力學(xué)第4章 功和能課件

第四章功和能1力學(xué)第4章功和能▲功的計(jì)算是否依賴參考系？本章討論力對(duì)空間的積累效應(yīng)—功、動(dòng)能、勢(shì)能、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律。1.深入理解以上概念，辨析物理量是屬于質(zhì)點(diǎn)、還是屬于系統(tǒng)？是否與參考系選擇有關(guān)？2.明確規(guī)律的內(nèi)容、來(lái)源、對(duì)象、適用條件、與參考系的關(guān)系等?！鴦?shì)能是否與參考系選擇有關(guān)？▲機(jī)械能守恒是否與慣性系選擇有關(guān)？▲摩擦生熱是否與參考系選擇有關(guān)？2力學(xué)第4章功和能△§4.1功△§4.2動(dòng)能定理§4.3一對(duì)相互作用力的功§4.4保守力△§4.5勢(shì)能§4.6由勢(shì)能求保守力§4.7功能原理和機(jī)械能守恒定律§4.8守恒定律的意義△§4.9碰撞§4.10質(zhì)心系中的功能關(guān)系§4.11兩體問(wèn)題第四章功和能3力學(xué)第4章功和能△§4.1功功：力和力所作用質(zhì)點(diǎn)（或質(zhì)元）位移的標(biāo)積▲功依賴于參考系；▲功是標(biāo)量，有正、負(fù)之分?！κ沁^(guò)程量，不是狀態(tài)量；m

ABL××4力學(xué)第4章功和能△§4.2動(dòng)能定理▲

對(duì)質(zhì)點(diǎn)，由牛頓第二定律，有動(dòng)能定理：—?jiǎng)幽埽☉T性系成立）▲

對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有動(dòng)能定理：注意：內(nèi)力雖成對(duì)出現(xiàn)，但內(nèi)力功的和不一定為零，因?yàn)楦髻|(zhì)點(diǎn)位移不一定相同。5力學(xué)第4章功和能§4.3一對(duì)相互作用力的功一對(duì)相互作用力分別作用在兩個(gè)物體上，大小相等、方向相反。合功與參考系無(wú)關(guān)。是m2相對(duì)m1的元位移。m1m2y×B2xB1A1z

A2O×××6力學(xué)第4章功和能A表示初位形，即m1在A1，m2在A2；B表示末位形，即m1在B1，m2在B2。1.W合與參考系選取無(wú)關(guān)。幾點(diǎn)說(shuō)明：2.一對(duì)滑動(dòng)摩擦力的功恒小于零。（摩擦生熱是一對(duì)滑動(dòng)摩擦力作功的結(jié)果）3.在無(wú)相對(duì)位移、或相對(duì)位移與一對(duì)力垂直的情況下，一對(duì)力的功必為零。7力學(xué)第4章功和能例如：

M光滑m8力學(xué)第4章功和能§4.4保守力保守力：這一對(duì)力的功與相對(duì)移動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)，只決定于物體的始末相對(duì)位置?！Ｊ亓Χx式（L是任意閉合路徑）L2L1L2L1BAL2L1m2m1××9力學(xué)第4章功和能一.常見(jiàn)的保守力1.萬(wàn)有引力

rBrAB××AmM10力學(xué)第4章功和能2.彈力（一維情況）x-x0—彈簧伸長(zhǎng)量，k—

彈簧勁度系數(shù)3.重力二.非保守力▲爆炸力：作為內(nèi)力，作功為正。作功與路徑有關(guān)的力稱(chēng)為非保守力。▲摩擦力滑動(dòng)摩擦力作為內(nèi)力，功恒為負(fù)，耗散力；11力學(xué)第4章功和能△§4.5勢(shì)能保守力做功與路徑無(wú)關(guān)，可用引入標(biāo)量函數(shù)

—?jiǎng)菽芴娲Ｊ亓ψ龉ΑＲ?勢(shì)能Ep定義：系統(tǒng)由位形A變到位形B的過(guò)程中，

保守內(nèi)力作功等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少，或勢(shì)能增量的負(fù)值。勢(shì)能零點(diǎn)：選擇某位形O

且規(guī)定12力學(xué)第4章功和能說(shuō)明：勢(shì)能零點(diǎn)選擇與參考系選擇無(wú)關(guān)。二.幾種勢(shì)能1.萬(wàn)有引力勢(shì)能令有1.勢(shì)能屬于相互作用的系統(tǒng)；2.勢(shì)能不依賴于參考系的選擇，取為勢(shì)能零點(diǎn),任意點(diǎn)處的勢(shì)能為13力學(xué)第4章功和能2.重力勢(shì)能令有3.彈性勢(shì)能令有14力學(xué)第4章功和能§4.6由勢(shì)能求保守力一.由勢(shì)能函數(shù)求保守力在保守力場(chǎng)中的某點(diǎn)處，保守力沿空間某一指定方向的分量，等于勢(shì)能函數(shù)

Ep

在該點(diǎn)處的方向?qū)?shù)的負(fù)值。（代表空間一指定方向）

m—Ep方向?qū)?shù)的負(fù)值由勢(shì)能定義15力學(xué)第4章功和能直角坐標(biāo)系下，EP=

EP(x,y,z)

，可證明：—EP的梯度的負(fù)值標(biāo)量函數(shù)的梯度：大小等于方向?qū)?shù)最大值，方向指向標(biāo)量函數(shù)增長(zhǎng)最快的方向。16力學(xué)第4章功和能則引入算符—保守力指向勢(shì)能下降最快的方向【例】彈性力彈性勢(shì)能17力學(xué)第4章功和能對(duì)一維情形：保守力指向勢(shì)能下降的方向，大小正比于勢(shì)能曲線的斜率。二.勢(shì)能曲線▲勢(shì)能曲線上每一個(gè)局部的最低點(diǎn)都是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)偏離了穩(wěn)定的平衡點(diǎn)時(shí)，會(huì)受到指向平衡點(diǎn)的力，即質(zhì)點(diǎn)可以圍繞這些平衡點(diǎn)作小振動(dòng)。勢(shì)能曲線形象地反映出系統(tǒng)的穩(wěn)定性：18力學(xué)第4章功和能▲勢(shì)能曲線上每個(gè)局部的最高點(diǎn)都是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)：一旦質(zhì)點(diǎn)偏離不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，都會(huì)受到偏離平衡點(diǎn)的力，質(zhì)點(diǎn)就會(huì)遠(yuǎn)離而去?！纠侩p原子分子勢(shì)能曲線f>0，斥力作用r<r0：f<0，引力作用r>r0：f=0，平衡位置r=r0：rEpr0O19力學(xué)第4章功和能不穩(wěn)平衡隨遇平衡平衡種類(lèi)穩(wěn)定平衡勢(shì)能曲線在A點(diǎn)，若Ek>

E1則質(zhì)點(diǎn)可越過(guò)勢(shì)壘進(jìn)入B

區(qū)。在B點(diǎn)，若Ek>

E2則質(zhì)點(diǎn)可越過(guò)勢(shì)壘進(jìn)入A

區(qū)。亞穩(wěn)平衡

E1

E2AB勢(shì)壘

勢(shì)阱

總能量E

決定了質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)范圍。20力學(xué)第4章功和能§4.7功能原理和機(jī)械能守恒定律

一.功能原理對(duì)質(zhì)點(diǎn)系：引入系統(tǒng)的機(jī)械能功能原理（積分形式）（微分形式）21力學(xué)第4章功和能二.機(jī)械能守恒定律只有保守內(nèi)力作功時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能不變?！獧C(jī)械能守恒定律孤立的、保守的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。即W保內(nèi)

<0EpEkW保內(nèi)>022力學(xué)第4章功和能三.普遍的能量守恒定律機(jī)械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的體現(xiàn)。系統(tǒng)勢(shì)能與動(dòng)能的相互轉(zhuǎn)化通過(guò)保守內(nèi)力作功來(lái)實(shí)現(xiàn)和度量?？紤]各種物理現(xiàn)象，計(jì)及各種能量：—普遍的能量守恒定律一個(gè)孤立系統(tǒng)不管經(jīng)歷何種變化，系統(tǒng)所有能量的總和保持不變。23力學(xué)第4章功和能四.守恒定律聯(lián)合應(yīng)用舉例【例1】已知m，M和

v，求：hmax=?

解：系統(tǒng)m+M

+地球W外=0，W非保內(nèi)=0當(dāng)h=hmax時(shí)，M與m有相同水平速度。取地面Ep=0，有：故機(jī)械能守恒。mvM光滑光滑hmax(1)24力學(xué)第4章功和能分析結(jié)果的合理性：

量綱對(duì)；該過(guò)程中地面所受壓力如何變化？

趨勢(shì)正確由(1)(2)得：m+M：水平方向F外=0，水平方向動(dòng)量守恒：(2)【思考】

25力學(xué)第4章功和能【例2】分析蕩秋千原理：m表示人的質(zhì)心1

2：人迅速蹲下，使有效擺長(zhǎng)由l

變?yōu)閘；2

3：對(duì)（人+地球）系統(tǒng)，(1)角動(dòng)量守恒：(2)只重力作功，機(jī)械能守恒：3

4：人對(duì)O，4

5：對(duì)（人+地球）系統(tǒng)，機(jī)械能守恒：

ll

m

Ol

152v34v

26力學(xué)第4章功和能(1)(2)(3)解得：人越擺越高，能量從哪兒來(lái)？即人越擺越高?！舅伎肌?/p>

(3)lvl

m

Ol

15423v

27力學(xué)第4章功和能【例3】一質(zhì)量為2m的環(huán)套在光滑的、水平固定的lm2m細(xì)桿上，用長(zhǎng)l的輕繩與質(zhì)量為m的小球相連。將輕繩沿水平拉直，使小球從與環(huán)等高處?kù)o止釋放。求：當(dāng)輕繩與水平桿夾角為

時(shí)，其中的張力T。28力學(xué)第4章功和能解：環(huán)沿x方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度為ux，設(shè)球速度為v。

xyN環(huán)＋球系統(tǒng)：桿力N沿–y方向，x方向不受力，分動(dòng)量守恒：只重力作功，機(jī)械能守恒：(1)(2)小球相對(duì)環(huán)作圓周擺動(dòng)，設(shè)相對(duì)速度為v

。v29力學(xué)第4章功和能xy(1)－(5)可解出所有速度分量球相對(duì)環(huán)的速度的分量滿足：(5)(3)(4)在圓環(huán)這個(gè)平動(dòng)非慣性系中求繩中張力T

：(6)(7)30力學(xué)第4章功和能圓周運(yùn)動(dòng)法向方程：(8)(1)－(8)解出繩中張力T：總結(jié)：此題涉及動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，

相對(duì)運(yùn)動(dòng)，平動(dòng)非慣性系。31力學(xué)第4章功和能【例4】在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，慣性離心力和科里奧利力作功有何特點(diǎn)？對(duì)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的機(jī)械能守恒怎樣理解？答：在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，科里奧利力與速度保持垂直，不作功。慣性離心力是有心力，可引入慣性離心勢(shì)能描述其作功。以r=0處勢(shì)能為零點(diǎn)，則距離r

處勢(shì)能為：對(duì)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的機(jī)械能守恒應(yīng)理解為：動(dòng)能和勢(shì)能包括離心勢(shì)能之間的轉(zhuǎn)化。32力學(xué)第4章功和能五.

質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)介1.

有心力場(chǎng)有心力是指方向始終指向（背向）固定中心的力，如萬(wàn)有引力，可表達(dá)為：

是以固定中心為原點(diǎn)的矢徑的單位矢量。有心力場(chǎng)是保守力場(chǎng)，其勢(shì)能為：33力學(xué)第4章功和能2.

有心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的2個(gè)重要特征：▲角動(dòng)量守恒，運(yùn)動(dòng)必在一個(gè)平面上：▲質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能守恒：力心采用極坐標(biāo)系：速度：位矢：34力學(xué)第4章功和能由機(jī)械能守恒得：(1)由角動(dòng)量守恒得：代入(1)得關(guān)于r的方程：(2)35力學(xué)第4章功和能方程(1)(2)就是研究質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的

2個(gè)基本方程，可取代牛頓方程。相比牛頓方程，方程(1)(2)降為1階微分方程，這是利用守恒量的優(yōu)點(diǎn)。

具體地要由初始條件決定：初始條件和勢(shì)函數(shù)的具體形式?jīng)Q定軌道特征：封閉性、形狀、大小和取向。36力學(xué)第4章功和能3.有效勢(shì)和軌道特征徑向動(dòng)能：有效勢(shì)能：離心勢(shì)能：等效于斥力勢(shì)能在徑向（r方向），質(zhì)點(diǎn)相當(dāng)于在一個(gè)保守勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，徑向動(dòng)能和有效勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化。37力學(xué)第4章功和能近、遠(yuǎn)地點(diǎn)對(duì)應(yīng)

，此時(shí)徑向動(dòng)能為零，有效勢(shì)能等于總機(jī)械能，可得：對(duì)萬(wàn)有引力場(chǎng)有：E<0

時(shí)2根，對(duì)應(yīng)橢圓軌道

—束縛態(tài)。E=0

時(shí)1根，對(duì)應(yīng)拋物軌道，質(zhì)點(diǎn)剛好逃逸，動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為勢(shì)能。E>0

時(shí)1根，對(duì)應(yīng)雙曲軌道，不受約束。38力學(xué)第4章功和能

E=E1>0時(shí)，雙曲軌道E=E2

=0時(shí)，拋物軌道E=E3<0時(shí)，橢圓軌道E=E0=

時(shí)，圓軌道近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)39力學(xué)第4章功和能4.變軌問(wèn)題勢(shì)函數(shù)確定后，初始條件決定軌道特征（形狀、大小和取向）。改變初始條件即可改變軌道特征。例如，宇宙飛船繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速度。讓飛船在極短時(shí)間內(nèi)向外側(cè)或內(nèi)側(cè)點(diǎn)火噴氣，使其獲得一附加的指向地心的很小的速度，飛船即可變軌。40力學(xué)第4章功和能紅色軌道對(duì)應(yīng)外側(cè)點(diǎn)火，藍(lán)色軌道對(duì)應(yīng)內(nèi)側(cè)點(diǎn)火。41力學(xué)第4章功和能1978年發(fā)射的空間飛船ISEE3，4年后經(jīng)37次點(diǎn)火和5次飛近太陽(yáng)而進(jìn)入了一個(gè)復(fù)雜的軌道。1985年攔截了一個(gè)彗星，1986年與哈雷慧星相遇，2012年將返回地球。42力學(xué)第4章功和能§4.8守恒定律的意義（自學(xué)）△§4.9碰撞（自學(xué)）▲強(qiáng)調(diào)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化，忽略過(guò)程細(xì)節(jié)▲強(qiáng)調(diào)內(nèi)力、忽略外力（看情況）動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒動(dòng)能不變（彈性碰撞）43力學(xué)第4章功和能特例1：完全非彈性碰撞特例2：完全彈性對(duì)心碰撞(v1,v2,v10,v20:確定正方向后的投影分量)m1=m2：v2＝v10,v1=v20m1>>m2,v10=0:v2

-v20,v1

0碰前碰后自學(xué)教材例4.16對(duì)心碰撞44力學(xué)第4章功和能§4.10質(zhì)心系中的功能關(guān)系一.柯尼希定理S（慣性系）：S

（質(zhì)心系）：45力學(xué)第4章功和能質(zhì)心系中功能原理仍然成立，與質(zhì)心系是否是慣性系無(wú)關(guān)。二.質(zhì)心系中的功能原理（積分形式）（微分形式）—柯尼希定理所以046力學(xué)第4章功和能【證明1】(1)內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)：(2)科尼希定理：勢(shì)能與參考系無(wú)關(guān)：(3)(4)S

O

OSmi×C47力學(xué)第4章功和能(1)+(2)得：(3)+(4)得：(5)(6)S系中功能原理：(7)由(5)(6)(7)得：(7)所以質(zhì)心系中功能原理仍然成立。48力學(xué)第4章功和能若質(zhì)心系是慣性系，則功能原理必然成立。若質(zhì)心系是非慣性系，則需考慮慣性力的功：設(shè)質(zhì)心加速度為，則：【證明2】49力學(xué)第4章功和能質(zhì)心系中機(jī)械能守恒定律：三.質(zhì)心系中兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)能慣性系S：不管質(zhì)心系是否為慣性系，功能原理和機(jī)械能守恒定律都與慣性系中形式相同。設(shè)m1

速度為，m2

速度為50力學(xué)第4章功和能質(zhì)心系S

：令—相對(duì)速度—約化質(zhì)量則—質(zhì)心系中兩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能51力學(xué)第4章功和能若則【例】對(duì)物體m—地球Me系統(tǒng)：Me

>>m，物體—地球質(zhì)心系中，物體和地球總動(dòng)能：

m，這就是討論物體—地球系統(tǒng)的能量問(wèn)題時(shí)，不考慮地球動(dòng)能的原因。地心系中物體動(dòng)能52力學(xué)第4章功和能兩質(zhì)子達(dá)到最近距離時(shí)，動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為靜電勢(shì)能：【例】質(zhì)子間相互作用電勢(shì)能，

k為常量。兩質(zhì)子從相距很遠(yuǎn)處分別以速率v0和2v0

相向運(yùn)動(dòng)。解：（地面系如何？）兩質(zhì)子間只有保守內(nèi)力作用，動(dòng)能和靜電勢(shì)能之和守恒（忽略萬(wàn)有引力）。質(zhì)心系：求：二者能達(dá)到的最近距離rmin。ermpmpe53力學(xué)第4章功和能§4.11兩體問(wèn)題兩物體在相互作用下的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題稱(chēng)兩體問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題可簡(jiǎn)化為單體問(wèn)題處理。如

粒子被原子核散射，設(shè)質(zhì)點(diǎn)間的作用力為有心力，(1)(2)行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)等。m2m1O慣性系中固定點(diǎn)54力