專題08 圓中的最值模型之阿氏圓模型解讀與提分精練（北師大版）（解析版）

專題08圓中的最值模型之阿氏圓模型最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.阿氏圓模型 1 13模型1.阿氏圓模型動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之比為定值（即：平面上兩點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA/PB=k（k為常數(shù)，且k≠1）），那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓，因這個(gè)結(jié)論最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱為阿氏圓。如圖1所示，⊙O的半徑為r，點(diǎn)A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，已知r=k·OB（即），連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？最小值是多少呢？如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值。其中與A與C為定點(diǎn)，P為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小，如圖3所示。阿氏圓求最值的本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似，化去比例系數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)將軍飲馬型求最值，難點(diǎn)在于如何構(gòu)造母子相似。阿氏圓最值問題常見考法：點(diǎn)在圓外：向內(nèi)取點(diǎn)（系數(shù)小于1）；點(diǎn)在圓內(nèi)：向外取點(diǎn)（系數(shù)大于1）；一內(nèi)一外：提系數(shù)；隱圓型阿氏圓等。注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識(shí)了“k·PA+PB”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．例1．（2024·湖北武漢·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．【答案】B【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質(zhì)證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問題．答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．例2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方ABCD的邊長(zhǎng)為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_______．【答案】【分析】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，進(jìn)而證明,則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的任意時(shí)刻，均有PM=，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值，勾股定理即可求得．【詳解】如圖，連接，在上取一點(diǎn)，使得，，在△PDM中，PD-PM＜DM，當(dāng)D、M、P共線時(shí)，PD-PM=DM為最大值，四邊形是正方形在中，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．例3．（2024·四川成都·九年級(jí)校考期中）如圖所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B為圓心作圓B與AC相切，點(diǎn)P是圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PC，則PA+PC的最小值為．【答案】【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，PB，AD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得BH為⊙B的半徑，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BH＝AC＝，接著證明△BPD∽△BCP得到PD＝PC，所以PA+PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、D共線時(shí)取等號(hào)），從而計(jì)算出AD得到PA+PC的最小值，乘以可得結(jié)論．【詳解】解：過B作BH⊥AC于H，取BC的中點(diǎn)D，連接PD，PB，AD，∵AC為切線，∴BH為⊙B的半徑，∵∠B＝90°，AB＝CB＝2，∴AC＝BA＝2，∴BH＝AC＝，∴BP＝，∴，，∴，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴，∴PD＝PC，∴PA+PC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)A、P、D共線時(shí)且P在AD之間時(shí)取等號(hào)），而AD＝＝，∴PA+PD的最小值為，即PA+PC的最小值為，則PA+PC的最小值．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．解決問題的關(guān)鍵是利用相似比確定線段之間的關(guān)系．同時(shí)也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．例4．（2024·重慶·?？家荒＃┤鐖D，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在上，，，點(diǎn)C在OA上，且，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．延長(zhǎng)到T，使得，連接，．利用相似三角形的性質(zhì)證明，求的最小值問題轉(zhuǎn)化為求的最小值．利用兩點(diǎn)之間線段最短得到，利用勾股定理求出即可解題．【詳解】解：延長(zhǎng)到T，使得，連接，．，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，又在中，，，，，的最小值為，故答案為：．例5．（2024·福建·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形邊長(zhǎng)為4，是的中點(diǎn)，在上，的最大值是，的最小值是.【解答】解：(1)如圖，連接，，交于點(diǎn)，連接，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，當(dāng)、、在一條直線上時(shí)，，.(2)延長(zhǎng)CD至點(diǎn)H，使CH=2CD顯然，由（1）可知∴由勾股定理可得，，故.例6．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，，，是第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接、，(1)求直線的解析式．(2)求的最小值．【答案】(1)直線的解析式為(2)的最小值為【分析】本題考查了一次函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）取點(diǎn)，連接，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)得到，推出，求出，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為，將，代入得：，解得：，直線的解析式為；（2）如圖，取點(diǎn)，連接，，，，，，，，，，，，，，，，，，的最小值為．例7．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接PC，PM，當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)，始終保持∠MPC＝45°，連接BP，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BP中點(diǎn)，求3BP＋2EF的最小值為．

【答案】2【分析】根據(jù)題意連接AP可得EF為中位線，將所求3BP＋2EF轉(zhuǎn)化為3（PB+PA），始終保持∠MPC為45°，可知P軌跡是圓弧，并找到圓心為O，連接OA，在OA上取N使得ON=OP，構(gòu)造出△OPN∽△OAP，由此可將3（PB+PA）轉(zhuǎn)化為3（PB+PN），利用兩點(diǎn)之間線段最短，計(jì)算出3BN的值即可．【詳解】根據(jù)條件始終保持∠MPC＝45°，所以點(diǎn)P的軌跡為圓弧，設(shè)圓心為O，如圖1：

∵正方形ABCD中AB=，M為中點(diǎn)∴CM=BM=，∵∠MPC＝45°∴半徑為1作輔助線：連接OA，在OA上取N使得ON=OP，連接AP，OP，PN，如圖2：根據(jù)題意正方形對(duì)角線AC=4，所以O(shè)A=3=3OP，∴，∠NOP=∠AOP∴△OPN∽△OAP∴即PN=PA∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN）連接BN，交圓弧于P點(diǎn)，此時(shí)B、P、N三點(diǎn)共線，即BP+PN取得最小值，過G作NG⊥BC交BC于G，如圖所示：∵CN=OC+CN=1+=，∴NG=CG=，∴BG=，根據(jù)勾股定理可得，BN=,∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，結(jié)合了相似三角形，動(dòng)點(diǎn)軌跡，最短距離以及圓的相關(guān)知識(shí)，屬于壓軸題，學(xué)生必須熟練掌握構(gòu)造相似三角形的方法，并找到動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧，再結(jié)合最短距離求解本題．例8．（2024·廣東·?？级＃?）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點(diǎn)且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，⊙A的半徑為2，點(diǎn)P是⊙A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點(diǎn)P是⊙A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求2PC?PB的最大值．【答案】（1）見解析；（2）10；（3）【分析】（1）證明△PAQ∽△BAP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明PB=2PQ；（2）在AB上取一點(diǎn)Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出當(dāng)點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如圖的輔助線，同（2）法推出當(dāng)點(diǎn)P在CQ交⊙A的點(diǎn)P′時(shí)，PC?PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC?PB的最大值．【詳解】解：（1）證明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ?AB=4．∴．又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；（2）如圖，在AB上取一點(diǎn)Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ．∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．∵PC+PQ≥QC，∴當(dāng)點(diǎn)C、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PQ的值最小．∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值為10．（3）如圖，在AB上取一點(diǎn)Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ，延長(zhǎng)CQ交⊙A于點(diǎn)P′，過點(diǎn)C作CH垂直AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC?PB=2PC?2PQ=2(PC?PQ)，∵PC?PQ≤QC，∴當(dāng)點(diǎn)P在CQ交⊙A的點(diǎn)P′時(shí)，PC?PQ的值最大．∵QC==，∴2PC?PB=2(PC?PQ)≤2．∴2PC?PB的最大值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了圓有關(guān)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決．例9．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對(duì)稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為(2)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或(3)【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸，，得到點(diǎn)A及B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在上取點(diǎn)，使，連接，證得，又，得到，推出，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長(zhǎng)，利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的對(duì)稱軸，，∴，將代入直線，得，解得，∴直線的解析式為；將代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）存在點(diǎn)，∵直線的解析式為，拋物線對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．∴當(dāng)時(shí)，，∴，①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為，將代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，解得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或；（3）如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，∵，∴，∵，、∴，又∵，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長(zhǎng)，∵，∴，∴的最小值為．

【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．1．（2024·山東泰安·二模）如圖，在中，，，，以為圓心，為半徑作，為上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形；懂得依題意作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．在上截取，使得，連接，，．利用相似三角形的性質(zhì)證明，可得，利用勾股定理求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，在上截取，使得，連接，，．∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，在中，，，，∴，∴，∴的最小值為．故選：C．2．（2024·四川宜賓·二模）正方形邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)F、Q，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，連接．以下說法：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)；③；④點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，有最小值6．其中結(jié)論正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】如圖1所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，證明得到，進(jìn)而證明，得到，則可得，由，得到，設(shè)，則，，由勾股定理得，解得，則，據(jù)此可判斷①；如圖2所示，連接，證明四點(diǎn)共圓，得到，則，當(dāng)時(shí)，，則，即可判斷②；如圖1所示，由全等三角形的性質(zhì)可得；如圖2所示，連接，證明，進(jìn)而可證明，再證明，即可得到，即可判斷③；如圖2所示，取中點(diǎn)O，連接，在上截取，連接，過點(diǎn)T作于S，求出，則，證明，得到，則當(dāng)在上時(shí)，有最小值，即有最小值，解直角三角形得到，，則，進(jìn)而可得，的最小值為6，即可判斷④．【詳解】解：如圖1所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，

∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，故①正確；如圖2所示，連接，∵，∴，∵，∴，∴四點(diǎn)共圓，∴，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴，故②正確；如圖1所示，∵，∴；如圖2所示，連接∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，故③正確；如圖2所示，取中點(diǎn)O，連接，在上截取，連接，過點(diǎn)T作于S，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)在上時(shí)，有最小值，即有最小值，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴的最小值為6，故④正確；故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，解直角三角形，正方形的性質(zhì)勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形，相似三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如圖：以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，連接，，連接、，推得，因?yàn)?，求出即可求出答案．【詳解】如圖：以為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，連接，，∴，，四邊形正方形，又，在與中，故答案為：2．解法2如圖：連接、、根據(jù)題意正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為2，在上做點(diǎn)，使，則，連接在與中，，則在上做點(diǎn)，使，則，連接在與中，，則如圖所示連接在與中，，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形，勾股定理等知識(shí)，難度較大，熟悉以上知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用是解題關(guān)鍵．4．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接最小值__________．最小值__________．【答案】

；

．【分析】如圖，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，連結(jié)AD，可證△PCD∽△BCP．可得PD=BP，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根據(jù)勾股定理AD==即可；在AC上取CE=，△PCE∽△ACP．可得PE=AP，當(dāng)點(diǎn)B，P，E在同一條直線時(shí)，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=，CB=4，根據(jù)勾股定理BE=即可．【詳解】解：如圖，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=1，連結(jié)AD，∵CP=2，BC=4，∴，∴，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，當(dāng)點(diǎn)A，P，D在同一條直線時(shí)，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，∵CD=1，CA=6，∴AD==，∴AP+BP的最小值為．故答案為：在AC上取CE=，連接CP，PE∵∴又∵∠PCE=∠ACP，∴△PCE∽△ACP．∴，∴PE=AP，∴BP+AP=BP+PE，當(dāng)點(diǎn)B，P，E在同一條直線時(shí)，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，∵CE=，CB=4，∴BD=，∴BP+AP的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，構(gòu)造相似三角形解決比例問題，勾股定理，掌握?qǐng)A的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是引輔助線準(zhǔn)確作出圖形是解題關(guān)鍵．5．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，銳角大小為，與相切于點(diǎn)E，在上任取一點(diǎn)P，則的最小值為___________．【答案】．【分析】在AD上截取AH=1.5，根據(jù)題意可知，AP=，可得，證△APH∽△ADP，可知PH=，當(dāng)B、P、H共線時(shí)，的最小，求BH即可．【詳解】解：在AD上截取AH=1.5，連接PH、AE，過點(diǎn)B作BF⊥DA延長(zhǎng)線，垂足為F，∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF=，∴，∵∠PAD=∠PAH，∴△ADP∽△APH，∴，∴PH=，當(dāng)B、P、H共線時(shí)，的最小，最小值為BH長(zhǎng)，BH=；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了阿氏圓，解題關(guān)鍵是構(gòu)造子母相似，利用兩點(diǎn)之間，線段最短解決問題．6．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B，所有滿足k(k為定值)的P點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，【問題解決】如圖，在△ABC中，CB4，AB2AC，則△ABC面積的最大值為_____．【答案】【分析】以A為頂點(diǎn)，AC為邊，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，證出△APC∽△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，從而求出AP、BP和CP，即可求出點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后找出距離BC最遠(yuǎn)的A點(diǎn)的位置即可求出結(jié)論．【詳解】解：以A為頂點(diǎn)，AC為邊，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，∵∠APC=∠BPA，AB2AC∴△APC∽△BPA，∴∴BP=2AP，CP=AP∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即點(diǎn)P為定點(diǎn)∴點(diǎn)A的軌跡為以點(diǎn)P為圓心，為半徑的圓上，如下圖所示，過點(diǎn)P作BC的垂線，交圓P于點(diǎn)A1，此時(shí)A1到BC的距離最大，即△ABC的面積最大S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面積的最大值為故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)、確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和求三角形的面積，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的定義和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．7．（2024·四川成都·一模）如圖，矩形中，已知為邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿邊翻折到．點(diǎn)與點(diǎn)重合．連接．則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，在上取點(diǎn)G，使，連接，，證明，可得出，則，當(dāng)D、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，在中，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：在上取點(diǎn)G，使，連接，，∵翻折，∴，又，∴，，∴，又，∴，∴，∴，∴，當(dāng)D、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，最小，在中，，，，∴，即的的最小值為．故答案為：．8．（2024·四川自貢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以O(shè)為圓心，4為半徑作，分別交兩邊于點(diǎn)C，D兩點(diǎn)，P為劣孤上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值．【答案】【分析】本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，取的中點(diǎn)E，證明，從而得出，進(jìn)而由，所以最小值是長(zhǎng)，再利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接，取的中點(diǎn)E，連接，∵，，∴，∴，∴，∴的最小值是，∵，，∴，∴的最小值是，故答案為：．9．（2024九年級(jí)·廣東·專題練習(xí)）如圖，的半徑為，，Q為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值．的最小值【答案】【分析】連接OQ，在OM上取一點(diǎn)H，使OH=1，連接QH、PH，先證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，求的最小值轉(zhuǎn)化為求PQ+QH的最小值，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及勾股定理即可得出答案；連接OQ，在OP上取一點(diǎn)A，使OA=，連接QA、MA，先證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，求的最小值轉(zhuǎn)化為求QM+QA的最小值，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及勾股定理即可得出答案．【詳解】解：連接OQ，在OM上取一點(diǎn)H，使OH=1，連接QH、PH，，Q是上一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短得到當(dāng)Q在PH上時(shí)，PQ+QH最小即PQ+QM最小，最小值是PH=．連接OQ，在OP上取一點(diǎn)A，使OA=，連接QA、MA，又Q是上一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短得到當(dāng)Q在MA上時(shí)，QM+QA最小即PQ+QM最小，最小值是MA=．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、圓的基本概念，熟練掌握性質(zhì)定理及添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．10．（2024九年級(jí)·廣東·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，D是弧上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值．【答案】【分析】連接CO并延長(zhǎng)至點(diǎn)P使，證△CDO∽△CPD，得出PD=OD，當(dāng)B、D、P共線時(shí)最小，求BP長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接CO并延長(zhǎng)至點(diǎn)P使，連接DP、CD、BP、CB，∵C點(diǎn)坐為，∴OC=，∵CD=∴=，∴CP=，∴OP=∵∠AOP=45°，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（）∵∠DCO=∠DCP，，∴△CDO∽△CPD，∴，∴PD=OD，當(dāng)B、D、P共線時(shí)，=BD+DP=BP，此時(shí)最小，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，n），∵C點(diǎn)坐標(biāo)為，∴解得，n1=3，n2=-1，由圖可知點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，3）由P點(diǎn)坐標(biāo)（），B坐標(biāo)（0，3）可得；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了阿氏圓，解題關(guān)鍵是構(gòu)造子母相似，利用兩點(diǎn)之間，線段最短解決問題．11．（23-24九年級(jí)上·重慶江津·階段練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則2PB＋PC的最小值為．【答案】【分析】如圖，連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CO與AB交于G，連接，，，，首先證明，得到，所以，而（當(dāng)且僅當(dāng)、P、共線時(shí)取等號(hào)），從而計(jì)算出得到的最小值．【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CO與AB交于G，連接，，，BO，為的內(nèi)切圓，，是等邊三角形，，，，同理可得在中，，∴，∴，，，，，，，，，，的最小值為的長(zhǎng)度，的最小值為的長(zhǎng)度，，，，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是利用相似比確定線段．12．（2023·廣東廣州·二模）【問題情境】（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，若，則的長(zhǎng)度是_________；【類比探究】（2）如圖2，四邊形是矩形，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接，判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；【拓展提升】（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，求的最小值．

【答案】（1）；（2），，見解析；（3）【分析】（1）通過證明，得到，求出即可；（2）通過證明得到，所以．．延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H．因?yàn)榫匦?，所以，所以，，所以，所以；?）將的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．【詳解】解：（1）∵正方形，∴，∵，∴，∵正方形，∴，∴，在和中，，∴．∴，故答案為：；（2）解：，．理由如下：延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H．

∵矩形、矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵矩形，∴．∴，，∴，∴．∴；（3）解：作于N，交的延長(zhǎng)線于M．

∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)G在直線上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則：，∴當(dāng)B，G，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，連接交于G，此時(shí)的最小值為，由（2）知，，∴，∴，∴的最小值就是的最小值．∵，，，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時(shí)出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化線段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．13．（2024·重慶·二模）在中，，點(diǎn)E是內(nèi)部的一點(diǎn)，連接，且，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D．

(1)如圖1，若，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作交于點(diǎn)M，求證：．(3)如圖3，在（1）問的條件下，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，點(diǎn)О是直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接，直接寫出當(dāng)取最小值時(shí)的值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于G，求出，解直角三角形得到，證明得到，據(jù)此利用勾股定理即可求出答案；（2）如圖所示，連接，過點(diǎn)A作交延長(zhǎng)線于N，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，證明三點(diǎn)共線，得到，則點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，證明，得到，再證明，得到，則；由勾股定理得，再由，即可證明；（3）如圖3-1所示，由（1）可得，則，可得；如圖3-2所示，延長(zhǎng)到T，使得，連接，證明，得到，則，故當(dāng)在上時(shí)，有最小值；如圖所示，過點(diǎn)T作交延長(zhǎng)線于K，解得到，，再解得到；由勾股定理得，則，即．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于G，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；

（2）證明：如圖所示，連接，過點(diǎn)A作交延長(zhǎng)線于N，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴三點(diǎn)共線，∴，又∵，∴點(diǎn)F與點(diǎn)G重合，∴；∵，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；在中，由勾股定理得，∵，∴，∴；

（3）解：如圖3-1所示，由（1）可得，∴，∴；

如圖3-2所示，延長(zhǎng)到T，使得，連接，由折疊的性質(zhì)可得，∴，又∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)在上時(shí)，有最小值；如圖所示，過點(diǎn)T作交延長(zhǎng)線于K，在中，，，在中，，∴；∵H是的中點(diǎn)，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，即．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)等等，解（2）的關(guān)鍵在于證明，解（3）的關(guān)鍵在于構(gòu)造字母相似三角形從而確定當(dāng)在上時(shí)，有最小值．14．（23-24九年級(jí)下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）請(qǐng)認(rèn)真閱讀下列材料：如圖①，給定一個(gè)以點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)A是不同于點(diǎn)O的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A的反演點(diǎn)定義為射線上一點(diǎn)，滿足．顯然點(diǎn)A也是點(diǎn)的反演點(diǎn)．即點(diǎn)A與點(diǎn)互為反演點(diǎn)，點(diǎn)O為反演中心，r稱為反演半徑．這種從點(diǎn)A到點(diǎn)的變換或從點(diǎn)到點(diǎn)A的變換稱為反演變換．例如：如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓，交y軸的正半軸于點(diǎn)B；C為線段的中點(diǎn)，P是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為；若C關(guān)于的反演點(diǎn)分別為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接、，求的最小值．解：（1）由反演變換的定義知：，其中，．∴，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）如圖③，連接、，由反演變換知，即，而，∴．∴，即．∴．故的最小值為13.請(qǐng)根據(jù)上面的閱讀材料，解決下列問題：如圖④，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫圓，交y軸的正半軸于點(diǎn)B，C為線段的中點(diǎn)，P是上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．（1）點(diǎn)D關(guān)于的反演點(diǎn)的坐標(biāo)為________；（2）連接、，求的最小值；（3）如圖⑤，以為直徑作，那么上所有的點(diǎn)（點(diǎn)O除外）關(guān)于的反演點(diǎn)組成的圖形具有的特征是__________________．【答案】（1）；（2）13；（3）過點(diǎn)A且與x軸垂直的一條直線【分析】（1）根據(jù)反演變換的定義即可求出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)相似三角形的判定定理證出，列出比例式即可求出，然后代入所求關(guān)系式并根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求出結(jié)論；（3）在上任取一點(diǎn)P，連接OP并延長(zhǎng)至點(diǎn)P關(guān)于的反演點(diǎn)，連接AP和，根據(jù)相似三角形的判定定理證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角即可求出=90°，從而得出結(jié)論．【詳解】解：（1）由反演變換的定義知：，其中，．∴，∴點(diǎn)D關(guān)于的反演點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：；（2）連接，由反演變換知，即，而，∴．∴，即．∴．故的最小值13．（3）在上任取一點(diǎn)P，連接OP并延長(zhǎng)至點(diǎn)P關(guān)于的反演點(diǎn)，連接AP和由反演變換知，即，而，∴，∴∵OA為的直徑∴90°∴=90°∴⊥x軸∴上所有的點(diǎn)（點(diǎn)O除外）關(guān)于的反演點(diǎn)組成的圖形具有的特征是過點(diǎn)A且與x軸垂直的一條直線故答案為：過點(diǎn)A且與x軸垂直的一條直線．【點(diǎn)睛】此題考查的是圓的綜合題型和相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角、相似三角形的判定及性質(zhì)和反演變換的定義是解題關(guān)鍵．15．（23-24九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）（1）如圖，在中，D為上一點(diǎn)，．求證：；（2）如圖2，在菱形中，E，F(xiàn)分別為上的點(diǎn)，且，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．若求：①的長(zhǎng)；②的長(zhǎng)；（3）如圖3，在菱形中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，在平面內(nèi)存在點(diǎn)F，且滿足，以為一邊作（頂點(diǎn)F、A、P按逆時(shí)針排列），使得，且，請(qǐng)直接寫出的最小值．【答案】（1）見詳解（2）①②（3）【分析】根據(jù)兩個(gè)角相等可得，得，整理得證；（2）①連接，利用兩個(gè)角相等可得，得，代入計(jì)算即可；②根據(jù)兩個(gè)角相等得，得，代入計(jì)算得的長(zhǎng)，從而解決問題；（3）連接根據(jù)兩邊成比例且夾角相等可得，得，在上取點(diǎn)M，使，利用基本模型得，則，將的最小值轉(zhuǎn)化為求的長(zhǎng)，進(jìn)而解決問題．【詳解】解：（1）證明：∵，∴∴，∴；（2）①連接，∵四邊形是菱形∴∴∵∴則∵∴，得，∴，∵∴，∴②由①同理得，，∵∴∴∵∴∴∴，∴，∴；（3）解：連接，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，四邊形為菱形，∴∵，∴∵∴∴∵，∴∴在上取點(diǎn)M，使∴，∵∴∴∴∴當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最小，連接，過點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于N，∵，∴，∴，∴最小值為．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜