高考物理-圓周運(yùn)動(dòng)-全總結(jié)

高考物理?圓周運(yùn)動(dòng)?必考點(diǎn)全總結(jié)

一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)、角速度、線速度、向心加速度(I)

1.描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量

常用的有：線速度、角速度、周期、轉(zhuǎn)速、向心加速度等.具體

比較見(jiàn)下表：

定義及意義公式及單位

(1)描述做圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)抉，八Al2nr

線速慢的物理量(0)⑴。一加一T

度(2)是矢量，方向和半徑垂直，為

⑵單位：m/s

圓周切線方向

定義及意義公式及單位

(1)描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理小A827r

角速度量?)T

(2)是矢量，但中學(xué)不研究其方向Q)單位：rad/s

⑴描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量⑴7=四=空

周期和⑵周期是物體沿圓周運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間

轉(zhuǎn)速⑺(2)〃的單位玲_或

(3)轉(zhuǎn)速是物體單位時(shí)間轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)(〃)r/min

(1)描述線速度方向變化快慢的物理V2

向心加2

量⑷

速度2

(2)方向指向圓心(2)單位：m/s

定義及意義公式及單位

(\}v=r(o=-r=2nrf

v2,47i2r2

(2)a——r(o—(t)v—y2—4^27r

相互關(guān)系r

(3)F=m~=niro)"==nuov

=^nifr

問(wèn)題探究1從0=~看，好像〃與r成反比；從a看好像Q與r

成正比，那么。的大小與半徑成正比還是反比？應(yīng)如何回答？

I提示I兩式都不是向心加速度的決定式，只是用來(lái)計(jì)算大小的

計(jì)算式，應(yīng)描述在。一定時(shí)，〃與r成反比；在“一定時(shí)，〃與/?成正比.

問(wèn)題探究2為什么說(shuō)勻速圓周運(yùn)動(dòng)并不勻速？

［提示］勻速圓周運(yùn)動(dòng)只是速度大小不變，而速度方向時(shí)刻變化,

故為變速運(yùn)動(dòng).

三、離心現(xiàn)象(I)

離心運(yùn)動(dòng)

1.本質(zhì)：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切

線方向飛出去的傾向.

2.受力特點(diǎn)(如右圖所不)

(1)當(dāng)/="足時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；

(2)當(dāng)尸=0時(shí)，物體沿切線方向飛出:

(3)當(dāng)人迦應(yīng)時(shí)，物體逐漸遠(yuǎn)離圓心，產(chǎn)為實(shí)際提供的向心力.

(4)當(dāng)時(shí)，物體逐漸向圓心靠近.尸o

F<mra)'\

F

F=mr心

屈圖的圈胴

(1)物體做離心運(yùn)動(dòng)不是物體受到所謂離心力作用，而是物體慣性

的表現(xiàn).

(2)物體做離心運(yùn)動(dòng)時(shí)，并非沿半徑方向飛出，而是運(yùn)動(dòng)半徑越來(lái)

越大或沿切線方向飛出.

要點(diǎn)一向心力的來(lái)源及確定方法

L向心力的來(lái)源

向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力、

磁場(chǎng)力或電場(chǎng)力等各種力，也可以是幾個(gè)力的合力或某一個(gè)力的分力,

因此在受力分析中要避免再另外添加一個(gè)“向心力”.

2.向心力的確定

首先確定圓周運(yùn)動(dòng)的軌道所在的平面；其次找出軌道圓心的位置;

然后分析做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的力，并作出受力圖，最后找出這些力

指向圓心的合力就是向心力.

例如：沿半球形碗的光滑內(nèi)表面，一小球在水平面上做勻速圓周

運(yùn)動(dòng)，如右圖所示.小球做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在與小球同一水平面上的O,

點(diǎn)，不在球心。也不在彈力尸N所指的尸。線上.

氐圖則唱圖

圓周運(yùn)動(dòng)的向心力一定是沿半徑指向圓心的合外力.若沿切線方

向合力等于零，則物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，否則，物體做非勻速圓周運(yùn)

動(dòng).

＞即學(xué)即用1

如右圖所示，一小球用細(xì)繩懸掛于。點(diǎn)，將其拉離豎直位置一個(gè)

角度后釋放，則小球以。點(diǎn)為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中小球所需的向心

力是（）

A.繩的拉力

B.重力和繩的拉力的合力

C.重力和繩的拉力的合力沿繩方向的分力

D.繩的拉力和重力沿繩方向分力的合力

I解析I分析向心力來(lái)源時(shí)就沿著半徑方向求合力即可，注意作

出正確的受力分析圖.如下圖所示，對(duì)小球進(jìn)行受力分析，它受到重力

和繩子的拉力作用，向心力是指向圓心方向的合力.因此，它可以是小

球所受合力沿繩方向的分力，也可以是各力沿繩方向的分力的合力.

mg

借案］CD

要點(diǎn)二在傳動(dòng)裝置中各物理量之間的關(guān)系

在分析傳動(dòng)裝置的各物埋量時(shí)，要抓住不等量和相等量的關(guān)系，

表現(xiàn)為：

1.同一轉(zhuǎn)軸的各點(diǎn)角速度”相同，而線速度。與半徑『成正

比，向心加速度大小。=，”2與半徑成正比.

2.當(dāng)皮帶不打滑時(shí)，傳動(dòng)皮帶、用皮帶連接的兩輪邊沿上的各點(diǎn)

線速度大小相等，而角速度”=￡與半徑/?成反比，向心加速度大小。=

；與半徑/?成反比.

0圖畫(huà)置圖

采用齒輪傳動(dòng)時(shí)，兩輪邊沿的線速度大小相等，齒數(shù)與半徑成正

比，角速度與齒數(shù)成反比.

＞即學(xué)即用2

（2011?貴州崇文中學(xué)10月月考）如下圖是一種“滾輪——平盤(pán)無(wú)極

變速器”示意圖，它由固定于主動(dòng)軸上的平盤(pán)卻可隨從動(dòng)軸移動(dòng)的圓柱

形滾輪組成,由于摩擦作用，當(dāng)平盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滾輪就會(huì)跟隨轉(zhuǎn)動(dòng)，如果

認(rèn)為滾輪不會(huì)打滑，那么，主動(dòng)軸轉(zhuǎn)速修、從動(dòng)軸轉(zhuǎn)速〃2、滾輪半徑，

以及滾輪距離主動(dòng)軸中心的距離x之間的關(guān)系是（）

I解析］由于平盤(pán)和滾輪接觸處的線速度大小相等，所以2kM=

2nn2r9即〃2=吟所以選項(xiàng)A正確.

［答案IA

要點(diǎn)三生活中的圓周運(yùn)動(dòng)

1.火車(chē)轉(zhuǎn)彎問(wèn)題

在平直軌道上勻速行駛的火車(chē)，所受合力為零，在火車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)，

什么力提供向心力呢？在火車(chē)轉(zhuǎn)彎處，讓外軌高于內(nèi)軌，如右圖所示，

轉(zhuǎn)彎時(shí)所需向心力由重力和彈力的合力提供.若軌道水平，轉(zhuǎn)彎時(shí)所需

向心力應(yīng)由外軌對(duì)車(chē)輪的擠壓力提供，而這樣對(duì)車(chē)軌會(huì)造成損壞.車(chē)速

大時(shí)，容易出事故.設(shè)車(chē)軌間距為3兩軌高度差為小車(chē)轉(zhuǎn)彎半徑為幾

質(zhì)量為M的火車(chē)運(yùn)行時(shí)應(yīng)當(dāng)有多大的速度？

根據(jù)三角形邊角關(guān)系知sinO=%

對(duì)火車(chē)的受力情況分析如圖所示，

得匕血=卷?

因?yàn)椤ń呛苄?，所以sinO^tanO,故石=福，所以向心力/

又因?yàn)槭?等，所以車(chē)速彩=\產(chǎn)符.

KL

由于鐵軌建成后/，、L./?各量都是確定的，故火車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)的車(chē)速

應(yīng)是一個(gè)定值，否則將對(duì)鐵軌有不利影響，如：

情況跺

合力尸與鼻:的關(guān)系萬(wàn)〈尸向Q尸向

不利影響火車(chē)擠壓外軌火車(chē)擠壓內(nèi)軌

外軌對(duì)車(chē)輪的彈內(nèi)軌對(duì)車(chē)輪的彈力抵消部分合

結(jié)果

力補(bǔ)充"向心力力

2.靜摩擦力作用下的圓周運(yùn)動(dòng)

靜摩擦力的特點(diǎn)是根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)改變大小，變換方向.有人把靜

摩擦力的這一特點(diǎn)稱為“適應(yīng)性”.由于靜摩擦力這一特點(diǎn)的存在導(dǎo)致

在許多問(wèn)題中出現(xiàn)了臨界問(wèn)題.

處理這類問(wèn)題的關(guān)鍵是分析出靜摩擦力的變化，從而結(jié)合其他力

分析出向心力的變化，以確定圓周運(yùn)動(dòng)的其他物理量的變化.

＞即學(xué)即用3

在用高級(jí)瀝青鋪設(shè)的高速公路上，汽車(chē)的設(shè)計(jì)時(shí)速是108km/h.汽

車(chē)在這種路面上行駛時(shí)，它的輪胎與地面間的最大靜摩擦力為車(chē)重的0.

6倍.取g=10m/§2,試問(wèn)：汽車(chē)在這種高速公路的水平彎道上安全拐彎時(shí),

其彎道的最小半徑是多少？

［解析］汽車(chē)在水平彎道上拐彎時(shí)，向心力由靜摩擦力來(lái)提供，但

不能超過(guò)最大靜摩擦力；

汽車(chē)在水平路面上拐彎，可視為汽車(chē)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，恰好不滑

一

動(dòng)時(shí)有：將。=30m/§代入，得最小彎道半徑/*=150m.

I答案I150nl

題型一圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題

S圄則園口

圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，本質(zhì)仍是研究力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，是牛頓

定律在曲線運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用，圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，關(guān)鍵是分析向心力

的來(lái)源，即由什么力來(lái)充當(dāng)向心力這個(gè)角色，在不同問(wèn)題中不同，需要

具體分析，但要注意無(wú)論是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，還是非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，向心

力和向心加速度關(guān)系仍符合牛頓第二定律，即

2

Fn=man=ttt(or=r=nr~^~

解決圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的主要步驟

(1)審清題意，確定研究對(duì)象；

(2)分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，即物體的線速度、角速度、周期、軌道

平面、圓心、半徑等；

(3)分析物體的受力情況，畫(huà)出受力示意圖，確定向心力的來(lái)源；

(4)根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律及向心力公式列方程；當(dāng)采用正交分解法時(shí),

常常以做圓周運(yùn)動(dòng)的物體為坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)坐標(biāo)軸沿半徑指向圓心.

(5)求解、討論.

例1如圖所示，一個(gè)豎直放置的圓錐筒可繞其中心軸00,轉(zhuǎn)動(dòng)，

筒內(nèi)壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為K和〃，筒內(nèi)壁力點(diǎn)的高度為筒高的

一半.內(nèi)壁上有一質(zhì)量為膽的小物塊.求

(1)當(dāng)筒不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物塊靜止在筒壁片點(diǎn)受到的摩擦力和支持力的

大小；

(2)當(dāng)物塊在力點(diǎn)隨筒勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其受到的摩擦力為零時(shí)，筒轉(zhuǎn)

動(dòng)的角速度.

［思路誘導(dǎo)I對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，分別根據(jù)共點(diǎn)力平衡和圓周

運(yùn)動(dòng)所需向心力利用正交分解列方程求解.

［嘗試解答I(1)物塊靜止時(shí)，對(duì)物塊進(jìn)行受力分析如右圖所示，

設(shè)筒壁與水平面的夾角為〃.

由平衡條件有

Ff=mgsinff=〃唁co§〃

由圖中幾何關(guān)系有

AR?AH

2訴W2誦調(diào)

出七口ntgH_jn火R

故有廣\尸+“2，、-\我+“2

(2份析此時(shí)物塊受力如右圖所示,

〃igtan〃=mrw1

八HR

其中tanO=R,r=j,

可得

，叫R

借案］(1)⑵噌

\H2+R2\IH2+R2

解答有關(guān)圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，首先必須做好關(guān)鍵的幾步：（1）對(duì)研究

對(duì)象受力分析，確定好向心力的來(lái)源.（2）確定圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡和半

徑.（3）應(yīng)用相關(guān)的力學(xué)規(guī)律列方程求解.

＞變式訓(xùn)練1

（2011?湖南南縣一中第二次月考）如右圖所示，輕線一端系一質(zhì)量

為股的小球，另一端穿過(guò)光滑小孔套在正下方的圖釘力上，此時(shí)小球在

光滑的水平平臺(tái)上做半徑為〃、角速度為0的勻速圓周運(yùn)動(dòng).現(xiàn)拔掉圖釘

力讓小球飛出，此后細(xì)繩又被/正上方距力高為〃的圖釘6套住，達(dá)穩(wěn)定

后，小球又在平臺(tái)上做勻速圓周運(yùn)動(dòng),求：

（1）圖釘力拔掉前，輕線對(duì)小球的拉力大??？

（2）從拔掉圖釘力到被圖釘8套住前小球做什么運(yùn)動(dòng)？所用的時(shí)間為

（3）小球最后做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度.

A

|解析|⑴圖釘力拔掉前，輕線的拉力大小為r=〃7療〃.

(2)小球沿切線方向飛出做勻速直線運(yùn)動(dòng)，直到線環(huán)被圖釘8套

住，小球速度為勻速運(yùn)動(dòng)的位移S=y(a+〃)2—/=\易而方

2

(如.圖)，則r—時(shí)間，=言5=\七2a言h-\一-h?

(3)?？煞纸鉃榍邢蛩俣刃『头ㄏ蛩俣惹?，繩被拉緊后。2=0,小球

以速度小做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑r="+瓦由。工儂，得

V\a2(t)

=：=(〃+%)2

［答案］(\)T=m(o2a(2)做勻速直線運(yùn)動(dòng)(3)(；Q

題型二豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

豎直平面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)常出現(xiàn)臨界狀態(tài)，變速圓周運(yùn)動(dòng)

的臨界問(wèn)題仍是研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.物體是做圓周運(yùn)動(dòng)，還是做近心運(yùn)動(dòng),

還是離心運(yùn)動(dòng)，取決于物體所受的外力尸（我們可以稱其為所提供的向心

力/供），與物體做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量與向心加速度的積〃（我們可稱其為

所需的向心力產(chǎn)需）的關(guān)系如何：如果產(chǎn)供〉產(chǎn)需（供大于求）則物體做近心運(yùn)

動(dòng)，如果/供=產(chǎn)需（供求相當(dāng)）則物體恰能做圓周運(yùn)動(dòng)，尸供V曝（供不應(yīng)求）

則物體做離心運(yùn)動(dòng)，此類問(wèn)題多以討論最高點(diǎn)時(shí)的情況，下面具體分析

幾種情況：

輕繩模型輕桿模型

EC??

常見(jiàn)

類型

均是沒(méi)有支撐物的小球均是有支撐物的小球

高

過(guò)

最

點(diǎn)

臨

的

卻由〃陪=說(shuō);得時(shí)=\好。臨=。

條

件

一

輕繩模型輕桿模型

(1)當(dāng)u=0時(shí)，F(xiàn)、=mg，F(xiàn)N為支持力,沿

(1)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，u2Vgr,半徑背離圓心

v2、1—v2

討F+mg=m下,繩、軌道對(duì)(2)當(dāng)Ov0v7gr時(shí)，一仆+m~,F、

論

球產(chǎn)生彈力產(chǎn)背離圓心并隨&的增大而減小

分

(2)v<\'gr不能過(guò)最高點(diǎn)，(3)當(dāng)?=礪時(shí)樂(lè)=0

析

在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)

(4)當(dāng)琰>\好時(shí)，&+"=〃?；，尸、指向

脫離了圓軌道

圓心并隨。的增大而增大

⑴繩模型和桿模型過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件不同，其原因是繩不能有支撐

說(shuō)力,而桿可有支撐力.

明(2)對(duì)于桿模型，在最高點(diǎn)時(shí)，如果不知是支撐力還是拉力，此時(shí)可假

設(shè)，然后根據(jù)其方向再確定.

例2如右圖所示，質(zhì)量為/〃的小球置于方形的光滑盒子中，盒子

的邊長(zhǎng)略大于小球的直徑.某同學(xué)拿著該盒子在豎直平面內(nèi)以O(shè)點(diǎn)為圓

心做半徑為K的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g,空氣阻力不

計(jì).求：

（1）若要使盒子運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)與小球之間恰好無(wú)作用力，則該同

學(xué)拿著盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為多少？

（2）若該同學(xué)拿著盒子以第⑴問(wèn)中周期的!做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)

盒子運(yùn)動(dòng)到如圖所示（球心與。點(diǎn)位于同一水平面上）時(shí)，小球?qū)凶拥?/p>

哪些面有作用力，作用力大小分別為多少？不、

om

R

［思路誘導(dǎo)ImR（年產(chǎn)一周期To-T'

盒子對(duì)小球

F'向=〃求（下一）2小球?qū)凶拥淖饔昧?/p>

的作用力

［嘗試解答I⑴設(shè)盒子的運(yùn)動(dòng)周期為，0.因?yàn)樵谧罡唿c(diǎn)時(shí)盒子與小

球之間剛好無(wú)作用力，因此小球僅受重力作用，由重力提供向心力，

根據(jù)牛頓第二定律得〃琢=〃求亭）2

解之得，0=2小

(2)設(shè)此時(shí)盒子的運(yùn)動(dòng)周期為r,則小球的向心加速度為。。=骨

由第⑴問(wèn)知，0=27\/5且r=?

由上述三式知。0=依

設(shè)小球受盒子右側(cè)面的作用力為死受上側(cè)面的作用力為小，根據(jù)

牛頓運(yùn)動(dòng)定律知

在水平方向上尸=〃"。即/=4〃喑

在豎直方向上尸、+，，鴛=0即尸N=一"售

因?yàn)槔?、尺為?fù)值，由牛頓第三定律知小球?qū)凶拥挠覀?cè)面

和下側(cè)面有作用力，大小分別為4/叫和［叫.

借案］⑴酎(2)小球?qū)凶拥挠覀?cè)面和下側(cè)面有作用

力，大小分另I」為4〃唱和〃好

氐園局應(yīng)國(guó)

在判斷盒子對(duì)小球的作用力的大小和方向時(shí)，可以首先做出假設(shè),

然后應(yīng)用牛頓第二定律列式求解，最后根據(jù)結(jié)果的符號(hào)判斷力的真實(shí)方

向.

>變式訓(xùn)練2

如右圖所示，長(zhǎng)度L=0.50m的輕質(zhì)桿。，，力端固定一個(gè)質(zhì)量為股

=3.0kg的小球，小球以O(shè)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).通過(guò)最高

點(diǎn)時(shí)小球的速率是2.0g取10m/C,則此時(shí)輕桿。1()

A.受到6.0N的拉力

B.受到6.0N的壓力

C.受到24N的拉力

D.受到54N的壓力

I解析］設(shè)桿轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)球恰好對(duì)桿的作用力為零時(shí)，球的速度為

%則有何『吟，其中K=0.50m,則。=\.=\行m/s,因?yàn)?、?/p>

V2

m/s>2m/s,所以桿受到壓力作用.對(duì)小球有"長(zhǎng)一尸、=〃仄，所以尸N=

&2202

=3.0X10N-3.0XTTYN=6N.故選項(xiàng)B正確.

KU?>

［答案IB

題型三水平面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

建議在有臨界問(wèn)題存在的或不知是否出現(xiàn)臨界問(wèn)題時(shí)，先假定物

體以較小的轉(zhuǎn)速運(yùn)動(dòng)，分析各力的變化，或在已知速度如何變化（確定

需要的向心力如何變化）的同時(shí)，分析外界實(shí)際提供的向心力如何變化.

通過(guò)分析即可確定臨界條件.

總之，在分析圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，一邊考慮提供的向心力如何變，

一邊考慮需要的向心力如何變化.把思維的關(guān)注點(diǎn)放在“變化”二字上.

再?gòu)?fù)雜的圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題都可迎刃而解.

例3（18分）（2011?豫南九校聯(lián)考）如圖甲所示，用一根長(zhǎng)為/=1m

的細(xì)線，一端系一質(zhì)量為帆=1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），另一端固定在

一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角〃=37。，當(dāng)小球在水平面內(nèi)

繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為“時(shí)，細(xì)線和張力為。（取g=10

m/s2＞結(jié)果可用根式表示）求：

（1）若要小球離開(kāi)錐面，則小球的角速度為至少為多大？

（2）若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°,則小球的角速度”為多大？

（3）細(xì)線的張力嗚小球勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度”有關(guān)，請(qǐng)?jiān)谌鐖D乙所示

的坐標(biāo)紙上畫(huà)出當(dāng)”的取值范圍在0到”之間時(shí)的丁一〃圖像（要求標(biāo)明

關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)值）.

［思路誘導(dǎo)］由題意知，小球的角速度的變化是引起細(xì)線張力變

化的罪魁禍?zhǔn)?，因此要?duì)小球的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分段討論，而分段討論時(shí)找到

各個(gè)分段的臨界值是解題的關(guān)鍵.

［解題樣板I⑴若要小球剛好離開(kāi)錐面，則小球受到重力和細(xì)線

拉力.小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓在水平面上，故向心力水平，在

水平方向運(yùn)用牛頓第二定律及向心力公式：Q分）

解得：布=意^,即3='位rad/§.（l分）

（2）同理，當(dāng)細(xì)線與豎直方向成60。角時(shí)，由牛頓第二定律及向心力

公式：（2分）

解得“'/Ct即/=\扁=①「辿§.（1分）

（3）當(dāng)"=0時(shí)，r=/Hgco§〃=8N（1分）

標(biāo)出第一個(gè)特殊點(diǎn)坐標(biāo)（1分）

當(dāng)0<ro<\12.5rad/§時(shí)

水平方向由牛頓第二定律及向心力公式：

八in。一NcosO=〃〃J/sin0（l分）

豎直方向由平衡條件知：（1分）

9

解得：T=,〃/cosO+tnl（o2sin23=8+涯”2（］分）

故當(dāng)回=yilMrad/s時(shí)，T=12.5N

標(biāo)出第二個(gè)特殊點(diǎn)坐標(biāo)（1分）

當(dāng)\125rad/s《coW\20瓶（1/§時(shí)，小球離開(kāi)錐面，設(shè)細(xì)線與豎直方

向夾角為“

Tsin"=〃〃J/sin就1分）

解得：r=分）

當(dāng)/=?/=\/20rad/s時(shí)，f=20N

標(biāo)出第三個(gè)特殊點(diǎn)坐標(biāo)_______（1分）

畫(huà)出丁一蘇圖象如圖所示,（3分）.

7

7——

12.5二二三二二二工二二二二二二二二

O*2.520a?/(rad/s)2

［答案］(\)rn^nO=mcoo/sin^(2)ni^na=nut)'2/since(3)(0,8)

Tcos〃+NsinO=〃唁(12.5,12.5)(20,20)

＞變式訓(xùn)練3

如右圖所示，一個(gè)豎直放置的圓錐筒可繞其中心00,轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)

壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為A和〃，筒內(nèi)壁/點(diǎn)的高度為筒高的一

半.內(nèi)壁上有一質(zhì)量為〃，的小物塊隨圓錐筒一起做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則下列說(shuō)

法正確的是（）

A.小物塊所受合外力指向。點(diǎn)VivI

B.當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度"‘號(hào)”時(shí)，小物塊不受摩擦力作用y□

C.當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度呼”時(shí)，小物塊受摩擦力沿力。方向

D.當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度/V學(xué)時(shí)，小物塊受摩擦力沿力。方向

I解析I勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體所受合外力提供向心力，指向物體圓周

運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，A項(xiàng)錯(cuò)；當(dāng)小物塊在力點(diǎn)隨圓錐筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且其

所受到的摩擦力為零時(shí)，小物塊在筒壁＜點(diǎn)時(shí)受到重力和支持力的作

用，它們的合力提供向心力，設(shè)筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為“，有：，〃貝an〃=

娉,由幾何關(guān)系得：tanO=1,聯(lián)立以上各式解得“=那"，B項(xiàng)

LKK

正確；當(dāng)角速度變大時(shí)，小物塊所需向心力增大，故摩擦力沿力。方

向，其水平方向分力提供部分向心力，C項(xiàng)正確；當(dāng)角速度變小時(shí)，小

物塊所需向心力減小，故摩擦力沿。力方向，抵消部分支持力的水平分

力，D項(xiàng)錯(cuò).

借案］BC

易錯(cuò)點(diǎn)1：不能建立勻速圓周運(yùn)動(dòng)的模型

典例1

質(zhì)量為遍飛機(jī)以恒定速率。在空中水平盤(pán)旋(如圖所示)，其做勻

速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為名重力加速度為0則此時(shí)空氣對(duì)飛機(jī)的作用力大

小為()

V

|易錯(cuò)分析］本題錯(cuò)誤的原因：一是不能正確建立飛機(jī)運(yùn)動(dòng)的模型

（實(shí)質(zhì)上是圓錐擺模型），錯(cuò)誤地認(rèn)為飛機(jī)沿傾斜圓軌道做勻速圓周運(yùn)

--Zdh

動(dòng)，受力情況示意圖如圖所示，得出尸=7（〃轡）2一邦=利n2,值

選D,二是對(duì)飛機(jī)受力情況分析錯(cuò)誤，錯(cuò)誤地認(rèn)為空氣對(duì)飛機(jī)的作用力

就是向心力而錯(cuò)選A.：\

...?…

O:<

［正確解答I飛機(jī)在空中水平盤(pán)旋時(shí)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

受到重力和空氣的作用力兩個(gè)力的作用，其合力提供向心力先=，〃1.

飛機(jī)受力情況示意如圖所示，根據(jù)勾股定理得：尸=5）2+忠=

?答案為C.

mg'

氐回同向國(guó)

圓周運(yùn)動(dòng)的分析是牛頓第二定律運(yùn)用的進(jìn)一步延伸，在分析時(shí)要

從兩方面展開(kāi)：①分析受力情況，選擇指向圓心方向?yàn)檎较?，在指?/p>

圓心方向上求合外力；②分析運(yùn)動(dòng)情況，看物體做哪種性質(zhì)的圓周運(yùn)動(dòng)

（勻速圓周運(yùn)動(dòng)還是變速圓周運(yùn)動(dòng)），確定圓心和半徑，然后將牛頓第二

定律和向心力公式相結(jié)合列方程求解.此外要注意建立和整合模型，如

本題與火車(chē)轉(zhuǎn)彎、高速路上的汽車(chē)轉(zhuǎn)彎、在漏斗形容器內(nèi)物體的運(yùn)動(dòng)等

都屬于圓錐擺模型，同屬于水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng).

＞糾錯(cuò)補(bǔ)練1

為確保行車(chē)安全，在高速公路的不同路段都會(huì)豎有限速指示

牌.若有一段直行連接彎道的路段，其彎道半徑K為60m,彎道路面的

傾斜角度〃為5。，最大靜摩擦力為壓力的〃=0?37倍,假定直行路段的

限速為120km/h,限速指示牌的可見(jiàn)視野為100m,駕駛員的操作反應(yīng)

時(shí)間為2s,為保持平衡減速，限定最大減速加速度為2.5m/s2.已知tan5

°=0.087,g=10m/s2,試計(jì)算：

(1)指示牌應(yīng)標(biāo)注的限速.

(2)至少應(yīng)該在彎道前多少距離處設(shè)置限速指示牌.

［解析］(1)彎道最高車(chē)速時(shí)受力如圖所示，則

/叫+fiinO=F\cos。

v2

F.v§in〃+fcosO=nr^

聯(lián)立解得：16.8m/s=60.48km/h

即指示牌應(yīng)標(biāo)注的限速為60km/h.

(2)直行路段的限速也=120km/h=33.3m/s

Vi=60km/h=16.7m/s

減速距離由詔一環(huán)=2as求得：$=166m

人反應(yīng)時(shí)間內(nèi)車(chē)通過(guò)的距離：/=力，=66.601

設(shè)置限速牌的距離：s+/—100m=132.6m

至少應(yīng)該在彎道前133m的距離處設(shè)置限速指示牌.

［答案］⑴60km/h(2)133m

易錯(cuò)點(diǎn)2：忽視臨界條件或?qū)ο蛐牧?lái)源分析不充分

典例2

如圖所示，小球被長(zhǎng)為￡的細(xì)繩靜止地懸掛著，給小球多大的水平

初速度，才能使繩在小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終繃緊？

—0

［易錯(cuò)分析］錯(cuò)解1只考慮小球運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)繩不松弛得出

VoN\扇L；或者只考慮運(yùn)動(dòng)高度不超過(guò)懸點(diǎn)得出。源的結(jié)論.

錯(cuò)解2錯(cuò)誤地認(rèn)為小球做圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)最高點(diǎn)的速度是0而得出

錯(cuò)誤結(jié)論，得出列27項(xiàng).

錯(cuò)解3做題不細(xì)致，把速度范圍寫(xiě)成、此為繩

松弛的條件.

［正確解答I在小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中繩始終繃緊，有兩種情況：

(1)小球能通過(guò)最高點(diǎn)，做完整的圓周運(yùn)動(dòng).此時(shí)小球在最高點(diǎn)有

最小速度0=\記，設(shè)最低點(diǎn)的速度為白，則曰機(jī)械能守恒定律有1*

+2mgL

滿足此條件的水平速度為。()25=圾1.

(2)小球只能擺動(dòng)到懸點(diǎn)高度下的某一位置，做不完整的圓周運(yùn)

動(dòng).此時(shí)小球在最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為零，這意味著小球的初速度存在

某個(gè)最大值也，則%

滿足此條件的速度為如《為=延1

故水平初速度5的范圍為：如或仍WqL

＞糾錯(cuò)補(bǔ)練2

如右圖所示，在傾角為a=30"的光滑斜面上，有一根長(zhǎng)為￡=0?8

m的細(xì)繩，一端固定在。點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為〃?=0.2kg的小球，沿斜

面做圓周運(yùn)動(dòng)，盤(pán)取10m/s?)試計(jì)算：

(1)小球通過(guò)最高點(diǎn)4