高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)題型專項(xiàng)集訓(xùn)題型練6大題專項(xiàng)（四）文

題型練6大題專項(xiàng)(四)立體幾何綜合問題1.如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,∠CBB1=60°,點(diǎn)A在側(cè)面BB1C1C上的投影恰為B1C的中點(diǎn)O,E為AB的中點(diǎn).(1)求證:OE∥平面ACC1A1;(2)若AC與平面BB1C1C所成角為45°,且BC=2,求點(diǎn)E到平面ACC1A1的距離.2.如圖,已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn).過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心.若AO=AB=6,AO∥平面EB1C1F,且∠MPN=π3,求四棱錐BEB1C1F的體積3.(2022全國(guó)甲,文19)小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng),設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如圖所示:底面ABCD是邊長(zhǎng)為8(單位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.(1)求證:EF∥平面ABCD;(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的厚度).4.如圖,△ABC的外接圓O的直徑為AB,CD⊥平面ABC,BE∥CD.(1)求證:平面ADC⊥平面BCDE;(2)試問在線段DE和BC上是否分別存在點(diǎn)M和F,使得平面OMF∥平面ACD?若存在,確定點(diǎn)M和點(diǎn)F的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.5.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為平行四邊形,△PCD為等邊三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.(1)設(shè)G,H分別為PB,AC的中點(diǎn),求證:GH∥平面PAD;(2)求證:PA⊥平面PCD;(3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.6.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AC,過點(diǎn)A的平面與棱PB,PC,PD分別交于點(diǎn)E,F,G(E,F,G三點(diǎn)均不在棱的端點(diǎn)處).(1)求證:平面PAB⊥平面PBC.(2)若PC⊥平面AEFG,求PFPC的值(3)直線AE是否可能與平面PCD平行?證明你的結(jié)論.答案：1.(1)證明:如圖,連接BC1,AC1,因?yàn)镺為B1C的中點(diǎn),所以O(shè)為BC1的中點(diǎn).又E為AB的中點(diǎn),所以O(shè)E∥AC1.又OE?平面ACC1A1,AC1?平面ACC1A1,所以O(shè)E∥平面ACC1A1.(2)解:因?yàn)锳O⊥平面BB1C1C,所以∠ACO=45°.因?yàn)锽C=2,∠CBB1=60°,所以AO=1,AC=2,AC1=2,S△所以S△設(shè)點(diǎn)O到平面ACC1A1的距離為d,因?yàn)閂三棱錐所以13d·S△ACC1=13AO·S△OCC1,即因?yàn)镺E∥平面ACC1A1,所以點(diǎn)E到平面ACC1A1的距離為2172.(1)證明:因?yàn)镸,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.因?yàn)椤鰽1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN.又B1C1?平面EB1C1F,所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)解:AO∥平面EB1C1F,AO?平面A1AMN,平面A1AMN∩平面EB1C1F=PN,故AO∥PN.又AP∥ON,故四邊形APNO是平行四邊形,所以PN=AO=6,AP=ON=13AM=3,PM=23AM=23,EF=13因?yàn)锽C∥平面EB1C1F,所以四棱錐BEB1C1F的頂點(diǎn)B到底面EB1C1F的距離等于點(diǎn)M到底面EB1C1F的距離.作MT⊥PN,垂足為T,則由(1)知,MT⊥平面EB1C1F,故MT=PMsin∠MPN=3.底面EB1C1F的面積為12×(B1C1+EF)×PN=12(6+2)×6=所以四棱錐BEB1C1F的體積為13×24×3=243.(1)證明:如圖,過點(diǎn)E作EE'⊥AB于點(diǎn)E',過點(diǎn)F作FF'⊥BC于點(diǎn)F',連接E'F'.∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形,△EAB,△FBC均為正三角形,且它們所在的平面都與平面ABCD垂直,∴EE'⊥平面ABCD,FF'⊥平面ABCD,且EE'=FF',∴四邊形EE'F'F為平行四邊形,∴EF∥E'F'.又E'F'?平面ABCD,EF?平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.(2)解:過點(diǎn)G,H分別作GG'⊥CD,HH'⊥DA,交CD,DA于點(diǎn)G',H',連接F'G',G'H',H'E',AC.由(1)及題意可知,G',H'分別為CD,DA的中點(diǎn),幾何體EFGHE'F'G'H'為長(zhǎng)方體,故該包裝盒由一個(gè)長(zhǎng)方體和四個(gè)全等的四棱錐組合而成.∵底面ABCD是邊長(zhǎng)為8的正方形,∴AC=82+82=82(cm),E'F'=H'E'=12AC=42cm,EE'=AE∴該包裝盒的容積為V=VEFGHE'F'G'H'+4VAEE'H'H=E'F'·E'H'·EE'+4×13SEE'H'H·14AC=42×42×43+4×13×42×43×22=4.(1)證明:∵△ABC的外接圓O的直徑為AB,CD⊥平面ABC,BE∥CD,∴AC⊥BC,AC⊥DC.∵BC∩DC=C,∴AC⊥平面BCDE.∵AC?平面ADC,∴平面ADC⊥平面BCDE.(2)解:存在點(diǎn)M和F,使得平面OMF∥平面ACD.取BC的中點(diǎn)M,DE的中點(diǎn)F,連接OM,MF,OF.∵O是AB的中點(diǎn),∴OM∥AC,MF∥CD.∵AC∩CD=C,OM∩MF=M,AC,CD?平面ACD,OM,MF?平面OMF,∴平面OMF∥平面ACD.5.(1)證明:如圖,連接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GH∥PD.又因?yàn)镚H?平面PAD,PD?平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)證明:取棱PC的中點(diǎn)N,連接DN,依題意,得DN⊥PC,又因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA?平面PAC,故DN⊥PA.又已知PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.(3)解:連接AN,由(2)中DN⊥平面PAC,可知∠DAN為直線AD與平面PAC所成的角.因?yàn)椤鱌CD為等邊三角形,CD=2且N為PC的中點(diǎn),所以DN=3,又DN⊥AN,在Rt△AND中,sin∠DAN=DNAD所以,直線AD與平面PAC所成角的正弦值為336.(1)證明:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以AB⊥BC,所以BC⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PBC.(2)解:連接AF.因?yàn)镻C⊥平面AEFG,所以PC⊥AF.又