專題31 最值模型之將軍飲馬模型解讀與提分精練（全國）（解析版）

專題31最值模型之將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對(duì)稱衍生而來，同時(shí)還需掌握平移型將軍飲馬（即將軍遛馬、造橋或過橋），主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值） 1模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值） 6模型3.將軍飲馬模型（多線段和的最值） 9 15模型1.將軍飲馬模型（雙線段和的最小值）條件：A，B為定點(diǎn)，m為定直線，P為直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP+BP的最小值。模型（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：模型（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：模型（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：模型（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：圖（1）圖（2）模型（1）：如圖（1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段AB的長度。模型（2）：如圖（2），作點(diǎn)A關(guān)于定直線m的對(duì)稱點(diǎn)A’,連結(jié)A’B,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AP+BP的最小值即為：線段A’B的長度。例1．（2024·陜西西安·一模）如圖，在四邊形中，，，，，，E是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查軸對(duì)稱中最短路線問題，正方形的判定，勾股定理，靈活運(yùn)用將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵．取的中點(diǎn)H連接，，，，證明出F點(diǎn)就是與的交點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，四邊形是正方形，利用將軍飲馬模型得到是的最小值，再在中，利用勾股定理求出即可．【詳解】取的中點(diǎn)H連接，，，，，四邊形是平行四邊形，，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，與的交點(diǎn)就是的中點(diǎn)F，連接，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是正方形，A，C關(guān)于BH對(duì)稱，連接，，則，，即的最小值為的長，在中，，，由勾股定理，得，故答案為：．例2．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】如圖，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，則，，，當(dāng)重合時(shí)，最小，最小值為，再進(jìn)一步結(jié)合勾股定理求解即可.【詳解】解：如圖，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，則，，，∴當(dāng)重合時(shí)，最小，最小值為，∵，，在中，∴，，∴，，∵，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求最小值問題，正確理解各性質(zhì)及掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．例3．（2024·廣東·二模）如圖，菱形的一條對(duì)角線，，P是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為邊，的中點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，證明四邊形為平行四邊形，為最小值，再求出菱形的邊，即為的最小值．【詳解】解：如圖，連接，交于，∵菱形，∴，，，，∵∴，∴，∴，∴，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，∴，∵點(diǎn)為邊上的中點(diǎn)，則點(diǎn)也為邊的中點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)、、在一條直線上時(shí)，有最小值，連接交于，∴當(dāng)重合時(shí)，為最小值，∵為的中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴的最小值是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱中的最短距離問題、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決最短距離問題是解答本題的關(guān)鍵．例4．（2024·河南洛陽·模擬預(yù)測）如圖，在扇形中，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為半徑上一動(dòng)點(diǎn)．若陰影部分周長的最小值為，則扇形的半徑的長為．

【答案】2【分析】本題主要考查扇形周長的計(jì)算，軸對(duì)稱最短路徑的計(jì)算方法，掌握扇形弧長的計(jì)算方法，軸對(duì)稱求最短路徑的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可求出，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，可得最小，則扇形周長最小，由此即可求解．【詳解】解：∵平分，，∴，設(shè)扇形的半徑，∴的長為：，陰影部分的周長最小為，如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，此時(shí)，的值最小，即陰影部分的周長最小，

∴，∴，即，解得，，故答案為：．模型2.將軍飲馬模型（雙線段差的最大值）條件：A，B為定點(diǎn)，m為定直線，P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|AP-BP|的最大值。模型（1）：點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：模型（2）：點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：圖（1）圖（2）模型（1）：如圖（1），延長AB交直線m于點(diǎn)P，當(dāng)A、B、P不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’A-P’B|＜AB，當(dāng)A、B、P共線時(shí)，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB的長度。模型（2）：如圖（2），作點(diǎn)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接AB’交直線m于點(diǎn)P，此時(shí)PB=PB’。當(dāng)A、B、P不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，當(dāng)A、B、P共線時(shí)，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即為：線段AB’的長度。例1．（2024·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA－PB|的最大值為____．【答案】6【分析】作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交CD于P，則點(diǎn)P就是使|PA-PB|的值最大的點(diǎn)，|PA-PB|=A′B，連接A′C，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根據(jù)角的和差關(guān)系得到∠ACD=75°，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】如圖，作A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接并延長交延長線于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是使的值最大的點(diǎn)，，連接，∵為等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∵點(diǎn)A與A′關(guān)于CD對(duì)稱，∴CD⊥AA′，，，∴，∵AC=BC，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．故答案為：6【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．例2．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在菱形中，為邊中點(diǎn)，而點(diǎn)在邊上，為對(duì)角線所在直線上一動(dòng)點(diǎn)，已知，，且，則的最大值為．【答案】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，軸對(duì)稱中最值問題，勾股定理．取的中點(diǎn)，連接，易得，故，即當(dāng)共線時(shí)，最大，作于，先后求出，最后用勾股定理求即可．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，四邊形是菱形在和中連接當(dāng)共線時(shí)，最大，圖中處作于．即的最大值為．例3．（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期中）如圖，在正方形中，，與交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且為對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最大值為．

【答案】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，最值問題等，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．以為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)可知，，由此可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取“”，此時(shí)即的值最大，由正方形的性質(zhì)求出的長，繼而可得，，再證明，可得，，判斷出為等腰直角三角形，求得長即可得答案．【詳解】解：如圖，以為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)可知，，∴，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取“”，∵在正方形中，，，∴，∵O為中點(diǎn)，∴，∵N為中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，故答案為：2．模型3.將軍飲馬（多線段和的最值模型）模型（1）：兩定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)條件：A，B為定點(diǎn)，在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)（圖1-1）；內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)（圖1-2）；兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)（圖1-3）圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（2）：一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)條件：如圖2，A為定點(diǎn)，在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使三角形APQ的周長（AP+PQ+QA）最小。圖1-1圖1-1圖1-1圖2模型（1-1）（兩點(diǎn)都在直線外側(cè)型）如圖（1-1），連結(jié)AB,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB的長度。模型（1-2）（直線內(nèi)外側(cè)各一點(diǎn)型）如圖（1-2），作點(diǎn)B關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)B’,連結(jié)AB’,根據(jù)對(duì)稱得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段AB’的長度。模型（1-3）（兩點(diǎn)都在直線內(nèi)側(cè)型）如圖（1-3），作點(diǎn)B關(guān)于定直線n的對(duì)稱點(diǎn)B’,作點(diǎn)A關(guān)于定直線m的對(duì)稱點(diǎn)A’,連結(jié)A’B’,根據(jù)對(duì)稱得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PQ+QB的最小值即為：線段A’B’的長度。模型（2）：如圖（2），作點(diǎn)A分別關(guān)于定直線m、n的對(duì)稱點(diǎn)A’、A’’,連結(jié)A’B,根據(jù)對(duì)稱得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即為：線段A’A’’的長度。例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點(diǎn)E在邊上且，點(diǎn)P，Q分別是邊，的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形的周長取最小值時(shí)，四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，四邊形的周長最小，根據(jù)，即可解．【詳解】解：如圖1所示，作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，四邊形的周長最小，∵，，∴，．∵，D是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∵，∴，∴，即，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出四邊形的周長最小時(shí)，P、Q的位置．例2．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點(diǎn)M、N分別在邊上，且，點(diǎn)P、Q分別在邊上，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值；證出△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．【詳解】解：作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，如圖所示：連接M′N′，即為MP+PQ+QN的最小值．根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：，，∠N′OQ=∠M′OB=30°，∴∠NON′=60°，，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′=．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱--最短路徑問題，根據(jù)軸對(duì)稱的定義，找到相等的線段，得到等邊三角形是解題的關(guān)鍵．例3．（23-24九年級(jí)上·陜西漢中·期中）（1）如圖①，在中，．若點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)．則的最小值為．（2）如圖②，在中，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．若點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，求的最小值．（3）公園內(nèi)有一條四邊形型環(huán)湖路，如圖③．若米，米，．為滿足市民健身需求，現(xiàn)要修一條由，連接而成的步行景觀道，其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上．為了節(jié)省成本，要使所修的這條步行景觀道最短，即的值最小，求此時(shí)的長．（路面寬度忽略不計(jì)）

【答案】（1）；（2）的最小值為；（3）的長為500米，的長為1000米【分析】（1）過B作于P，由垂線段最短可知，時(shí)，的值最小，由面積法即可求解；（2）作E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于P，由E，關(guān)于直線對(duì)稱，可知，當(dāng)B，P，共線時(shí)，此時(shí)最小，最小值為的長度，根據(jù)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，可得，再用勾股定理可得答案；（3）作C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交于H，作C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)N，連接，延長，交于G，連接，連接交于E，交于F，由C，N關(guān)于對(duì)稱，C，M關(guān)于對(duì)稱，，當(dāng)N，E，F(xiàn)，M共線，最小，根據(jù)，，可得，即得米，米，米，由，知是等邊三角形，從而米，同理可得米，，即得米，米，故米，知，在中，米，在中，米，即得米．【詳解】解：（1）過B作于P，如圖：

由垂線段最短可知，時(shí)，∵，∴，∵，∴；故答案為：；（2）作E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于P，如圖：∵E，關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，當(dāng)B，P，共線時(shí)，最小，最小值為的長度，∵，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵E，關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，在中，，∴的最小值為；（3）作C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交于H，作C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)N，連接，延長，交于G，連接，連接交于E，交于F，如圖：∵由C，N關(guān)于對(duì)稱，C，M關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，當(dāng)N，E，F(xiàn)，M共線時(shí)，此時(shí)最小；∵，∴，∵C，M關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∴米，由勾股定理得米，∴米，∵，∴是等邊三角形，∴米，∴米，∵，∴，∵C，N關(guān)于對(duì)稱，∴C，B，N共線，，∴米，由勾股定理得米，∴米，∴，∵，∴，∴，在中，（米），在中，（米），∴（米），答：的長為500米，的長為1000米．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是作對(duì)稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決問題．1．（2024·河南周口·一模）如圖，正方形中，點(diǎn)M，N分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，．若，則的最小值為（

）A． B． C．5 D．【答案】B【分析】先根據(jù)得，進(jìn)而可得，由此可得E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在是以為直徑的圓上．延長至使，得與F關(guān)于直線對(duì)稱．連接交于P點(diǎn)，交圓O于E點(diǎn)，則，此時(shí)的值最小，根據(jù)勾股定理求出的長，即可得的最小值．【詳解】∵是正方形，，，又，，，又，，，∴E點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)的中點(diǎn)為O，則，延長至使，則與F關(guān)于直線對(duì)稱，連接交于P點(diǎn)，交圓O于E點(diǎn)，則，，此時(shí)P、E、F三點(diǎn)共線，因此的值最?。谥?，，，，，∴的最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題是一道動(dòng)點(diǎn)問題和最值問題的綜合性題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直徑所對(duì)圓周角等于90度、軸對(duì)稱的性質(zhì)．找出E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．2．（2024·山東泰安·二模）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是邊的點(diǎn)，，點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)，連接，以為直角邊作等腰直角，為斜邊，連接，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)G作于H，則可證明，得；取中點(diǎn)O，則，則點(diǎn)G在直線上運(yùn)動(dòng)，連接，則，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，從而最小，由勾股定理即可求得最小值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作于H，則，；四邊形是矩形，，，，；，，；取中點(diǎn)O，連接，則，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，則點(diǎn)G在直線上運(yùn)動(dòng)；連接，則垂直平分，，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)最小，從而最小，，則由勾股定理，即的最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑是解題的關(guān)鍵．3．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形，點(diǎn)、、、均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】A【分析】直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B，連接BE，則線段BE的長即是PD+PE的最小值．【詳解】如圖：連接BE，∵菱形ABCD，∴B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱，，∵直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，點(diǎn)，∴，，∴∴△CDB是等邊三角形∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴,且BE⊥CD，∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形用勾股定理求線段長．4．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接．點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，，通過證明四邊形是平行四邊形，可得，則，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，則，點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為．【詳解】解：四邊形是矩形，，，點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，，，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，，如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接，，則，

當(dāng)點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為，在中，，，，的最小值，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用等量代換思想．5．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，是線段上一點(diǎn)，和是位于直線同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．的最小值為 B．的最小值為C．周長的最小值為6 D．四邊形面積的最小值為【答案】A【分析】延長，則是等邊三角形，觀察選項(xiàng)都是求最小時(shí)，進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，則三點(diǎn)共線，各項(xiàng)都取得最小值，得出B，C，D選項(xiàng)正確，即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長，依題意∴是等邊三角形，

∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴∴，∴∴，∴四邊形是平行四邊形，則為的中點(diǎn)，如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)分別為，則∴當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，即，則三點(diǎn)共線，取得最小值，此時(shí)，則，∴到的距離相等，則，此時(shí)此時(shí)和的邊長都為2，則最小，∴，∴∴，或者如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)，則，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，

此時(shí)故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，根據(jù)題意可得三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，則，故B選項(xiàng)正確；周長等于，即當(dāng)最小時(shí)，周長最小，如圖所示，作平行四邊形，連接，∵，則如圖，延長,，交于點(diǎn)，則，∴是等邊三角形，∴，在與中，∴∴∴∴∴，則，∴是直角三角形，

在中，∴當(dāng)時(shí)，最短，∵∴周長的最小值為，故C選項(xiàng)正確；∵∴四邊形面積等于∴當(dāng)?shù)拿娣e為0時(shí)，取得最小值，此時(shí)，重合，重合∴四邊形面積的最小值為，故D選項(xiàng)正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，得出當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)得出最小值是解題的關(guān)鍵．6．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)E在邊上，且，F(xiàn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值為．

【答案】【分析】連接交于一點(diǎn)F，連接，根據(jù)正方形的對(duì)稱性得到此時(shí)最小，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接交于一點(diǎn)F，連接，∵四邊形是正方形，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，此時(shí)最小，∵正方形的邊長為4，∴，∵點(diǎn)E在上，且，∴，即的最小值為故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，點(diǎn)是矩形的對(duì)稱中心，點(diǎn)，分別在邊，上，且經(jīng)過點(diǎn)，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)．則周長的最小值為．【答案】/【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段和的最小值計(jì)算；作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，連接，則的最小值為，證明出周長的最小值為，作于，于，利用勾股定理求出和即可．【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，連接，

，的最小值為，周長的最小值為，作于，于，，，點(diǎn)是矩形的對(duì)稱中心，經(jīng)過點(diǎn)，∵，，，，，，，，周長的最小值為．8．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在四邊形中，，，，連接、交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查全等三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定、軸對(duì)稱最短路徑問題，找到對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化線段是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)作的平行線分別交、于點(diǎn)、，由點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)可得到點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，為的中位線，求證，用等腰三角形“三線合一”證明，所以，即點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以，同時(shí)證明是等邊三角形，，即的最小值為．【詳解】解：過點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、，∵點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)∴點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且為的中位線，∵在和中，∴，∴，∴，，∴，是等邊三角形，∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，又∵∴的最小值為．9．（2024·陜西商洛·三模）如圖，點(diǎn)為正方形的對(duì)稱中心，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且，連接，，則的最小值為．【答案】【分析】如圖，連接，由題意知，，由，得，，證明，則，是等腰直角三角形，由是中點(diǎn)，則，，，如圖，過作于，過作于，由，可知四點(diǎn)共圓，由，可得，進(jìn)而可得在線段上運(yùn)動(dòng)，如圖，延長，作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，過作于，連接交于，連接，由題意知，，且，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，值最小，在中，由勾股定理得，，計(jì)算求解的值即可．【詳解】解：如圖，連接，由題意知，，∵，∴，∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵是中點(diǎn)，∴，∴，，如圖，過作于，過作于，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∵，∴，∴在線段上運(yùn)動(dòng)，如圖，延長，作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，過作于，連接交于，連接，由題意知，，∴，∴三點(diǎn)共線時(shí)，值最小，∵，在中，由勾股定理得，，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形，對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．10．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）如圖，中，，，，I為的內(nèi)心，若M、N分別是斜邊和直角邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查了最短路徑問題，三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，相似三角形的判定和性質(zhì)．解答本題的的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找到點(diǎn)與線段的長，找到數(shù)量關(guān)系．作，，使，，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得到，再根據(jù)三角形的內(nèi)心性質(zhì)得，推出四邊形為正方形，再根據(jù)三角形全等，得到，求出和的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，進(jìn)一步可求得．【詳解】解：分別作，，垂足分別為點(diǎn)D、E、F，使，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)G，∵，，∴，∴，當(dāng)、M、N三點(diǎn)共線且垂直于時(shí)，最短．∵I為的內(nèi)心，，，∴，設(shè)，又∵，∴四邊形是正方形，∴，∵中，，，∴，∴，在和中，∴（），∴，同理，∵，∴，解得，，又∵，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，，即，，∴，∴，∴的最小值為．故答案為：．11．（2024·海南·三模）如圖，矩形中，，，、分別是直線、上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，沿翻折形成，連接、，則，的最小值是.

【答案】14【分析】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的最短路線問題，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，．由，推出，又是定值，即可推出當(dāng)、、、共線時(shí)，定值最小，最小值．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，．

在中，，，，，，是定值，當(dāng)、、、共線時(shí)，定值最小，最小值，的最小值為4，故答案為：1，4．12．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，在中，連接，，的垂直平分線交于E，交于F，P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)．若，的面積是24，則的最小值為．【答案】6【分析】連接，先證明是等腰三角形，點(diǎn)Q是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，∵，∴，，∵，∴，∴，是等腰三角形，點(diǎn)Q是邊的中點(diǎn)，，，解得，是線段的垂直平分線，點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，的長為的最小值，∴的最小值．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱最短路線問題，垂線段最短，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三我的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．13．（2024·山東淄博·一模）如圖，線段與相交于點(diǎn)E，保持，已知，，則的最小值是．【答案】【分析】過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作于，連接，則四邊形為平行四邊形，從而得，，，在中分別求出，，則，由此可求出，然后根據(jù)可得出的最小值．此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，正確地作出輔助線構(gòu)造平行四邊形和直角三角形，理解兩點(diǎn)之間線段最短是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交于，過點(diǎn)作于，連接，如下圖所示：，，，四邊形為平行四邊形，，，又，，在中，，，，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，，，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得：，即，的最小值為，的最小值是．故答案為：．14．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是．

【答案】/【分析】根據(jù)題意，證明，進(jìn)而得出點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，則，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即，進(jìn)而求得，即可求解．【詳解】解：∵為高上的動(dòng)點(diǎn)．∴∵將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．是邊長為的等邊三角形，∴∴∴，∴點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，

作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)交于點(diǎn)，則在中，，則，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，即∵，，∴∴在中，,∴周長的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·江蘇常州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，B是弧的中點(diǎn)，P點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的最小值為.

【答案】【分析】作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，此時(shí)有最小值，連接、、、，根據(jù)圓的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)，得出，，再利用勾股定理求出的長，即可得到的最小值．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，此時(shí)有最小值，連接、、、，點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，，B是弧的中點(diǎn)，，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，，，，，，，由勾股定理得：，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)求最小值，勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱的性質(zhì)作輔助線將所求線段轉(zhuǎn)化．16．（2023·湖北黃岡·校考模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且，點(diǎn)G為直線上一動(dòng)點(diǎn)，的最大值是___________．

【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作于H點(diǎn)．解直角三角形求出，根據(jù)可得結(jié)論．【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作于H點(diǎn)．

∵四邊形是菱形，，，∴，，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∵四邊形是菱形，，且，，∴點(diǎn)E與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，∵，，∴，，∴，∴在中，，∵，當(dāng)且僅當(dāng)F、G、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，∴，∴的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃虇栴}，解直角三角形，勾股定理以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最值問題，屬于中考?？碱}型．17．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形中，，，，，，點(diǎn)為直線左側(cè)平面上一點(diǎn)，的面積為，則的最大值為______．【答案】5【分析】過點(diǎn)P作于H．過點(diǎn)P作直線，作點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線l于，此時(shí)的值最大，即的值最大，最大值為線段的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于．，，，過點(diǎn)作直線，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線于，此時(shí)的值最大，即的值最大，最大值為線段的長，過點(diǎn)作于．，四邊形是矩形，，，，，，的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)三角形的面積，直角梯形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最值問題．18．（2024·陜西榆林·二模）【問題提出】（1）如圖1，在四邊形中，，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接EF，，則的長為________；【問題探究】（2）如圖2，菱形的邊長為8，且，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，求周長的最小值；【問題解決】（3）某校為了開展勞動(dòng)教育，開辟出一塊四邊形空地，其平面示意圖如圖3中四邊形所示，經(jīng)測量，米，米，，并沿著對(duì)角線修建一條隔墻（厚度不計(jì)）將該空地分成和兩個(gè)區(qū)域，其中區(qū)域?yàn)橛酌缗嘤齾^(qū)，區(qū)域?yàn)樽魑镉^察區(qū)，的中點(diǎn)P處有一扇門，現(xiàn)計(jì)劃在上取點(diǎn)E、F（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），并沿修建一面結(jié)果記錄墻（厚度不計(jì)），根據(jù)規(guī)劃要求，米，且與的長度之和最小，請(qǐng)問的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）11；（2）；（3）的值存在最小值，最小值為米．【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義求出，再證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)線段和差即可得到答案；（2）先求出，則當(dāng)最小時(shí)，的周長最?。B接交AC于點(diǎn)，證明，則，即可得到，則當(dāng)B、F、E三點(diǎn)共線，即點(diǎn)F在點(diǎn)的位置時(shí)，取得最小值，最小值為的長．過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)H，進(jìn)一步求出，得到的最小值為．即可得到答案；（3）過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，得到米．在上取點(diǎn)N，使得米，連接．得到四邊形為平行四邊形，進(jìn)一步得到．作點(diǎn)N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G，則垂直平分，，即，則當(dāng)點(diǎn)D、F、三點(diǎn)共線，即點(diǎn)F在點(diǎn)處時(shí)，取得最小值，最小值為，進(jìn)一步求出米，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，故答案為：11（2）菱形的邊長為8，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，當(dāng)最小時(shí)，的周長最?。B接交AC于點(diǎn)，如圖2．四邊形為菱形，，．在和中，，，，，，，當(dāng)B、F、E三點(diǎn)共線，即點(diǎn)F在點(diǎn)的位置時(shí)，取得最小值，最小值為的長．過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)H，如圖2．四邊形為菱形，，．，，，，，即的最小值為．∴周長的最小值為．（3）過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，如圖3．，于點(diǎn)H，∴．點(diǎn)P為的中點(diǎn)，即，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，即米．在上取點(diǎn)N，使得米，連接．，四邊形為平行四邊形，，．作點(diǎn)N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G，如圖3．則垂直平分，，即，當(dāng)點(diǎn)D、F、三點(diǎn)共線，即點(diǎn)F在點(diǎn)處時(shí)，取得最小值，最小值為的長．，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)M，如圖3．∴∴．∴，∴米，∴米．點(diǎn)P、H分別為的中點(diǎn)，為的中位線，米，米，米，米，即的值存在最小值，最小值為米．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例定理、解直角三角形、三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．19．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——將軍飲馬問題：如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河旁邊的P點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營．請(qǐng)問怎樣走才能使總的路程最短？作法如下：如圖1，從出發(fā)向河岸引垂線，垂足為，在的延長線上，取關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與河岸線相交于，則點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到，飲馬之后，再由沿直線走到，所走的路程就是最短的．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖2，在等腰梯形中，，點(diǎn)、是底邊與的中點(diǎn)，連接，在線段上找一點(diǎn)，使最短．作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)重合，連接交于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，故的最小值為_______．(2)實(shí)踐運(yùn)用如圖3，已知的直徑，點(diǎn)A在圓上，且的度數(shù)為，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)在直徑上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．(3)拓展遷移如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸為，且拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)．①求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；②在拋物線的對(duì)稱軸直線上找到一點(diǎn)，使周長最小，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)與周長最小值．【答案】(1)(2)的最小值為(3)①；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為；周長的最小值為【分析】（1）過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，求出，，，證明四邊形為平行四邊形，得出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案；（2）取點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、、，與交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)時(shí)，最小，且最小值為，證明，根據(jù)，利用勾股定理求出即可；（3）①先利用對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；②連接交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)M，連接，，根據(jù)勾股定理求出周長的最小值為；求出直線的解析式為，把代入求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，如圖所示：

則，∵四邊形為等腰梯形，∴，，∴，，∴，，，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，即的最小值為．故答案為：．（2）解：取點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、、，與交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)時(shí)，最小，且最小值為，如圖所示：

∵A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，為直徑，∴點(diǎn)在上，∵，∴，∵點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵直徑，∴，∴，即的最小值為．（3）解：①∵拋物線的對(duì)稱軸為，且拋物線經(jīng)過，∴拋物線與x軸的另外一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為：，∴拋物線的解析式為：，把代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：．②連接交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)M，連接，，如圖所示：

∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴最小，即最小，∵為定值，∴此時(shí)的周長最小，∵，，∴周長的最小值為；設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，把代入得：，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了將軍飲馬問題，二次函數(shù)的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰梯形的性質(zhì)，圓周角定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求出二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析，解題的關(guān)鍵是理解題意，數(shù)形結(jié)合，作出相應(yīng)的輔助線．20．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求此反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在y軸上存在點(diǎn)，使得的值最小，求的最小