專題27 垂美四邊形（解析版）

專題27垂美四邊形

一、填空題

1．對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC、BD

交于點O．若AD2，BC4，則AB2CD2．

【答案】20

【詳解】∵四邊形ABCD是垂美四邊形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2，

∵AD=2，BC=4，

2222

∴AB2CD2AD+BC=2+4=20，

故答案為：20.

二、解答題

2．概念理解：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形

（1）性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，直接寫出AB2、CD2、AD2、BC2的數(shù)量關(guān)系：．

（2）解決問題：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連結(jié)CE、BG、GE．若AC＝4，AB＝5，求GE的長（可直接利用（1）中性質(zhì)）

2222

【答案】（1）AD+BC＝AB+CD；（2）GE＝73．

【詳解】(1)結(jié)論：AD2+BC2=AB2+CD2，

如圖1中，設(shè)BD交AC于E．

第1頁共33頁.

∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

故答案為：AD2+BC2=AB2+CD2．

(2)連接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AGAC

GABCAE，

ABAE

∴△GAB≌△CAE(SAS)，

∴∠ABG=∠AEC，

又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3，CG=42，BE=52，

∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，

∴GE=73．

3．若一個四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，CBCD，判斷四邊形ABCD是否為垂美四邊形，

第2頁共33頁.

并說明理由；

（2）性質(zhì)探究：如圖2，試在垂美四邊形ABCD中探究AB2、BC2、CD2、AD2之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE、BG、GE、CE交BG于點N，交AB于點M．若AB=3，AC=2，求線段GE的長．

2222

【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由見解析；（2）AB+CD=AD+BC，證明見解析；（3）EG=21．

【詳解】解：（1）如圖，四邊形ABCD是垂美四邊形；

理由如下：

連接AC、BD交于點E，

∵AB=AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB=CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；

（2）猜想結(jié)論：AB2+CD2=AD2+BC2，

第3頁共33頁.

證明：在四邊形ABCD中，

∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得：AB2+CD2=AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2=AO2+BO2+OD2+OC2，

∴AB2+CD2=AD2+BC2；

（3）如圖3，連接CG，BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AGAC

GABCAE，∴△GAB≌△CAE（SAS），

ABAE

∴∠ABG=∠AEC，

∵∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠BMN=90°，

∴∠BNC=90°，即BG⊥CE，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由（2）得：EG2+BC2=CG2+BE2，

∵AC=2，AB=3，

∴BC=AB2AC25，CG=22，BE=32，

∴EG2=CG2+BE2-BC2=8+18-5=21，

∴EG=21．

4．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

第4頁共33頁.

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．

（2）性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB2，CD2與BC2，AD2之間的數(shù)量關(guān)系．

（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長．

【答案】（1）垂美四邊形，證明見解析；（2）AD2BC2AB2CD2；（3）GE73

【詳解】解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．

證明：∵AB=AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB=CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；

（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．

如圖2，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E，

求證：AD2+BC2=AB2+CD2．

證明：∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

故答案為：AD2+BC2=AB2+CD2．

（3）連接CG、BE，

第5頁共33頁.

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AGAC

GABCAE，∴△GAB≌△CAE，

ABAE

∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠BMN=90°，

∴∠BNM=90°，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，∴BC=AB2AC2=3，CG=42，BE=52，

2222

∴GE=CG+BE-CB=73，∴GE=73．

5．若一個四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖1，在四邊形ABCD中，ABAD，CBCD，判斷四邊形ABCD是否為垂美四邊形，

并說明理由；

（2）性質(zhì)探究：如圖2，試在垂美四邊形ABCD中探究AB2、BC2、CD2、AD2之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFD和正方形ABGE，

連接BD、CE、DE，CE分別交AB、BD于點M、N，若AB＝2，AC＝3，求線段DE的長．

【答案】（1）是，見解析；（2）AB2CD2BC2AD2；（3）DE13

【詳解】解：（1）如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形．

理由如下：

第6頁共33頁.

證法一：

∵ABAD，CBCD，AC＝AC，

∴△ABC≌△ADC．

∴∠BAC＝∠DAC．

∴AC是等腰三角形ABD頂角∠BAD的平分線．

∴ACBD．

∴四邊形ABCD是垂美四邊形．

證法二：

連結(jié)AC、BD交于點E．

∵ABAD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上．

∵CBCD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上．

∴直線AC是線段BD的垂直平分線．

∴ACBD．

∴四邊形ABCD是垂美四邊形．

（2）如圖2，在垂美四邊形ABCD中，

∵ACBD于點O，

∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°．

∴AB2AO2BO2．

BC2BO2CO2．

CD2CO2DO2．

AD2AO2DO2．

∴AB2CD2AO2BO2CO2DO2．

BC2AD2BO2CO2AO2DO2．

∴AB2CD2BC2AD2．

（3）分別連結(jié)CD、BE，

如圖3，∵∠CAD＝∠BAE＝90°，

第7頁共33頁.

∴CADBACBAEBAC．

即DABCAE．

在DAB和CAE中，

ADAC

DABCAE，∴DABCAE．

ABAE

∴ABDAEC．

∵∠BAE＝90°，

∴AECAME90．

∴ABDBMN90．

∴BNM90，即BDCE．

∴四邊形CDEB是垂美四邊形．

由（2）得：DE2BC2CD2BE2．

∵AB＝AE＝2，AC＝AD＝3，

∴CD2AC2AD2(3)2(3)26．

BE2AB2AE222228．

BC2AB2AC222(3)21．

∴DE2CD2BE2BC268113．

∴DE13．

6．如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：在下列四邊形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四邊形．是垂美四邊形的是：（填

寫序號）；

（2）性質(zhì)探究：如圖1，垂美四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，試猜想：兩組對邊AB，CD與BC，AD之

間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE，已知BC=6，AB=10，求GE長．

第8頁共33頁.

2222

【答案】（1）①③；（2）結(jié)論：AD+BC=AB+CD．證明見解析；（3）273

【詳解】解：（1）∵正方形，菱形的對角線互相垂直，

∴正方形，菱形是垂美四邊形，

故答案為：①③．

（2）結(jié)論：AD2+BC2=AB2+CD2．

理由：∵四邊形ABCD是垂美四邊形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2．

（3）連接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG=∠AEC，

又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

第9頁共33頁.

∴CG2+BE2=CB2+GE2，

∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，

∴AC=AB2BC2=8，

∴CG=82，BE=102，

∴GE2=CG2+BE2-CB2=292，

∴GE=273．

7．（1）【知識感知】如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過的：①平行四邊

形②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是______（只填序號）

（2）【概念理解】如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理

由．

（3）【性質(zhì)探究】如圖1，垂美四邊形ABCD的兩對角線交于點O，試探究AB，CD，BC，AD之間有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？寫出你的猜想__________________；

（4）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，分別以RtABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE已知AC＝8，AB＝10，求GE長．

2222

【答案】（1）③④；（2）是，理由見解析；（3）AD+BC＝AB+CD，理由見解析；（4）273

【詳解】解：（1）∵在①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是③

菱形，④正方形，

∴③菱形，④正方形一定是垂美四邊形，

故答案為：③④；

（2）四邊形ABCD是垂美四邊形，

理由如下：如圖2，∵AB＝AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB＝CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；

（3）AD2+BC2＝AB2+CD2，

證明如下：如圖①，∵AC⊥BD，

第10頁共33頁.

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2＝AB2+CD2；

（4）如圖3，連接BE、CG，設(shè)AB與CE交于點M，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AGAC

GABCAE，

ABAE

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，

∵∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠BMC＝90°，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

∴CG2+BE2＝CB2+GE2，

∵AB＝10，AC＝8，

∴BC2＝AB2﹣AC2＝36，CG2＝AC2+AG2＝128，BE2＝AB2+AE2＝200，

∴GE2＝128+200﹣36＝292，

則GE＝273．

8．閱讀理解：如圖1，若一個四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理

由；

（2）性質(zhì)探究：如圖1，試在垂美四邊形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之間的關(guān)系，并說明理由；

（3）解決問題：如圖3，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連結(jié)CE、BG、GE、CE交BG于點N，交AB于點M．已知AC＝3，AB＝2，求GE的長．

第11頁共33頁.

2222

【答案】（1）四邊形ABCD是垂直四邊形，理由見解析；（2）AB+CD＝AD+BC，見解析；（3）13

【詳解】解：（1）如圖2，四邊形ABCD是垂直四邊形；

理由如下：

連接AC、BD交于點E，

∵AB＝AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB＝CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；

（2）猜想結(jié)論：AB2+CD2＝AD2+BC2，

證明：如圖1，在四邊形ABCD中，

∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2

∴AB2+CD2＝AD2+BC2，

（3）如圖3，連接CG，BE，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

第12頁共33頁.

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AGAC

GABCAE

ABAE

∴△GAB≌△CAE（SSS），

∴∠ABG＝∠AEC，

∵∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠BMN＝90°，

∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2

∵AC3，AB＝2，

∴BC＝1，CG6，BE22，

∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣2＝13，

∴EG13．

三、證明題

9．如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖，在四邊形ABCD中，ABAD，CBCD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說

明理由．

（2）性質(zhì)探究：試探究垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出證明過程

（先畫出圖形）

（3）問題解決：如圖，分別以RtACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE已知AC4，AB5，求GE的長．

第13頁共33頁.

【答案】（1）是，理由見解析；（2）垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等，證明見解析；（3）GE73

【詳解】解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形．

證明：連接AC、BD交于點E，

∵ABAD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CBCD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴ACBD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；

（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．

如圖2，已知四邊形ABCD中，ACBD，垂足為E，

求證：AD2BC2AB2CD2

證明：∵ACBD，

∴AEDAEBBECCED90，

由勾股定理得，AD2BC2AE2DE2BE2CE2，

AB2CD2AE2BE2CE2DE2，

∴AD2BC2AB2CD2；

（3）連接CG、BE，

第14頁共33頁.

∵CAGBAE90，

∴CAGBACBAEBAC，即GABCAE，

∵AGAC，ABAE

∴△GAB△CAE，

∴ABGAEC，又AECAME90，

∴ABGAME90，即CEBG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由（2）得，CG2BE2CB2GE2，

∵AC4，AB5，

∴BC3，CG42，BE52

∴GE2CG2BE2CB273，

∴GE73

10．連接四邊形不相鄰兩個頂點的線段叫做四邊形的對角線，如圖1，四邊形ABCD中線段AC、線段BD就

是四邊形ABCD的對角線.把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．

（2）性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB，CD的平方和與BC，AD的平方和之間的數(shù)量關(guān)系．

猜想結(jié)論：（要求用文字語言敘述）

寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）．

（3）問題解決：如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE長．

【答案】（1）是，理由見解析；（2）垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等；（3）73

【詳解】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形.

理由：如圖，連接AC，BD，

∵AB=AD，

第15頁共33頁.

∴點A在線段BD的垂直平分線上,

∵CB=CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；

（2）猜想結(jié)論：垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等，

如圖，

已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E，

求證：AD2+BC2=AB2+CD2

證明：∵AC⊥BD,

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90o，

由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）如圖，連接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90o，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE，

∴△GAB≌△CAE，

∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90o，

∴∠ABG+∠AME=90o，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

第16頁共33頁.

∴BC=3,CG=42,BE=52，

∴GE2=CG2+BE2–CB2=73，

∴GE=73.

11．小新學(xué)習(xí)了特殊的四邊形一平行四邊形后，對特殊四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外一類特殊四邊

形，如圖1，我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是______．

(2)性質(zhì)探究：通過探究，直接寫出垂美四邊形ABCD的面積S與兩對角線AC，BD之間的數(shù)量關(guān)系：______．

(3)問題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE，已知AC8，AB10．

①求證：四邊形BCGE為垂美四邊形；

②直接寫出四邊形BCGE的面積．

1

【答案】(1)菱形、正方形；(2)SACBD；(3)①見解析；②130

2

【詳解】（1）∵在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形、正方形，

∴菱形和正方形一定是垂美四邊形；

故答案為：菱形、正方形；

（2）如圖1所示：

∵四邊形ABCD的面積=ABC的面積+△ADC的面積

111

ACBOACDOACBODO

222

1

=ACBD；

2

1

故答案為：ACBD；

2

（3）①證明：連接CG、BE，BG交CE于N，BA交CE于M，如圖2所示：

第17頁共33頁.

∵四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形，

∴FCAGBAE90，F(xiàn)GAGACCF，ABAE，

∴CAGBACBAEBAC，

即GABCAE，

在△GAB和VCAE中，

AGAC

GABCAE，∴△GAB△CAE，

ABAE

∴BGCE，ABGAEC，

又∵AECAME90，AMEBMN，

∴ABGBMN90，

∴BNM90，

∴四邊形BCGE為垂美四邊形；

②∵FGCFAC8，ACB90，AB10，

∴BCAB2AC26,

∴BFBCCF14，

在Rt△BFG中，BGBF2FG214282265,

∴CEBG265，

1

∵四邊形BCGE為垂美四邊形，∴四邊形BCGE的面積BG?CE130

2

12．問題情景：如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”，按照此定義，我們學(xué)過的平

行四邊形中的菱形、正方形等都是“垂美四邊形”，“菱形”也是“垂美四邊形”．

概念理解：

第18頁共33頁.

（1）如圖2，已知等腰梯形ABCD是“垂美四邊形”，AB6，CD8，求AD的長．

性質(zhì)探究：

（2）如圖3，已知四邊形ABCD是“垂美四邊形”，試探究其兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量

關(guān)系，并寫出證明過程．

問題解決：

（3）如圖4，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG與正方形ABDE，連接CE，

BG，GE，CE與BG交于點O，已知AC3，AB5，求OGE的中線OH的長．

【答案】（1）AD52；（2）AB2CD2BC2AD2，理由見解析；（3）13．

【詳解】解：（1）由題意知，ACBD，

∴AOB和△COD都是等腰直角三角形，

22

∴OAAB32，ODCD42．

22

22

∴AD=(32)+(42)=52．

（2）由題意可知，AB2OB2OA2，CD2OC2OD2，

∴AB2CD2OA2OB2OC2OD2，①

AD2OA2OD2，BC2OB2OC2，

∴AD2BC2OA2OB2OC2OD2，②

∴由①②可知，“垂美四邊形”的兩組對邊之間的數(shù)量關(guān)系是AB2CD2BC2AD2

（3）連接BE，CG．

∵CAECABBAEBACCAGGAB，

ACAG，ABAE，

∴△ABG≌△AEC．

∴ABG可視為△AEC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90后得到的．

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，BGCE．

∴四邊形BCGE為“垂美四邊形”．

∴由（2）知，CG2BE2BC2EG2．

又AC3，AB5，

第19頁共33頁.

∴BC4，CG32，BE52．

22

∴(32)+(52)=42+GE2，

∴GE252，

∴GE213

又OGE為直角三角形，OH為其斜邊上的中線，

1

∴OHGE13

2

13．如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（如圖1）

（1）概念理解：在平行四邊形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四邊形的是；

（2）性質(zhì)證明：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，直接寫出其兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)

系_________________________；

（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的長．

2222

【答案】（1）菱形，正方形；（2）AD+BC＝AB+CD；（3）73

【詳解】解：（1）∵在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形、正方

形，

∴菱形和正方形一定是垂美四邊形，故答案為：菱形、正方形；

（2）如圖1，∵AC⊥BD，

∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，

由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案為：AD2+BC2＝AB2+CD2，

第20頁共33頁.

（3）如圖2，設(shè)AB與CE相交于點M，連接CG、BE，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AGAC

GABCAE，

ABAE

∴△GAB≌△CAESAS，

∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，

∵AC＝4，AB＝5，

∴BC＝3，CG＝42，BE＝52，

∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，

∴GE＝73．

14．我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)【概念理解】在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是.

(2)【性質(zhì)探究】如圖2，試探索垂美四邊形ABCD的兩組對邊AB,CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系，寫出證明

過程．

(3)【問題解決】如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

連接CE,BG,GE,已知AC=3,BC=1求GE的長.

【答案】菱形、正方形

第21頁共33頁.

【詳解】（1）菱形的對角線互相垂直，符合垂美四邊形的定義，

正方形的對角線互相垂直，符合垂美四邊形的定義，

而平行四邊形、矩形的對角線不一定垂直，不符合垂美四邊形的定義，

故答案為菱形、正方形；

（2）猜想結(jié)論：AD2+BC2=AB2+CD2，證明如下：

如圖2，連接AC、BD，交點為E，則有AC⊥BD，

∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）連接CG、BE，設(shè)AB與CE的交點為M

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

又∵AG=AC,AB=AE，

∴△GAB≌△CAE(SAS)，

∴∠ABG=∠AEC，

又∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMC，

∴∠ABG+∠BMC=90°，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=3,BC=1∴AB=2,

∴BE28,CG26,

∴681GE2,∴GE13,GE的長是13.

第22頁共33頁.

15．閱讀理解：如圖1，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．垂美四邊形有如下性質(zhì)：

垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等．

已知：如圖1，四邊形ABCD是垂美四邊形，對角線AC、BD相交于點E．

求證：AD2+BC2=AB2+CD2

證明：∵四邊形ABCD是垂美四邊形

∴AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2．

拓展探究：

（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．

（2）如圖3，在Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，分別以AB，AC為底邊，在Rt△ABC外部作等腰三角

形ABD和等腰三角形ACE，連接FD，F(xiàn)E，分別交AB，AC于點M，N．試猜想四邊形FMAN的形狀，并說明理

由；

問題解決：

如圖4，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，

已知AC=4，AB=5．求GE長．

【答案】拓展探究：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，理由詳見解析；（2）四邊形FMAN是矩形，理由詳見

解析；問題解決：73.

【詳解】拓展探究：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，

理由如下：

第23頁共33頁.

∵AB=AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB=CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線，

∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形．

（2）四邊形FMAN是矩形，

理由：如圖3，連接AF，

∵Rt△ABC中，點F為斜邊BC的中點，

∴AF=CF=BF，

又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，

∴AD=DB、AE=CE，

∴由（1）可得，DF⊥AB，EF⊥AC，

又∵∠BAC=90°，

∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°，

∴四邊形AMFN是矩形；

問題解決：

連接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

∵在△GAB和△CAE中，AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，

∴△GAB≌△CAE，

∴∠ABG=∠AEC，

又∠AEC+∠AME=90°，

∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

∴CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3，CG=42，BE=52，

第24頁共33頁.

∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，

∴GE=73.

16．定義，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

概念理解：如圖②，在四邊形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理

由．

性質(zhì)探究：如圖①，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，

并給出證明．

問題解決：如圖③，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)

CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，則①求證：△AGB≌△ACE；

②GE=．

2222

【答案】（1）是；（2）AB+CD=BC+AD；（3）①證明見解析；②37．

【詳解】概念理解：四邊形ABCD是垂美四邊形．理由如下：

∵AB=AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上．

∵CB=CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD

是垂美四邊形；

性質(zhì)探究：AD2+BC2=AB2+CD2．理由如下：

如圖2，已知四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為E．

∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；

問題解決：①連接CG、BE，如圖3所示：

∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE．

在△GAB和△CAE中，∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△AGB≌△ACE（SAS）；

②∵△AGB≌△ACE，∴∠ABG=∠AEC．

又∵∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得：

CG2+BE2=CB2+GE2．

2222

∵AC=2，AB=5，∴BC=21，CG=22，BE=52，∴GE=CG+BE﹣CB=37，∴GE=37．

故答案為37．

第25頁共33頁.

17．我們定義：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于O．求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；

（2）如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)BE，CG，

GE．

①求證：四邊形BCGE是垂美四邊形；

②若AC＝4，AB＝5，求GE的長．

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②GE＝73

【詳解】（1）證明：∵垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于O，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2＝AB2+CD2；

（2）①證明：連接BG、CE相交于點N，CE交AB于點M，如圖2所示：

∵正方形ACFG和正方形ABDE，

∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

AGAC

在△GAB和△CAE中，GABCAE，

ABAE

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，

第26頁共33頁.

∵∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，

∴四邊形BCGE是垂美四邊形；

②解：∵四邊形BCGE是垂美四邊形，

∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2，

∵AC＝4，AB＝5，

∴BC＝AB2AC2＝5242＝3，

∵正方形ACFG和正方形ABDE，

∴CG＝2AC＝42，BE＝2AB＝52，

2222222

∴GE＝CG+BE﹣CB＝（42）+（52）﹣3＝73，

∴GE＝73．

18．我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．如圖1，四邊形ABCD中對角線ACBD于點O．所

以四邊形ABCD是垂美四邊形．

（1）概念理解：如圖2，在四邊形ABCD中，若ABAD，CBCD，試判斷四邊形ABCD是垂美四邊形

嗎？請說明理由；

（2）性質(zhì)探究：在圖1中，我們發(fā)現(xiàn)垂美四邊形ABCD的兩組對邊滿足：AB2CD2AD2BC2；請你證

明這個結(jié)論．

（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，請你用“（2）性質(zhì)探究”中的結(jié)論解決下面問題：分別以RtACB的直角邊AC和

斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE、BG、GE．若AC4，AB5，求GE的長．

【答案】（1）四邊形ABCD是垂美四邊形，見解析；（2）見解析；（3）73

第27頁共33頁.

【詳解】解：（1）四邊形ABCD是垂美四邊形.

理由如下：

∵ABAD，∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CBCD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴直線AC是線段BD的垂直平分線上，

∴ACBD，即四邊形ABCD是垂美四邊形

（2）如圖1，∵ACBD，∴AODAOBBOCCOD90，

由勾股定理得，在RtAOB中AOB90，AB2AO2BO2

在RtDOC中DOC90，CD2DO2CO2

∴AB2CD2AO2BO2DO2CO2AD2BC2

∴AD2BC2AB2CD2

（3）連接CG、BE

∵CAGBAE90，∴CAGBACBAEBAC，

即GABCAE，

AGAC

在GAB和CAE中，GABCAE，

ABAE

∴GAB≌CAESAS，

∴ABGAEC，

又AECAME90，

∴ABGAME90，

即CEBG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由（2）得，CG2BE2CB2GE2，

∵AC4，AB5，∴BC3，CG42，BE52，

∴GE2CG2BE2CB273，

∴GE73.

四、作圖題

19．定義：有一組鄰邊垂直且對角線相等的四邊形為垂等四邊形．

第28頁共33頁.

（1）寫出一個已學(xué)的特殊平行四邊形中是垂等四邊形的是．

（2）如圖1，在3×3方格紙中，A，B，C在格點上，請畫出兩個符合條件的不全等的垂等四邊形，使AC，

BD是對角線，點D在格點上．

（3）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別在AD，AB，BC上，AE＝AF＝CG且∠DGC＝∠DEG，求證：

四邊形DEFG是垂等四邊形．

（4）如圖3，已知Rt△ABC，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2，以AC為邊在AC的右上方作等腰三角形，使

四邊形ABCD是垂等四邊形，請直接寫出四邊形ABCD的面積．

【答案】（1）正方形，矩形；（2）見解析；（3）見解析；（4）215．

【詳解】解：（1）正方形，矩形是垂等四邊形．

故答案為正方形，矩形．

（2）如圖1中，四邊形ABCD即為所求．

（3）在正方形ABCD中，

∵AF＝CG，AB＝BC，

∴FB＝BG，

∴∠AEF＝∠AFE＝45°，∠BFG＝∠BGF＝45°，

∴∠EFG＝90°，

∵∠A＝∠C＝90°，DA＝DC，AF＝CG，

∴△ADF≌△CDG（SAS），

∴DF＝DG，

∵AD∥CB，

∴∠EDG＝∠DGC，

∵∠DGC＝∠DEG，

∴∠GDE＝∠GED，

∴DG＝EG，

第