專題04 指數(shù)與對數(shù)+冪、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)（考點串講）-高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講（蘇教版2019必修第一冊）

高一數(shù)學(xué)上學(xué)期·期末復(fù)習(xí)大串講專題03指數(shù)與對數(shù)

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)蘇教版(2019)必修第一冊010203目

錄押題預(yù)測題型剖析考點透視26大?？键c：知識梳理、思維導(dǎo)圖35個題型典例剖析+技巧點撥精選26道期末真題對應(yīng)考點練考點透視01考點透視考點1.根式的定義(1)a的n次方根的定義：一般地，如果xn＝a，那么x叫做____________，其中n＞1，且n∈N＋.(2)a的n次方根的表示①當(dāng)n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù)．a(chǎn)的n次方根用符號_______表示；②當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)．正數(shù)a的正的n次方根用符號_______表示，負(fù)的n次方根用符號______表示．正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫成____________；a的n次方根考點透視考點2.根式的性質(zhì)沒有0根指數(shù)被開方數(shù)aa|a|考點透視考點3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義0沒有意義提示考點透視考點4.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)ar＋sarsarbr考點透視考點5.無理數(shù)指數(shù)冪(1)對于無理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點：①它是一個確定的實數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無限逼近的結(jié)果．(2)定義了無理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實數(shù)范圍．

實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aras＝_____(a>0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝____(a>0，r，s∈R)．(3)(ab)r＝____(a>0，b>0，r∈R)．[拓展]

＝ar－s(a>0，r，s∈R)．[提醒]

實數(shù)指數(shù)冪中一定要有a>0.ar＋sarsarbr考點透視考點6.指數(shù)函數(shù)的定義一般地，____________________________________________________________________．[想一想]指數(shù)函數(shù)中為什么要規(guī)定a>0，且a≠1?函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R提示考點透視考點7.指數(shù)增長模型在實際問題中，經(jīng)常會遇到指數(shù)增長模型：設(shè)原有量為N，每次的增長率為p，經(jīng)過x次增長，該量增長到y(tǒng)，則y＝_______________．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函數(shù)是刻畫指數(shù)增長或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型．N(1＋p)x(x∈N)考點透視考點8.指數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域____值域_____________過定點過定點________，即x＝___時，y＝___函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時，____；當(dāng)x<0時，________當(dāng)x>0時，________；當(dāng)x<0時，____單調(diào)性是R上的增函數(shù)是R上的減函數(shù)對稱性y＝ax與y＝a－x的圖象關(guān)于y軸對稱R(0，＋∞)(0，1)01y>10<y<10<y<1y>1考點透視考點9.不同底指數(shù)函數(shù)圖象的相對位置

[點撥]

(1)函數(shù)圖象只出現(xiàn)在x軸上方．(2)當(dāng)a>1時，x→－∞，y→0；當(dāng)0<a<1時，x→＋∞，y→0.(3)任意底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示，則0<c<d<1<a<b.考點透視考點9.不同底指數(shù)函數(shù)圖象的相對位置在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由_____變_____；在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由_____變_____．即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向遞增．[點撥]

指數(shù)函數(shù)的底數(shù)即直線x＝1與圖象交點的縱坐標(biāo)，由此可求出指數(shù)函數(shù)底數(shù)的大?。笮〈笮】键c透視考點10.指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(1)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性．它由兩個函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，則函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性有如下特點：u＝g(x)y＝f(u)y＝f(g(x))增增增增減減減增減減減增考點透視考點10.指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(3)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通過考查f(u)和g(x)的單調(diào)性，求出y＝f(g(x))的單調(diào)性．考點透視考點11.對數(shù)的概念(1)對數(shù)的概念：一般地，如果_________(a>0，且a≠1)，那么數(shù)__叫做以__為底__的對數(shù)，記作_________，其中__叫做對數(shù)的底數(shù)，___叫做真數(shù)．(2)兩種特殊的對數(shù)①常用對數(shù)：通常，我們將___________的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log10N記為______；②自然對數(shù)：_________的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記為_______(其中e＝2.71828…)．a(chǎn)x＝NxaN以10為底aNx＝logaNlgN以e為底lnN考點透視考點11.對數(shù)的概念(3)對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系考點透視考點12.對數(shù)的基本性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)①__________沒有對數(shù)，即真數(shù)N>0；②1的對數(shù)為___，即loga1＝___(a>0，且a≠1)；③底數(shù)的對數(shù)等于___，即logaa＝___(a>0，且a≠1)．(2)兩個重要的對數(shù)恒等式①alogaN＝___(a>0，且a≠1，N>0)；②logaaN＝___(a>0，且a≠1)．負(fù)數(shù)和00011NN考點透視考點13.對數(shù)的概念(1)對數(shù)的概念：一般地，如果_________(a>0，且a≠1)，那么數(shù)__叫做以__為底__的對數(shù)，記作_________，其中__叫做對數(shù)的底數(shù)，___叫做真數(shù)．(2)兩種特殊的對數(shù)①常用對數(shù)：通常，我們將___________的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把log10N記為______；②自然對數(shù)：_________的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記為_______(其中e＝2.71828…)．a(chǎn)x＝NxaN以10為底aNx＝logaNlgN以e為底lnN考點透視考點13.對數(shù)的概念(3)對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系考點透視考點14.對數(shù)的基本性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)①__________沒有對數(shù)，即真數(shù)N>0；②1的對數(shù)為___，即loga1＝___(a>0，且a≠1)；③底數(shù)的對數(shù)等于___，即logaa＝___(a>0，且a≠1)．(2)兩個重要的對數(shù)恒等式①alogaN＝___(a>0，且a≠1，N>0)；②logaaN＝___(a>0，且a≠1)．負(fù)數(shù)和00011NN考點透視考點15.對數(shù)運算性質(zhì)logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM考點透視考點16.換底公式1考點透視考點17.對數(shù)函數(shù)一般地，函數(shù)______________________叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是____________．[點撥]

兩種特殊的對數(shù)函數(shù)(1)常用對數(shù)函數(shù)：y＝lgx.(2)自然對數(shù)函數(shù)：y＝lnx.y＝logax(a>0，且a≠1)(0，＋∞)考點透視考點18.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)定義y＝logax(a>0，且a≠1)底數(shù)a>10<a<1圖象定義域_________________值域________單調(diào)性___________________(0，＋∞)R增函數(shù)減函數(shù)考點透視考點18.對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)共點性圖象過定點_________，即x＝1時，y＝0函數(shù)值x∈(0，1)時，y∈_____________；x∈[1，＋∞)時，y∈______________x∈(0，1)時，y∈_____________；x∈[1，＋∞)時，y∈_____________對稱性函數(shù)y＝logax與y＝logx的圖象關(guān)于__________對稱趨勢在直線x＝1右側(cè)，a值越_____，圖象越靠近x軸在直線x＝1右側(cè)，a值越___，圖象越靠近x軸(1，0)(－∞，0)[0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0]x軸大小考點透視考點19.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng)＝ax(a＞0，且a≠1)y＝logax(a＞0，且a≠1)圖象定義域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)考點透視考點19.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系單調(diào)性當(dāng)a＞1時，單調(diào)遞增；當(dāng)0＜a＜1時，單調(diào)遞減當(dāng)a＞1時，單調(diào)遞增；當(dāng)0＜a＜1時，單調(diào)遞減函數(shù)值的變化情況當(dāng)a＞1時，若x＞0，則y＞1；若x＜0，則0＜y＜1.當(dāng)0＜a＜1時，若x＞0，則0＜y＜1；若x＜0，則y＞1當(dāng)a＞1時，若x＞1，則y＞0；若0＜x＜1，則y＜0.當(dāng)0＜a＜1時，若x＞1，則y＜0；若0＜x＜1，則y＞0考點透視考點20.三種函數(shù)的性質(zhì)及增長速度比較一次函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx(k＞0)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)單調(diào)性在(0，＋∞)上單調(diào)遞_____圖象(隨x的增大)直線逐漸上升逐漸與___軸平行逐漸與___軸平行增長速度(隨x的增大)y的增長速度_____y的增長速度越來越___y的增長速度越來越___增長關(guān)系存在一個x0，當(dāng)x＞x0時，ax____kx____logax增yx不變快慢>>考點透視考點21.函數(shù)零點的概念對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把____________________叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．函數(shù)y＝f(x)的_______就是方程f(x)＝0的實數(shù)解，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的公共點的_____________．使f(x)＝0的實數(shù)x零點橫坐標(biāo)考點透視考點22.方程的解與函數(shù)零點的關(guān)系方程f(x)＝0有實數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)_________

?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸______________．函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條___________的曲線，且有_____________，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)_____________零點，即存在c∈(a，b)，使得__________，這個c也就是方程f(x)＝0的解．有零點有公共點連續(xù)不斷f(a)f(b)＜0至少有一個f(c)＝0考點透視考點23.二分法的概念對于在區(qū)間[a，b]上圖象__________且____________的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間___________，使所得區(qū)間的兩個端點逐步___________，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法．[點撥]

二分法的依據(jù)是函數(shù)零點存在定理，僅適用于函數(shù)的變號零點(函數(shù)圖象通過零點時函數(shù)值的符號改變)．連續(xù)不斷f(a)·f(b)＜0一分為二逼近零點考點透視考點24.用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟給定精確度ε，用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點x0的近似值的一般步驟如下：(1)確定零點x0的初始區(qū)間[a，b]，驗證________________．(2)求區(qū)間(a，b)的__________．(3)計算f(c)，并進(jìn)一步確定零點所在的區(qū)間：①若f(c)＝0(此時x0＝c)，則____就是函數(shù)的零點；②若f(a)f(c)＜0(此時x0∈_________，則令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此時x0∈__________，則令a＝c.(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：若|a－b|＜ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)步驟(2)～(4)．f(a)·f(b)＜0中點cc(a，c))(c，b))考點透視考點25.五個冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝

；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖.考點透視考點25.五個冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)2.五個冪函數(shù)的性質(zhì)

y＝xy＝x2y＝x3

y＝x－1定義域________________________值域_______________________________奇偶性______________________單調(diào)性增在[0，＋∞)上___，在(－∞，0]上_________在(0，＋∞)上___，在(－∞，0)上___{x|x≠0}[0，＋∞)[0，＋∞){y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇增減增增減減RRR[0，＋∞)RR考點透視考點26.一般冪函數(shù)的圖象特征1.所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點

.2.當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象通過

，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是

函數(shù).特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的圖象

；當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)的圖象

.3.當(dāng)

時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù).4.冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱.5.在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數(shù)按從

到

的順序排列.(1,1)原點增下凸上凸α<0小大題型剖析02題型剖析題型1.根式的化簡與求值解題型剖析題型2.根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化

解題型剖析題型3.有理數(shù)指數(shù)冪的運算

解題型剖析題型4.指數(shù)函數(shù)的概念

【例題4】下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是(

)①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2×3x.A．1 B．2C．3 D．0解析①中底數(shù)－8<0，所以不是指數(shù)函數(shù)；②中指數(shù)不是自變量x，而是x的函數(shù)，所以不是指數(shù)函數(shù)；③中底數(shù)a，只有規(guī)定a>0，且a≠1時，才是指數(shù)函數(shù)；④中3x前的系數(shù)是2，而不是1，所以不是指數(shù)函數(shù)．故選D.答案解析題型剖析題型5.指數(shù)函數(shù)的解析式及應(yīng)用答案解析題型剖析題型6.指數(shù)型函數(shù)的實際應(yīng)用

【例題6】一批設(shè)備價值a萬元，由于使用磨損，每年比上一年價值降低b%，則n年后這批設(shè)備的價值為(

)A．na(1－b%)萬元 B．a(chǎn)(1－nb%)萬元C．a(chǎn)[1－(b%)n]萬元 D．a(chǎn)(1－b%)n萬元解析：1年后價值為a(1－b%)萬元，2年后價值為a(1－b%)2萬元，…，n年后價值為a(1－b%)n萬元．故選D.答案解析題型剖析題型7.指數(shù)函數(shù)的圖象【例題7】(2024·廣東梅州興寧市葉塘中學(xué)高一上期中)如圖是指數(shù)函數(shù)①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為(

)A．a(chǎn)<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a(chǎn)<b<1<d<c答案題型剖析解析解法一：由圖象可知③④的底數(shù)必大于1，①②的底數(shù)必小于1.作直線x＝1，在第一象限內(nèi)直線x＝1與各曲線的交點的縱坐標(biāo)即各指數(shù)函數(shù)的底數(shù)，則1<d<c，b<a<1，從而可知a，b，c，d與1的大小關(guān)系為b<a<1<d<c.解法二：根據(jù)圖象可以先分兩類：③④的底數(shù)大于1，①②的底數(shù)小于1，再由③④比較c，d的大小，由①②比較a，b的大?。?dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時，圖象上升，且底數(shù)越大時圖象向上越靠近y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時，圖象下降，底數(shù)越小，圖象向右越靠近x軸．所以a，b，c，d與1的大小關(guān)系為b<a<1<d<c.解析題型7.指數(shù)函數(shù)的圖象題型剖析題型8.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域和值域問題

題型剖析題型8.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域和值域問題

解題型剖析題型8.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域和值域問題

解題型剖析題型9.冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的圖象如圖所示，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0).題型剖析題型10.無理數(shù)指數(shù)冪的運算解題型剖析題型11.實際問題中的指數(shù)運算答案解析【例題11】某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每15分鐘分裂1次(由1個分裂成2個)，則這種細(xì)菌由1個分裂成4096個需經(jīng)過_____小時．解析：設(shè)細(xì)菌由1個分裂成4096個分裂了x次，則2x＝4096＝212，則x＝12，即需分裂12次，需12×15＝180(分鐘)，即3小時．3題型剖析題型1

題型三指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用

(1)函數(shù)y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的圖象過定點(

)A．(0，1) B．(3，3)C．(3，4) D．(4，3)解析：解法一：因為指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(0，1)，所以在函數(shù)y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函數(shù)的圖象過定點(3，4)．解法二：將原函數(shù)變形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指數(shù)函數(shù)，所以當(dāng)x－3＝0時，y－3＝1，即x＝3時，y＝4，所以原函數(shù)的圖象過定點(3，4)．答案解析題型剖析題型12.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

【例題12】

比較下列各組數(shù)的大?。?1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5；(3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1和a0.3(a>0，且a≠1)．題型剖析題型12.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

解(1)1.52.5，1.53.2可看作函數(shù)y＝1.5x的兩個函數(shù)值，由于底數(shù)1.5>1，所以函數(shù)y＝1.5x在R上是增函數(shù)，因為2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.(2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函數(shù)y＝0.6x的兩個函數(shù)值，因為函數(shù)y＝0.6x在R上是減函數(shù)，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5.(3)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得1.70.2>1.70＝1，0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1.(4)當(dāng)a>1時，y＝ax在R上是增函數(shù)，故a1.1>a0.3；當(dāng)0<a<1時，y＝ax在R上是減函數(shù)，故a1.1<a0.3.解題型剖析題型13.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

解分情況討論：①當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是減函數(shù)，∴x2－3x＋2>－x＋5，∴x2－2x－3>0，根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)的圖象可得x<－1或x>3.②當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函數(shù)，∴x2－3x＋2<－x＋5，∴x2－2x－3<0，根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)的圖象可得－1<x<3.綜上所述，當(dāng)0<a<1時，x<－1或x>3；當(dāng)a>1時，－1<x<3.解【例題13】已知ax2－3x＋2<a－x＋5(a>0，且a≠1)，求x的取值范圍．題型剖析題型14.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

題型剖析題型14.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

解題型剖析題型14.指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

解題型剖析題型15.對數(shù)的概念

答案解析題型剖析題型16.指數(shù)式與對數(shù)式的互化題型剖析題型16.指數(shù)式與對數(shù)式的互化解題型剖析題型17.利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系求值題型剖析題型17.利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系求值解題型剖析題型17.利用指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系求值解題型剖析題型18.對數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)恒等式題型剖析題型18.對數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)恒等式解題型剖析題型19.對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用

題型剖析題型19.對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用

解題型剖析題型20.換底公式的應(yīng)用

解題型剖析題型20.換底公式的應(yīng)用

解題型剖析題型21.對數(shù)運算的綜合應(yīng)用

解【例題21】解關(guān)于x的方程(lgx)2＋lgx3－10＝0.解：原方程整理得(lgx)2＋3lgx－10＝0，即(lgx＋5)(lgx－2)＝0，所以lgx＝－5或lgx＝2，解得x＝0.00001或x＝100.經(jīng)檢驗知，x＝0.00001，x＝100都是原方程的根．題型剖析題型22.實際問題中的對數(shù)運算解題型剖析題型23.對數(shù)函數(shù)的概念

答案解析題型剖析題型24.

對數(shù)型函數(shù)的定義域解題型剖析題型24.

對數(shù)型函數(shù)的定義域解題型剖析題型25.對數(shù)型函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

題型剖析題型25.對數(shù)型函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用

解題型剖析題型26.對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

解析由圖象可知函數(shù)y＝logax，y＝logbx的底數(shù)a＞1，b＞1，函數(shù)y＝logcx，y＝logdx的底數(shù)0＜c＜1，0＜d＜1.過點(0，1)作平行于x軸的直線，直線與四條曲線交點的橫坐標(biāo)從左向右依次為c，d，a，b，故b＞a＞1＞d＞c.答案解析【例題26】如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為_________________．b＞a＞1＞d＞c題型剖析題型27.比較對數(shù)值的大小解【例題27】比較下列各組中兩個值的大?。?1)log31.99，log32；(2)log30.2，log40.2；(3)log23，log0.32；(4)logaπ，loga3.14(a＞0，且a≠1)．題型剖析題型28.對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性【例題28】(2024·浙江麗水高一上期末)若函數(shù)f(x)＝log3(x2－ax＋3a)在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案解析題型剖析題型29.對數(shù)型函數(shù)的值域問題解【例題29】求函數(shù)f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域．解：令u＝x2＋2x＋4，則u＝(x＋1)2＋3≥3.所以log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1，即函數(shù)f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域為[1，＋∞)．題型剖析題型30.解對數(shù)不等式解解題型30.解對數(shù)不等式題型31.對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用題型31.對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用解題型31.對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用解題型1

甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發(fā)向同一個方向運動，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)關(guān)于時間x(x≥0)的函數(shù)關(guān)系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下結(jié)論：①當(dāng)x>1時，甲走在最前面；②當(dāng)x>1時，乙走在最前面；③當(dāng)0<x<1時，丁走在最前面，當(dāng)x>1時，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它們一直運動下去，那么最終走在最前面的是甲．其中正確結(jié)論的序號為________．題型一函數(shù)模型增長差異的比較答案③④⑤題型31.對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用解析在同一直角坐標(biāo)系中作出這四個函數(shù)的圖象(圖略)，易得①錯誤，因為f1(2)＝22－1＝3，f2(2)＝22＝4，所以f1(2)<f2(2)，所以當(dāng)x＝2時，乙在甲的前面；②錯誤，因為f1(5)＝25－1＝31，f2(5)＝52＝25，所以f1(5)>f2(5)，所以當(dāng)x＝5時，甲在乙的前面；③正確，當(dāng)0<x<1時，f1(x)，f2(x)的圖象在f3(x)圖象的下方，f4(x)的圖象在f3(x)圖象的上方，即丁走在最前面；當(dāng)x>1時，f4(x)的圖象在最下方，即丁走在最后面；④正確，當(dāng)0<x<1時，丙在甲、乙前面，在丁后面；當(dāng)x>1時，丙在丁前面，在甲、乙后面；當(dāng)x＝1時，甲、乙、丙、丁四人并駕齊驅(qū)；⑤正確，當(dāng)x充分大時，指數(shù)函數(shù)的增長速度越來越快，f1(x)的圖象必定在f2(x)，f3(x)，f4(x)圖象的上方，所以最終走在最前面的是甲．解析題型32.函數(shù)模型的選擇【例題32】某學(xué)校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達(dá)到5萬元時，按生源利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨生源利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%.現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪個模型符合該校的要求？

題型32.函數(shù)模型的選擇解

作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的圖象(如圖所示)．觀察圖象可知，在區(qū)間[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在直線y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進(jìn)行獎勵才符合學(xué)校的要求．解解析解法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)在(0，1)內(nèi)有零點．解法二：令ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，所以原函數(shù)的零點所在的區(qū)間即為函數(shù)y＝ex和y＝2－x的圖象交點的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間．如圖，由圖象可得函數(shù)y＝ex和y＝2－x的圖象交點的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間為(0，1)．【例題33】函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的區(qū)間是(

)A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)答案解析題型33.

判斷零點所在的區(qū)間解析圖象與x軸有4個交點，所以零點的個數(shù)為4，左右函數(shù)值異號的零點有3個，所以可以用二分法求其零點近似值的個數(shù)為3.【例題34】已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，其中零點的個數(shù)與可以用二分法求其零點近似值的個數(shù)分別是(

)A．4，4 B．3，4C．4，3 D．5，4答案解析題型34.二分法的概念【例題35】某實驗員在培養(yǎng)皿中滴入了含有10個某種真菌的實驗液，經(jīng)1小時培養(yǎng)真菌數(shù)目繁殖為原來的2倍．經(jīng)測量知該真菌的繁殖規(guī)律為y＝10eλt，其中λ為常數(shù)，t表示培養(yǎng)時間(單位：小時)，y表示真菌個數(shù)．經(jīng)過8小時培養(yǎng)，真菌能達(dá)到的個數(shù)為(

)A．640 B．1280C．2560 D．5120解析因為原來的真菌數(shù)為10，由題意可得在函數(shù)y＝10eλt中，當(dāng)t＝1時，y＝20，所以20＝10eλ，即eλ＝2，所以y＝10×eλt＝10×2t.當(dāng)t＝8時，真菌數(shù)為y＝10×28＝2560.答案解析題型35.指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用押題預(yù)測03題型剖析答案解析題型剖析答案解析題型剖析答案解析題型剖析4．(2024·重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)高一上期末)從盛滿10L純硫酸的容器里倒出1L，然后用水填滿，這樣繼續(xù)下去，第三次填滿后的硫酸濃度為(

)A．70.4% B．67.2%C．81% D．72.9%答案解析題型剖析答案解析答案解析題型剖析答案解析解析：f(3)＝loga4＝2，則a＝2，f(－2)＝4－2a＋b＝0，解得b＝0.答案解析答案解析解析：∵loga(ex＋3)≥1＝logaa對任意實數(shù)x都成立，∴a＞1且a≤ex＋3.又ex＋3＞3，∴1＜a≤3.答案解析題型剖析答案解析題型剖析12．已知a＝1.050.6，b＝0.60.8，c＝0.60.4，則a，b，c的大小關(guān)系是(

)A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．b>c>a D．a(chǎn)>c>b解析：a＝1.050.6>1.050＝1，b＝0.60.8<0.60.4＝c.又c＝0.60.4<0.60＝1，所以a，b，c的大小關(guān)系是a>c>b.故選D.答案解析答案解析答案解析15．當(dāng)2<x<4時，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是(

)A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2 D．x2＞log2x＞2x解析：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x的圖象，如圖所示．由圖可得，在區(qū)間(2，4)上從上往下依次是y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x的圖象．所以當(dāng)2<x<4時，x2＞2x＞log2x.故選B.答案解析答案解析題型剖析17．(2024·山東臨沂一中高一上月考)已知b>0，log5b＝a，lgb＝c，5d＝10，則下列等式一定成立的是(

)A．d＝ac B．a(chǎn)＝dcC．c＝ad D．d＝a＋c解析：由已知得5a＝b，10c＝b，所以5a＝10c.因為5d＝10，所以5dc＝10c，所以5dc＝5a，所以dc＝a.故選B.答案解析題型剖析18．(2023·新課標(biāo)Ⅰ