【贏在高考黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考地區(qū)專(zhuān)用）【解析版】

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考地區(qū)專(zhuān)用）黃金卷04（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的概念即可解答.【詳解】因?yàn)?，所以，故選B.2．已知均為實(shí)數(shù)，則下列命題是真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【分析】根據(jù)題意,依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】對(duì)于A，由，得，知A正確；對(duì)于B，由，得，知B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則與均無(wú)意義，知C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，則與均無(wú)意義，知D錯(cuò)誤.故選：A.3．已知a，b，c是的三邊，且，點(diǎn)O是外接圓的圓心，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，然后將用表示，進(jìn)一步用表示，用表示，然后計(jì)算即可.【詳解】取的中點(diǎn)，然后連接如圖所以，由O是外接圓的圓心，所以所以又故選：C4．隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人民生活水平的提高，我國(guó)的旅游業(yè)也得到了極大的發(fā)展，據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站數(shù)據(jù)顯示，近十年我國(guó)國(guó)內(nèi)游客人數(shù)(單位：百萬(wàn))折線圖如圖所示，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．近十年，城鎮(zhèn)居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)大于農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)B．近十年，城鎮(zhèn)居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)的方差大于農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)的方差C．近十年，農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)的中位數(shù)為1240D．2012年到2019年，國(guó)內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)占比逐年增加【答案】C【分析】根據(jù)每一年城鎮(zhèn)居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)都多于農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)，即可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)近十年，城鎮(zhèn)居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)的波動(dòng)比農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)波動(dòng)大，即可判斷選項(xiàng)B；由中位數(shù)的計(jì)算方法，可得近十年農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)的中位數(shù)，即可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)2012年到2019年，國(guó)內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)每年都比農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)增長(zhǎng)多，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由圖可知，每一年城鎮(zhèn)居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)都多于農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)，所以近十年，城鎮(zhèn)居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)大于農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)，故選項(xiàng)A正確；由圖可知，近十年，城鎮(zhèn)居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)的波動(dòng)比農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)波動(dòng)大，所以由方差的意義可知，近十年城鎮(zhèn)居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)的方差大于農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)的方差，故選項(xiàng)B正確；將近十年農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)從小到大進(jìn)行排列，可得近十年農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)的中位數(shù)為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由圖可知，2012年到2019年，國(guó)內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)每年都比農(nóng)村居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)增長(zhǎng)多，所以2012年到2019年，國(guó)內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國(guó)內(nèi)游客人數(shù)占比逐年增加，故選項(xiàng)D正確.故選：C.5．已知函數(shù)的圖象恰為橢圓x軸上方的部分，若，，成等比數(shù)列，則平面上點(diǎn)（s，t）的軌跡是（

）A．線段（不包含端點(diǎn)） B．橢圓一部分C．雙曲線一部分 D．線段（不包含端點(diǎn)）和雙曲線一部分【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合橢圓方程進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恰為橢圓x軸上方的部分，所以，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以有，且有成立，即成立，由，化簡(jiǎn)得：，或，當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?，所以平面上點(diǎn)（s，t）的軌跡是線段（不包含端點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?，所以，而，所以不成立，故選：A6．函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．C．

D．

【答案】B【分析】由奇偶函數(shù)的定義可排除A，當(dāng)時(shí)函數(shù)值為負(fù)數(shù)排除選項(xiàng)CD，再利用導(dǎo)數(shù)法驗(yàn)證函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以函?shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除A，當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)CD，又，記，則，令f'x>0得，令f'所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，在0,+∞上單調(diào)遞增.故選：B7．如圖，正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是面內(nèi)一點(diǎn)，M，N分別是棱DC，AD上的點(diǎn)則三棱錐的體積最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，由表示出，再求出的最大值，由等體積法即可求出三棱錐的體積最大值.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，又由正方體的性質(zhì)知：平面，所以點(diǎn)P到平面的距離為，設(shè)，，則，，，所以，，因?yàn)?，所以，令，可看作是關(guān)于的一元一次方程，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以三棱錐的體積為：，故三棱錐的體積最大值為.故選：A.8．已知關(guān)于的不等式在0,+∞上恒成立（其中、），則（

）A．當(dāng)時(shí)，存在滿足題意 B．當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意C．當(dāng)時(shí)，存在滿足題意 D．當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意【答案】D【分析】本題首先可根據(jù)題意得出函數(shù)滿足有一零點(diǎn)為、當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次進(jìn)行討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式在0,+∞上恒成立，所以必需要滿足、，即對(duì)于函數(shù)，必有一零點(diǎn)為且零點(diǎn)左右函數(shù)值符號(hào)不同，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，A項(xiàng)：，，令，，，此時(shí)，不滿足零點(diǎn)左右函數(shù)值符號(hào)不同，A錯(cuò)誤；B項(xiàng)：，，令，，，此時(shí)，存在滿足題意，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：，，令，，，此時(shí)，不滿足零點(diǎn)左右函數(shù)值符號(hào)不同，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：，，令，，，此時(shí)，不滿足當(dāng)時(shí)且當(dāng)時(shí)，，即不存在滿足題意，D正確，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．為偶函數(shù)C．的最小值為 D．在區(qū)間單調(diào)遞增【答案】BC【分析】直接利用函數(shù)的周期性，奇偶性，單調(diào)性及最值的相關(guān)性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判定.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，由，可知為的一個(gè)周期，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，由得，其中，定義域?yàn)榍遥?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，又，所以，所以為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C，令，則，且則，，令，，則，令，可得，則在單調(diào)遞增，令，可得，則在單調(diào)遞減，故的最小值為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D，由于，故在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC.10．已知，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則（

）A．過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切線長(zhǎng)為B．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則C．在上存在點(diǎn)，使得D．的最小值為【答案】ABD【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)可求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，A選項(xiàng)，構(gòu)造直角三角形，即可求得切線長(zhǎng)；B選項(xiàng)可知是內(nèi)角的角平分線，即可得出結(jié)論；C選項(xiàng)，可以求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡，判斷兩曲線的位置關(guān)系來(lái)判斷是否存在；D選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)和最小可以求解.【詳解】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，由，則，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓.A選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，切線長(zhǎng)為，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形內(nèi)角平分線定理可知，是內(nèi)角的角平分線，所以.故B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，因?yàn)?，設(shè)，則，化簡(jiǎn)得軌跡為，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓心，半徑為的圓，圓心距，所以兩圓位置關(guān)系為內(nèi)含，所以在上不存在點(diǎn)，使得，故C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，故D正確.故選：ABD11．函數(shù)的圖象類(lèi)似于漢字“囧”字，被稱為“囧函數(shù)”，并把其與y軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)稱為“囧點(diǎn)”，以“囧點(diǎn)”為圓心，凡是與“囧函數(shù)”有公共點(diǎn)的圓，皆稱之為“囧圓”，則當(dāng)，時(shí)，下列結(jié)論正確的是(

)A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．當(dāng)時(shí)，的最大值為－1C．函數(shù)的“囧點(diǎn)”與函數(shù)圖象上的點(diǎn)的最短距離為D．函數(shù)的所有“囧圓”中，面積的最小值為【答案】BCD【分析】A．根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，進(jìn)行判斷即可．B．判斷當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性即可．C．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解．D．利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行判斷求解．【詳解】當(dāng)，時(shí)，函數(shù).A．f(x)的定義域?yàn)?，，且為偶函?shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；B．其圖象如圖所示，當(dāng)，為減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，最大為，故B正確；C．當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，其關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，所以“囧點(diǎn)”為，設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，，切線的斜率，當(dāng)“囧點(diǎn)”與切點(diǎn)的連線垂直切線時(shí)，距離最短，，解得，切點(diǎn)坐標(biāo)為，故函數(shù)的“囧點(diǎn)”與函數(shù)圖象上的點(diǎn)的最短距離是，故C正確，D．“囧圓”的圓心為．要求“囧圓”的面積最小，則只需考慮軸及軸右側(cè)的函數(shù)圖象．當(dāng)圓過(guò)點(diǎn)時(shí)，其半徑為2，這是和軸下方的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)的所有“囧圓”中半徑的最小值；當(dāng)圓和軸上方且軸右側(cè)的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)（其中，則點(diǎn)到圓心的距離的平方為，令，，則，再令，（其中，則，所以當(dāng)圓和軸上方且軸右側(cè)的函數(shù)圖象有公共點(diǎn)時(shí)，最小半徑為．又，綜上可知，在所有的“囧圓”中，半徑的最小值為．故所有的“囧圓”中，圓的面積的最小值為，故D正確，故選：BCD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則.【答案】10【分析】將和用首項(xiàng)和公差表示，解方程組，求出首項(xiàng)和公式，利用公式求解.【詳解】設(shè)該數(shù)列的公差為，由題可知：，解得，故.故答案為：10.13．已知是方程的兩根，且，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理求出的值，進(jìn)而結(jié)合兩角和的正切公式求出的值，縮小角的范圍即可求出結(jié)果.【詳解】∵是方程的兩根，∴，∴.又，∴，∵，∴，∴，∴.故答案為：.14．我們想把9張寫(xiě)著1~9的卡片放入三個(gè)不同盒子中，滿足每個(gè)盒子中都有3張卡片，且存在兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，則不同的放法有種.【答案】204【分析】首先列出至少有兩個(gè)卡片之和相等的盒子的情況，然后利用全排列即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)存在的這兩個(gè)盒子中卡片的數(shù)字之和相等，設(shè)其相等的和為．當(dāng)時(shí)，共有1種情況，即；當(dāng)時(shí)，共有3種情況，即，，{(1，5，6)，(2，3，7)}；當(dāng)時(shí)，共有5種情況，即，，，，；當(dāng)時(shí)，共有7種情況，即，，，，，，；當(dāng)時(shí)，共有2種情況，即，；當(dāng)時(shí)，共有7種情況，即，，，，，，；當(dāng)時(shí)，共有5種情況，即，，，，{(1，7，9)，(3，6，8)}；當(dāng)時(shí)，共有3種情況，即，；當(dāng)x＝19時(shí)，共有1種情況，即{(3，7，9)，(5，6，8)}；綜上所述，共有1＋3＋5＋7＋2＋7＋5＋3＋1＝34(種)情況，∴不同的放法共有：種．故答案為：204．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。15．某廠為提高工作效率，將全廠分為甲、乙2個(gè)車(chē)間，每個(gè)車(chē)間分別設(shè)有A，B，C，D，E5組．下表為該廠某日生產(chǎn)訂單情況統(tǒng)計(jì)表，請(qǐng)據(jù)表解答下列問(wèn)題：ABCDE甲車(chē)間100120150180200乙車(chē)間50120200150180(1)求甲、乙2個(gè)車(chē)間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)與方差，并根據(jù)方差判斷哪一個(gè)車(chē)間工作效率比較穩(wěn)定？(2)設(shè)甲車(chē)間合格率為0.54，乙車(chē)間合格率為0.57，求甲、乙2個(gè)車(chē)間都不合格的概率；(3)你認(rèn)為哪個(gè)車(chē)間工作效率更高？請(qǐng)從平均數(shù)、方差、合格率的角度分析．【答案】(1)甲車(chē)間的平均數(shù)150，乙車(chē)間的平均數(shù)140，甲車(chē)間的方差1360，乙車(chē)間的方差2760，甲車(chē)間工作效率比較穩(wěn)定(2)0.1978(3)答案見(jiàn)解析【分析】（1）計(jì)算甲車(chē)間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)，乙車(chē)間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)，甲車(chē)間該日生產(chǎn)訂單的方差，乙車(chē)間該日生產(chǎn)訂單的方差；（2）計(jì)算甲、乙2個(gè)車(chē)間都不合格的概率；（3）比較2個(gè)車(chē)間的平均數(shù)、方差和合格率.【詳解】（1）甲車(chē)間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)為，乙車(chē)間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)為，甲車(chē)間該日生產(chǎn)訂單的方差為，乙車(chē)間該日生產(chǎn)訂單的方差為，因?yàn)榧总?chē)間該日生產(chǎn)訂單的方差小于乙車(chē)間該日生產(chǎn)訂單的方差，所以甲車(chē)間工作效率比較穩(wěn)定；（2）甲、乙2個(gè)車(chē)間都不合格的概率為；（3）平均數(shù)上甲車(chē)間的該日生產(chǎn)訂單更大，方差更小，乙車(chē)間合格率更大，但是差別并不大，所以甲車(chē)間工作效率更高.16．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，求的面積．【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，結(jié)合，即可求得的值域；（2）由求得的值，利用余弦定理求得的值，可得的面積．試題解析：（1）由題意知，由．∵，∴，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴由余弦定理可得，∴，∴．17．已知橢圓的離心率為是它的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線（不與軸重合）與相交于M、N兩點(diǎn)，的最大面積為.(1)求橢圓的方程；(2)試探究：原點(diǎn)是否一定在以線段MN為直徑的圓內(nèi)？證明你的結(jié)論.【答案】(1)(2)原點(diǎn)一定在以MN為直徑的圓內(nèi)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)最大面積可得，再結(jié)合離心率及求解作答；（2）設(shè)出直線l的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合平面向量數(shù)量積推導(dǎo)為鈍角作答.【詳解】（1）依題意，，設(shè)橢圓E上點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，而，且，解得，，所以橢圓E的方程為.（2）原點(diǎn)一定在以MN為直徑的圓內(nèi)，證明如下：設(shè)直線l的方程為，Mx1,y聯(lián)立，得，則，，則，又，，則，所以為鈍角，所以原點(diǎn)一定在以MN為直徑的圓內(nèi).18．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，為棱BC上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面PAC；(2)求點(diǎn)到平面PCD的距離；(3)設(shè)為棱CP上的點(diǎn)（不與C，P重合），且直線QE與平面PAC所成角的正弦值為，求的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2(3)【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法可得，，即可證明結(jié)論；（2）由（1）可得與平面PCD的法向量，即可得答案；（3）設(shè)，后由直線QE與平面PAC所成角的正弦值為結(jié)合空間向量知識(shí)可得關(guān)于的方程，即可得答案.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，平面所以?因?yàn)閯t以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．由已知可得，，，，，．所以，，．因?yàn)椋?，所以．又，平面，平面．所以