2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距是3，則直線的方程為（

）A． B．C． D．2．設(shè)，向量，且，則（

）A． B． C．2 D．83．如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線分別是對(duì)邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，現(xiàn)用向量表示向量，設(shè)，則（

）A． B．1 C． D．4．圓與的公共弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．已知直線和平面，則下列命題正確的是（

）A．平面內(nèi)不一定存在和直線垂直的直線B．若，則C．若異面且，則D．若，則直線可能兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)6．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A．或 B．或 C．或 D．或7．古希臘的幾何學(xué)家用一個(gè)不過(guò)頂點(diǎn)的平面去截一個(gè)圓錐，將所截得的不同的截口曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線.如圖所示的圓錐中，為底面圓的直徑，為中點(diǎn)，某同學(xué)用平行于母線且過(guò)點(diǎn)的平面去截圓錐，所得截口曲線為拋物線.若該圓錐的高，底面半徑，則該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A．2 B． C． D．48．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為、過(guò)向一條漸近線作垂線，垂足為.若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)，兩點(diǎn)的直線方程為B．已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是C．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為10．給出下列命題，其中正確的命題是（

）A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則、、、四點(diǎn)共面C．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線D．已知向量，，則在上的投影向量為11．已知拋物線的準(zhǔn)線l與圓相切，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，N是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為Q，C的焦點(diǎn)為F，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)F的坐標(biāo)為B．的最小值為C．存在兩個(gè)P點(diǎn)，使得D．若為正三角形，則圓M與直線PQ相交三、填空題（本大題共3小題）12．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()，并且焦距為6，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)___________．13．已知直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為，則直線l的方程為．14．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為2，點(diǎn)是其表面上的動(dòng)點(diǎn)，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓的圓心為直線與直線的交點(diǎn)，且圓過(guò)點(diǎn)A.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為圓上任意一點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程.16．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.17．已知雙曲線與圓相切，且的漸近線方程為.(1)求的方程；(2)若的右頂點(diǎn)為，過(guò)的右焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，求.18．如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，△是邊長(zhǎng)為的正三角形，，與平面所成角為45°．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且滿足，是否存在使得平面與平面夾角余弦為，若存在求出值，存不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．19．由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果橢圓的“特征三角形”為，橢圓的“特征三角形”為，若，則稱橢圓與“相似”，并將與的相似比稱為橢圓與的相似比．已知橢圓與橢圓相似．(1)求橢圓的離心率；(2)若橢圓與橢圓的相似比為，設(shè)P為上異于其左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，過(guò)P分別作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率為，證明：為定值；

答案1．【正確答案】C【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率.又直線在軸上的截距是3，由斜截式方程得.故選：C.2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，解得，由可知，，解得，所以，故選：B3．【正確答案】A【詳解】由題設(shè)，結(jié)合，得，所以.故選：A4．【正確答案】D【詳解】已知圓，圓，兩圓方程作差，得到其公共弦的方程為：：，而圓心到直線的距離為，圓的半徑為，所以，所以.故選：D.5．【正確答案】C【詳解】對(duì)于A，我們要討論平面和直線的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，平面內(nèi)一定存在和直線垂直的直線，當(dāng)直線時(shí)，在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與直線是異面垂直直線；當(dāng)直線平面時(shí)，在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條平行直線與直線相交且垂直；當(dāng)直線與平交但不垂直時(shí)，在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條平行直線與直線垂直，故平面內(nèi)一定存在和直線垂直的直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，一定有或相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，因?yàn)椋^(guò)直線，一定存在平面，使得，，所以，而，，故，因?yàn)楫惷?，所以一定相交，而，，故成立，故C正確；對(duì)于D，如圖，

，，，.∵直線和不平行，相交.設(shè)，則，.又.三條直線相交于同一點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：C6．【正確答案】B【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，易知切線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，即，則圓心到切線的距離等于半徑，即，整理得：，解得或，故選：B7．【正確答案】B【詳解】因?yàn)镸是PB的中點(diǎn)，O是AB的中點(diǎn)，則，，截圓錐的平面平行于母線PA且過(guò)母線PB的中點(diǎn)M，故O也在截面上，根據(jù)對(duì)稱性可知拋物線的對(duì)稱軸為，焦點(diǎn)在上，建立以M為原點(diǎn)，為x軸，過(guò)M點(diǎn)的垂線為y軸，設(shè)拋物線與底面交點(diǎn)為E，則，設(shè)拋物線為，則，解得，即該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p，即為.故選：B.8．【正確答案】D【詳解】如圖，因?yàn)椋环猎O(shè)漸近線方程為，即，設(shè)點(diǎn)在第一象限，所以，所以.設(shè)，則，所以，又，，所以，所以，所以，所以，因?yàn)镕1?c,0，所以所以，解得，所以雙曲線的方程為，故選：D.9．【正確答案】BC【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，時(shí)，過(guò)x1,y1，x2對(duì)于B：如圖所示，由點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，直線的斜率或，的斜率，的斜率，直線的斜率或，即，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)于C：直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：，，直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D：經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，所以D選項(xiàng)不正確；故選：BC.10．【正確答案】BCD【分析】利用線面位置關(guān)系與向量的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量共面的基本定理可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量基底的概念可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線的方向向量為，平面的法向量為，則，則，所以，或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，整理可得，故、、、四點(diǎn)共面，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，三個(gè)不共面的向量可以成為空間的一個(gè)基底，兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，已知向量，，則在方向上的投影向量為，D正確.故選BCD.11．【正確答案】ACD【分析】對(duì)A，準(zhǔn)線與圓相切，可知，即可確定焦點(diǎn)為F坐標(biāo)，即可判斷選項(xiàng)；對(duì)B，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)將軍飲馬理論可判斷選項(xiàng)；對(duì)C，若，則，做中垂線，解出方程，與拋物線聯(lián)立，解得個(gè)數(shù)，即可判斷幾個(gè)交點(diǎn)；對(duì)D，根據(jù)為正三角形，可得解得縱坐標(biāo)，和圓與軸交點(diǎn)比較，即可判斷.【詳解】對(duì)A，準(zhǔn)線與圓相切，可知，可得，所以，故A正確；對(duì)B，根據(jù)可得，可確定最小值為，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C，若，則，做中垂線，根據(jù)題意知，設(shè)為中點(diǎn)，則可得，直線斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式可確定為，與拋物線聯(lián)立得，，所以可知有兩個(gè)解，所以存在兩個(gè)P點(diǎn)，使得，故C正確；對(duì)D，根據(jù)為正三角形，所以，則，且，所以可得，和圓與軸交點(diǎn)為，，所以可知圓M與直線PQ相交，故D正確.

故選ACD.【思路導(dǎo)引】合理利用拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離和到準(zhǔn)線距離相等.12．【正確答案】4或【詳解】因?yàn)?c＝6，所以c＝3，（1）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，解得（2）當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，解得綜上，解得或．故或13．【正確答案】【詳解】設(shè)Ax1,則，，又由，，兩式相減，得，即，整理得，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，化簡(jiǎn)得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.故答案為.14．【正確答案】【詳解】因?yàn)檎庵牡走呴L(zhǎng)為，如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，所以，得到，又正三棱柱的高為2，所以棱柱的內(nèi)切球的半徑為，與上下底面有兩個(gè)切點(diǎn)且切點(diǎn)為上下底面的中心，又是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，如圖，取上下底面有兩個(gè)切點(diǎn)為，則，又點(diǎn)是正三棱柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與（或）重合時(shí)，的值最小，此時(shí)，由對(duì)稱性知，當(dāng)為正三棱柱的頂點(diǎn)時(shí)，的值最大，連接，并延長(zhǎng)交于，則，此時(shí)，得到.故15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由，解得，則圓心為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè).由，可得，則，又點(diǎn)在圓上，所以，即，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)的軌跡方程為.16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，由于，故，又平面，故平面（2）由（1）知平面的法向量，又，設(shè)直線與平面所成角為，則；（3）由于，平面的法向量，點(diǎn)到平面的距離17．【正確答案】(1)(2)6【詳解】（1）根據(jù)題意：，.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖：雙曲線右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為2,0，設(shè)直線：，代入，得：，整理得：，（）設(shè)Ax1,則，.由，所以.此時(shí)：，.所以，所以.18．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，或【詳解】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，∵△為正三角形，∴，∵側(cè)面底面,平面，平面平面，∴面，∵與平面所成角為45°，∴即為與平面所成角，即°，∵∴，∴即，∵側(cè)面底面，平面，平面平面，∴平面.（2）由（1）可得、且，連接DE，則由題，所以，，所以兩兩垂直，故可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，則，，∴，，,，設(shè)平面法向量，平面法向量，則，即，令，解得，即，，即，令，解得，即，∴，即，解得或，∴存在或使得平面與平面夾角余弦為.1