第06講 有理數(shù)的減法（6種題型）（解析版）

第06講有理數(shù)的減法（6種題型）【知識(shí)梳理】一．有理數(shù)的減法（1）有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．即：a﹣b＝a+（﹣b）（2）方法指引：①在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，首先弄清減數(shù)的符號(hào)；②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時(shí)，要同時(shí)改變兩個(gè)符號(hào)：一是運(yùn)算符號(hào)（減號(hào)變加號(hào)）；二是減數(shù)的性質(zhì)符號(hào)（減數(shù)變相反數(shù)）；【注意】：在有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因?yàn)闇p法沒有交換律．減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應(yīng)依法則進(jìn)行計(jì)算．二．有理數(shù)的加減混合運(yùn)算（1）有理數(shù)加減混合運(yùn)算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法．（2）方法指引：①在一個(gè)式子里，有加法也有減法，根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫成省略括號(hào)的和的形式．②轉(zhuǎn)化成省略括號(hào)的代數(shù)和的形式，就可以應(yīng)用加法的運(yùn)算律，使計(jì)算簡(jiǎn)化．三、有理數(shù)加減法混合運(yùn)算技巧（1）把算式中的減法轉(zhuǎn)化為加法；（2）去括號(hào)時(shí)注意符號(hào)，能省掉的“”號(hào)要省掉；（3）多觀察，巧妙利用運(yùn)算律簡(jiǎn)便計(jì)算．【考點(diǎn)剖析】題型一：有理數(shù)減法法則的直接運(yùn)用例1、計(jì)算：(1)(－32)－(+5)；(2)(+2)－(－25)．【思路點(diǎn)撥】此題是有理數(shù)的減法運(yùn)算，先按照減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，再按照有理數(shù)的加法進(jìn)行計(jì)算．【答案與解析】法一：法二：（1）原式=－32－5=－32+（－5）=－37；（2）原式=2+25=27【總結(jié)升華】算式中的“+”或“－”既可以看作運(yùn)算符號(hào)按法則進(jìn)行計(jì)算，也可以看作是性質(zhì)符號(hào)按多重符號(hào)化簡(jiǎn)進(jìn)行計(jì)算.【變式1】計(jì)算：(1)7.2－(－4.8)；(2)－3eq\f(1,2)－5eq\f(1,4).解析：先根據(jù)有理數(shù)的減法法則，將減法轉(zhuǎn)化為加法，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計(jì)算即可．解：(1)7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12；(2)－3eq\f(1,2)－5eq\f(1,4)＝－3eq\f(1,2)＋(－5eq\f(1,4))＝－(3eq\f(1,2)＋5eq\f(1,4))＝－8eq\f(3,4).方法總結(jié)：進(jìn)行有理數(shù)減法運(yùn)算時(shí)，將減法轉(zhuǎn)化為加法，再根據(jù)有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算．要特別注意減數(shù)的符號(hào)．【變式2】(1)2－(－3)；(2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)；(3)．【思路點(diǎn)撥】此題是有理數(shù)的減法運(yùn)算，先按照減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，再按照有理數(shù)的加法進(jìn)行計(jì)算．【答案與解析】本題可直接利用有理數(shù)的減法法則進(jìn)行計(jì)算．(1)2－(－3)＝2+3＝5(2)原式＝0+3.72+(－2.72)+4＝(0+4)+(3.72－2.72)＝4+1＝5（3）原式=【總結(jié)升華】算式中的“+”或“－”既可以看作運(yùn)算符號(hào)按法則進(jìn)行計(jì)算，也可以看作是性質(zhì)符號(hào)按多重符號(hào)化簡(jiǎn)進(jìn)行計(jì)算.題型二：有理數(shù)減法的實(shí)際應(yīng)用例2.上海某天的最高氣溫為6℃，最低氣溫為－1℃，則這一天的最高氣溫與最低氣溫的差為()A．5℃B．6℃C．7℃D．8℃解析：由題意得6－(－1)＝6＋1＝7(℃)，故選C.方法總結(jié)：要根據(jù)題意列出算式，再運(yùn)用有理數(shù)的減法法則解答．【變式1】如果家用電冰箱冷藏室的溫度是4℃，冷凍室的溫度比冷藏室的溫度低22℃，那么冷凍室的溫度是（）A．18℃ B．﹣26℃ C．﹣22℃ D．﹣18℃【分析】根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可，有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意得：4﹣22＝﹣18（℃），則這臺(tái)電冰箱冷凍室的溫度為﹣18℃．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了有理數(shù)的減法，弄清題意并掌握有理數(shù)的減法法則是解本題的關(guān)鍵．題型三：應(yīng)用有理數(shù)減法法則判定正負(fù)性例3.已知有理數(shù)a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，試判定a－b的符號(hào)．解析：判斷a，b差的符號(hào)，可能不好理解，不妨把它轉(zhuǎn)化為加法a－b＝a＋(－b)，利用加法法則進(jìn)行判定．解：因?yàn)閎＜0，所以－b＞0.又因?yàn)閍<0，a－b＝a＋(－b)，所以a與－b是異號(hào)兩數(shù)相加，那么它們和的符號(hào)由絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)決定，因?yàn)閨a|＞|b|，即|a|＞|－b|，所以取a的符號(hào)，而a＜0，因此a－b的符號(hào)為負(fù)號(hào)．方法總結(jié)：此類問題如果是填空或選擇題，可以采用“特殊值”法進(jìn)行判斷，若是解答題，可以將減法轉(zhuǎn)化為加法通過運(yùn)算法則來解答．【變式1】若|a|＝4，|b|＝2，且a+b的絕對(duì)值與相反數(shù)相等，則a﹣b的值是（）A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或﹣6 D．2或6【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義確定a和b的取值，然后代入求值．【解答】解：∵|a|＝4，|b|＝2，∴a＝±4，b＝±2，又∵a+b的絕對(duì)值與相反數(shù)相等，∴a+b≤0，∴a＝﹣4，b＝2或a＝﹣4，b＝﹣2，當(dāng)a＝﹣4，b＝2時(shí)，a﹣b＝﹣4﹣2＝﹣6，當(dāng)a＝﹣4，b＝﹣2時(shí)，a﹣b＝﹣4﹣（﹣2）＝﹣2，綜上，a﹣b的值為﹣2或﹣6，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值，相反數(shù)，有理數(shù)的減法運(yùn)算，理解絕對(duì)值及相反數(shù)的概念，掌握有理數(shù)減法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．題型四：加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算例4.將下列式子寫成省略括號(hào)和加號(hào)的形式，并用兩種讀法將它讀出來．(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)解析：先把加減法統(tǒng)一成加法，再省略括號(hào)和加號(hào)；讀有理式，式子中第一項(xiàng)的符號(hào)，要作為這一項(xiàng)的符號(hào)讀出正負(fù)來，式子中的符號(hào)就讀作加或減．解：(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.讀法①：負(fù)13、正7、負(fù)21、負(fù)9、正32的和；讀法②：負(fù)13減去負(fù)7減去21減去9加上32.方法總結(jié)：注意掌握括號(hào)前是“＋”號(hào)時(shí)，將括號(hào)連同它前邊的“＋”號(hào)去掉，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都不變；括號(hào)前是“－”號(hào)時(shí)，將括號(hào)連同它前邊的“－”去掉，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào)．題型五：有理數(shù)的加減混合運(yùn)算例5.計(jì)算：(1)－9.2－(－7.4)＋9eq\f(1,5)＋(－6eq\f(2,5))＋(－4)＋|－3|；(2)－14eq\f(2,3)＋11eq\f(2,15)－(－12eq\f(2,3))－14＋(－11eq\f(2,15))；(3)eq\f(2,3)－eq\f(1,8)－(－eq\f(1,3))＋(－eq\f(3,8))．解析：本題根據(jù)有理數(shù)加減互為逆運(yùn)算的關(guān)系把減法統(tǒng)一成加法，省略加號(hào)后，運(yùn)用加法運(yùn)算律，簡(jiǎn)化運(yùn)算，求出結(jié)果．其中互為相反數(shù)的兩數(shù)先結(jié)合；能湊成整數(shù)的各數(shù)先結(jié)合．另外，同號(hào)各數(shù)先結(jié)合；同分母或易通分的各數(shù)先結(jié)合．解：(1)－9.2－(－7.4)＋9eq\f(1,5)＋(－6eq\f(2,5))＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0；(2)－14eq\f(2,3)＋11eq\f(2,15)－(－12eq\f(2,3))－14＋(－11eq\f(2,15))＝－14eq\f(2,3)＋11eq\f(2,15)＋12eq\f(2,3)－14－11eq\f(2,15)＝(－14eq\f(2,3)＋12eq\f(2,3))＋(11eq\f(2,15)－11eq\f(2,15))－14＝－2＋0－14＝－16；(3)eq\f(2,3)－eq\f(1,8)－(－eq\f(1,3))＋(－eq\f(3,8))＝eq\f(2,3)－eq\f(1,8)＋eq\f(1,3)－eq\f(3,8)＝(eq\f(2,3)＋eq\f(1,3))＋(－eq\f(1,8)－eq\f(3,8))＝1＋(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,2).方法總結(jié)：(1)為使運(yùn)算簡(jiǎn)便，可適當(dāng)運(yùn)用加法的結(jié)合律與交換律．在交換加數(shù)的位置時(shí)，要連同前面的符號(hào)一起交換．(2)注意同分母分?jǐn)?shù)相加，互為相反數(shù)相加，湊成整數(shù)的數(shù)相加，這樣計(jì)算簡(jiǎn)便．(3)當(dāng)一個(gè)算式中既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)時(shí)，一般要統(tǒng)一，具體是統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，要看哪一種計(jì)算簡(jiǎn)便．【變式1】計(jì)算，能用簡(jiǎn)便方法的用簡(jiǎn)便方法計(jì)算.（1）26－18+5－16；（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）(3)(4)（5）（6）【答案與解析】（1）26－18+5－16=(+26)+(－18)+5+(－16)→統(tǒng)一成加法=(26+5)+[(－18)+(－16)]→符號(hào)相同的數(shù)先加=31+(－34)=－3（2）（+7）+（－21）+（－7）+（+21）=[(+7)+(－7)]+[(－21)+(+21)]→互為相反數(shù)的兩數(shù)先加=0（3）→同分母的數(shù)先加（4）→統(tǒng)一成加法→整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)分別加（5）→統(tǒng)一同一形式（小數(shù)或分?jǐn)?shù)），把可湊整的放一起（6）→整數(shù)，分?jǐn)?shù)分別加【總結(jié)升華】在進(jìn)行加減混合的運(yùn)算時(shí)，(1)先將各式中的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算；（2）觀察各加數(shù)之間的關(guān)系，再運(yùn)用“技巧”適當(dāng)交換加數(shù)的位置，注意交換時(shí)各加數(shù)的帶著符號(hào)一起交換．【變式2】計(jì)算：（1）－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72；（2）11－12+13－15+16－18+17；（3）（4）（5）；（6）【答案與解析】（1）觀察各個(gè)加數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)－3.72與3.72互為相反數(shù)，把它們分為一組；4.18、－2.93與－1.25的和為0，把它們分為一組可使計(jì)算簡(jiǎn)便．解：－3.72－1.23+4.18－2.93－1.25+3.72＝(－3.72+3.72)+(4.18－2.93－1.25)－1.23＝0+0－1.23＝－1.23（2）把正數(shù)和負(fù)數(shù)分別分為一組．解：11－12+13－15+16－18+17＝(11+13+16+17)+(－12－15－18)＝57+(－45)＝12（3）仔細(xì)觀察各個(gè)加數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小數(shù)的和是－1，兩個(gè)整數(shù)的和是29，三個(gè)分?jǐn)?shù)通分后也不難算．故把整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)分別分為一組．解：（4）3.46和1.54的和為整數(shù),把它們分為一組；－3.87與3.37的和為－0.5，把它們分為一組；與易于通分，把它們分為一組；與同分母，把它們分為一組．解：（5）先把整數(shù)分離后再分組．解：注：帶分?jǐn)?shù)中的整數(shù)與分?jǐn)?shù)分離時(shí)，如果這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，那么分離得到的整數(shù)與分?jǐn)?shù)都是負(fù)數(shù)，例如．（6）如果按小數(shù)、整數(shù)分組，效果似乎不是很好．可先將小數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一后再考慮分組．解：【總結(jié)升華】計(jì)算多個(gè)有理數(shù)相加時(shí)，必須先審題，分析特點(diǎn)，尋找規(guī)律，然后再去計(jì)算．注意在交換加數(shù)的位置時(shí)，要連同符號(hào)一起交換.題型六：利用有理數(shù)加減運(yùn)算解決實(shí)際問題例6.下表是某水位站記錄的潮汛期某河流一周內(nèi)的水位變化情況(“＋”號(hào)表示水位比前一天上升，“－”號(hào)表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好達(dá)到警戒水位．單位：米).星期一二三四五六日水位變化0.20.81－0.350.130.28－0.36－0.01(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它們位于警戒水位之上還是之下，與警戒水位的距離分別是多少？(2)與上周末相比，本周末河流的水位是上升還是下降了？解析：(1)先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．理解表中的正負(fù)號(hào)表示的含義，根據(jù)條件計(jì)算出每天的水位即可求解；(2)只要觀察星期日的水位是正負(fù)即可．解：(1)以警戒水位為基準(zhǔn)，前兩天的水位是上升的，星期一的水位是＋0.20米；星期二的水位是＋0.20＋0.81＝1.01米；星期三的水位是＋1.01－0.35＝＋0.66米；星期四的水位是：＋0.66＋0.13＝0.79米；星期五的水位是：0.79＋0.28＝1.07米；星期六的水位是：1.07－0.36＝0.71米；星期日的水位是：0.71－0.01＝0.7米；則水位最低的一天是第一天，高于警戒水位；水位最高的是第5天；(2)＋0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01＝＋0.7米；則本周末河流的水位是上升了0.7米．方法總結(jié)：解此題的關(guān)鍵是分析題意列出算式，采用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題．【變式1】小蟲從點(diǎn)O出發(fā)在一條直線上來回爬行，向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記為負(fù)，爬行的各段路程依次為：+5，－3，+10，－8，－6，+12，－10.（單位：cm）小蟲最后是否回到出發(fā)地O？為什么？小蟲離開O點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)是多少？在爬行過程中，如果每爬行1cm獎(jiǎng)勵(lì)1粒芝麻，則小蟲一共可以得到多少粒芝麻？【思路點(diǎn)撥】題目中給出的各數(shù)由兩部分組成：一是性質(zhì)符號(hào)，表示的爬行的方向，二是絕對(duì)值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接將它們相加得到的和也包括兩層含義：方向和路程大??；若只把它們的絕對(duì)值相加，則最后結(jié)果只表示路程的大小.【答案與解析】解：（1）(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)=(5+10+12)+(－3－8－6－10)=27－27=00表示最后小蟲又回到了出發(fā)點(diǎn)O答：小蟲最后回到了出發(fā)地O.（2）(+5)+(－3)＝+2；(+5)+(－3)+(+10)＝+12；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)＝+4；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)＝－2；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)＝+10；(+5)+(－3)+(+10)+(－8)+(－6)+(+12)+(－10)＝0.因?yàn)榻^對(duì)值最大的是+12，所以小蟲離開O點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)是向右12cm;(3)（cm）,所以小蟲爬行的總路程是54cm，由（粒）答：小蟲一共可以得到54粒芝麻.【總結(jié)升華】利用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可以解決很多現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，這就需要我們認(rèn)真觀察、大膽分析和設(shè)想．【變式2】某檢修小組乘汽車沿公路檢修線路，約定前進(jìn)為正，后退為負(fù)，某天自A地出發(fā)到收工時(shí)所走路線（單位：千米）為：+10，－3，+4，+2，－8，+13，－2，+12，+8，+5.（1）問收工時(shí)距A地多遠(yuǎn)？（2）若每千米路程耗油0.2升，問從A地出發(fā)到收工時(shí)共耗油多少升？【答案與解析】（1）求收工時(shí)距A地多遠(yuǎn)，應(yīng)求出已知10個(gè)有理數(shù)的和，若和為正數(shù)，則在A地前面，若和為負(fù)數(shù)，則在A地后面；距A地的路程均為和的絕對(duì)值.解：(1)(+10)+(－3)+(+4)+(+2)+(－8)+(+13)+(－2)+(+12)+(+8)+(+5)=[+2+(－2)]+[(－8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(－3)=0+0+44+(－3)=41（千米）；（2）要求耗油量，需求出汽車共行走的路程，即求各數(shù)的絕對(duì)值之和，然后乘以0.2升即可.(|+10|+|－3|+|+4|+|+2|+|－8|+|+13|+|－21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4（升）.答：收工時(shí)在A地前面41千米，從A地出發(fā)到收工時(shí)共耗油13.4升.【總結(jié)升華】利用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可以解決很多現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，這就需要我們認(rèn)真觀察、大膽分析和設(shè)想．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在生產(chǎn)圖紙上通常用來表示軸的加工要求，這里表示直徑是，和是指直徑在加到加之間的產(chǎn)品都屬于合格產(chǎn)品．現(xiàn)加工一批軸，尺寸要求是，則下面產(chǎn)品合格的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得出合格的范圍，從而可判斷出直徑是39.96mm和40.03mm的兩根軸是否合格．【詳解】由題意得：合格范圍為：到，而，，∴A，C，D都不合格，∵∴B選項(xiàng)是合格品，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的知識(shí)，有理數(shù)的加減運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，注意先求出合格的范圍是關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）某地一天中午12時(shí)的氣溫是，14時(shí)的氣溫升高了，到晚上22時(shí)氣溫又降低了，則22時(shí)的氣溫為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)加減計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，∴22時(shí)的氣溫為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)加減計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江寧波·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如果x是有理數(shù)，那么下列各式中一定比0大的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則以及絕對(duì)值的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A．當(dāng)時(shí)，，故本選項(xiàng)不合題意；B．當(dāng)時(shí)，，故本選項(xiàng)不合題意；C．∵，∴，故本選項(xiàng)符合題意；D．當(dāng)時(shí)，，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了絕對(duì)值以及有理數(shù)大小比較的方法，熟知有理數(shù)比較大小的法則是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江湖州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)老師將共十個(gè)連續(xù)的整數(shù)依次寫在十張不透明的卡片上，打亂順序，然后讓甲、乙、丙、丁四位同學(xué)任意抽取兩張卡片，并要求他們把自己手里拿的兩張卡片上的數(shù)字之和寫在黑板上．寫出的結(jié)果依次是甲：；乙：；丙：1；?。海敲吹闹挡豢赡苁牵?/p>

）A．2 B．6 C． D．【答案】C【分析】設(shè)最后剩余兩張的數(shù)字之和為，得到，得到，當(dāng)時(shí)，，由這十個(gè)連續(xù)整數(shù)中，兩數(shù)之和最大為7，即可得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)最后剩余兩張的數(shù)字之和為，，當(dāng)時(shí)，．這十個(gè)連續(xù)整數(shù)中，兩數(shù)之和最大為7，不可能為．故選：C【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的的加減法，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江·七年級(jí)?？计谥校┰跀?shù)軸上點(diǎn)表示，與相距3.5個(gè)單位的點(diǎn)表示（

）A．5.5和 B．和1.5 C．1.5 D．【答案】B【分析】與相距3.5個(gè)單位的點(diǎn)表示的數(shù)就是比大3.5或小3.5的數(shù)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：與相距3.5個(gè)單位的點(diǎn)表示的數(shù)就是比大3.5或小3.5的數(shù)，，則表示的數(shù)是：和1.5，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的性質(zhì)，有理數(shù)的加減運(yùn)算，理解點(diǎn)表示，那么與相距3.5個(gè)單位的點(diǎn)表示的數(shù)就是比大3.5或小3.5的數(shù)的解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）某天一潛水員下海，他從水面潛入水下18米，后因海水中的洋流，上升了8米，在洋流過去后，他下潛到預(yù)定的水下35米的位置，則該潛水員在洋流過程后，下潛了（

）A．9米 B．10米 C．17米 D．25米【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：該潛水員在洋流過程后，下潛了米．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確列出算式是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）手機(jī)移動(dòng)支付給生活帶來便捷．右圖是張老師2022年12月26日微信賬單的收支明細(xì)（正數(shù)表示收入，負(fù)數(shù)表示支出，單位：元），張老師當(dāng)天微信收支的最終結(jié)果是（

）A．收入19.00元 B．支出10元 C．支出3.00元 D．支出22.00元【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：（元），即表示支出3元，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，掌握有理數(shù)的加減運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）比大1的數(shù)（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，故本選項(xiàng)符合題意；C、，故本選項(xiàng)不符合題意；D、，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的減法運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的減法法則是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·浙江溫州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則括號(hào)內(nèi)的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用被減數(shù)等于減數(shù)加上差列式求解即可．【詳解】解：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，利用被減數(shù)等于減數(shù)加上差列出算式是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·浙江衢州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8前添加“＋”，“－”并依次計(jì)算，所得結(jié)果可能的最小非負(fù)數(shù)是0，算式可以列為：．若在數(shù)1，2，3……，n前添加“＋”，“－”并依次運(yùn)算，使所得結(jié)果可能的最小非負(fù)數(shù)是0，則數(shù)n不可能是（

）A．2020 B．2021 C．2023 D．2024【答案】B【分析】分是4的倍數(shù)，余數(shù)為0，1，2，3四種情況求出最小的非負(fù)數(shù)即可作出判斷．【詳解】解：由題意知，，，當(dāng)是4的倍數(shù)時(shí)，結(jié)果可能的最小非負(fù)數(shù)為0；當(dāng)除以4余1時(shí)，第一個(gè)數(shù)為1，后面的數(shù)的和為0，則結(jié)果可能的最小非負(fù)數(shù)為1；當(dāng)除以4余2時(shí)，前兩個(gè)數(shù)為1，2，，后面的數(shù)的和為0，則結(jié)果可能的最小非負(fù)數(shù)為1；當(dāng)除以4余3時(shí)，前兩個(gè)數(shù)為1，2，3，，后面的數(shù)的和為0，則結(jié)果可能的最小非負(fù)數(shù)為0．、2024均能被4整除、2023除以4余數(shù)為3，2021除4余數(shù)為1，數(shù)不可能是2021，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023秋·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是小強(qiáng)與他媽媽的對(duì)話，小強(qiáng)說：買筆記本花了元……，則小強(qiáng)記不清怎么使用的零花錢有___________元．【答案】【分析】用元減去已知的花銷，即可求出剩下部分．【詳解】解：元故答案是．【點(diǎn)睛】本題考查了小數(shù)的減法，直接計(jì)算即可．12．（2023秋·浙江金華·七年級(jí)?？计谀┤鐖D是一臺(tái)冰箱的顯示屏，則這臺(tái)冰箱冷藏室與冷凍室的溫差為______．【答案】22【分析】直接用冷藏室的溫度減去冷凍室的溫度即可得到答案．【詳解】解：（℃），∴變溫室與冷凍室的溫差為，故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)減法的實(shí)際應(yīng)用，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）若，求的相反數(shù)＝__．【答案】【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求出x和y的值，然后代入求相反數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，解得．∴，∴的相反數(shù)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性，相反數(shù)，以及有理數(shù)的減法，求出x和y的值是解答本題的關(guān)鍵．14．（2022秋·浙江溫州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，數(shù)軸上一點(diǎn)A向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，再向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)C，若點(diǎn)C表示的數(shù)為1，則A點(diǎn)表示的數(shù)為_________________．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸上移動(dòng)的規(guī)律：左減右加解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得：點(diǎn)A表示的數(shù)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)的平移規(guī)律，解決此題的關(guān)鍵是熟練掌握左減右加，也考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算．15．（2021秋·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小毛同學(xué)的作業(yè)本上出現(xiàn)了一個(gè)錯(cuò)誤的等式，請(qǐng)你直接在算式中添“括號(hào)”或“絕對(duì)值”或“負(fù)號(hào)”（不限定個(gè)數(shù)），使等式成立：___________【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算即可求出答案．【詳解】解：，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用有理數(shù)的加減運(yùn)算．16．（2023秋·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期末）整數(shù)a、b、c滿足，其中且，則的最小值是________．【答案】【分析】根據(jù)題意得出，，，確定，，，或，，，然后分情況討論求解即可．【詳解】解：，求的最小值，，∴，，，∴，，，或，，，∵，∴當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的加減及絕對(duì)值的意義，有理數(shù)的大小比較，理解題意進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．17．（2022秋·浙江衢州·七年級(jí)?？计谥校?shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，那么與相距2個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是______．【答案】或【分析】此題注意考慮兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，用減法，當(dāng)點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，用加法，即可得出結(jié)果．【詳解】解：在A點(diǎn)左邊與A點(diǎn)相距2個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為；在A點(diǎn)右邊與A點(diǎn)相距2個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸，熟知數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式是解答此題的關(guān)鍵．18．（2022秋·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在數(shù)軸上，點(diǎn)M，N分別表示數(shù)m，n，則點(diǎn)M，N之間的距離為．已知點(diǎn)A，B，C，D在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，c，d，且，則線段BD的長(zhǎng)度為______．【答案】1或7/7或1【分析】根據(jù)，可得點(diǎn)C在點(diǎn)A，B之間，從而得到A，B間的距離為4，再由，可得A、D兩點(diǎn)間的距離為，然后分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，即可求解．【詳解】解：∵，∴點(diǎn)C在點(diǎn)A，B之間，且點(diǎn)A，C兩點(diǎn)間的距離為2，B，C兩點(diǎn)間的距離為2，∴A，B間的距離為4，∵，∴，即A、D兩點(diǎn)間的距離為，不妨設(shè)，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，線段的長(zhǎng)度為；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，線段的長(zhǎng)度為；綜上所述，線段的長(zhǎng)度為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，有理數(shù)的加減運(yùn)算，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）郵遞員騎車從郵局出發(fā)，先向西騎行2km到達(dá)A村，繼續(xù)向西騎行3km到達(dá)B村，然后向東騎行9km到達(dá)C村，最后回到郵局．(1)以郵局為原點(diǎn)，以向東方向?yàn)檎较?，?個(gè)單位表示1km，在該數(shù)軸上表示A，B，C三個(gè)村莊的位置；(2)C村離A村有多遠(yuǎn)？(3)郵遞員一共騎行了多少千米？【答案】(1)答案見解析(2)6千米(3)18千米【分析】（1）根據(jù)已知條件在數(shù)軸上表示出來即可；（2）根據(jù)題意列出算式，即可得出答案；（3）根據(jù)題意列出算式，即可得出答案．【詳解】（1）解：（2）解：村離村的距離為；（3）解：郵遞員一共行駛了（千米）．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)的加減的應(yīng)用，能讀懂題意是解此題的關(guān)鍵．20．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知，求的值．【答案】【分析】先根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性求出，，再代入計(jì)算即可．【詳解】∵，，，∴，，解得，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性有有理數(shù)的減法，求出，是解題的關(guān)鍵．21．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）已知a，b、c三數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)．【答案】【分析】先根據(jù)數(shù)軸得到，再作答即可．【詳解】解：由圖可知，，故．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的非負(fù)性和根據(jù)數(shù)軸判斷正負(fù)，根據(jù)數(shù)軸得到是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┖贾菽彻蛔孕熊嚪?wù)點(diǎn)一共有停車樁20個(gè)．某日上午6點(diǎn)整，服務(wù)點(diǎn)共停放了14輛公交自行車．6點(diǎn)以后，各時(shí)間段存取自行車輛次記錄如下表：（單位：輛）6：00～8：008：00～10：0010：00～12：0012：00～14：0014：00～16：00取車1271198存年68996(1)求當(dāng)天6：00到16：00點(diǎn)，這個(gè)服務(wù)點(diǎn)自行車被取用的次數(shù)；(2)求16點(diǎn)整，該服務(wù)點(diǎn)還停放著幾輛公交自行車．【答案】(1)當(dāng)天6：00到16：00點(diǎn)，這個(gè)服務(wù)點(diǎn)自行車被取用的次數(shù)為次(2)16點(diǎn)整，該服務(wù)點(diǎn)還停放著輛公交自行車【分析】（1）將取車的次數(shù)相加即可求解；（2）記取車為負(fù)，存車為正，根據(jù)表格數(shù)據(jù)相加減即可求解．【詳解】（1）解：，答：當(dāng)天6：00到16：00點(diǎn)，這個(gè)服務(wù)點(diǎn)自行車被取用的次數(shù)為次；（2）記取車為負(fù)，存車為正，∵某日上午6點(diǎn)整，服務(wù)點(diǎn)共停放了14輛公交自行車，當(dāng)天6：00到16：00點(diǎn)，這個(gè)服務(wù)點(diǎn)自行車被取用的次數(shù)為次．∴16點(diǎn)整，該服務(wù)點(diǎn)還停放著：輛，答：16點(diǎn)整，該服務(wù)點(diǎn)還停放著輛公交自行車【點(diǎn)睛】本題考查了正負(fù)數(shù)的意義，有理數(shù)的加減運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)題意列出算式是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋·浙江寧波·七年級(jí)校聯(lián)考期中）“數(shù)形結(jié)合”是重要的數(shù)學(xué)思想．如：表示3與差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可以理解為3與在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離．進(jìn)一步地，數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)A，B所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別用a，b表示，那么A，B兩點(diǎn)之間的距離表示為．利用此結(jié)論，回答以下問題：(1)數(shù)軸上和5這兩點(diǎn)之間的距離為．(2)若x表示一個(gè)實(shí)數(shù)，的最小值為．(3)直接寫出所有符合條件的x，使得，則x的值為．【答案】(1)7(2)6(3)或3【分析】（1）利用數(shù)軸直觀得出答案．（2）x在到4之間值最小，兩點(diǎn)之間線段最短．（3）x到2到距離之和是7，與9相差2，分到兩段中，每