2023-2024學(xué)年廣東省深圳市南山區(qū)南頭中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2023-2024學(xué)年廣東省深圳市南山區(qū)南頭中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.直線的斜率為（

）A. B. C. D.2.已知，若，則（）A.4 B.6 C.5 D.33.圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A.(-1，0)，3 B.(1，0)，3C. D.4.如圖，在四面體OABC中，，，.點(diǎn)M在OA上，且，為BC中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.5.如圖，已知直線PM、QP、QM的斜率分別為、、，則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.6.長(zhǎng)方體中，，，異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.7.設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（）A. B.C. D.8.已知點(diǎn)A（1，0），B（1，6），圓，若在圓C上存在唯一的點(diǎn)P使，則（）A.–3或3 B.57 C.–3或57 D.3或57二、多選題9.已知向量，，則下列結(jié)論中正確是（）A. B. C. D.10.已知直線l：與n：，下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則或B.若，則C.直線l恒過(guò)點(diǎn)D.若直線n在x軸上的截距為6，則直線n的斜截式為11.（多選）已知空間中三個(gè)點(diǎn)A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與是共線向量B.與同向的單位向量是C.在方向上的投影向量是D.平面ABC的一個(gè)法向量是12.已知圓：與直線：若直線和圓交于兩點(diǎn)，設(shè)的面積為，則（）A.直線必過(guò)定點(diǎn)B.弦長(zhǎng)最短為C直線與圓可能沒(méi)有交點(diǎn)D.最大值為16三、填空題13.已知，，若，則______．14.已知兩條直線，則間的距離____________．15.已知點(diǎn)、，在直線上，則的最小值等于________.16.若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.四、解答題17.若，．（1）若，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，求實(shí)數(shù)k的值．18.已知三個(gè)頂點(diǎn)是，，．（1）求BC邊上的垂直平分線的直線方程；（2）求點(diǎn)A到BC邊所在直線的距離．19.如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，E為側(cè)棱PC中點(diǎn)．（1）設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、E三點(diǎn)的平面交PD于F，證明：F為PD的中點(diǎn)；（2）若底面，且，求點(diǎn)到平面ABE的距離．20已知圓C：，直線l恒過(guò)點(diǎn)（1）若直線l與圓C相切，求l的方程；（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且時(shí)，求l的方程.21.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，，．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓O：，過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn).（1）若直線l的斜率，求線段AB的長(zhǎng)度；（2）設(shè)直線QA，QB的斜率分別為，，求證：為定值，并求出該定值；（3）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，是否存在直線l使，若存在，求出直線l的方程，若不存在說(shuō)明理由.2023-2024學(xué)年廣東省深圳市南山區(qū)南頭中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.直線的斜率為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將直線方程化成斜截式即可得直線的斜率.【詳解】解：因?yàn)橹本€方程為，化為斜截式為：，所以直線的斜率為：.故選：D.2.已知，若，則（）A.4 B.6 C.5 D.3【答案】A【解析】【分析】等價(jià)轉(zhuǎn)化為,利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算得到關(guān)于的方程，解之即可.【詳解】由得，又∵，，,解得,故選：A.3.圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A.(-1，0)，3 B.(1，0)，3C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故選：D.4.如圖，在四面體OABC中，，，.點(diǎn)M在OA上，且，為BC中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算求解.【詳解】連接，是的中點(diǎn)，，，.故選：B5.如圖，已知直線PM、QP、QM的斜率分別為、、，則、、的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先判斷三條直線的傾斜角，進(jìn)而根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系即可得出結(jié)論..【詳解】由于直線PM的傾斜角為鈍角，QP、QM的傾斜角為銳角，當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，斜率為正，即，當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，即，又因?yàn)閮A斜角為時(shí)，傾斜角越大，斜率越大，即；所以.故選：B.6.長(zhǎng)方體中，，，異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.，.,異面直線與所成角的余弦值為.故選：C7.設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合斜率和傾斜角的關(guān)系分析求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程為，傾斜角為當(dāng)時(shí)，直線的斜率，因?yàn)?，則，所以；綜上所述：線的傾斜角的范圍是.故選：C．8.已知點(diǎn)A（1，0），B（1，6），圓，若在圓C上存在唯一的點(diǎn)P使，則（）A.–3或3 B.57 C.–3或57 D.3或57【答案】C【解析】【分析】由以AB為直徑的圓與圓C兩圓相切求解.【詳解】由題意，只需以AB為直徑的圓與圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即兩圓相切.因?yàn)?，，所以以AB為直徑的圓M的方程為，圓.因?yàn)閮蓤A相切，所以，即，解得或.故選：C二、多選題9.已知向量，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量運(yùn)算求解.【詳解】向量，，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：ABD10.已知直線l：與n：，下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則或B.若，則C.直線l恒過(guò)點(diǎn)D.若直線n在x軸上的截距為6，則直線n的斜截式為【答案】AC【解析】【分析】運(yùn)用兩直線平行性質(zhì)可判斷A項(xiàng)，運(yùn)用兩直線垂直的性質(zhì)可判斷B項(xiàng)，提取參數(shù)后計(jì)算可判斷C項(xiàng)，由截距定義可求得a的值進(jìn)而可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若，則，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，均符合，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，若，則，解得或，故B項(xiàng)不成立；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，則由得，所以l恒過(guò)點(diǎn)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，若直線n在x軸上的截距為6，即直線n過(guò)點(diǎn)，則，得，所以直線n的方程為，斜截式為，故D項(xiàng)不成立．故選：AC.11.（多選）已知空間中三個(gè)點(diǎn)A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(﹣1，2，1)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.與是共線向量B.與同向單位向量是C.在方向上的投影向量是D.平面ABC的一個(gè)法向量是【答案】BCD【解析】【分析】A：由向量共線定理，應(yīng)用坐標(biāo)運(yùn)算判斷是否存在λ使；B：與同向的單位向量是即可判斷；C：由投影向量的定義可解；D：應(yīng)用平面法向量的求法求平面ABC的一個(gè)法向量，即可判斷．【詳解】由題意得，，A：若與共線，設(shè)，則，方程無(wú)解，故不共線，A錯(cuò)誤；B：與同向的單位向量是，B正確；C：在方向上的投影向量是，C正確；D：設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量是，則，令，則，D正確．故選：BCD．12.已知圓：與直線：若直線和圓交于兩點(diǎn)，設(shè)的面積為，則（）A.直線必過(guò)定點(diǎn)B.弦長(zhǎng)最短為C.直線與圓可能沒(méi)有交點(diǎn)D.的最大值為16【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)直線方程可得直線恒過(guò)定點(diǎn)，可判斷A，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知定點(diǎn)在圓內(nèi)部，從而判斷C，求圓心C到直線的最大距離，即可求得最短弦長(zhǎng)，結(jié)合圓心C到直線的最大距離可知圓心C到直線的距離的范圍，面積公式結(jié)合不等式即可求出面積的最大值．【詳解】圓的方程為，∵直線：．令，解得，∴不論取何值，直線必過(guò)定點(diǎn)，故A正確；且，則點(diǎn)在圓內(nèi)，∴直線與圓一定相交，故C錯(cuò)誤；圓心，當(dāng)?shù)倪B線垂直于直線時(shí)，，，∴當(dāng)最大時(shí)，弦長(zhǎng)最短，故B正確；＝＝，∵，∴時(shí)，面積的最大值為8，故D錯(cuò)誤；故選：AB．三、填空題13.已知，，若，則______．【答案】28【解析】【分析】由可建立關(guān)系求出，再根據(jù)坐標(biāo)即可求出.【詳解】解：由題知，∴，，則．故答案為：28.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，考查坐標(biāo)法求數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.14.已知兩條直線，則間的距離____________．【答案】##【解析】【分析】先將兩直線方程的系數(shù)化為一致，再利用兩平行線的距離公式求解即可．【詳解】?jī)蓷l直線，其中即，故間的距離．故答案為：．15.已知點(diǎn)、，在直線上，則的最小值等于________.【答案】12【解析】【分析】求出關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則即為的最小值.【詳解】設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為則，解得，，，則，所以的最小值是12.故答案為：.16.若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】先求出直線所過(guò)定點(diǎn)，再將曲線轉(zhuǎn)化為，可知其為半圓，結(jié)合圖像，即可求出的取值范圍.【詳解】由題意得，直線的方程可化為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，又曲線可化為，其表示以為圓心，半徑為2的圓的上半部分，如圖.當(dāng)與該曲線相切時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，解得，設(shè)，則，由圖可得，若要使直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，須得，即.故答案為：.四、解答題17.若，．（1）若，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用向量坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的充要條件求出k的值；（2）直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的充要條件求出k的值．【小問(wèn)1詳解】由于，所以，因?yàn)?，所以，解得【小?wèn)2詳解】由于，所以因?yàn)?，故，解得?8.已知三個(gè)頂點(diǎn)是，，．（1）求BC邊上的垂直平分線的直線方程；（2）求點(diǎn)A到BC邊所在直線的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，即可求出所求直線的斜率，再求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求的直線方程；（2）求出直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：∵，，∴，則所求直線的斜率為：，又的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以邊上的中垂線所在的直線方程為：；【小問(wèn)2詳解】解：直線的方程為：，即，則點(diǎn)到直線的距離為：.19.如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)．（1）設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、E三點(diǎn)的平面交PD于F，證明：F為PD的中點(diǎn)；（2）若底面，且，求點(diǎn)到平面ABE的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理證明，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解，【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所?又平面，且平面，所以平面.又平面ABE，且平面平面，所以.又因?yàn)?，所以因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以F為PD的中點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】如圖所示，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)是平面的法向量，則，即令，則平面的一個(gè)法向量為又因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為，即點(diǎn)到平面的距離為．20.已知圓C：，直線l恒過(guò)點(diǎn)（1）若直線l與圓C相切，求l的方程；（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且時(shí)，求l的方程.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】(1)分類討論直線l的斜率存在與不存在，利用圓心到直線l的距離等于圓的半徑計(jì)算即可；(2)由題意知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的垂徑定理計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，圓C的圓心為，半徑，

①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即l的方程為時(shí)，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；

②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，直線l的方程為，

化為一般式：，若直線l與圓相切，

則，即，解得，

：，即l：，

綜上，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，直線l的方程為或；【小問(wèn)2詳解】由題意可知，直線l的斜率一定存在，設(shè)斜率為k，

直線l的方程為，即，

設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，

由垂徑定理可得，，即，

整理得，，解得或，

則直線l的方程為或21.如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，為的中點(diǎn)，，．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接，利用勾股定理證明，又可證明，根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面和平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，在中，由，可得，，，，，，，，則，故，，，，平面，平面；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，，兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，，，則，又，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，，故，，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓O：，過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn).（1）若直線l的斜率，求線段AB的長(zhǎng)度；（2）設(shè)直線QA，QB的斜率分別為，，求證：為定值，并求出該定值；（3）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，是否存在直線l使，若存在，求出直線l的方程，若不存