人教版八年級數(shù)學上冊整式的乘法與因式分解《因式分解》 教學課件

14.3

因式分解14.3.2運用平方差公式因式分解第十四章整式的乘法與因式分解

1.探索并運用平方差公式進行因式分解，體會轉(zhuǎn)化思想．（重點）2.能綜合運用提公因式法和平方差公式對多項式進行因式分解．（難點）(a+b)(a-b)=a2-b2兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.公式變形:1.(a–b)(a+b)=a2-b22.(b+a)(-b+a)=a2-b2填一填：(1)(x+5)(x-5)=__________(2)(3x+y)(-y+3x)=__________(3)(-3a+1)(-1-3a)=__________x2-259x2-y29a2-1(1)982-22=_______.(2)已知a+b=4，a-b=2，則a2-b2=____.你能說說算得快的原因嗎？96008解:(1)982-22=(98+2)(98-2)=100×96=9600(2)a2-b2=(a+b)(a-b)=4×2=8把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等號兩邊互換位置，就得到a2-b2=(a+b)(a-b)兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.

B下列多項式能否用平方差公式來分解因式？為什么？(1)x2+y2

()____________________；(2)x2-y2()____________________；(3)-x2+y2()____________________；(4)-x2-y2()____________________.不能能能不能這是平方和x2-y2=(x+y)(x-y)-x2+y2=(y+x)(y-x)這是平方和的相反數(shù)【點睛】符合平方差的形式的多項式才能用平方差公式進行因式分解，即能寫成:()2-()2的形式.簡單說成“兩數(shù)是平方，減號在中央.”例2.分解因式：(1)4x2-9

(2)(x+p)2-(x+q)2分析：在(1)中，4x2=(2x)2，9=32，4x2-9=(2x)2-32；在(2)中，把(x+p)和(x+q)各看成一個整體，設(shè)x+p=m，x+q=n，則原式化為m2-n2.解：(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)(2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]

=(2x+p+q)(p-q)【點睛】公式中的a、b無論表示數(shù)、單項式、還是多項式，只要被分解的多項式能轉(zhuǎn)化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.例3.分解因式：(1)x4-y4

(2)a3b-ab分析：對于(1)，x4-y4可以寫成(x2)2-(y2)2的形式，這樣就可以用平方差公式進行因式分解了；對于(2)，a3b-ab有公因式ab，應(yīng)先提出公因式，再進一步分解.解：(1)x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)

=(x2+y2)(x+y)(x-y)(2)a3b-ab=ab(a2-1)

=ab(a+1)(a-1)【點睛】分解因式前應(yīng)先分析多項式的特點，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止．

例4.計算下列各題：(1)1012－992；(2)53.52×4－46.52×4.解：(1)原式＝(101＋99)×(101－99)＝400；(2)原式＝4×(53.52－46.52)=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)＝4×100×7=2800.【點睛】較為復(fù)雜的有理數(shù)運算，可以運用因式分解對其進行變形，使運算得以簡化.利用因式分解簡便運算:(1)9982-22(2)1.992-2.992(3)1.222×9-1.332×4.解:(1)原式=(998+2)(998-2)=1000×996=996000(2)原式=(1.99+2.99)(1.99-2.99)=4.98×(-1)=-4.98(3)原式=1.222×32-1.332×22=(1.22×3+1.33×2)×(1.22×3-1.33×2)=(3.66+2.66)×(3.66-2.66)=6.32×1=6.32例5.求證：當n為整數(shù)時，多項式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．證明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n?2=8n.∵n為整數(shù)，∴8n被8整除，即多項式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．【點睛】解決整除的基本思路就是將代數(shù)式化為整式乘積的形式