2024-2025學(xué)年福建省龍巖市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省龍巖市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．在的展開式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則所有項(xiàng)系數(shù)和為（

）A．32 B． C．0 D．12．設(shè)為實(shí)數(shù)，已知直線，若，則（

）A．6 B． C．6或 D．或33．已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A．長軸長為 B．焦距為2C．短軸長為2 D．離心率為4．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A．12 B．10 C．5 D．5．已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．106．若直線l:kx?y?2=0與曲線C:1?y?12=x?1A．43B．43C．?2,4D．437．已知兩點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)P，使，同時存在點(diǎn)Q，使，則稱該直線為“兩全其美線”，給出下列直線，其中為“兩全其美線”的是（

）A． B． C． D．8．已知為橢圓上的動點(diǎn)，直線與圓相切，切點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，是一個動點(diǎn)，則（）A．若，則點(diǎn)的軌跡為橢圓B．若，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線C．若，則點(diǎn)的軌跡為直線D．若，則點(diǎn)的軌跡為圓10．現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊這5名同學(xué)參加志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，且每人只安排一個工作，則下列說法正確的是（

）A．不同安排方案的種數(shù)為B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為C．若司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同安排方案的種數(shù)為D．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲不能從事司機(jī)工作，則不同安排方案的種數(shù)為11．已知雙曲線的一條漸近線的方程為，上、下焦點(diǎn)分別為，下列判斷正確的是（）A．的方程為B．的離心率為C．若點(diǎn)為的上支上的任意一點(diǎn)，，則的最小值為D．若點(diǎn)為的上支上的一點(diǎn)，則△的內(nèi)切圓的半徑為三、填空題（本大題共3小題）12．從2024年伊始，各地旅游業(yè)爆火，兵馬俑是陜西省旅游勝地．某大學(xué)一個寢室6位同學(xué)慕名而來，游覽結(jié)束后，在門前站一排合影留念，要求相鄰，在的左邊，則不同的站法共有；（用數(shù)字做答）13．若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓過點(diǎn)，且圓關(guān)于直線對稱的圓為(1)求圓的圓心坐標(biāo)和半徑，并求出圓的方程；(2)若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為8，求直線的方程.16．已知雙曲線的離心率為2，實(shí)軸長為2.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l:y=kx+1與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在k滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為.問：是否存在，使得，，成等比數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18．已知橢圓的一個焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓上半部分于點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的弦在橢圓上且直線的傾斜角互補(bǔ)，問直線MN的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.(3)在第（2）問的條件下，當(dāng)面積最大時，求直線MN的方程.19．定義1

進(jìn)位制：進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞嫈?shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制：滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制；等等．也就是說，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾，一般地，若是一個大于1的整數(shù)，那么以為基數(shù)的進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字符號連寫在一起的形式進(jìn)制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字符號與基數(shù)的冪的乘積之和的形式．如．定義2

三角形數(shù)：形如，即的數(shù)叫做三角形數(shù)．(1)若是三角形數(shù)，試寫出一個滿足條件的的值；(2)若是完全平方數(shù)，求的值；(3)已知，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時，．

答案1．【正確答案】D【詳解】依題，解得，則二項(xiàng)式的所有項(xiàng)系數(shù)之和為.故選：D.2．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，解得：?當(dāng)時，，平行；當(dāng)時，，可判斷此時重合，舍去.故選：A3．【正確答案】D【詳解】已知橢圓，整理得，得，所以，故橢圓長軸長為，焦距為，短軸長為，離心率為．故選：D．4．【正確答案】B【詳解】由和可得，故，故選：B5．【正確答案】C【分析】由橢圓定義和得到，結(jié)合，由余弦定理得，進(jìn)而得到正弦值，利用三角形面積公式求出答案.【詳解】由橢圓定義可得，故，又，則由余弦定理得，故，故.故選C.6．【正確答案】A【詳解】直線l:kx?y?2=0恒過定點(diǎn)0,?2，曲線C:1?y?12=x?1表示以點(diǎn)1,1為圓心，半徑為1，且位于直線x=1右側(cè)的半圓（包括點(diǎn)1,2如圖所示，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)1,0時，l與曲線C有兩個不同的交點(diǎn)，此時k=2，直線記為l1當(dāng)l與半圓相切時，由|k?3|k2+1=1，得k=4分析可知當(dāng)43＜k≤2時，l與曲線C7．【正確答案】C【詳解】由點(diǎn)，，得，由，得點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線右支，方程為，由，得點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為6的雙曲線左支，方程為，直線為“兩全其美線”，當(dāng)且僅當(dāng)直線與雙曲線的兩支相交，對于A，雙曲線的漸近線為，直線與雙曲線無公共點(diǎn)，A不是；對于B，直線與雙曲線左支無公共點(diǎn)，B不是；對于C，由，知直線過雙曲線的中心，且在兩條漸近線所夾含焦點(diǎn)的區(qū)域，直線與雙曲線兩支相交，C是；對于D，由，知直線過雙曲線的中心，且在兩條漸近線所夾含虛軸的區(qū)域，直線與雙曲線無公共點(diǎn)，D不是.故選：C8．【正確答案】A【分析】設(shè)，利用點(diǎn)差法可得，因?yàn)闉橹本€與圓的切點(diǎn)，所以，可解.【詳解】設(shè)，設(shè)直線，且則，作差得：由，所以，①因?yàn)闉橹本€與圓的切點(diǎn)，所以，②由①②消去可得，所以.故選：A.9．【正確答案】AD【詳解】對于A：，則點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，故A正確；對于B：，則點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)雙曲線的右支，故B錯誤；對于：由，可得，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，故C錯誤；對于D：設(shè)，由，則，即，所以點(diǎn)的軌跡為圓，故D正確.故選：AD.10．【正確答案】BD【詳解】對A，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則不同安排方案的種數(shù)為，故A錯誤；對B，先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)為，故B正確；對C，先將5人分為3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯?導(dǎo)游?禮儀三項(xiàng)工作，有種情況，則不同安排方案的種數(shù)是，故C錯誤；對D，第一類，先從乙，丙，丁，戊中選出1人從事司機(jī)工作，再將剩下的4人分成三組，安排翻譯?導(dǎo)游?禮儀三項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)為；第二類，先從乙，丙，丁，戊中選出2人從事司機(jī)工作，再將剩下的3人安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)為.所以不同安排方案的種數(shù)是，故D正確.故選：BD.11．【正確答案】ACD【詳解】A.由雙曲線方程可知，雙曲線的漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線方程為，所以，所以的方程為，故A正確；B.由雙曲線的方程，可知，，，則，所以離心率，故B錯誤；C.，，，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線且依序排列時，等號成立，所以的最小值為，故C正確；D.D.的方程為，當(dāng)時，，，，計算可得，，，所以的面積為，的周長為，設(shè)△的內(nèi)切圓的半徑為，則，得，故D正確.故選：ACD12．【正確答案】120【詳解】先將“捆綁”看成一個元素，與另外四人在五個位置上進(jìn)行全排，再考慮在的左邊，最后“解綁”，故有種方法.故120.13．【正確答案】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓的外部，所以，解得，故答案為.14．【正確答案】/【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，，將點(diǎn)代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因?yàn)椋?，則，又，所以，則，又點(diǎn)在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.15．【正確答案】(1)圓的圓心為，半徑為5，(2)或【詳解】（1）將代入方程得：，，故圓方程為：，即：，故圓的圓心為，半徑為5.設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則，解得.故圓的方程為.（2）因?yàn)檫^點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為8，故圓心到直線的距離為.當(dāng)直線的斜率不存在時，其方程為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，其方程為，即，故圓心到直線的距離為，依題意，解得：，此時直線的方程為，即.綜上，直線直線的方程為或.16．【正確答案】(1)；(2)不存在【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，所以，故所求雙曲線方程為.（2）如圖，設(shè)，由，消元可得，當(dāng)，即時，，，所以，所以，解得，此時不滿足，故不存在，使得成立.17．【正確答案】(1)(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）由，可得，解得，故（2），故,，相減可得，故，因此，假若存在，使得，，成等比數(shù)列，則，即，即，故，進(jìn)而，即，由于為奇數(shù)，而為偶數(shù)，因此不存在使得，故不存在，使得，，成等比數(shù)列，18．【正確答案】(1)；(2)是，(3)和【詳解】（1）由題意可知橢圓的半焦距，由兩個焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知得，由圖知，直線的傾斜角互補(bǔ)，即直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)直線的方程為，代入，消去得.設(shè)，所以，可得，因直線PM的斜率與PN的斜率互為相反數(shù)