①各階段完成的工作量之和＝完成的工作總量；②各人完成的工作量之和＝完成的工作總量．解技巧工程問題的解法①在同一工程問題中，一般都有兩個或兩個以上的工作效率，相對應(yīng)的就有兩個或兩個以上的工作時間，但不論何種情況，應(yīng)注意：必須是相對應(yīng)的工作效率乘以工作時間才是工作量．②先干、后干或是甲干、乙干，只有全部完成，才等于1，只是完成部分，工作量就不是1，工作量要由具體情況得出．【例2－1】一件工作，甲單獨做20小時可以完成，乙單獨做12小時可以完成．現(xiàn)在先由甲先做4小時，余下的工作由二人合作完成．問余下的部分二人幾小時可以完成？分析：把總工作量看作“1”，由題意可知，甲的工作效率是eq\f(1,20)，乙的工作效率是eq\f(1,12).若設(shè)余下的部分二人合作需要x小時完成，則根據(jù)“甲先做4小時的工作量＋甲、乙二人合作的工作量＝總工作量1”列方程解出．解：設(shè)余下的部分二人合作需要x小時完成，則eq\f(4,20)＋eq\f(x,20)＋eq\f(x,12)＝1，解得x＝6.答：余下的部分甲、乙二人用6小時可以完成．【例2－2】某中學的學生自己動手整修操場，如果讓初一學生單獨工作，需要7.5小時完成；如果讓初二學生單獨工作，需要5小時完成．如果讓初一、初二學生一起工作1小時，再由初二學生單獨完成剩余部分，共需多少時間完成？分析：初一學生的工作總量＋初二學生的工作總量＝全部工作量．解：設(shè)還需要x小時完成，得eq\f(1,7.5)＋eq\f(1,5)＋eq\f(x,5)＝1，解得x＝eq\f(10,3)，所以共需要：1＋eq\f(10,3)＝eq\f(13,3)(小時)．答：共需eq\f(13,3)小時完成．3．營銷問題營銷問題是應(yīng)用題中最重要的一部分，也是在中考中出現(xiàn)最多的題，這類問題術(shù)語較多、數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜，使得題目變化較多，題目難易程度不一，并與我們的生活聯(lián)系最密切．(1)關(guān)鍵詞：成本價(進價)，標價，零售價；利潤，利潤率；折扣數(shù)(打x折)，盈利、虧損、讓利、買入(價)、賣出(價)等．(2)常用等量關(guān)系①售價、進價、利潤、利潤率的關(guān)系式：商品利潤＝商品售價－商品進價．商品利潤＝商品進價×利潤率．eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(利潤率＝\f(利潤,進價)×100%))②標價、折扣數(shù)、商品售價關(guān)系：商品售價＝標價×eq\f(折扣數(shù),10).③商品售價、進價、利潤率的關(guān)系：商品售價＝進價×(1＋利潤率)．(3)列方程常用等量關(guān)系①同一個量的不同表示結(jié)果相等．最常用的就是售價－進價＝進價×利潤率．②根據(jù)上面的公式設(shè)未知數(shù)列方程．談重點營銷問題運用方程解決有關(guān)市場營銷問題的關(guān)鍵：一是抓住其中的兩個基本等量關(guān)系：利潤＝售價－進價，利潤＝進價×利潤率，再就是弄清成本價(有時是進價)、售價、零售價、標價、打幾折、打折后的實際售價、利潤、實際利潤、實際利潤率等的關(guān)系，只有理清它們之間的關(guān)系，才能尋找正確的等量關(guān)系，列出方程．【例3】某商品的零售價是900元，為適應(yīng)競爭，商店按零售價打9折(即原價的90%)，并再讓利40元銷售，仍可獲利10%，求該商品的進價．分析：實際售價是900×90%，實際利潤是在原利潤的基礎(chǔ)上讓利40元，設(shè)進價為每件x元，根據(jù)實際獲得的利潤(不同的表示法)相等列方程求解．解：設(shè)該商品的進價為每件x元，依題意，得900×0.9－40＝10%x＋x.解得x＝700.所以此商品的進價是700元．4．銷售中的盈虧(1)意義：學會通過計算進行比較判斷的理性決策方式，認識盈虧需要通過計算，用數(shù)據(jù)說明問題．(2)根據(jù)營銷問題中的計算公式、法則分別進行計算，綜合比較判斷是盈是虧，方案是優(yōu)是劣，以及怎樣才能獲得更大利潤效益．【例4】新華書店一天內(nèi)大批量銷售了兩種書籍，甲種書籍共賣得1560元；為了發(fā)展農(nóng)業(yè)科技，乙種書籍送書下鄉(xiāng)共賣得1350元，若按甲、乙兩種書籍的成本分別計算，甲種書籍可盈利25%，乙種書籍虧本10%，試問該書店這一天兩種書籍共盈利(或虧本)多少元？分析：分別計算出兩種書籍的進價支出，與售價收入對比求出．解：設(shè)甲種書籍的成本為x元，乙種書籍的成本為y元，則甲種書籍：(1＋25%)x＝1560，解得x＝1248.乙種書籍：(1－10%)y＝1350.解得y＝1500.所以盈利：(1560＋1350)－(1248＋1500)＝162(元)．答：該書店這一天售出兩種書籍共盈利162元．5.球賽積分表問題(1)意義：了解現(xiàn)實生活中的體育知識，學會用數(shù)學的思想分析比賽，學會判斷、決策，認識有些問題符合題意但不符合實際．(2)相關(guān)知識：①賽制：單循環(huán)、雙循環(huán)、淘汰賽、決賽、半決賽等．②積分辦法：籃球：勝一場積2分，負一場積1分，沒有平局情況；足球：勝一場積3分，平一場各積1分，輸一場積0分．(3)理解：①通過觀察表格發(fā)現(xiàn)、篩選有用數(shù)據(jù)，進行分析、計算、判斷、決策．②利用方程不僅能計算未知數(shù)的值，而且可以進一步進行推理．③對于解決實際問題，檢驗解出的結(jié)果是否合乎實際意義是必要的．【例5】下表是某賽季國內(nèi)籃球甲A聯(lián)賽常規(guī)賽的最終積分榜：隊名比賽場次勝場負場積分八一雙鹿2218440上海東方2218440北京首鋼2214836吉林恒和2214836遼寧盼盼22121034廣東宏遠22121034前衛(wèi)奧神22111133江蘇南鋼22101232山東潤潔22101232浙江萬馬2271529雙星濟軍2261628沈部雄師2202222(1)列式表示總積分與勝、負場數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系．(2)某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分嗎？分析：(1)從表格中最后一行看：負22場，積22分，可知負一場積1分．所以若設(shè)勝一場積x分，從表中其他任何一行可以列方程，求出勝一場的積分．(2)根據(jù)勝負積分及勝負場次列方程計算，觀察結(jié)果，得出結(jié)論．解：(1)設(shè)勝一場積x分，從第一行得出方程：18x＋1×4＝40，解得x＝2.所以勝一場積2分．如果用M表示勝場，則負(22－M)場，勝場積分為2M分，負場積分為(22－M)分，總積分W，那么W＝2M＋(22－M)＝(M＋22)分．(2)設(shè)一個隊勝了x場，則負了(22－x)場，如果這個隊的勝場總積分等于負場總積分，則有方程2x＝(22－x)．解得x＝eq\f(22,3).因為x＝eq\f(22,3)雖是方程的解，但場數(shù)只能是正整數(shù)，所以任何一隊都不可能有勝場總積分等于負場總積分的情況．6．圖表信息題的應(yīng)用圖表信息題，就是根據(jù)實際問題中所呈現(xiàn)出來的圖象、圖表信息，要求依據(jù)這些給出的信息通過整理、分析、加工等手段解決的一類問題．主要考查同學們識圖看表的能力以及處理信息的能力．解答這類試題的關(guān)鍵是對圖表信息認真分析、合理利用，按照題意要求，準確地輸出信息，結(jié)合所學知識，運用數(shù)學的手段加以解決．解這類題的一般步驟是：(1)觀察圖象，獲取有效信息；(2)對已獲信息進行加工、整理，理清各變量之間的關(guān)系；(3)選擇適當?shù)臄?shù)學工具，通過建模解決問題．【例6】長風樂園的門票價格規(guī)定如下表所列．某校七年級(1)、(2)兩個班級共104人去游長風樂園，其中(1)班人數(shù)較少，不到50人，(2)班人數(shù)較多，有50多人．經(jīng)估算，如果兩班都以班為單位分別購票，則一共應(yīng)付1240元；如果兩班聯(lián)合起來，作為一個團體購票，則可以節(jié)省不少錢．問兩班各有多少學生？購票人數(shù)1～50人51～100人100人以上每人門票價13元11元9元分析：若設(shè)(1)班有x人，那么(2)班有(104－x)人，根據(jù)(1)班購票款＋(2)班購票款＝總支付款1240元．列方程求出(1)班人數(shù)，再求(2)班人數(shù)．解：設(shè)(1)班有x人，那么(2)班有(104－x)人，根據(jù)題意，得13x＋11(104－x)＝1240.解得x＝48，所以，(2)班人數(shù)是104－x＝104－48＝56(人)．答：(1)班、(2)班分別有48人，56人．7.銀行利率問題解法銀行利率問題是應(yīng)用題一種常見題目，也是居民生活和企業(yè)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題．是與生活息息相關(guān)實用性較強的數(shù)學問題．(1)相關(guān)量名稱：存款利率、貸款利率、年利率、月利率、利息、本金、本息和．(2)主要等量關(guān)系式：利息＝本金×年利率×年數(shù)．利息＝本金×月利率×月數(shù)(或×12個月×年)．本息和＝本金＋利息．(3)應(yīng)用特點：①一般都是根據(jù)所給數(shù)據(jù)直接計算，以算式直接進行運算的方式較多，如計算所得利息，本息和，應(yīng)交貸款利息等．②隨著人們投資理財意識的增強，通過計算選擇最優(yōu)方案問題最常見，且實用性較強．破疑點銀行利率銀行利率問題是比較簡單的問題，變化不大，很多時候就是用公式代入計算，只是很多學生不理解專業(yè)術(shù)語，這與接觸、認識較少有關(guān)．【例7－1】某企業(yè)存入銀行甲、乙兩種不同性質(zhì)用途的存款共20萬元，甲種存款的年利率為5.4%，乙種存款的年利率為8.28%，該企業(yè)一年可獲利息收入12240元，問該企業(yè)存入銀行的甲、乙兩種存款各是多少萬元？分析：甲種存款利息收入＋乙種存款利息收入＝12240元．解：設(shè)甲種存款為x萬元，則乙種存款為(20－x)萬元，依題意，得x×5.4%＋(20－x)×8.28%＝1.224.解得x＝15.20－x＝5(萬元)．答：甲、乙兩種存款分別是15萬元，5萬元．【例7－2】銀行開辦的教育儲蓄，一年期、三年期、六年期的定期存款利率分別為2.26%,2.70%,2.88%.小華的父母為準備她六年后上大學的費用，決定現(xiàn)在就參加教育儲蓄，他們準備存入10000元，下面有兩種儲蓄方式：(1)直接存一個六年期．(2)先存一個三年期的，三年后將本息和自動轉(zhuǎn)存下一個三年期．小華的父母不知選擇哪一種儲蓄方式獲利較多，你能幫助他們嗎？解：(1)設(shè)直接存一個六年期期滿后獲利息為y元，根據(jù)題意，得y＝10000×2.88%×6＝1728(元)．(2)設(shè)先存一個三年期的，三年后將本息和自動轉(zhuǎn)存下一個三年期．期滿后獲利息為x元，根據(jù)題意，得x＝10000×2.70%×3＋(10000＋10000×2.70%×3)×2.70%×3＝1685.61(元)．顯然y＞x，∴小華的父母選擇直接存一個六年期獲利較多．8.百分比問題(1)意義：百分比問題在應(yīng)用題中出現(xiàn)很多．百分比是最常見的描述數(shù)量變化問題的數(shù)據(jù)，隨著經(jīng)濟在人們生活中重要性的變化，關(guān)于用百分數(shù)來描述經(jīng)濟問題的情況越來越多，因此在中考中出現(xiàn)的次數(shù)也越來越頻繁．(2)主要題型：關(guān)于百分數(shù)的計算特別是在工作效率問題，營銷問題中出現(xiàn)最多，此外在農(nóng)業(yè)種植、工業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟、人口變化、溶液濃度等問題中也經(jīng)常出現(xiàn)．常常與增長(增加)、提高、降低、減少等聯(lián)系在一起，用來描述事物等的變化．(3)應(yīng)用注意事項：①應(yīng)用百分比問題最主要的是弄清誰比誰的問題，也就是基數(shù)問題，比誰誰作分母，這是關(guān)鍵點也是易錯點，如標價a元的某商品降價10%后，再提價10%，價格就不是a元，兩個10%的基數(shù)不同(分母不同)；②含百分數(shù)的問題大多不易理解，計算也較復(fù)雜，一般是采取類似于去分母的方法去掉百分數(shù)，變?yōu)檎麛?shù)解決．【例8－1】某石油進口國這個月的石油進口量比上個月減少了5%，由于國際油價上漲，這個月進口石油的費用反而比上個月增加了14%.求這個月的石油價格相對上個月的增長率．分析：把上個月石油進口量看作1，則這個月的進口量是1×(1－5%)，上月的價格也為1，那么這個月的費用就是1×(1－5%)×1×(1＋增長率)，實際這個月費用是1×(1＋14%)，所以相等，列出方程．解：設(shè)這個月的石油價格相對上個月的增長率為x，根據(jù)題意，得(1＋x)(1－5%)＝1＋14%.解得x＝20%.答：這個月的石油價格相對上個月的增長率為20%.【例8－2】一種商品原來的銷售利潤率是47%.現(xiàn)在由于進價提高了5%，而售價沒變，所以該商品的銷售利潤率變成了多少？分析：可設(shè)原來的進價為a元，原來的利潤就是47%a，進價提高了5%a，現(xiàn)在的進價就是(1＋5%)a，現(xiàn)在的利潤就是47%a－5%a.解：設(shè)這種商品原來的進價為a元，原來的利潤就是47%a，進價提高了5%a，所以現(xiàn)在的利潤率＝eq\f(47%a－5%a,(1＋5%)a)＝40%.也可設(shè)現(xiàn)在該商品的利潤率變?yōu)閤%，得47%a－5%a＝(1＋5%)a·x%，解得x＝40.所以該商品的銷售利潤率變成了40%.9．日歷表中的方程問題日歷題也是一元一次方程中常見的問題，要解決這類問題，就要先熟悉一下月歷，以2013年6月份的月歷為例(其他月歷也一樣)，每一行表示一周，而且每周是從星期日開始的，自左向右，后一個數(shù)都比前一個數(shù)大1；每一列表示相同的星期幾，自上而下，下一個數(shù)都比上一個大7.所以，日歷問題實際上就是數(shù)列問題，如圖：任意用一個正方形框出四個數(shù)，若設(shè)其中左上角一個為x，那么其他數(shù)分別是x＋1，x＋7，x＋8，根據(jù)已知的和就可以列方程，求出日期，從而判斷是周幾或其他情況．【例9－1】本周的星期三到星期五這三天的號數(shù)之和等于18，你知道星期三是幾號嗎？解：星期三為x號，那么星期四就是(x＋1)號，星期五就是(x＋2)號，根據(jù)題意，得x＋(x＋1)＋(x＋2)＝18，解得x＝5，所以本周的星期三是5號．【例9－2】小明和小莉出生于2001年12月份，他們的出生日期不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，兩人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是()．A．15號 B．16號 C．17號 D．18號解析：因為兩人的生日不是同一天，但都是星期五，且兩人都是12月生日，則兩人的生日可能相差7天或14天或21天或28天，又根據(jù)兩人出生日期之和為22，則兩人生日不能相差28天，即兩人生日只能相差7天或14天或21天三種情況．設(shè)小莉出生日期為x號，則小明的出生日期為(x－7)號或(x－14)號或(x－21)號，根據(jù)題意，得①x＋(x－7)＝22；②x＋(x－14)＝22；③x＋(x－21)＝22.分別解這三個方程，得x＝eq\f(29,2)，或x＝18，或x＝eq\f(43,2).因為日期為正整數(shù)，所以符合題意的只有x＝18，即小莉的出生日期是18號．故應(yīng)選D.答案：D10.設(shè)參數(shù)解應(yīng)用題在解百分比問題過程中，有些題目中的量必須用到，但又未給出，為使題目直觀、明確，我們一般在設(shè)未知數(shù)的同時也設(shè)一個輔助未知數(shù)(參數(shù))，以便于題目的理解和應(yīng)用，這就是設(shè)參數(shù)解題法，這種解法，在解題過程所設(shè)的參數(shù)未知數(shù)在解題過程中自然約掉，從而幫助我們順利理解問題，解決問題．如：某商品降價20%后，若想恢復(fù)原價，需要在現(xiàn)價的基礎(chǔ)上提高百分之幾？此題要求“提高現(xiàn)價的百分之幾”，但題中沒有給出原價，也未給出現(xiàn)價，由題意知，現(xiàn)價與原價有聯(lián)系，若將原價設(shè)為a元，則現(xiàn)價就是(1－20%)a，再設(shè)需提高現(xiàn)價x%，那么價格就是a(1－20%)(1＋x%)，這樣與原價持平，所以a(1－20%)(1＋x%)＝a，這就可以使題目明顯化、直觀化．在解題過程中，a就是輔助未知數(shù)，并且在解的過程中，根據(jù)等式的性質(zhì)，a自然約掉．從而解得x＝25.即需要在現(xiàn)價的基礎(chǔ)上提高25%.【例10－1】蘋果的進價是每千克3.8元，銷售中估計有5%的蘋果正常損耗．為避免虧本，商家把售價應(yīng)該至少定為每千克__________元．解析：有兩種方法，一種是假設(shè)只進1千克蘋果，那么設(shè)定價至少為x元，那么3.8×1＝(1－5%)x，解得x＝4.另一種設(shè)共購進a千克蘋果，那么損耗就是5%a千克，同樣設(shè)定價至少為x元，那么總進價就是3.8a元，損耗后的總售價是(a－5%a)x元．列出方程，可求得x＝4.所以定價至少應(yīng)該是4元．答案：4【例10－2】高一某班在入學體檢中，測得全班同學平均體重是48千克，其中男同學平均體重比女同學平均體重多20%，而女同學人數(shù)比男同學人數(shù)多20%.求男、女同學的平均體重各是多少？分析：設(shè)女生平均體重為x千克，則男生平均體重為1.2x千克．設(shè)男生有y人，則女生有1.2y人，則男生的體重是1.2xy，女生的體重為1.2yx，根據(jù)男生的體重＋女生的體重＝總體重列出方程．解：設(shè)女生平均體重為x千克，則男生平均體重為1.2x千克；男生有y人，則女生有1.2y人，由題意，得1.2xy＋1.2yx＝48(y＋1.2y)．整理，得2.4xy＝48×2.2y.∵y≠0，∴2.4x＝48×2.2.解得x＝44,1.2x＝52.8(千克)．答：男、女生平均體重分別為52.8千克和44千克．11.一元一次方程自編型題在近幾年中考題中，出現(xiàn)了一種新題型——自編題，它對能力的要求更高，要求同學們能在真正理解教材、掌握教材的基礎(chǔ)上，達到變“學會”為“會學”的境界，同時也體現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的新課程理念．自編題一般給定條件，讓編出一道符合條件的題目，答案都不唯一，并具有開放性．一元一次方程這章的自編題一般分為兩類，一是自編方程，給出一個方程的解或再加其他條件限制，編寫一道適合的方程；另一種是自編應(yīng)用題：一般是給出一個一元一次方程，結(jié)合這個方程特點，發(fā)揮自己的想象力，從生產(chǎn)、生活的各個方面取材編寫，編寫一道符合所給一元一次方程的應(yīng)用題，有時還要求出解．【例11－1】展開你想象的翅膀，盡可能多的從方程eq\f(x,10)＋eq\f(x＋2,15)＝1中，猜想出它可能會是哪一類的應(yīng)用題并將其編寫出來．分析：此題的方程可從教材中找到類似的原型，等于1，含分母，可以當作工程問題的原型，也可從其他方面入手編寫，只要符合實際，所列方程是eq\f(x,10)＋eq\f(x＋2,15)＝1即可．解：如：向電腦輸入一篇文章，若單獨輸入，小紅需10分鐘輸完，小華需15分鐘輸完，若由小華先輸入2分鐘，余下的兩人合作，問還需多少分鐘輸完？【例11－2】小明根據(jù)方程5x＋2＝6x－8編寫了一道應(yīng)用題．請你把空缺的部分補充完整，并求出結(jié)果．某手工小組計劃教師節(jié)前做一批手工品贈給老師，如果每人做5個，那么就比計劃少2個；__________.請問手工小組有幾人？(設(shè)手工小組有x人)答案：如果每人做6個，那么比計劃多做8個；解方程5x＋2＝6x－8，得x＝10.答：手工小組有10人．12.選擇最優(yōu)方案的問題運用數(shù)學知識解決生活、生產(chǎn)實際問題，一般地說要求學生具備以下三種能力：一、閱讀理解能力，即要把實際問題轉(zhuǎn)化、抽象、提煉為數(shù)學問題．二、數(shù)學建模能力，即列出數(shù)學式子并能對整個問題作出合理的數(shù)學分析．三、數(shù)學求解能力，要以科學知識為依據(jù)，善于靈活地、創(chuàng)造性地運用知識解決問題．最優(yōu)方案選擇，則是運用數(shù)學知識，選擇最經(jīng)濟、效果最好的方法．從而在科學研究、生產(chǎn)實踐等方面取得事半功倍的作用．最優(yōu)方案問題常見的題目背景一般有：(1)買贈活動(2)活動組合選優(yōu)(3)買贈活動與打折(4)電話計費問題解決選擇最優(yōu)方案問題的基本的思路是簡化事物，使問題變得簡單而清晰．可以壓縮表述事物的文字，使語言更加精煉．文字少了，自然容易弄清楚事物之間的關(guān)系．也可以重新整理描述事物的順序，使應(yīng)用題的脈絡(luò)更加清晰．(1)用列表法化簡應(yīng)用題(2)用圖示法表示應(yīng)用題簡單的說就是：一般設(shè)兩種方式花費一樣多時的情況，列出方程，求出臨界點時的情況，再根據(jù)變化通過討論，選擇最優(yōu)方案．【例12】根據(jù)下面的兩種移動電話計費方式表，考慮下列問題．(1)若一個月內(nèi)在本地通話250分，按哪種方式交費更合算？(2)在某地每月通話時間為多少分時，兩種計費方式收費一樣多？方式一方式二月租費30元/月0本地通話費0.30元/分0.40元/分公告用方式一每月收月租費30元，此外根據(jù)累計通話時間按0.30元/分加收通話費；用方式二不收月租費，根據(jù)累計按0.40元/分收通話費．分析：(1)分別計算一個月內(nèi)在本地通話250分時，兩種收費方式下需繳納的費用，進行比較即可；(2)分別列出收費方式一、二下費用與通話時間的關(guān)系，即收費方式一，費用＝30元＋0.30元×通話時間，收費方式二，費用＝0.40元×通話時間，令二者相等解出答案即可．解：(1)一個月內(nèi)本地通話250(分)時，按方式一交費為：30＋0.30×250＝105(元)，按方式二交費為：0.40×250＝100(元)，因此本地通話250(分)時，按方式二交費更合算．(2)設(shè)每月通話x分，按方式一要收費(30＋0.3x)元，按方式二要收費0.4x元．如果兩種計費方式的收費一樣，則0.4x＝30＋0.3x，移項得：0.4x－0.3x＝30，合并同類項得：0.1x＝30，系數(shù)化為1得：x＝300.答：如果一個月內(nèi)通話300分，那么兩種計費方式的收費一樣多．3.4實際問題與一元一次方程(1)基礎(chǔ)檢測1．一商店把彩電按標價的9折出售，仍可獲利20%，若該彩電的進價是2400元，則彩電的標價為_______元．2．一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價，又以8折（即按標價的80%優(yōu)惠賣出）銷售，結(jié)果每件服裝仍可獲利15元，則這種服裝每件的成本價是______元．3．某藥店經(jīng)營的抗病毒藥品，在市場緊缺的情況下提價100%，物價部門查處后，限定其提價的幅度只能是原價的10%，則該藥品現(xiàn)在降價的幅度是（）A．55%B．50%C．90%D．95%4．磁懸浮列車是一種科技含量很高的新型交通工具，它具有速度快、爬坡能力強、能耗低的特點，它每個座位的平均能耗僅為飛機每個座位的平均能耗的三分之一，是汽車每個座位的平均能耗的70%，那么汽車每個座位的平均能耗是飛機每個座位平均能耗的（）A．B．C．5．某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件成本是400元，銷售價為510元，本季度銷售300件，為進一步擴大市場，企業(yè)決定在降低銷售價的同時降低生產(chǎn)成本，經(jīng)過市場調(diào)研，預(yù)測下季度這種產(chǎn)品每件銷售價降低4%，銷售量將提高10%，要使銷售利潤保持不變，該產(chǎn)品每件成本應(yīng)降低多少元？6．某商場出售的A型冰箱每臺售價2190元，每日耗電量為1度，而B型節(jié)能冰箱每臺售價雖比A型冰箱高出10%，但是每日耗電量卻為0.55度，現(xiàn)將A型冰箱打折出售，問商場至少打幾折，消費者購買才合算？（按使用期為10年，每年365天，每度電費按0.40元計算）7．一商店以每3盤16元錢的價格購進一批錄音帶，又從另外一處以每4盤21元價格購進前一批數(shù)據(jù)加倍的錄音帶，如果以每3盤k元的價格全部出售可得到所投資的20%的收益，求k值．拓展提高8．（經(jīng)典題）小剛為書房買燈，現(xiàn)有兩種燈可供選購，其中一種是9瓦（即0.009千瓦）的節(jié)能燈，售價為49元/盞；另一種是40瓦（即0.04千瓦）的白熾燈，售價為18元/盞．假設(shè)兩種燈的照明亮度一樣，使用壽命都可以達到2800小時，已知小剛家所在地的電價是每千瓦時0.5元．（1）設(shè)照明時間是x小時，請用含x的代數(shù)式分別表示用一盞節(jié)能燈的費用和用一盞白熾燈的費用（注：費用=燈的售價+電費）；（2）小剛想在這兩種燈中選購一盞：①當照明時間是多少時，使用兩種燈的費用一樣多；②試用特殊值判斷：照明時間在什么范圍內(nèi)，選用白熾燈費用低；照明時間在什么范圍內(nèi)，選用節(jié)能燈費用低．（3）小剛想在這兩種燈中選購兩盞：假定照明時間是3000小時，使用壽命都是2800小時，請你幫他設(shè)計費用最低的選燈方案，并說明理由．3.4實際問題與一元一次方程(2)基礎(chǔ)檢測1．甲、乙兩廠去年分別完成生產(chǎn)任務(wù)的112%和110%，共生產(chǎn)機床4000臺，比原來兩廠之和超產(chǎn)400臺，問甲廠原來的生產(chǎn)任務(wù)是多少臺？設(shè)甲廠原生產(chǎn)x臺，得方程________，解得x=_______臺．2．兩地相距190km，一汽車以30km/h的速度，從其中一地到另一地，當汽車出發(fā)1h后，一摩托車從另一地以50km/h速度和汽車相向而行，他們xh后相遇，則列方程為________．3．如圖所示，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個不同顏色的正方形組成，已知中間最小的一個正方形的邊長為1，那么這個長方形色塊圖的面積為______．4．籠中有雞兔共12只，共40條腿，設(shè)雞有x只，根據(jù)題意，可列方程