25學年八年級數學上學期期末考點大串講（人教版）專題01三角形（考點清單11個考點清單+11種題型解讀）（解析版）

專題01三角形（考點清單，11個考點清單+11種題型解讀）【清單01】三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點歸納：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角；③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.（2）三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．【清單02】三角形的三邊關系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點歸納：（1）理論依據：兩點之間線段最短.（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關系．【清單03】三角形的分類1.按角分類：要點歸納：①銳角三角形：三個內角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個內角為鈍角的三角形.2.按邊分類：要點歸納：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.【清單04】三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言作圖語言過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．標示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因為AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內一點．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內一點．【清單05】三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性.要點歸納：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個內角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結構，它就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構成一個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結構，也是這個道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．【清單06】三角形的內角和三角形內角和定理：三角形的內角和為180°．要點歸納：應用三角形內角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個角的度數可以求出第三個角的度數；②已知三角形三個內角的關系，可以求出其內角的度數；③求一個三角形中各角之間的關系．【清單07】直角三角形的性質與判定性質：直角三角形的兩個銳角互余.判定1：有一個角是直角的三角形式直角三角形判定2：有兩個角互余的三角形是直角三角形【清單08】三角形的外角1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個外角.要點歸納：(1)外角的特征：①頂點在三角形的一個頂點上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長線．（2）三角形每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角．所以三角形共有六個外角，通常每個頂點處取一個外角，因此，我們常說三角形有三個外角．2．性質：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角．要點歸納：三角形內角和定理和三角形外角的性質是求角度及與角有關的推理論證明經常使用的理論依據．另外，在證角的不等關系時也常想到外角的性質．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點歸納：因為三角形的每個外角與它相鄰的內角是鄰補角，由三角形的內角和是180°，可推出三角形的三個外角和是360°．【清單09】多邊形的概念1．定義：在平面內不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2．相關概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角，一個n邊形有n個內角。外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側，這個多邊形叫凹多邊形。如圖：凸多邊形凹多邊形凸多邊形凹多邊形要點歸納：(1)正多邊形必須同時滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數為；(3)過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成(n-2)個三角形．【清單10】多邊形內角和定理n邊形的內角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點歸納：(1)內角和定理的應用：①已知多邊形的邊數，求其內角和；②已知多邊形內角和求其邊數；(2)正多邊形的每個內角都相等，都等于；【清單11】多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點歸納：(1)在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數的多少無關；(2)正n邊形的每個內角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數求多邊形邊數；②已知多邊形邊數求各相等外角的度數．【考點題型一】與三角形有關的線段1．（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）下列圖形中，三角形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查三角形定義，根據不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，即可解題．【詳解】解：由三角形定義可知，

是三角形，故選：C．2．（24-25八年級上·遼寧大連·期中）如圖，在中，，，的高與的比是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的高，三角形的面積公式，根據等面積法求解即可．【詳解】解∶∵與是高，∴，∴，故選∶B．3．（23-24八年級上·江蘇南通·期末）如圖，工人師傅砌窗時，為使長方形窗框不變形，常用木條將其固定，這種做法的依據．【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結構．【詳解】解：工人師傅砌窗時，為使長方形窗框不變形，常用木條將其固定，這種做法的依據三角形具有穩(wěn)定性，故答案為：三角形具有穩(wěn)定性4．（23-24八年級上·吉林四平·期末）如圖，是的中線，若，，，求的長．【答案】【分析】本題考查三角形面積公式，利用中位線求面積．根據題意可知的面積，再利用三角形面積公式即可得到本題答案．【詳解】解：是的中線，，∴的面積的面積，，，∴，∴，解得：，的長為．【考點題型二】與三角形有關的角5．（23-24八年級上·遼寧大連·期末）如圖，，，，則x的值為（

）

A．80 B．120 C．100 D．140【答案】D【分析】本題考查三角形內角和定理，由三角形內角求得是解決問題的關鍵．【詳解】解：三角形內角和是，，，即的值為，故選：D．6．（23-24八年級上·四川成都·期末）如圖，在中，平分交邊于點D，交邊于點E．若，，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形內角和定理、平行線的性質、角平分線的定義，根據三角形內角和定理求得，再根據角平分線的定義可得，再由平行線的性質求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴，故選：C．7．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）如圖，和是分別沿著邊翻折形成的，若，則．【答案】80【分析】本題考查折疊性質、三角形的內角和定理和外角性質，先根據三角形的內角和定理，結合已知求得、的度數，再根據折疊性質求得，的度數，然后利用三角形的外角性質求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，由折疊性質得，，∴，故答案為：80．8．（23-24八年級上·浙江臺州·期末）如圖，在中，，，是邊上的高，的平分線交于點．求的度數．【答案】【分析】本題考查三角形的內角和定理，角平分線的定義以及三角形的外角，關鍵是三角形內角和定理的應用．先根據三角形的內角和定理得到的度數，然后根據角平分線的定義得到的值，然后利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和解題即可．【詳解】解：在中，，，，又是的平分線，，又是邊上的高，，【考點題型三】多邊形的內角和與外角和9．（22-23八年級上·河北滄州·期末）一個多邊形的內角和等于它的外角和，這個多邊形是（

）．A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】B【分析】本題主要考查的是多邊形的內角和與外角和，掌握n邊形的內角和為、外角和是是解題的關鍵．根據多邊形的內角和的計算公式與外角和是列出方程，解方程即可．【詳解】解：設這個多邊形邊數是n，根據題意得：，解得：，∴這個多邊形是四邊形．故選：B．10．（23-24八年級上·新疆阿克蘇·期末）一個多邊形的每個外角都是30°，則這個多邊形的邊數是（

）.A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】本題主要考查了多邊形的外角和定理．利用任何多邊形的外角和是除以一個外角度數即可求出答案．【詳解】解：多邊形的外角的個數是，所以多邊形的邊數是12．故選：D．11.（22-23八年級上·重慶渝北·期末）如圖，在六邊形中，一個外角的度數為，則．

【答案】/610度【分析】本題考查多邊形的內角和，熟練掌握多邊形的內角和公式是解題的關鍵．根據題意可求得的度數，然后利用多邊形的內角和公式計算出六邊形的內角和，進而求得答案．【詳解】解：∵，∴，∵六邊形的內角和為，∴，故答案為：12．（23-24八年級上·河南商丘·期末）已知一個邊形的每一個外角都等于．(1)該邊形是否一定是正邊形？______；（填“一定是”或“不一定是”）(2)求這個邊形的內角和；(3)從這個邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出______條對角線．【答案】(1)不一定是(2)(3)【分析】本題考查正多邊形的定義，多邊形的內角與外角，多邊形的對角線，（1）根據各邊都相等，各角都相等的多邊形是正多邊形判斷即可；（2）先求出這個多邊形的邊數，再根據多邊形的內角和公式計算即可；（3）根據從邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出條對角線，據此列式解答即可；熟記多邊形的內角和、外角和以及對角線的條數的求法是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵一個邊形的每一個外角都等于，∴該邊形的每一個內角都等于：，但該n邊形的各邊不一定都相等，故該邊形不一定是正邊形，故答案為：不一定是；（2）∵多邊形的外角和是，∴，∴內角和是：，∴這個邊形的內角和為；（3）從邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出條對角線，∵，∴，∴從這個邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出條對角線．故答案為：．【考點題型四】綜合應用13．（21-22八年級上·廣東東莞·期末）如圖，在中，是邊上的高，平分，若，求的度數．【答案】【分析】本題考查了三角形內角和定理，三角形的高線與角平分線，根據已知條件得到，求得，根據角平分線的定義得到，再根據三角形的內角和求解即可．【詳解】解：∵是邊上的高，，，，平分，，，，故答案為：．14．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）如圖，中，于點，交于點，于點，交于點．(1)求證：；(2)若，，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定與性質，三角形的內角和性質，垂直定義，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）由平行線的性質得，再證明，則，再計算角的等量代換，即可作答．（2）結合垂直定義得出，再運用三角形的內角和性質列式計算，即可作答．【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）解：，，，，，．15．（24-25八年級上·全國·期末）如圖1，線段AD與相交于點O，連接，我們把這樣的圖形稱為“8字形”，數學興趣課上，老師安排同學們探索“8字形”中相關角度的數量關系．(1)請通過觀察、測量，猜想圖1中與之間的數量關系，并說明理由；(2)如圖2，奮斗小組在圖1的基礎上，分別作與的平分線交于點P，若，求的度數；(3)智慧小組在圖1的基礎上，分別作射線，使得，，兩條射線交于點P，請直接寫出之間的數量關系．【答案】(1)，理由見解析(2)(3)【分析】本題考查了三角形內角和定理，角平分線定義，對頂角相等，理解題意靈活運用題中得出的“字形”性質，是解答本題的關鍵．（1）根據三角形內角和對頂角相等結合等式性質即可得出結論；（2）根據角平分線的定義得到，，再根據“8字形”得到，兩等式相減得到，即，即可求解；（3）根據，可得，，再由三角形內角和定理和對頂角相等，可得，即可得出結論．【詳解】（1）解：，證明：，，又，；（2）解：平分，平分，，，由“8字形”得到，兩等式相減得到，即，，；（3）解：，，，，，由“8字形”得到，，，，．【考點題型五】判斷三條線段能否組成三角形16．（21-22八年級上·貴州遵義·期末）在長度分別為、、、的四條線段中選擇其中的三條，將它們順次首尾相接構成三角形，則能構成不同三角形的個數共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查三角形的三邊關系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答的關鍵．先任取3條線段，有4種組合，再根據三角形的三邊關系判斷取舍即可．【詳解】解：在長度分別為、、、的四條線段中選擇其中的三條，有4種組合：、、；、、；、、；、、，∵，，，，∴、、不構成三角形，其它三種組合可以構成三角形，故選：C．17．（21-22八年級上·山東日照·期末）有四根長度分別是2，3，5，7的線段，從中選出三條線段首尾順次相接圍成三角形，則三角形的周長是．【答案】15【分析】根據三角形三邊不等關系進行分析即可．【詳解】解：從長度為2，3，5，7的四根線段中取三根能組成三角形的只有3，5，7一種，所以三角形的周長為：3+5+7=15．故答案為：15．【點睛】本題考查三角形三邊不等關系，理解三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題關鍵．18．（20-21八年級上·遼寧葫蘆島·期末）下列長度的三條線段：①5、6、12；②4、4、10；③4、6、10；④3、4、5．能組成三角形的是．（填序號即可）【答案】④【分析】根據三角形的三邊關系進行分析判斷．【詳解】解：①5+6＜12，不能組成三角形；②4+4＜10，不能組成三角形；③4+6＝10，不能組成三角形；④3+4＞5，能組成三角形．故答案為：④．【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，能夠組成三角形三邊的條件：用兩條較短的線段相加，如果大于最長的那條線段就能夠組成三角形．【考點題型六】求三角形第三邊的長或取值范圍19．（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）中，，則a的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】考查了三角形三邊關系，本題需要理解的是如何根據已知的兩條邊求第三邊的范圍．已知兩邊，則第三邊的長度應是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長的范圍．【詳解】解：根據三角形的三邊關系，得即故選：D．20．（22-23八年級上·廣西賀州·期末）在中，若，，則第三邊的長度可以是（

）A．2 B．13 C．15 D．6【答案】D【分析】根據三角形的三邊關系定理求出第三邊的范圍，判斷即可．本題考查的是三角形的三邊關系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關鍵．【詳解】解：設第三邊的長為，則，即，第三邊的長度可以是6，故選：D．21．（24-25八年級上·湖南湘西·期中）一個三角形的兩邊長分別是2和3，則它的第三邊長x的范圍為．【答案】【分析】本題考查三角形三遍關系，熟練掌握：任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊是解決問題的關鍵．根據三角形三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊直接得到結論．【詳解】解：三角形的兩邊長分別是2和3，第三邊長的取值范圍是，即，故答案為：．【考點題型七】求三角形的周長或取值范圍22．（22-23八年級上·貴州銅仁·期末）若三角形的兩邊長分別是3和4，則這個三角形的周長可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．14【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵，根據三角形的三邊關系可得不等式，再根據三角形的周長為，再由不等式的性質即可得出，進而可判斷出正確的選項。【詳解】解：設第三邊的長為x，由題意得：，即，則三角形的周長為，則，∴7，8，9，14中，只有9符合題意故選：C.23．（22-23八年級上·遼寧鞍山·期中）如圖，是的中線，已知的周長為，比長，則的周長為．【答案】/13厘米【分析】本題主要考查了三角形中線的定義，三角形周長計算，根據題意得到，由三角形中線的定義得到，根據三角形周長計算公式得到，則可推出，據此可得答案．【詳解】解：∵比長，∴，∵是的中線，∴，∵的周長為，∴，∴，∴，∴的周長為，故答案為：．24．（22-23八年級上·河北廊坊·期末）在中，，．(1)若是整數，求的長；(2)已知是的中線，若的周長為10，求的周長．【答案】(1)；(2)17【分析】本題考查的是三角形的三邊關系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．（1）根據三角形的三邊關系解答即可；（2）根據三角形的中線的定義得到，根據三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】（1）解：由題意得：，，是整數，；（2）解：是的中線，，的周長為10，，，，的周長25．（20-21八年級上·江西上饒·期末）已知，的三邊長為．(1)求△ABC的周長的取值范圍；(2)當△ABC的周長為偶數時，求x．【答案】(1)的周長(2)或【分析】（1）根據兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊得到x的取值范圍，再由周長定義得到周長的范圍．（2）根據周長的范圍結合周長為偶數，得到周長的值，進而得到x的值．【詳解】（1）三角形的三邊長分別為，，即，的周長，即：的周長；（2）的周長是偶數，由結果得的周長可以是或，的值為或【點睛】本題考查了三角形三邊關系定理，自然數的奇偶性，熟練掌握三角形三邊關系定理是解題的關鍵．【考點題型八】求最大值或最小值26.（23-24八年級上·安徽安慶·期末）一個三角形的兩邊長分別為和，且第三邊長為整數，這樣的三角形的周長最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了三角形的三邊關系，由三角形的三邊關系定理可得到的取值范圍，而是整數，可求的最小值，周長最小值也可求，熟練掌握三角形三邊關系定理：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，根據三角形三邊關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．【詳解】解：設第三邊長是，∵三角形的兩邊長分別為和，∴，即，∵是整數，∴，，，，，∴當時，三角形的周長最小值是，故選：．27．（23-24八年級上·山東臨沂·期末）如圖，在中，是中點，垂直平分，交邊于點，交邊于點，在上確定一點，使最大，則這個最大值為（

）A．10 B．5 C．13 D．【答案】B【分析】本題考查三角形三邊關系．延長交直線于P，在上任取一點不與點P重合，連接，，根據三角形三邊關系證明此時，最大，最大值等于長即可求解．【詳解】解：如圖，延長交直線于P，在上任取一點不與點P重合，連接，，∵，，∴，∴此時，最大，最大值等于長，∵D是中點，∴，∴最大值，故選：B．28．（23-24八年級上·天津和平·期末）如果一個三角形的兩邊長分別是和，第三邊長為偶數，則這個三角形周長的最大值是．【答案】【分析】本題考查三角形的三邊關系，掌握“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”是解題的關鍵．利用三角形三邊關系，先確定第三邊的范圍，進而就可以求出第三邊的長，從而求得三角形的周長．【詳解】解：設第三邊長為，由題意得：，，第三邊長是偶數，要使三角形周長最大，，該三角形周長的最大值為：，故答案為：29．（22-23八年級上·安徽亳州·期中）已知三角形的兩邊長為5和7，第三邊的邊長a．(1)求a的取值范圍；(2)若a為整數，當a為何值時，組成的三角形的周長最大，最大值是多少？【答案】(1)(2)當時，三角形的周長最大為【分析】（1）根據三角形三邊關系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．【詳解】（1）解：由三角形的三邊關系可知，即，∴a的取值范圍是；（2）解：由（1）知，a的取值范圍是，a是整數，∴當時，三角形的周長最大，此時周長為：，∴周長的最大值是23．【點睛】本題考查三角形三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【考點題型九】求三角形內外角平分線的夾角30．（22-23八年級上·湖北襄陽·期末）如圖所示，是的內角平分線，是的外角平分線，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據三角形外角的性質結合角平分線的定義進行求解即可．【詳解】解：∵是的內角平分線，是的外角平分線，∴，，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了三角形外角的性質以及角平分線的定義，熟知三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．31．（20-21八年級上·河南商丘·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，延長BO與∠ACB的外角平分線交于點D，若∠BOC＝130°，則∠D＝【答案】40°【分析】根據角平分線的定義結合三角形外角的性質即可得到結論．【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，∴∠ACO=∠ACB，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°，∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案為：40°．【點睛】本題考查了三角形的外角性質，角平分線的定義，熟練掌握相關性質和概念正確推理計算是解題的關鍵．32．（23-24八年級上·湖北孝感·期中）如圖，點為內角平分線與外角平分線的交點，已知，求的度數．【答案】．【分析】本題考查的是三角形的外角性質、角平分線的定義，根據角平分線的定義得到，，根據三角形的外角的性質得到，進一步得出推出，于是得到結論．【詳解】解：平分，平分，，即33．（23-24八年級上·寧夏銀川·期末）（1）如圖①所示，已知直線，求證：．（2）如圖②所示，已知直線，當點在直線下方時，判斷之間的數量關系，并加以證明．（3）如圖③所示，已知直線，當點在直線上方時，過點作的角平分線與的角平分線交于點，當時，______．【答案】（1）證明見解析；（2）．證明見解析；（3）【分析】本題考查平行線的判定和性質，角平分線的定義，三角形外角的性質．正確作出輔助線是解題關鍵．（1）過點B作直線，即可證，結合平行線的性質即可得出；（2）過點B作直線，即可證，結合平行線的性質即可得出；（3）過點B作直線，即可證，結合平行線的性質可得出，．根據，可求出．再由角平分線的定義結合三角形外角的性質可求出．【詳解】解：（1）如圖，過點B作直線，∵，∴，∴，．∵，∴；（2）．證明如下：如圖，過點B作直線，∵，∴，∴，．∵，∴；（3）如圖，過點B作直線，∵，∴，∴，，∴．∵，∴，∴．∵的角平分線與的角平分線交于點G，∴，，∴．故答案為：．【考點題型十】求三角形高線的夾角34．已知非Rt△ABC中，∠A=45°，高BD、CE所在的直線交于點H，畫出圖形并求出∠BHC的度數．【答案】135°或45°【分析】分兩種情況進行討論：①△ABC是銳角三角形時，先根據高線的定義求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根據直角三角形兩銳角互余求出∠ABD，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式進行計算即可得解；②△ABC是鈍角三角形時，根據直角三角形兩銳角互余求出∠BHC=∠A，從而得解．【詳解】解：①如圖1，△ABC是銳角三角形時，∵BD、CE是△ABC的高線，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，在△ABD中，∵∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；②△ABC是鈍角三角形時，∵BD、CE是△ABC的高線，∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，∵∠ACE=∠HCD（對頂角相等），∴∠BHC=∠A=45°，綜上所述，∠BHC的度數是135°或45°．【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理及三角形的高線，難點在于要分△ABC是銳角三角形與鈍角三角形兩種情況討論，如何作出圖形更形象直觀的解答是本題的關鍵．35．（24-25八年級上·安徽合肥·期中）在中，為最大角且，高和所在的直線交于點．【探究】求和有什么關系，寫出探究過程；【應用】在鈍角中，，高和所在的直線交于點，則的度數為_____【答案】【探究】或，見解析；【應用】【分析】此題主要考