高考物理一輪教案第06章機械能

第六章：機械能

能的概念、功和能的關(guān)系以及各種不同形式的能的相互轉(zhuǎn)化和守恒

的規(guī)律是自然界中最重要、最普遍、最基本的客觀規(guī)律，它貫穿于整

個物理學(xué)中。本章的功和功率、動能和動能定理、重力的功和重力勢

能、彈性勢能、機械能守恒定律是歷年高考的必考內(nèi)容,考查的知識

點覆蓋面全?頻率高?題型全。動能定理、機械能守恒定律是力學(xué)中

的重點和難點，用能量觀點解題是解決動力學(xué)問題的三大途徑之一。

考題的內(nèi)容經(jīng)常與牛頓運動定律、曲線運動、動量守恒定律、電磁學(xué)

等方面知識綜合,物理過程復(fù)雜,綜合分析的能力要求較高,這部分

知識能密切聯(lián)系實際、生活實際、聯(lián)系現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)?因此，每年高

考的壓軸題，高難度的綜合題經(jīng)常涉及本章知識。同學(xué)平時要加強綜

合題的練習(xí)?學(xué)會將復(fù)雜的物理過程分解成若干個子過程，分析每一

個過程的始末運動狀態(tài)量及物理過程中力、加速度、速度、能量和動

量的變化，對于生活、生產(chǎn)中的實際問題要建立相關(guān)物理模型，靈活

運用牛頓定律、動能定理、動量定理及能量轉(zhuǎn)化的方法提高解決實際

問題的能力

單元切塊：

按照考綱的要求，本章內(nèi)容可以分成四個單元，即：功和功率；動

能、勢能、動能定理；機械能守恒定律及其應(yīng)用；功能關(guān)系動量能

量綜合。其中重點是對動能定理、機械能守恒定律的理解，能夠熟練

運用動能定理、機械能守恒定律分析解決力學(xué)問題。難點是動量能量

綜合應(yīng)用問題。

復(fù)習(xí)要點

1、理解功的概念、掌握功的計算公式。

2、掌握功率的概念、理解功率的含義。

3、掌握動能、重力勢能、彈性勢能等概念及其物理意義。

4、掌握動能定理，并能運用動能定理分析與解決相關(guān)的力學(xué)問題。

5、掌握機械能守恒定律、理解機械能守恒的條件，并能運用機械

能守恒定律分析與解決相關(guān)的力學(xué)問題。

第一模塊：功和功率

『夯實基礎(chǔ)知識』

（一）功：

1、概念：一個物體受到力?的作用，并且在這個力?的方向上發(fā)生了

一段位移，就說這個力*對物體做了功。

2、做功的兩個必要因素：力和物體在力的方向上的位移

3、公式：W=FScosa（c（為F與s的夾角）?功是力的空間積累

效應(yīng)。

4、單位：焦耳（J）

5、意義：功是能轉(zhuǎn)化的量度?反映力對空間的枳累效果。

6、說明

（1）公式只適用于恒力做功位移是指力的作用點通過位移

（2）要分清〃誰做功?對誰做功〃。即：哪個力對哪個物體做功。

(3)力和位移都是矢量：可以分解力也可以分解位移。如：位移：沿

力方向分解，與力垂直方向分解。

(4)功是標(biāo)量，沒有方向，但功有正、負(fù)值。其正負(fù)表示力在做功過

程中所起的作用。正功表示動力做功(此力對物體的運動有推動作用)?

負(fù)功表示阻力做功?

(5)功大小只與F、s、a這三個量有欠?與物體是否還受其他力、物

體運動的速度、加速度等其他因素?zé)o關(guān)

(二)功的四個基本問題。

涉及到功的概念的基本問題，往往會從如下四個方面提出。

1、做功與否的判斷問題：物體受到力的作用，并在力的方向上通

過一段位移，我們就說這個力對物體做了功。由此看來，做功與否的

判斷，關(guān)鍵看功的兩個必要因素,第一是力；第二是力的方向上的位

移。而所謂的〃力的方向上的位移〃可作如下理解：當(dāng)位移平行干力，

則位移就是力的方向上的位的位移；當(dāng)位移垂直于力,則位移就不是

力的方向上的位移；當(dāng)位移與力既不垂直又不平行于力,則可對位移

進(jìn)行正交分解，其平行于力的方向上的分位移仍被稱為力的方向上的

位移。

2、會判斷正功、負(fù)功或不做功。判斷方法有：

(1)用力和位移的夾角e判斷；

當(dāng)0￡0＜色時尸做正功，

2

當(dāng)6=］時尸不做功，

當(dāng)口”萬時尸做負(fù)功。

2

(2)用力和速度的夾角e判斷定；

(3)用動能變化判斷。

3、做功多少的L算問題：

(1)按照定義求功。即：W=Fscos0公式中F是做功的力；S

是F所作用的物體發(fā)生的位移；而e則是F與S間的夾角。這種方法

也可以說成是：功等于恒力和沿該恒力方向上的位移的乘積。

具體求功時可以有兩種處理辦法

①w等于力F乘以物體在力F方向上的分位移scosa，即將物體的

位移分解為沿F方向上和垂直F方向上的兩個分位移

②W等于力F在位移s方向上的分力Fcosa乘以物體的位移s，即

將力F分解為沿s方向和垂直s方向的兩個分力

在高中階段，這種月法只適用于恒力做功。至于變力做功的計算，

通?？梢岳霉δ荜P(guān)系通過能量變化的計算來了解變力的功。

(2)W=Pt

(3)用動能定理W二AEk或功能父系求功。當(dāng)尸為變力時，高中階

段往往考慮用這種方法求功。

這種方法的依據(jù)是：做功的過程就是能量轉(zhuǎn)化的過程，功是能的轉(zhuǎn)

化的量度。如果知道某一過程中能量轉(zhuǎn)化的數(shù)值，則也就知道了該過

程中對應(yīng)的功的數(shù)值

(4)能量的轉(zhuǎn)化情況求，(功是能量轉(zhuǎn)達(dá)化的量度)

(5)F-s圖象，圖象與位移軸所圍均”面積〃為功的數(shù)值?

(6)多個力的總功求解

①用平行四邊形定則求出合外力?再根據(jù)w=Fscosa計算功?注

意a應(yīng)是合外力與位移s間的夾角?

②分別求各個外力的功:Wi=Fiscosai*W2=F2scosa2……再求

各個外力功的代數(shù)和?

4、做功意義的理解問題：做功意味著能量的轉(zhuǎn)移與轉(zhuǎn)化，做多少

功,相應(yīng)就有多少能量發(fā)生轉(zhuǎn)移或轉(zhuǎn)化。

(三)了解常見力做功的特點：

(1)一類是與勢能相關(guān)的力，如重力、彈簧的彈力、電場力等，

它們的功與路程無關(guān)系，只與位移有關(guān)。

重力做功和路徑無關(guān)，只與物體始末位置的高度差h有哭:

“二mgh，當(dāng)末位置低于初位置時，W>0，即重力做正功；反之則重

力做負(fù)功。

(2)摩擦力做切

靜摩擦力做功的特點

①靜摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功。

②在靜摩擦力做功的過程中,只有機械能的相互轉(zhuǎn)移(靜摩擦力起

著傳遞機械能的作用)，而沒有機械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能?

滑動摩擦力做功的特點

①滑動摩擦力可以對物體做正功?也可以對物體做負(fù)功，當(dāng)然也可

以不做功。

②做功與物體的運動路徑有關(guān)?；瑒幽︸┝ψ龉σ次矬w運動的路

程?這是摩擦力做功的特點，必須牢記。

③一對滑動摩擦力做功的過程中，如圖所示，上面不光滑的長木板，

放在光滑的水平地面上，一小木塊以速度V。從木板的左端滑上木板,

當(dāng)木塊和木板相對靜止時,木板相對地面滑動了S，小木塊相對木板滑

動了d，則由動能定理知：

滑動摩擦力對木頭所做功為：

滑動摩擦力對木板所做功為：

將：AE&木板+AE冰塊=.d

式表明木塊和木板組成的系統(tǒng)的機械能的減少量等于滑動摩擦力

與木塊相對木板的位移的乘積。這部分減少的能量轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。

(3)—對作用力和反作用力做功的特點：

①作用力與反作用力同時存在，作用力做功時,反作用力可能做功，

也可能不做功?可能做正功，也可能做負(fù)功，不要以為作用力與反作

用力大小相等、方向相反-就一定有作用力、反作用力的功數(shù)值相等。

②一對互為作用反作用的摩擦力做的總功可能為零(靜摩擦力)、

可能為負(fù)(滑動摩擦力)，但不可能為正

(3)斜面上支持力做功問題：

①斜面固定不動，物體沿斜面下滑時斜面對物體的支持力不做功

②斜面置于光滑的水平面上，一個物體沿斜面下滑，物體受到的支

持力對物體做負(fù)功?如圖所示?物體下滑到斜面底端?斜面由于不受

地面摩擦，后退一段距離，需要注意的是位移S是物體相對于地面的

位移，不要認(rèn)為是斜面，否則會得出物體受到的支持力做功為0的錯

誤結(jié)論。

1、功率的定義：功跟完成這些功所用時間的比值叫做功率，它表

示物體做功的快慢?

2、功率的定義式：吟藝?所求出的功率是時間廣內(nèi)的平均功率。

t

3、功率的計算式：p=Fnose，其中e是力與速度間的夾角。該公

式有兩種用法：

①求某一時刻的瞬時功率。這時F是該時刻的作用力大小，卜取瞬

時值，對應(yīng)的P為F在該時刻的瞬時功率；

②當(dāng)v為某段位移（時間）內(nèi)的平均速度時，則要求這段位移（時

間）內(nèi)F必須為恒力，對應(yīng)的P為F在該段時間內(nèi)的平均功率。

③重力的功率可表示為即重力的瞬時功率等于重力和

PG=mgVy?

物體在該時刻的豎直分速度之積

4、單位：瓦（w），千瓦（kw）;

5、標(biāo)量

6、功率的物理意義：功率是描述做功快慢的物理量。

7、通常講的汽車的功率是指汽車的牽引力的功率*七V

二、汽車的兩種起動問題

汽車的兩種加速問題。當(dāng)汽車從靜止開始沿水平面加速運動時，有

兩種不同的加速過程，但分析時采用的基本公式都是和F-f=ma

①恒定功率的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定,隨

著v的增大,F必將減小?a也必將減小，汽車做加速度不斷減小的加

速運動，直到F=f，a=0，這時v達(dá)到最大值y=2=空。可見恒定功

wFf

率的加速一定不是勻加速。這種加速過程發(fā)動機做的功只能用W=Pt

計算.不能用w二Fs計算（因為F為變力）。

②恒定牽引力的加速。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，

所以a恒定，汽車做勻加速運動，而隨著v的增大，P也將不斷增大，

直到P達(dá)到額定功率Pm，功率不能再增大了。這時勻加速運動結(jié)束，

其最大速度為M=絲＜區(qū).，此后汽車要想繼續(xù)加速就只能做恒定功

ml/?“I

率的變加速運動了。可見恒定牽引力的加速時功率一定不恒定。這種

加速過程發(fā)動機做的功只能用W二Fs計算不能用W=Pt計算（因

為P為變功率）。

要注意兩種加速運動過程的最大速度的區(qū)別。

『題型解析』

類型題：判斷力對物體是否做功

［例題】下面列舉的哪幾種情況下所做的功是零（）

A?衛(wèi)星做勻速圓周運動，地球引力對衛(wèi)星做的功

B?平拋運動中，重力對物體做的功

C?舉重運動員，扛著杠鈴在頭上的上方停留10s?運動員對杠鈴

做的功

D?木塊在粗糙水平面上滑動,支持力對木塊做的功

★解析：引力作為衛(wèi)星做圓周運動的向心力,向心力與衛(wèi)星運動速

度方向垂直，所以，這個力不做功。杠鈴在此時間內(nèi)位移為零。支持

力與位移方向垂直，所以?支持力不做功c故A、C、D是正確的。

【例題】如圖所示，質(zhì)量為m的物體A靜止于傾角為0的斜面體

B上，斜面體B的質(zhì)量為M，現(xiàn)對該斜面體施加一個水平向左的推力

F，使物體隨斜面體一起沿水平方向向左勻速運動的位移為s，則在此

運動過程中斜面體B對物體A所做的功為：（C）

A?B-?MqgscotO

D?-mgssin20

【例題】如圖所示?線拴小球在光滑水平面上做勻速圓周運動，圓

的半徑是1m?球的質(zhì)量是0.1kg?線速度i^lm/s，小球由A點運動

到8點恰好是半個圓周。則在這段運動中線的拉力做的功是（）

A-0B-0.1JC-0.314JD?無法確定

★解析：小球做勻速圓周運動?線的拉力為小球做圓周運動的向心

力，由于它總是與運動方向垂直，所以，這個力不做功。故A是正確

的。

【例題】小物塊位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，

從地面上看?在小物塊沿斜面下滑的過程中-斜面對小物塊的作用力。

(A)垂直于接觸面，做功為零；

(B)垂直于接觸面，做功不為零；

(C)不垂直于接觸面，做功不為零；

(D)不垂于接觸面，做功不為零。

★解析：錯解：斜面對小物塊的作用力垂直于接觸面，作用力與物

體的位移垂直，故做功為零。即A選項正確。

分析糾錯：小物塊A在下滑過程中和斜面之間有一對相互作用力F

和F1?如圖所示。如果把斜面B固定在水平桌面上，物體A的位移方

向和彈力方向垂直，這時斜面對物塊A不做功。但此題告訴的條件是

斜劈放在光滑的水平面上?可以自由滑動。此時彈力方向仍然垂直于

斜面，但是物塊A的位移方向卻是從初位置指向終末位置。如圖27

所示，彈力和位移方向不再垂直而是成一鈍角，所以彈力對小物塊A

做負(fù)功，即B選項正確。

類型題：判斷力對物體做正功還是負(fù)功

【例題】質(zhì)量為m的物體，受水平力F的作用?在粗糙的水平面

上運動?下列說法中正確的是（）

A?如果物體做加速直線運動?F一定做正功

B?如果物體做減速直線運動-F一定做負(fù)功

C?如果物體做減速直線運動,F可能做正功

D?如果物體做勻速直線運動，F(xiàn)一定做正功

★解析：物體在粗糙水平面上運動，它必將受到滑動摩擦力,其方

向和物體相對水平面的運動方向相反。當(dāng)物體做加速運動時?其力F

方向必與物體運動方向夾銳角（含方向相同），這樣才能使加速度方向

與物體運動的方向相同。此時,力F與物體位移的方向夾銳角，所以，

力F對物體做正功，A對。

當(dāng)物體做減速運動時?力F的方向可以與物體的運動方向夾銳角也

可以夾鈍角（含方向相反）?只要物體所受合力與物體運動方向相反即

可，可見，物體做減速運動時，力F可能對物體做正功，也可能對物

體做負(fù)功，B錯，C對。

當(dāng)物體做勻速運動時?力F的方向必與滑動摩擦力的方向相反，即

與物體位移方向相同，所以，力F做正功，D對。

故A、C、D是正確的。

類型題：弄清求恒力做功的方法

【例題】如圖所示，均勻長直木板長Z=40cm，放在水平桌面上，

它的右端與桌邊相齊，木板質(zhì)量）=2kg與桌面間的摩擦因數(shù)〃=0.2，

今用水平推力F將其推下桌子，則水平推力至少做功為（）（g取

10/s2）

A?0.8JB-1.6JC-8JD-4J

★解析：將木板推下桌子即木塊的重心要通過桌子邊緣?水平推力

做的功至少等于克服滑動摩擦力做的功，

W==2g■|=O.2x2O與=O.8J。故A是正確的。

【例題】在光滑水平面上有一靜止的物體?，F(xiàn)以水平恒力甲推這一

物體，作用一段時間后，換成相反方向的水平恒力乙推這一物體，當(dāng)

恒力乙作用時間與恒力甲作用時間相同時，物體恰好回到原處*此時

物體的動能為32J則在整個過程中，恒力甲做的功等于J-

恒力乙做的功等于J。

★解析一：本題的條件是恒力甲與恒力乙的作用時間相同，而且物

休恰好回到原處。解題時要抓住這基木特征，運用牛頓運動定律和運

動學(xué)公式,只要得出恒力甲與恒力乙大小之間的關(guān)系就可求得它們做

功之間的關(guān)系。

解析：在恒力甲作用下，有與產(chǎn)

2m

在恒力乙作用下，有_$=（&?一2_里〃

m2tn

可解得二F?二3F\

所以，%=3%

把32J的動能分為4份?恒力甲做的功等于32J/4=8J,恒力乙做

的功等于24J。

★解析二：因位移大小相等?時間間隔又相等，所以兩階段運動的

平均速度大小必相等,

工=匕+（一匕）彳導(dǎo)

22

所以

即得昂=?=孝J=8J

由動能定理得，兩力做功分別為%=A4=8J

小結(jié)此題的結(jié)論是普遍適用的，恒力甲與恒力乙之比為1：3，做

功之比也為1:3，以后在電場的題中也會用到這個模型。

類型題：弄清求變力做功的幾種方法

功的計算在中學(xué)物理中占有十分重要的地位，中學(xué)階段所學(xué)的功的

計算公式W=FScosa只能用于恒力做功情況，對于變力做功的計算則

沒有一個固定公式可用.下面對變力做功問題進(jìn)行歸納總結(jié)如下：

1、等值法（轉(zhuǎn)化為恒力做功）

等值法即若某一變力的功和某一恒力的功相等，則可以通過計算該

恒力的功，求出該變力的功。而恒力做功又可以用候空COS3計算，

從而使問題變得簡單。

【例題】如圖，定滑輪至滑塊的高度為h,已知細(xì)繩的拉力為F（恒

定），滑塊沿水平面由A點前進(jìn)S至B點，滑塊在初、末位置時細(xì)繩

與水平方向夾角分別為c（和0。求滑塊由A點運動到B點過程中,繩

的拉力對滑塊所做的功。

★解析：設(shè)繩對物體的拉力為T，顯然人對繩的拉力F等于T。丁在

對物體做功的過程中大小雖然不變,但其方向時刻在改變,因此該問

題是變力做功的問題。但是在滑輪的質(zhì)量以及滑輪與繩間的摩擦不計

的情況下?人對繩做的功就等于繩的拉力對物體做的功。而拉力F的

大小和方向都不變?所以F做的功可以用公式“=氏0sd直接計算。

由圖1可知,在繩與水平面的夾角由a變到0的過程中，拉力F的作

用點的位移大小為：

2、微元法

當(dāng)物體在變力的作用下作曲線運動時，若力的方向與物體運動的切

線方向之間的夾角不變，且力與位移的方向同步變化，可用微元法將

曲線分成無限個小元段，每一小元段可認(rèn)為恒力做功，總功即為各個

小元段做功的代數(shù)和。

【例題】如圖所示，某力F=10N作用于半徑R=lm的轉(zhuǎn)盤的邊緣

上，力F的大小保持不變，但方向始終保持與作用點的切線方向一致，

則轉(zhuǎn)動一周這個力F做的總功應(yīng)為：

A、0J

C、10JD、20J

★解析：把圓周分成無限個小元段，每個小元段可認(rèn)為與力在司一

直線上，故AW=FAS?則轉(zhuǎn)一周中各個小元段做功的代數(shù)和為

W=Fx2TrR=10x2nJ=20nJ，故B正確。

3、平均力法

如果力的方向不變,力的大小對位移按線性規(guī)律變化時，可用力

的算術(shù)平均值(恒力)代替變力，利用功的定義式求功。

【例題】一輛汽車質(zhì)量為105kg?從靜止開始運動>其阻力為車重

3

的0.05倍。其牽引力的大小與車前進(jìn)的距離變化關(guān)系為F=10x+f0*

力是車所受的阻力。當(dāng)車前進(jìn)100m時，牽引力做的功是多少？

3

★解析：由于車的牽引力和位移的關(guān)系為F=10x+f0，是線性關(guān)系，

故前進(jìn)100m過程中的牽引力做的功可看作是平均牽引力尸所做的功。

由題意可知%=0.05*105乂1(^=5、104(\1，所以前進(jìn)100m過程中的

平均牽引力：

.-.W=Fs=lx105xl00J=lx107J。

【例題】邊長為a的立方木塊浮于水面，平衡時有一半露在水面。

現(xiàn)用力向下壓木塊使之緩慢地下降，直到立方塊上表面與水面齊平。

求在這一過程中壓力做的功，水的密度為p。

★解析：力的最小值為0?而上表面與z（面平齊時?壓力為僅g所以

平均力為駕力做的功為

2

卬=詈最而沖=外：所以

【例題】用鐵錘將一鐵釘擊入木塊?設(shè)木塊對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)

入木塊內(nèi)的深度成正比。在鐵錘擊第一次時,能把鐵釘擊入木塊為1

cm。問擊第二次時,能擊入多少深度？（設(shè)鐵錘每次做功相等）

★解析：考查對功概念的理解能力及理論聯(lián)系實際抽象建立模型的

能力。B級要求。

錯解分析:（1）不能據(jù)阻力與深度成正土這一特點，將變力求功轉(zhuǎn)

化為求平均阻力的切,進(jìn)行等效替代。（2）不能類比遷移-采用類似

據(jù)勻變速直線速度-時間圖象

求位移的方式，根據(jù)F-x圖象求功。

解題方法與技巧：解法一:（平均力法）

鐵錘每次做功都用來克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，

其大小與深度成正比，比例系數(shù)為K。

第一次擊入深度為Ai-平均阻力I二g班，做功為

“二［用二;媯2o

第二次擊入深度為M到質(zhì)平均阻力月=；《出+的）位移為熱-內(nèi)，

22

做功為1/1/2=瓦（X2-Xi）=；攵（A2-Ai）。

兩次做功相等：明二%。

解后有：狂收的=1.41cm，

△y=A2-Ai=0.41cm。

解法二：（圖象法）

因為阻力F二爪，以尸為縱坐標(biāo)，尸方向上的位移x為橫坐標(biāo)，作出

6x圖象（圖4-4）。曲線上面積的值等于尸對鐵釘做的功。

由于兩次做功相等，故有：

￡二S（面積＞即：

；面/=；攵（及+的）（至）,

所以△X=B-西=0.41cm

【例題】要把長為/的鐵釘釘入木板中?每打擊一次給予的能量為

E。，已知釘子在木板中遇到的阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比?比

例系數(shù)為k。問此釘子全部進(jìn)入木板需要打擊幾次？

★解析：在把釘子打入木板的過程中，釘子把得到的能量用來克服

阻力做功，而阻力與釘子進(jìn)入木板的深度成正比，先求出阻力的平均

值，便可求得阻力做的功。

釘子在整個過程中受到的平均阻力為：

釘子克服阻力做的功為

設(shè)全過程共打擊n次,則給予釘子的總能量：

所以〃=旦_

2E。

4、用動能定理求變力做功

動能定理表達(dá)式為必卜=此」其中均是所有外力做功的代數(shù)和，叱卜

是物體動能的增量。如果物體受到的除某個變力以外的其他力所做的

功均能求出,則用動能定理就可以求出這個變力所做的功。

【例題】如圖所示?質(zhì)量為m的小球用長L的細(xì)線懸掛而靜止在

豎直位置。在下列三種情況下，分別用水平拉力尸將小球拉到細(xì)線與

豎直方向成8角的位置。在此過程中，拉力尸做的功各是多少？

(1)用尸緩慢地拉；(2)尸為恒力；⑶若尸為恒力，而且拉到該位置時

小球的速度剛好為零?？晒┻x擇的答案有

A-FLcosOB-FLsin6>

C-FL（1-cos^）D?〃?gL（l-cos。）

★解析：⑴若用尸緩慢地拉，則顯然尸為變力，只能用動能定理求

解。尸做的功等于該過程克服重力做的功。選D

⑵若尸為恒力，則可以直接按定義求功。選B

⑶若尸為恒力，而且拉到該位置時小球的速度剛好為零，則按定義

直接求功和按動能定理求功都是正確的。選B、D

在第二種情況下，由FLsin。=〃-cos，）可以得到=上堊￡=田a,

，ngsin02

可見在擺角為，時小球的速度最大。實際上，因為F與7770的合力也是

2

恒力，而繩的拉力始終不做功，所以其效果相當(dāng)于一個擺，我們可以

把這樣的裝置叫做〃歪擺〃。

【例題】如圖所示，AB為1/4圓弧軌道，半徑為0.8m*BC是水

平軌道，長L=3m?BC處的摩擦系數(shù)為1/15，今有質(zhì)量m=lkg的物

體，自A點從靜止起下滑到C點剛好停止。求物體在軌道AB段所受

的阻力對物體做的功。

★解析：物體在從A滑到C的過程中，有重力、AB段的阻力、AC

段的摩擦力共三個力做功，重力做功?水平面上摩擦力做功?由于物

體在AB段受的阻力是變力，做的功不能直接求。根據(jù)動能定理可知：

W外二0，

所以m&R一即&L-WAD=0=6J

【例題】如圖所示，質(zhì)量m=1依的物體從軌道上的A點由靜止下滑，

軌道AB是彎曲的，且A點高出B點〃=。物體到達(dá)B點時的速度

為2〃?/s，求物體在該過程中克服摩擦力所做的功。

★解析：物體由A運動到B的過程中共受到三個力作用：重力G、

支持力弓和摩擦力，/。由于軌道是彎曲的，支持力和摩擦力均為變力。

但支持力時刻垂直于速度方向?故支持力不做功,因而該過程中只有

重力和摩擦力做功。

由動能定理叫其中

所以〃+

代入數(shù)據(jù)解得叼=-5.84J

【例題】如圖所示，某人通過一根跨過定滑輪的輕繩提升一個質(zhì)量

為m的重物，開始時人在滑輪的正下方?繩下端A點離滑輪的距離為

H。人由靜止拉著繩向右移動，當(dāng)繩下端至UB點位置時,人的速度為v，

繩與水平面夾角為0。問在這個過程中，人對重物做了多少功？

★解析：人移動時對繩的拉力不是恒力-重物不是做勻速運動也不

是做勻變速運動，故無法用W=Acos。求對重物做的功，需從動能定理

的角度來分析求解。

當(dāng)繩下端由A點移到B點時，重物上升的高度為：

重力做功的數(shù)值為：卬〃7加（1F用

Gsin6?

當(dāng)繩在B點實際水平速度為v時，v可以分解為沿繩斜向下的分速

度V.和繞定滑輪逆時針轉(zhuǎn)動的分速度％，其中沿繩斜向下的分速度V.和

重物上升速度的大小是一致的?從圖中可看出：匕=UCOS，

以重物為研究對象?根據(jù)動能定理得：

【例題】如圖所示?在水平放置的光滑板中心開一個小孔0,穿過

一細(xì)繩?繩的一端系住一個小球，另一端用力F拉著使小球在平板上

做半徑為r的勻速圓周運動，在運動過程，逐漸增大拉力，當(dāng)拉力增

大為8F時，球的運動半徑減為r/2?求在此過程中拉力所做的功

★解析：對于變力做功問題，如果能知道運動過程中初末狀態(tài)的動

能，都可利用動能定理求解。動能定理是一個適用面很廣的定理，凡

是涉及力對物體做功過程中動能的變化問題幾乎都能使用?不僅隹夠

解決恒力做功問題也適用于變力做功問題?這也正是動能定理廣泛應(yīng)

用于解決力學(xué)問題的優(yōu)點。答案:3Fr/2。

［例題】如圖所示，在長為L的輕桿中點A和端點B各固定一質(zhì)量

均為m的小球，桿可繞無摩擦的軸0轉(zhuǎn)動，使桿從水平位置無初速釋

放擺下。求當(dāng)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時，輕桿對A、B兩球分別做了多少功

y--o——o

QAB

■

★解析：錯解：由于桿的彈力總垂直于小球的運動方向，所以輕桿

對A、B兩球均不做功。

分析糾錯：設(shè)當(dāng)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時?A球和B球的速度分別為VA

和VB。如果把輕桿、地球、兩個小球構(gòu)成的系統(tǒng)作為研究對象，則由

于桿和小球的相互作用力做功總和等于零，故系統(tǒng)機械能守恒。若取B

的最低點為零重力勢能參考平面，可得：

又因A球?qū)球在各個時刻對應(yīng)的角速度相同?故%=2以

由以上二式得：%=嚼此=符?

根據(jù)動能定理，可解出桿對A、B做的功。對干A有

所以必=-0.2〃7gL

對于B有應(yīng)，所以

【例題】如圖4所示,質(zhì)量m=2kg的物體，從光滑斜面的頂端A

點以V°=5m/s的初速度滑下，在D點與強簧接觸并將彈簧壓縮到B

點時的速度為零，已知從A到B的豎直高度h=5m?求彈簧的彈力對

物體所做的功。

J

n

★解析：％=-125J

5、用W=Pt

利用此式可求出功率保持不變的情況下變力所做的功。

【例題】質(zhì)量為5t的汽車以恒定的輸出功率75kW在一條平直的

公路上由靜止開始行駛，在10s內(nèi)速度達(dá)到10m/s，求摩擦阻力在這

段時間內(nèi)所做的功。

★解析：汽車的功率不變，根據(jù)/〉=所知，隨著速度v的增大，牽

引力將變小，不能用求功，但已知汽車的功率恒定,所以牽引力

在這段時間內(nèi)所做的功

再由動能定理得：

25

所以叼=lwv-IV,.=-5X10J

6、用功能原理求變力做功

除系統(tǒng)內(nèi)重力和彈力以外的其他力對系統(tǒng)所做功的代數(shù)和等于系

統(tǒng)機械能的增量。若只有重力和彈力做功的系統(tǒng)內(nèi)，則機械能守恒（即

為機械能守恒定律）。

【例題】兩個底面積都是S的圓筒，放在同一水平面上，桶內(nèi)裝水，

水面高度分別為％而h2?如圖所示?已知水的密度為p。現(xiàn)把連接兩

桶的閥門打開?最后兩桶水面高度相等?則這過程中重力所做的功等

于

★解析：由于水是不可壓縮的，把連接兩桶的砌門打開到兩桶水面

高度相等的過程中,利用等效法把左管高手以上部分的水等效地移

至右管，如圖中的斜線所示。

T

1

最后用功能關(guān)系?重力所做的功等于重力勢能的減少量?所以重

力做的功

【例題】如圖所示，將一個質(zhì)量為m，長為a,寬為b的矩形物體

豎立起來的過程中，人至少需要做多少功？

\\

\\\、.

?、X

、\

\\

\\

分析：在人把物體豎立起來的過程中，人對物體的作用力的大小和

方向均未知，無法應(yīng)用W=&cosa求解。

該過程中，物體要經(jīng)歷圖4所示的狀態(tài)，當(dāng)矩形對角線豎直時,物

體重心高度最大，重心變化為：

由功能原理可知%=AE〃+NEk

當(dāng)A%=oB寸，w外最小，為：

7、用圖象法

在E-x圖象中，圖線和橫軸所圍成的面積即表示力所做的功。

【例題】放在地面上的木塊與一勁度系數(shù)Z=200N/機的輕彈簧相

連?，F(xiàn)用手水平拉彈簧，拉力的作用點移動玉=0.2,〃時，木塊開始運動，

繼續(xù)拉彈簧,木塊緩慢移動了々=04〃的位移,求上述過程中拉力所做

的功。

★解析：由題意作出尸-大圖象如圖3所示，在木塊運動之前,彈簧

彈力隨彈簧伸長量的變化是線性關(guān)系，木塊緩慢移動時彈簧彈力不變，

圖線與橫軸所圍梯形面積即為拉力所做的功。即

類型題：弄清滑輪系統(tǒng)拉力做功的計算方法

當(dāng)牽引動滑輪兩根細(xì)繩不平行時，但都是恒力,此時若將此二

力合成為一個恒力再計算這個恒力的功,則計算過程較復(fù)雜。但若

等效為兩個恒力功的代數(shù)和，將使計算過程變得非常簡便。

【例題】如圖所示，恒定的拉力大小F=8N，方向與水平線夾0=60。

角，拉著繩頭使物體沿水平面移動d=2m的過程中，拉力做了多少功？

〃萬7〃〃/〃〃〃〃///〃〃〃，、

★解析：如圖所示，隨著物體沿水平面前進(jìn)d=2m，繩頭從A點被

拉到B點，由此可見：拉F所作用的物體（繩頭）的位移S可由幾何

父系求得為

而力F與位移S間的夾角為。=30°

所以，這過程中拉F作用于繩頭所做的功為

解法二如圖6-5繩子張力大小為尸，但張力對物體做功包括沿F

方向的張力所做的功必和水平向右的張力所做的功W4?即

解法三如圖6-6，繩子對物體拉力的合力大小為2Fcos—，此合力做

2

的功為

【例題】如圖所示?在傾角為30。的斜面上，一條輕繩的一端固定

在斜面上，繩子跨過連在滑塊上的定滑輪?繩子另一端受到一個方向

總是豎直向上，大小恒為F=100N的拉力，使物塊沿斜面向上滑行

1m（滑輪右邊的繩子始終與斜面平行）的過程中，拉力F做的功是

（）

A-100JB?150J

C?200JD?條件不足，無法確定

★解析：拉力F做的功等效為圖8中Fi、F2兩個恒力所做功的代數(shù)

和。即W=FrS+F2Scos60°?而FI=F2=F=100N,所以

u

W=F-S(l+cos60°)=150JO即B選項正確

類型題：|求某力的平均功率和瞬時功率

【例題】質(zhì)量為m=0.5kg的物體從高處以水平的初速度V0=5m/s

拋出，在運動t=2s內(nèi)重力對物體做的功是多少？這2s內(nèi)重力對物體

做功的平均功率是多少？2s末，重力對物體做功的瞬時功率是多少？

(g取io”//)

★解析：t=2s內(nèi)，物體在豎直方向下落的高度

h=-gt2=-xl()x22=2()m?

22

所以有"%=mgh=0.5x10x20=100J,

平均功率尸=：=50W。

在t=2s末速度物體在豎直方向的分速度%=p=20而s，所以t=2s

末瞬時功率

P==100We

【例題】跳繩是一種健身運動。設(shè)某運動員的質(zhì)量是50kg，他一

分鐘跳繩180次。假定在每次跳躍中?腳與地面的接觸時間占跳躍一

次所需時間的2/5，則該運動員跳繩時克服重力做功的平均功率是

W(g取10m/s2)。

★解析:跳一次的時間是t0=60/180s=l/3s

人跳離地面作豎直上拋，到最高點時間為

112

t二—X—X(]——)5=0.15

235

此過程克服重力做功14/=〃?g(Lg/)=25W

跳繩時克服重力做功的平均功率

1W=75W

3

【例題】起重機的鋼索將重物由地面吊到空中某個高度?其速度圖

象如圖所示，則鋼索拉力的功率隨時間變化的圖象可能是圖中的哪一

個？

★解析：在0~b時間內(nèi)，重物加速上升，謖加速度為則據(jù)牛

頓第二定律可得鋼索的拉力Fi=mg+ma「速度Vt=ait?所以拉力的

功率為：

Pi=m(ai+g)ait;

在匕?t2時間內(nèi)，重物勻速上升，拉力F2=mg，速度為Vi=at-

所以拉力的功率為：P2=mgaiti。

在t2~t3時間內(nèi)?重物減速上升，設(shè)加速度大小為a2，則據(jù)牛頓第

二定律可得鋼索的拉力F2=mg-ma2，速度V2=a】ti，所以拉力的功率

0

為：Pi=m(g-a2)aiti

綜上所述，只有B選項正確

類型題：

【例題】汽車以恒定功率"由靜止出發(fā)?沿平直路面行駛，最大速

度為I/，則下列判斷正確的是(C)

A?汽車先做勻加速運動，最后做勻速運動

B?汽車先做加速度越來越大的加速運動，最后做勻速運動

C?汽車先做加速度越來越小的加速運動，最后做勻速運動

D?汽車先做加速運動，再做減速運動，最后做勻速運動

【例題】汽車發(fā)動機額定功率為60kW，汽車質(zhì)量為5.0xl()3kg.

汽車在水平路面行駛時.受到的阻力大小是車重的0.1倍?試求：汽

車保持額定功率從靜止出發(fā)后能達(dá)到的最大速度是多少？

★解析：汽車以恒定功率起動時，它的牽引力尸將隨速度1/的變化

而變化?其加速度d也隨之變化?

由此可得汽車速度達(dá)到最大時，a=0，

F=f=king

>n匕”=12m/s

P=FY”.kmg

小結(jié)：機車的速度達(dá)到最大時.一定是機車的加速度為零。弄清了

這一點?利用平衡條件就很容易求出機車的最大速度。

【例題】質(zhì)量為2t的農(nóng)用汽車，發(fā)動機額定功率為30kW，汽車

在水平路面行駛時能達(dá)到的最大時速為54km/h。若汽車以額定功率

從靜止開始加速，當(dāng)其速度達(dá)到v=36km/h時的瞬時加速度是多大?

★解析：汽車在水平路面行駛達(dá)到最大速度時牽引力F等于阻力f，

即Pm=fvm?而速度為v時的牽引力F=Pm/v?再利用F-f=ma＞可

以求得這時的a=0.50m/s2

【例題】汽車發(fā)動機額定功率為60kW?汽車質(zhì)量為5.0x103kg,

汽車在水平路面行駛時，受到的阻力大小是車重的0.1倍，試求：若

汽車從靜止開始?以0.5m/s2的加速度勻加速運動,則這一加速度能

維持多長時間？

★解析：要維持汽車加速度不變，就要維持其牽引力不變，汽車功

率將隨/增大而增大?當(dāng)戶達(dá)到額定功率戶額后，不能再增加，即汽

車就不可能再保持勻加速運動了。

所以,汽車達(dá)到最大速度之前已經(jīng)歷了兩個過程：勻加速和變加速?

勻加速過程能維持到汽車功率增加到戶額的時刻，設(shè)勻加速能達(dá)到最大

速度為笆?則此時

小結(jié)：機車勻加速度運動能維持多長時間，一定是機車功率達(dá)到額

定功率的時間。弄清了這一點?利用牛頓第二定律和運動學(xué)公式就很

容易求出機車勻加速度運動能維持的時間C

【例題】質(zhì)量4t的機車，發(fā)動機的最大輸出功率為lOOkW，運動

阻力恒為2x/0，N，試求；

(1)當(dāng)機車由靜止開始以0.5m/s2的加速度沿水平軌道做勻加速

直線運動的過程中，能達(dá)到的最大速度和達(dá)到該最大速度所需的時間。

(2)若機車保持額定功率不變行駛,能達(dá)到的最大速度以及速度

為10m/s時機車的加速度。

★解析：(1)Vm=25m/st=50s

2

(2)um=50/71/sa'=2rn/s

［例題】額定功率為80kW的汽車,在平直的公路上行駛的最大速

度是20m/s，汽車的質(zhì)量是2t，如果汽車從靜止開始做勻加速直線運

動，加速度的大小是2m/s2?運動過程中阻力不變。求：

(1)汽車受到的阻力多大？

(2)3s末汽車的瞬時功率多大？

(3)汽車維持與加速運動的時間是多少?

★解析：(1)當(dāng)汽車達(dá)最大速度時，加速度為零?牽引力的大小等

于阻力的大小，即

^=80X10^N=4X103N

匕〃20

(2)設(shè)汽車做勻加速運動時?需要的受引力為F\，有

F、-f=ma

所以Fi=f+ma=(4xio3+2xio3x2)N=8xio3N

3s末汽車的瞬時速度為均=6m/s

所以汽車在3s末的瞬時功率為烏二月6二8X103X6W二

48kW

(3)汽車做勻加速運動時?牽引力恒定，隨著車速的增大，汽車

的輸出功率增大.當(dāng)輸出功率等于額定功率時的速度是汽車做勻加速

運動的最大速度?設(shè)為彳-有

工迎黑m/s=10m/s

1F、8x10'

根據(jù)運動學(xué)公式?汽車維持勻加速運動的時間為

,=/=%=5s

a2

【例題】電動機通過一繩子吊起質(zhì)量為8kg的物體，繩的拉力不

能超過120N，電動機的功率不能超過1200W，要將此物體由靜止起

用最快的方式吊高90m(已知此物體在被吊高接近90m時，已開始

以最大速度勻速上升)所需時間為多少？

★解析：此題可以用機車起動類問題的思路,即將物體吊高分為兩

個過程處理：第一過程是以繩所能承受的最大拉力拉物體，使物體以

最大加速度勻加速上升，第一個過程結(jié)束時，電動機剛達(dá)到最大功率。

第二個過程是電動機一直以最大功率拉物體，拉力逐漸減小，當(dāng)拉力

等于重力時，物體開始勻速上升。

在勻加速運動過程中加速度為

120-8x10m/s2=5m/s2

m8

末速度%=匕L=%l=10m/s

%120

上升的時間&=上="s=2s?

a5

上升高度為h=^=^-=10m

la2x5

在功率恒定的過程中?最后勻速運動的速率為

l4=^L=A2222_i5m/s

Fmg=8x10=

外力對物體做的總功

w=匕八一"次〃2W=Pmt?-mgh?,

動能變化量為^EK=-mul--muf

由動能定理得

代入數(shù)據(jù)后解得「2=5.75s，所以

t=t]+%=7.75s所需時間至少為7.75S。

小結(jié)：機車運動的最大加速度是由機車的最大牽引力決定的?而最

大牽引力是由牽引物的強度決定的。弄清了這一點，利用牛頓第二定

律就很容易求出機車運動的最大勻加速度

類型題：用圖象法巧解機車功率問題

【例題】火車在何定功率下由靜止出發(fā)-沿水平軌道行駛，5min

后速度達(dá)到最大20m/s，若火車在運動過程中所受阻力大小恒定。則

該火車在這段時間內(nèi)行駛的距離:()

A?可能等于3kmB?一定大于3km

C?一定小于3kmD?無法確定

★解析：

火車由靜止出發(fā)保持功率不變，必定是一個加速度不斷減小的加速

運動，則圖象各點的斜率(即瞬時加速度)隨時間逐漸減小，其l，T圖

線為下圖曲線部分?且曲線為向上凸；而在對應(yīng)時間內(nèi)的勻加速運動

為斜直線，這段時間的位移$=必等〃z=30()()〃=3如?(畫阻影線面積)

一定要小于向上凸的曲線與時間軸圍成的面積。其圖線很直觀地表現(xiàn)

出它們的大小關(guān)系。所以選B。

【例題】完全相同的兩輛汽車，以相同速度在平直的公路上并排勻

速行駛，當(dāng)它們從車上輕推下質(zhì)量相同的物體后，甲車保持原來的牽

引力繼續(xù)前進(jìn)，乙車保持原來的功率繼續(xù)前進(jìn)，一段時間后：()

A?甲車超前B?乙車超前

C?仍齊頭并進(jìn)

D?先是甲車超前?后乙車超前

★解析：

如果考慮列式分析,恐難以解決的。則我們利用所熟悉的勻加速運

動和功率不變條件下的速度—時間圖象解決此題就十分方便了。兩輛

車以相同的速度并排行駛時，當(dāng)同時從兩輛車上輕推下質(zhì)量相同的物

體?它們所受阻力必定有所減小?使?fàn)恳Υ笥谧枇?，速度增大。?/p>

過此后,甲車保持原來的牽引力則做勻加速運動；乙車保持功率不變

（P=Fv-速度增大，則牽引力減?。┳黾铀俣仍絹碓叫〉募铀龠\動。

容易看出，它們的初速度一致，勻加速運動的圖線一定是功率不變的

加速運動圖線在零時刻的切線，很明顯乙曲線與時間軸圍成的面積小

于甲圖線與時間軸圍成的面積，即相同時間內(nèi)乙的位移小于甲的位移。

故甲車一定超前乙車，所以本題應(yīng)選A

第二模塊：動能和動能定理

『夯實基礎(chǔ)知識』

—、動能

1、概念：動能概念的理解：物體由于運動而具有的能叫動能，

2'達(dá)式為：E=—mv2

k2

3、狀態(tài)量：和動量一樣，動能也是用以描述機械運動的狀態(tài)的狀

態(tài)量。只是動量是從機械運動出發(fā)量化機械運動的狀態(tài),動量確定的

物體決定著它克服一定的阻力還能運動多久；動能則是從機械運動與

其它運動的關(guān)系出發(fā)量化機械運動的狀態(tài)，動能確定的物體決定著它

克服一定的阻力還能運動多遠(yuǎn)。

4、標(biāo)量

5、單位：焦耳（J）

二、動能定理：

1、推導(dǎo)：動能定理實際上是在牛頓第二定律的基礎(chǔ)上對空間累積

而得：在牛頓第二定律F=〃以兩端同乘以合外力方向上的位移s-即可

得

2、表述：外力所做的總功等物體動能的變化量W=AEK（這里的合

外力指物體受到的所有外力的合力，包括重力）

、動能定理表達(dá)式：

3w,r=EK2-EK}=\EK

式中明是指合外力對物體所做的功的代數(shù)和，它可以是合外力做

的功，也可以是各外力做的總功；既可以是幾個外力同時做的功的代

數(shù)和，也可以是各外力在不同時間內(nèi)做功的累積；即可以是恒力做功，

也可以是變力做功。式中△”是物體動能增量。

動能定理也可以表述為：外力對物體做的總功等于物體動能的變

化。實際應(yīng)用時，后一種表述比較好操作。不必求合力，特別是在全

過程的各個階段受力有變化的情況下，只要把各個力在各個階段所做

的功都按照代數(shù)和加起來?就可以得到總功

和動量定理相似?動能定理也建立起過程量（功）與狀態(tài)量（動能）

變化間的關(guān)系，利用這一關(guān)系?也可以通過比較狀態(tài)達(dá)到了解過程之

目的。

功和動能都是標(biāo)量，動能定理表達(dá)式是一個標(biāo)量式，不能在某一個

方向上應(yīng)用動能定理

4、理解動能定理的另一種形式，〃生熱議程〃也叫系統(tǒng)動能定理

（1）內(nèi)容：摩擦力在物體間相對滑動時所做的功，即摩擦力與相

對位移之積等于系統(tǒng)動能的變化

（2）表達(dá)式：尸As=昂-Ek2

5、運用動能定理解題的關(guān)鍵：分析受力（周圍物體施予研究對象

的所有的力）及各力做功的情況?受哪些力？每個力是否做功？在哪

段位移過程中做功？正功？負(fù)功？做多少功？

6、技巧：應(yīng)用動能定理解多過程問題時可把多過程看成整體列方

程?更簡便。對于多過程、多階段問題?常?？梢杂枚喾N做法：

①分階段列方程；

②對整個過程列方程（