25學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教版）專題05分式（考點(diǎn)清單10個(gè)考點(diǎn)清單+22種題型解讀）（解析版）

專題05分式（考點(diǎn)清單，10個(gè)考點(diǎn)清單+22種題型解讀）【清單01】分式的定義分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．注：=1\*GB3①分式可以理解為兩個(gè)整式相除的商，分母是除數(shù)，分子是被除數(shù)，分?jǐn)?shù)線是除號(hào)。=2\*GB3②整式B作為分母，則整式B0.=3\*GB3③只要最終能轉(zhuǎn)化為形式即可.=4\*GB3④B中若無字母，則變成系數(shù)乘A，為整式.【清單02】分式的相關(guān)概念1）分式有意義的條件：分母不為0，即B02）分式的值為0的條件：分子為0，且分母不為0，即A=0且B03）分式為正的條件：分子與分母的積為正，即AB>04）分式為負(fù)的條件：分子與分母的積為負(fù)，即AB<0【清單03】分式的基本性質(zhì)1）分?jǐn)?shù)的性質(zhì)（特點(diǎn)）如下：=1\*GB3①分母不能為零;=2\*GB3②分?jǐn)?shù)分子分母同乘除不為零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變;=3\*GB3③分?jǐn)?shù)的通分與約分（短除法）.2）分式是分?jǐn)?shù)的拓展延伸，分式有與分?jǐn)?shù)類似的性質(zhì)（特點(diǎn)）：=1\*GB3①分式分母也不能為零=2\*GB3②分式分子分母同乘除一個(gè)不為零的整式，分式大小不變。即：用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．=3\*GB3③分式的通分與約分在知識(shí)點(diǎn)4中詳細(xì)講解.【清單04】分式的約分與通分1）分式的約分：與分?jǐn)?shù)的約分類似，約去分式分子、分母中的公因式（最大公約數(shù)）.注：有時(shí)，分式分子、分母需進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)換才有公因式。2）最簡(jiǎn)分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．注：約分一般是將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式，分式約分所得的結(jié)果有時(shí)可能成為整式．3）分式的通分：利用分式的性質(zhì)，將分式的分母變成最小公倍數(shù)，分子根據(jù)分母擴(kuò)大的倍數(shù)相應(yīng)擴(kuò)大，不改變分式的值。步驟：=1\*GB3①通過短除法，求出分式分母的最小公倍數(shù)；=2\*GB3②分母變?yōu)樽钚」稊?shù)的值，確定原式分母擴(kuò)大的倍數(shù);=3\*GB3③分子對(duì)應(yīng)擴(kuò)大相同倍數(shù).4）最簡(jiǎn)公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母．【清單05】分式的混合運(yùn)算分式是分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展，因此分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似：1）分式的加減①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減．用式子表示為：．2）分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．3）分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示為：．4）分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．5）分式的混合運(yùn)算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算．混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號(hào)的，先算括號(hào)里的．注：上述所有計(jì)算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式【清單06】整數(shù)指數(shù)冪（冪的運(yùn)算的擴(kuò)大）1）前面已學(xué)習(xí)：=1\*GB3①am?an=am+n，（m，n是正整數(shù)）；=2\*GB3②（am）=3\*GB3③（ab）m=ambm，（m是正整數(shù)）；=4\*GB3④am÷an=am?n，（a≠0，m=5\*GB3⑤（ab）n=anbn，（n是正整數(shù)）；=6\*GB3若按照=4\*GB3④運(yùn)算，當(dāng)m<n時(shí)。如：a2÷a3=a2）針對(duì)這種現(xiàn)象，我們規(guī)定，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，a?n=1an3）冪的運(yùn)算性質(zhì)擴(kuò)大當(dāng)a≠0時(shí)=1\*GB3①am?an=2\*GB3②（am）n=3\*GB3③（ab）m=am4）利用負(fù)指數(shù)化除為乘，設(shè)m，n為正整數(shù)，a≠0，根據(jù)定義am÷an5）科學(xué)記數(shù)法的擴(kuò)大一般，一個(gè)小于1的數(shù)可以表示為a×10?n的形式，其中步驟：確定a值的大小。1＜a＜10；確定n的值。原數(shù)變?yōu)閍后，小數(shù)點(diǎn)向前移動(dòng)x位，則原數(shù)相應(yīng)擴(kuò)大了10x倍。故n【清單07】分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個(gè)方程為分式方程的依據(jù)．【清單08】分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根．注意：解分式方程過程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解．【清單09】增根在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個(gè)整式方程本身無解，當(dāng)然原分式方程就一定無解．【清單10】分式方程的應(yīng)用（1）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個(gè)問題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系，如：工作時(shí)間＝，時(shí)間＝等．（2）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)未知數(shù)；②找等量關(guān)系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問題）；⑥答．【考點(diǎn)題型一】分式的概念及其基本性質(zhì)1.（23-24八年級(jí)上·湖南郴州·期末）若把分式中都擴(kuò)大3倍，則分式的值（

）A．?dāng)U大到原來的3倍 B．不變C．?dāng)U大到原來的9倍 D．縮小到原來的【答案】B【分析】本題主要考查分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)解決此題．【詳解】解：把分式中都擴(kuò)大3倍，則，分式的值不變．故選：B．2.（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）下列各式，，，，，，，中，分式共有（

）個(gè)．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本題考查的是分式的定義．判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【詳解】解：代數(shù)式，，，，，，，中，是分式的有，，，，，，一共有6個(gè)分式，故選：B．3.（23-24八年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）分式、、的最簡(jiǎn)公分母是．【答案】【分析】本題主要考查分式的最簡(jiǎn)公分母，掌握“各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積”叫做最簡(jiǎn)公分母，是解題的關(guān)鍵．取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴分式，，的最簡(jiǎn)公分母是：．故答案是：．4.（23-24八年級(jí)上·天津?yàn)I海新·期末）寫出一個(gè)分子為的分式，且知它在時(shí)有意義的分式．【答案】；答案不唯一【分析】本題主要考查了分式的定義，以及分式有意義和無意義的條件，根據(jù)分式有意義和無意義的條件可得出分母可以是，再根據(jù)分式的定義即可求解．【詳解】解：根據(jù)分式的意義可知，分母可以是，分子為，故所求分式可以為；故答案為：（答案不唯一）【考點(diǎn)題型二】分式的運(yùn)算5.（24-25八年級(jí)上·云南曲靖·期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘除法計(jì)算，分式的乘方計(jì)算，合并同類項(xiàng)，根據(jù)同底數(shù)冪乘除法計(jì)算法則，分式的乘方計(jì)算法則和合并同類項(xiàng)法則分解求出對(duì)應(yīng)式子的值即可得到答案．【詳解】解：A、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、，原式計(jì)算正確，符合題意；D、，原式計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．6.（24-25八年級(jí)上·全國·期末）計(jì)算的結(jié)果是．【答案】【分析】本題考查了異分母分式的相加減，熟練運(yùn)用通分、約分法則是解本題的關(guān)鍵．將原式通分，相加后再約分即可得出結(jié)果．【詳解】解：，故答案為：7.（23-24八年級(jí)上·廣東惠州·期末）（1）分解因式：（2）計(jì)算：【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了因式分解，分式的運(yùn)算.對(duì)于（1），先提公因式，再根據(jù)平方差公式運(yùn)算即可．對(duì)于（2），先把除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，再約分即可．【詳解】解：（1）．（2）．8.（24-25八年級(jí)上·河北滄州·期末）計(jì)算(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式，完全平方公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可．（1）根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先化除為乘，再根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．【考點(diǎn)題型三】分式方程及其應(yīng)用9.（23-24八年級(jí)上·湖北荊門·期末）下列方程不是分式方程的為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查分式方程的定義，根據(jù)分式方程的定義逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟記分式方程的定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、是分式方程，不符合題意；B、是分式方程，不符合題意；C、不是分式方程，符合題意；D、是分式方程，不符合題意；故選：C．10.（23-24八年級(jí)上·湖南株洲·期末）若關(guān)于的分式方程的解，則【答案】【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解求參數(shù)，先解分式方程得，再由分式方程的解為得，解之即可求解，掌握解分式方程及分式方程解的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：方程兩邊乘以得，，解得，∵分式方程的解為，∴，∴，故答案為：．11.（24-25八年級(jí)上·全國·期末）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查分式方程的解法，檢驗(yàn)是解分式方程的必要步驟．（1）根據(jù)解分式方程的解法步驟求解即可．（2）根據(jù)解分式方程的解法步驟求解即可．【詳解】（1）解：去分母得，，去括號(hào)得，，移項(xiàng)得合并同類項(xiàng)得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，所以原方程的解為．（2）解：去分母得，，去括號(hào)得，，移項(xiàng)得合并同類項(xiàng)得，，系數(shù)化為1得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，所以原方程的解為．12．（22-23八年級(jí)上·山東泰安·階段練習(xí)）在某段高速公路修建中，需要打通一條隧道，施工方有兩個(gè)工程隊(duì)可供選擇，若甲工程隊(duì)單獨(dú)施工，恰好能在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成，若乙工程隊(duì)單獨(dú)施工，則需要的天數(shù)是甲工程隊(duì)的倍，若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作天，余下的任務(wù)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成仍需要天．(1)甲、乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天?(2)經(jīng)過預(yù)算，甲工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用是元，乙工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用是元，為了盡可能縮短施工時(shí)間，施工方打算讓兩個(gè)工程隊(duì)合作完成，打通這條隧道的施工費(fèi)用是多少?【答案】(1)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要天(2)打通這條隧道的施工費(fèi)用是元【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用；（1）設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要天，根據(jù)“甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作天，余下的任務(wù)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成仍需要天”列分式方程求解即可；（2）結(jié)合（1）的答案，先求出甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作完成需要的天數(shù)，再乘以每天施工費(fèi)用之和，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要天，可得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，天，所以，甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要天．（2）解：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作完成，需要的天數(shù)為：天，（元），所以打通這條隧道的施工費(fèi)用是元．【考點(diǎn)題型四】整體通分13.（23-24八年級(jí)上·遼寧鞍山·期末）計(jì)算：；【答案】【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則以及運(yùn)算順序是解此題的關(guān)鍵．先通分，在計(jì)算減法，最后約分即可得出答案；【詳解】解：；14.（23-24八年級(jí)上·北京昌平·期末）計(jì)算：.【答案】【分析】本題考查了分式的加法，掌握異分母加法的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．先通分，變?yōu)橥帜阜质剑偌訙p即可．【詳解】解：．【考點(diǎn)題型五】先約分，再通分15.（22-23八年級(jí)上·北京朝陽·期末）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了異分母分式的減法運(yùn)算，熟練掌握分式的減法運(yùn)算法則，即可解題．【詳解】解：原式．16.（22-23八年級(jí)下·廣東惠州·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則求解即可；（2）根據(jù)分式的加減混合運(yùn)算法則求解即可．【詳解】（1）；（2）．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的乘法混合運(yùn)算，分式的加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上運(yùn)算法則【考點(diǎn)題型六】逐步通分17.計(jì)算：．【答案】0．【分析】根據(jù)題意將原式通分并利用同分母分式的加減法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減法，熟練掌握分式的加減法的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵【考點(diǎn)題型七】分組通分18.計(jì)算：1x?4-2x?2+2【答案】96【詳解】原式＝(2x+2-2x?2)+(1x?4＝?8(x+2)(x?2)+＝?8(=96【考點(diǎn)題型八】分離分子19.計(jì)算：x+2x+1-x+3x+2+x?5【答案】?10x+10【詳解】原式＝(1+1x+1)-(1+1x+2)+(1-1x?4)-＝1x+1-1x+2-1＝1(x+1)(x+2)-=?10x+10【考點(diǎn)題型九】裂項(xiàng)相消20.計(jì)算：＋＋＋…＋.【答案】【分析】根據(jù)所給式子裂項(xiàng)，再根據(jù)分式的加減法法則計(jì)算即可得出答案.【詳解】原式＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝.【點(diǎn)睛】本題考查分式的減法，正確裂項(xiàng)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.21.已知下面一列等式：；；；；…（1）請(qǐng)你按這些等式左邊的結(jié)構(gòu)特征寫出它的一般性等式：（2）驗(yàn)證一下你寫出的等式是否成立；（3）利用等式計(jì)算：.【答案】（1）一般性等式為；（2）原式成立；詳見解析；（3）.【分析】（1）先要根據(jù)已知條件找出規(guī)律；（2）根據(jù)規(guī)律進(jìn)行逆向運(yùn)算；（3）根據(jù)前兩部結(jié)論進(jìn)行計(jì)算.【詳解】解：（1）由；；；；…，知它的一般性等式為；（2），原式成立；（3）.【點(diǎn)睛】解答此題關(guān)鍵是找出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律進(jìn)行逆向運(yùn)算.【考點(diǎn)題型十】巧用分配律22.（23-24八年級(jí)·云南文山·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，4【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，先把除法化為乘法運(yùn)算，再利用分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算得到化簡(jiǎn)的結(jié)果，再把代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式計(jì)算即可；【詳解】解：；當(dāng)時(shí)，原式【考點(diǎn)題型十一】巧用乘法公式23.（23-24八年級(jí)上·吉林白城·期末）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)1(2)【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．（1）先將分子分母能因式分解的進(jìn)行因式分解，再進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先將分子分母能因式分解的進(jìn)行因式分解，除法改寫為乘法，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．24.（22-23八年級(jí)上·河南信陽·期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題考查分式的混合計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)整式的乘法公式和分式的混合計(jì)算解答．根據(jù)整式的乘法公式和混合計(jì)算解答即可；根據(jù)分式的混合計(jì)算解答即可．【詳解】（1）解：；（2）．【考點(diǎn)題型十二】謹(jǐn)防求值中的隱含條件25.（23-24八年級(jí)上·湖南岳陽·階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再從的范圍內(nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)代入求值．【答案】，．【分析】題目主要考查分式的化簡(jiǎn)求值及分式有意義的條件，熟練掌握分式的化簡(jiǎn)方法是解題關(guān)鍵．先將分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)分式有意義的條件確定代入的值計(jì)算即可．【詳解】解：原式，∵，∴不等式的整數(shù)解有或1或0或2，∴當(dāng)，1，0時(shí)，原式?jīng)]有意義；當(dāng)時(shí)，原式．26.（23-24八年級(jí)上·吉林白山·期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x從0，1，2中取一個(gè)合適的數(shù)求值．【答案】，當(dāng)時(shí)，【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值及分式有意義的條件．根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算，即可化簡(jiǎn)．再根據(jù)使分式有意義的條件確定x可取的值，再代入求值即可．【詳解】解：．∵且，∴當(dāng)時(shí)，原式．【考點(diǎn)題型十三】設(shè)參數(shù)求值27.已知==≠0,求的值.【答案】【分析】首先設(shè)進(jìn)而代入求出即可．【詳解】解：∵∴∴【點(diǎn)睛】考查分式的求值，熟練掌握換元法是解題的關(guān)鍵.28.（21-22八年級(jí)上·山東濰坊·期中）（1）化簡(jiǎn)：；（2）已知，且，求的值．【答案】（1）；（2）3【分析】（1）括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果即可；（2）利用設(shè)元法，得到，代入計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；（2）設(shè)，則，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．【考點(diǎn)題型十四】巧取倒數(shù)求值29.（23-24八年級(jí)·云南紅河·期末）已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式的運(yùn)用，把兩邊平方即可得的值，然后根據(jù)即可求值【詳解】解：∵，∴，即，則，∴，∴，故選：C30．（21-22八年級(jí)上·貴州遵義·期末）若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算、完全平方公式的變形即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∴，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的變形應(yīng)用31.數(shù)學(xué)習(xí)題課中，老師提出如下問題：例：已知且，試求的值，并給出部分解題步驟如下，解：，，，即，(1)補(bǔ)充完整以上解題步驟；(2)已知且．試求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的簡(jiǎn)單變形，以及乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，進(jìn)行計(jì)算即可求得答案；（2）根據(jù)完全平方公式的簡(jiǎn)單變形，以及乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，進(jìn)行計(jì)算即可求得答案．【詳解】（1）解：，，，即，，；（2）解：，，，即，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的簡(jiǎn)單變形以及乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵【考點(diǎn)題型十五】整體代入求值32．已知實(shí)數(shù)a滿足，求的值．【答案】，【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)實(shí)數(shù)a滿足a2+4a-8=0得出a2+4a=8代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式=

====∵實(shí)數(shù)a滿足，∴，∴原式=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．33．（22-23八年級(jí)上·湖南岳陽·期中）先化簡(jiǎn)，再求值，已知，求的值．【答案】，．【分析】先利用分式的相應(yīng)的法則對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【詳解】解：，，，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【考點(diǎn)題型十六】根據(jù)分式方程解的定義求字母的值34.（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）已知分式方程的解為，則a的值為（

）A．2 B．3 C．7 D．13【答案】C【分析】本題考查了分式方程的解，將代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：把代入得：，解得：，故選：C．35．（22-23八年級(jí)上·河南周口·期末）已知是分式方程的解，則．【答案】【分析】將代入方程求解即可．【詳解】解：將代入方程得，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是該分式方程的解，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的解，分式方程是方程中的一種，且分母里含有未知數(shù)的(有理)方程叫做分式方程，等號(hào)兩邊至少有一個(gè)分母含有未知數(shù)36．（22-23八年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）已知：是分式方程的解，求a的值．【答案】【分析】直接將未知數(shù)的值代入方程求解即可．【詳解】把帶入方程，得：，∴，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，∴a的值為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，將未知數(shù)的值代入方程求出a的值是解題的關(guān)鍵【考點(diǎn)題型十七】根據(jù)分式方程有增根求字母的值37．（23-24八年級(jí)上·北京·期末）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是（

）A．或 B． C． D．或【答案】A【分析】此題考查了分式方程的增根問題，根據(jù)解分式方程的方法去分母，把分式方程化為整式方程；接下來把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值．【詳解】解：，去分母得到，∵關(guān)于x的分式方程有增根，∴是方程的根，當(dāng)時(shí)，解得：當(dāng)時(shí)，解得：故選：A38．（24-25八年級(jí)上·吉林長春·期中）若關(guān)于的方程有增根，則的值是．【答案】【分析】本題考查分式的增根問題，增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為的根．有增根，那么最簡(jiǎn)公分母，所以增根是，把增根代入化為整式方程的方程即可求出的值．解題的關(guān)鍵是掌握關(guān)于增根問題解決的步驟：①根據(jù)最簡(jiǎn)公分母確定增根的值；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．【詳解】解：方程兩邊都乘，得：，∵原方程有增根，∴最簡(jiǎn)公分母，解得：，∴，解得：，∴的值是．故答案為：39．（23-24八年級(jí)上·湖南郴州·期末）若關(guān)于的分式方程有增根，求的值．【答案】【分析】本題考查分式方程的知識(shí)，根據(jù)分式方程有增根，則該方程無解，解出，即可求出．【詳解】解：去分母得，，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得，，∵有增根，∴該方程無解，即，解得：，∴∴【考點(diǎn)題型十八】根據(jù)分式方程無解求字母的值40.（23-24八年級(jí)上·廣西柳州·期末）若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的無解求參數(shù)的值，分式方程無解有兩種情況：①去分母后所得整式方程無解，②解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘得：，解得：，方程無解，，，，，故選：D41．（22-23八年級(jí)上·山東濱州·期末）關(guān)于的分式方程無解，則的值為．【答案】4【分析】本題主要考查了分式方程無解的情況，解題的關(guān)鍵是弄清分式方程無解的條件．先把分式方程化為，再根據(jù)分式方程無解求解即可．【詳解】解：去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得得：，當(dāng)，即時(shí)，原方程無解，∴代入得，∴，故答案為：442．（21-22八年級(jí)上·湖南邵陽·期末）若分式方程無解，求a的值．【答案】或3【分析】先解分式方程得出，當(dāng)時(shí)，無意義，求出當(dāng)時(shí)，原方程無解；根據(jù)當(dāng)或2時(shí)方程無解，得出或，求出a的值即可．【詳解】解：，方程兩邊同乘，得，解得，∵當(dāng)時(shí)，無意義，∴當(dāng)時(shí)，原方程無解；∵當(dāng)或2時(shí)方程無解，或，解得；綜上所述，或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的無解問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程無解的情況，注意進(jìn)行分類討論【考點(diǎn)題型十九】根據(jù)分式方程有解求字母的取值范圍43．（23-24八年級(jí)上·廣西柳州·期末）若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】本題主要考查解分式方程和一元一次不等式組，先解分式方程，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)和分式方程無意義的情況即可求出取值范圍【詳解】解：，去分母得，，整理得，，解得，，∵分式方程的解為正數(shù)，∴且，∴且，故選：D44．（23-24八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查了解分式方程以及解一元一次不等式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先算分式方程得出且，結(jié)合解是非負(fù)數(shù)，列式，即可作答．【詳解】解：原方程去分母得：，解得：，∵，∴，∴，∴，∵關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，∴，即，解得：，又∵，∴m的取值范圍是且故答案為：且45．（23-24八年級(jí)上·湖北十堰·期末）關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，求m的取值范圍．【答案】【分析】本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法和步驟，以及分式有意義的條件：分母不為0．先去分母，將分式方程化為整式方程求解，根據(jù)解為正數(shù)和分式有意義的條件，列出不等式求出解集即可．【詳解】解：，去分母，得：，移項(xiàng)，得：，化系數(shù)為1，得：，∵方程解為正數(shù)，∴，解得：，∵，解得：，∴的取值范圍為．【考點(diǎn)題型二十】列分式方程解應(yīng)用題46．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）甲、乙二人做某種機(jī)械零件．已知甲每小時(shí)比乙多做6個(gè)，甲做90個(gè)所用的時(shí)間與乙做60個(gè)所用的時(shí)間相等．若設(shè)乙每小時(shí)做個(gè)零件，依據(jù)題意可列分式方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)乙每小時(shí)做個(gè)零件，則甲每小時(shí)做個(gè)零件，再根據(jù)甲做90個(gè)所用的時(shí)間與乙做60個(gè)所用的時(shí)間相等列出方程即可．【詳解】解：設(shè)乙每小時(shí)做個(gè)零件，則甲每小時(shí)做個(gè)零件，由題意得，，故選：A47．（23-24八年級(jí)上·山東泰安·期末）師傅和徒弟兩人每小時(shí)共做40個(gè)零件，在相同時(shí)間內(nèi)，師傅做了300個(gè)零件，徒弟做了100個(gè)零件．師傅每小時(shí)做了多少個(gè)零件？若設(shè)師傅每小時(shí)做了個(gè)零件，則可列方程為．【答案】【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用；理解工程問題中：工作量工作效率工作時(shí)間的基本關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)工作量工作效率工作時(shí)間，表示兩者各自完成零件所用的時(shí)間，時(shí)間相等構(gòu)建方程即可．【詳解】解：師傅所用時(shí)間為，徒弟所用時(shí)間為，于是；故答案為：48．（24-25八年級(jí)上·云南曲靖·期末）廣南到那灑高速公路經(jīng)過兩年多的建設(shè)，于2020年6月30日24時(shí)正式通車運(yùn)營，全長的廣那高速結(jié)束了廣南縣城不通高速公路的歷史．從廣南到那灑還有條全長的普通公路，某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度快，由高速公路從廣南到那灑所需要的時(shí)間是由普通公路從廣南到那灑所需時(shí)間的一半，求該客車由高速公路從廣南到那灑需要幾小時(shí)．【答案】該客車由高速公路從廣南到那灑需要23【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)該客車由高速公路從廣南到那灑需要x小時(shí)，則該客車由普通公路從廣南到那灑需要小時(shí)，再根據(jù)客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上行駛的平均速度快列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)該客車由高速公路從廣南到那灑需要x小時(shí)，則該客車由普通公路從廣南到那灑需要小時(shí)．依題意，得解得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，且符合題意．答：該客車由高速公路從廣南到那灑需要23【考點(diǎn)題型二十一】方案設(shè)計(jì)型應(yīng)用題49．（23-24八年級(jí)上·湖南湘潭·期末）北京時(shí)間2023年12月18日23時(shí)59分，甘肅臨夏州積石山縣發(fā)生級(jí)地震．“一方有難，八方支援”，我市某中學(xué)響應(yīng)號(hào)召，積極捐款，共募集資金16500元．其中9000元用來購買礦泉水，余下的錢購買了大米．已知購得的礦泉水?dāng)?shù)量是大米數(shù)量的2倍，且一袋大米比一箱礦泉水貴20元．(1)求礦泉水和大米的數(shù)量各是多少？(2)現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種型號(hào)的貨車共5輛，一次性將這批礦泉水和大米全部運(yùn)往災(zāi)區(qū)．已知每輛甲型貨車最多可裝礦泉水80箱和大米30袋，每輛乙型貨車最多可裝礦泉水50箱和大米40袋．問：安排甲、乙兩種貨車時(shí)共有哪幾種方案？（備注：兩種車型都要有）請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來．【答案】(1)購得大米150袋，礦泉水300箱(2)方案有以下3種：①甲種2輛，乙種3輛；②甲種3輛，乙種2輛；③甲種4輛，乙種1輛【分析】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)購得大米袋，則購得礦泉水箱，根據(jù)一袋大米比一箱礦泉水貴20元列出方程求解即可；（2）設(shè)甲型號(hào)貨車輛，則乙型號(hào)貨車輛，根據(jù)兩輛車裝的大米數(shù)要大于等于150，礦泉水?dāng)?shù)要大于等于300列出不等式組求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)購得大米袋，則購得礦泉水箱，根據(jù)題意得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意，∴（箱）答：購得大米150袋，礦泉水300箱．（2）解：設(shè)甲型號(hào)貨車輛，則乙型號(hào)貨車輛．根據(jù)題意得：，

解得：，∵為整數(shù)，且兩種車型都要有，∴或3或4，∴方案有以下3種：①甲種2輛，乙種3輛；②甲種3輛，乙種2輛；③甲種4輛，乙種1輛50.（21-22八年級(jí)上·湖南邵陽·期末）某社區(qū)擬建A，B兩類攤位以搞活“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”，每個(gè)A類攤位的占地面積比每個(gè)B類攤位的占地面積多2平方米．建A類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類攤位每平方米的費(fèi)用為30元，用60平方米建A類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個(gè)數(shù)的．(1)求每個(gè)A，B類攤位占地面積各為多少平方米？(2)該社區(qū)擬用12000元資金建A，B兩類攤位共100個(gè)，且B類攤位的數(shù)量不大于A類攤位數(shù)量的3倍．請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)符合以上條件的修建方案．【答案】(1)每個(gè)A類攤位占地面積5平方米，B類攤位占地面積3平方米(2)有3種修建方案，方案一：建A類攤位25個(gè)，則B類攤位75個(gè)；方案二：建A類攤位26個(gè)，則B類攤位74個(gè)；方案三：建A類攤位27個(gè)，則B類攤位73個(gè)【分析】（1）設(shè)每個(gè)A類攤位占地面積為x平方米，則每個(gè)B類攤位占地面積為（x?2）平方米，根據(jù)用60平方米建A類攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類攤位個(gè)數(shù)的，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可求出每個(gè)A類攤位占地面積，再將其代入（x?2）中可求出每個(gè)B類攤位占地面積；（2）設(shè)該社區(qū)擬建A類攤位y個(gè)，則擬建B類攤位（100?y）個(gè)，根據(jù)修建費(fèi)用不超過12000元且修建B類攤位的數(shù)量不大于A類攤位數(shù)量的3倍，即可得出關(guān)于y的一元一次不等式組，解之即可得出y的取值范圍，再結(jié)合y為正整數(shù)，即可得出各修建方案．【詳解】（1）解：設(shè)每個(gè)A類攤位占地面積x平方米，則每個(gè)B類攤位占地面積(x-2)平方米，依題意得：，解得x=5，檢驗(yàn)：x=5是原分式方程的解，所以x-2＝3答：每個(gè)A類攤位占地面積5平方米，B類攤位占地面積3平方米．（2）設(shè)該社區(qū)擬建A類攤位y個(gè)，則B類攤位（100-y）個(gè)，依題意得：，解得，∵y為正整數(shù)，∴y=25或26或27∴有3種修建方案，方案一：建A類攤位25個(gè)，則B類攤位75個(gè)；方案二：建A類攤位26個(gè)，則B類攤位74個(gè)；方案三：建A類攤位27個(gè)，則B類攤位73個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．51．（20-21八年級(jí)上·黑龍江黑河·期末）黑河市政府在道路改造過程中，某路段需要鋪設(shè)一條長1000米的下水管道，現(xiàn)有甲乙兩個(gè)施工隊(duì)具備施工能力，政府工作人員分別到兩個(gè)施工隊(duì)了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)每天能多鋪設(shè)10米；信息二：甲工程隊(duì)鋪設(shè)480米所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)400米所用的天數(shù)相同．根據(jù)以上信息完成下列問題：(1)甲、乙工程隊(duì)每天各能鋪設(shè)多少米？(2)如果兩工程隊(duì)同時(shí)施工，要求完成該項(xiàng)工程的工期不超過10天，那么兩工程隊(duì)分配工程量（以整百米為單位）的方案有幾種？請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來．【答案】(1)甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)60米，乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)50米(2)分配方案有2種．方案一：分配給甲工程隊(duì)500米，分配給乙工程隊(duì)500米；方案二：分配給甲工程隊(duì)600米，分配給乙工程隊(duì)400米【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米，則乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米，根據(jù)“甲工程隊(duì)鋪設(shè)480米所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)400米所用的天數(shù)相同”列出方程，即可求解；（2）設(shè)分配給甲工程隊(duì)米，則分配給乙工程隊(duì)米，根據(jù)“完成該項(xiàng)工程的工期不超過10天，”列出不等式組，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米，則乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是原分式方程的解．答：甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)60米，乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)50米；（2）解：設(shè)分配給甲工程隊(duì)米，則分配給乙工程隊(duì)米，由題意，得，解得，取整數(shù)，分配方案有2種．方案一：分配給甲工程隊(duì)500米，分配給乙工程隊(duì)500米；方案二：分配給甲工程隊(duì)600米，分配給乙工程隊(duì)400米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，明確題