黃金卷06（新高考八省專用）-【贏在高考黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（解析版）

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考八省專用）黃金卷06（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．已知集合，則（

）A．[1,2] B． C． D．【答案】B【分析】解一元二次不等式得集合，根據(jù)集合的描述法轉(zhuǎn)化得集合，根據(jù)集合的并集的概念求解即可得結(jié)論.【詳解】不等式解得，則，函數(shù)中，所以，故，所以.故選：B.2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡可得出復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，，所以，.故選：D.3．已知命題，，命題，，則（

）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題【答案】C【分析】解不等式，結(jié)合的值域?yàn)?，及命題的真假判斷即可.【詳解】，即，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，解得，所以命題是真命題；的值域?yàn)?，所以命題是假命題，則是真命題.故選：.4．紫砂壺是中國特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺、石瓢壺、潘壺等，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺，如圖給了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壺的容積約為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一：利用圓臺體積公式進(jìn)行求解，再結(jié)合選項(xiàng)得到答案；法二：補(bǔ)全圖像利用三角形相似可求出小圓錐體的高，大圓錐體積減小圓錐體積即可求解.【詳解】解法一：根據(jù)題意可知，根據(jù)圓臺體積公式可得.解法二：如圖，設(shè)小圓錐的高為，根據(jù)三角形相識可得，解得，所以該壺的容積為.故選：B.5．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題給條件求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】由，可得，則，則，則，故故選：C6．已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合已知條件對進(jìn)行變形，得到，再利用基本不等式求最小值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.所以的最小值為.故選：B.7．若函數(shù)在時(shí)取得極小值，則的極大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合極小值的定義建立方程求得參數(shù)，還原函數(shù)解析式明確定義域，求導(dǎo)列表，可得答案.【詳解】由函數(shù)，求導(dǎo)可得，由題意可得，則，解得，所以，則，，令，解得或，可得下表：f極大值極小值則函數(shù)的極大值為.故選：D.8．設(shè)橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦點(diǎn)為，，右頂點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，若A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知條件求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入中形成齊次方程，解出離心率即可.【詳解】

如圖：由題意不妨設(shè)Px1,y因?yàn)?，所以，所以，則，且，即，又由，所以，又，即，結(jié)合解得，代入中，整理得，即，解得（舍）或.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某校為了更好地支持學(xué)生個(gè)性發(fā)展，開設(shè)了學(xué)科拓展類?科技創(chuàng)新類?體藝特長類三種類型的校本課程，每位同學(xué)從中選擇一門課程學(xué)習(xí).現(xiàn)對該校5000名學(xué)生的選課情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖1，并用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取2%的學(xué)生對所選課程進(jìn)行了滿意率調(diào)查，如圖2.則下列說法正確的是（

）

A．滿意度調(diào)查中抽取的樣本容量為5000B．該校學(xué)生中選擇學(xué)科拓展類課程的人數(shù)為1250C．該校學(xué)生中對體藝特長類課程滿意的人數(shù)約為875D．若抽取的學(xué)生中對科技創(chuàng)新類課程滿意的人數(shù)為30，則【答案】BC【分析】根據(jù)滿意率調(diào)查圖表即可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)題意計(jì)算即可判斷C選項(xiàng)，列出方程即可判斷D選項(xiàng).【詳解】滿意率調(diào)查中抽取的樣本容量為錯(cuò)誤；由扇形統(tǒng)計(jì)圖知，則人，B正確；該校學(xué)生中對體藝特長類課程滿意的人數(shù)約為人，C正確；抽取的學(xué)生中對科技創(chuàng)新類課程滿意的人數(shù)為30，則，則，D錯(cuò)誤.故選：BC.10．定義在R上的偶函數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用特殊值及偶函數(shù)性質(zhì)判斷A；根據(jù)已知條件得、判斷B、C；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，舉反例判斷D.【詳解】由，令，則，又為偶函數(shù)，則，A對；由上，得①，在①式，將代換，得②，B錯(cuò)；在②式，將代換，得，C對；由且，即周期為2且關(guān)于對稱，顯然是滿足題設(shè)的一個(gè)函數(shù)，此時(shí)，D錯(cuò).故選：AC11．已知函數(shù)，，對都有，且的零點(diǎn)有且只有3個(gè).下列選項(xiàng)中正確的有（）A．B．的取值范圍為C．使的有且只有2個(gè)D．方程的所有根之和為【答案】AC【分析】，始終把看做一個(gè)整體，借助正弦函數(shù)的圖象、最值、方程的根來對選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】，令，則，令，即，，，則在上有3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故錯(cuò)誤；，，則，所以，故正確；若，即，或，故正確；，且的零點(diǎn)有且只有3個(gè)，所以方程有四個(gè)根，從小到大分別為.，即，則，則，故，即方程的所有根之和為，故錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決的取值范圍與最值問題主要方法是換元法和卡住的大致范圍，如本題選項(xiàng)，具體方法為：（1）根據(jù)的范圍，求出的范圍；（2）把看成一個(gè)整體，即利用換元法，把變成來降低解決問題的難度，再借助正弦函數(shù)的圖象，要使有3個(gè)零點(diǎn)，則的最大值就必須在之間，列出不等式即可求出的取值范圍.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知平面向量，滿足，則.【答案】2【分析】根據(jù)向量的模長結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得數(shù)量積.【詳解】因?yàn)?，所以，則，解得.故答案為：2.13．已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)數(shù)表示斜率，結(jié)合切線過原點(diǎn)可計(jì)算切點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而算出的值.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由得，，故切線斜率，由直線可知切線過，故，∴，解得，∴.故答案為：.14．已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4，過點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，延長交準(zhǔn)線于點(diǎn)兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影分別為，若，則的面積為．【答案】【分析】借助焦半徑公式可得，借助拋物線定義與相似三角形的性質(zhì)計(jì)算可得，結(jié)合三角形面積公式即可得解.【詳解】由拋物線過點(diǎn)，且，得，準(zhǔn)線方程為，如圖．因?yàn)?，所以，所以，連接，又，所以為等邊三角形，因?yàn)椋?，得，得，所以，由，解得，所以．故答案為?

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助相似三角形的性質(zhì)，得到系列等式，以解出、.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，已知成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記和分別為數(shù)列和的前項(xiàng)和，證明：.【答案】(1)，.(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)的公比為，利用等比數(shù)列的基本量運(yùn)算代入計(jì)算求出即得；（2）利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算，運(yùn)用作差法比較兩者即得證.【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，設(shè)的公比為，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）由（1）可得.數(shù)列bn的前項(xiàng)和，①則.②由①②得，即.由，可得，得證.16．（15分）已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，，平面平面，平面四邊形CBDE中，，平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，可證平面，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，從而可證結(jié)論成立.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)正的邊長為2，求出相關(guān)點(diǎn)的的坐標(biāo)，求出平面的法向量，平面的法向量，取法向量的方向一進(jìn)一出，利用空間向量的公式求解即可．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，又因?yàn)榈冗吶切?，所以，又因?yàn)槊嫫矫妫矫嫫矫?，面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，又點(diǎn)為中點(diǎn)，所以且，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以平面，平面，所以平面平面；（2）由（1）可知平面，平面，所以，又因?yàn)椋?，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)正的邊長為2，則，，設(shè)平面的法向量為，則，不妨令，則，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量，則，不妨令，則，所以平面的法向量為，所以，所求二面角的正弦值為．17．（15分）重慶市高考數(shù)學(xué)自年起第至題為多選題，每道題共個(gè)選項(xiàng)，正確選項(xiàng)為兩個(gè)或三個(gè)，其評分標(biāo)準(zhǔn)是:每道題滿分分，全部選對得分，部分選對得部分分(若某道題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得分;若某道題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得分)，錯(cuò)選或不選得分.現(xiàn)甲、乙兩名同學(xué)參加了有這種多選題的某次模擬考試.(1)假設(shè)第題正確選項(xiàng)為三個(gè)，若甲同學(xué)完全不會，就隨機(jī)地選了兩項(xiàng)或三項(xiàng)作答，所有選法等可能，求甲同學(xué)第題得分的概率;(2)已知第10題乙同學(xué)能正確的判斷出其中的一個(gè)選項(xiàng)是不符合題意的，他在剩下的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地猜選了兩個(gè)選項(xiàng);第題乙同學(xué)完全不會，他在四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地猜選了一個(gè)選項(xiàng).若第10題和題正確選項(xiàng)是兩個(gè)和三個(gè)的概率都為.求乙同學(xué)第10題和題得分總和的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為【分析】（1）設(shè)四個(gè)選項(xiàng)分別為，其中錯(cuò)誤選項(xiàng)為，列舉法進(jìn)行求解；（2）設(shè)出事件，得到第10題乙同學(xué)得分的概率，第題乙同學(xué)得分的概率，第題得分總和的可能取值為，用獨(dú)立事件概率乘法公式得到相應(yīng)的概率，從而求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）假設(shè)四個(gè)選項(xiàng)分別為，其中錯(cuò)誤選項(xiàng)為，總的選法共有10種，分別為，其中得分的選法為，共種，故甲同學(xué)得分的概率為；（2）第10題乙同學(xué)三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)猜選兩項(xiàng)，用分別表示第10題乙同學(xué)得分，第題乙同學(xué)四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)猜選一項(xiàng)，用分別表示第題乙同學(xué)得分，則，，，，，，從而第題得分總和的可能取值為，，，，，，，，，的分布列為：02346789故數(shù)學(xué)期望為.18．（17分）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若存、在，滿足，證明：；(3)對任意的，恒成立，其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）求導(dǎo)，分，討論求解；（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為證明，然后利用極值點(diǎn)偏移證明；（3）將問題轉(zhuǎn)化為求解；【詳解】（1）解：的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得或（舍去），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，，由（1）知時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，可證．不妨設(shè)，要證，即證，即證，因?yàn)椋约醋C．令，其中，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以．綜上，．（3），由，得，即，所以對任意的，恒成立，等價(jià)于令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，所以存在，使得，所以，即，所以，所以，令，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以又時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍是．19．（17分）在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，其離心率為，且點(diǎn)為雙曲線右支上一動點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，且與的漸近線交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)上方．當(dāng)軸時(shí)，直線為的等線．已知雙曲線在其上一點(diǎn)處的切線方程為．(1)求雙曲線的方程；(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積；(3)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，點(diǎn)的軌跡為曲線，證明：在點(diǎn)處的切線為的等線．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）在雙曲線的方程中，令，結(jié)合已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)“等線”的定義可得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，即可得出雙曲線的方程；（2）利用給定定義，求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，最后得到四邊形面積即可.（3）利用給定條件和新定義證明即可.【詳解】（1）解：在雙曲線的方程中，令，解得，因?yàn)橹本€為的等線，顯然點(diǎn)在直線的上方，故有，又F1?c,0、，有，，，