專題12 解直角三角形的最值模型之胡不歸模型解讀與提分精練（北師大版）（解析版）

專題12解直角三角形的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問(wèn)題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.胡不歸模型（最值模型） 1 14模型1.胡不歸模型（最值模型）從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問(wèn)，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問(wèn)題.一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。ㄗ⒁馀c阿氏圓模型的區(qū)分）。1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼看咕€段最短。例1．（23-24九年級(jí)上·重慶·期末）如圖，在中，，，．點(diǎn)是在邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作交于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，取最小值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交于的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，取最小值，∵，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得：（舍），，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了胡不歸問(wèn)題，掌握胡不歸求最小值的方法，利用直角三角形，三角函數(shù)對(duì)的系數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．例2．（2024·河南漯河·一模）如圖，在矩形中，，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理和解直角三角形，過(guò)作，由四邊形矩形，得，，根據(jù)三角函數(shù)得，則，再由角所對(duì)直角邊是斜邊的一半可得，即有，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最后由三角函數(shù)即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)作，∵四邊形矩形，∴，，∴，，∴，∴，在中，，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，∵，∴，在中，，即的最小值為，故答案為：．例3．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在菱形中，，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【分析】過(guò)作，由菱形，，得到為平分線，求出，在中，利用角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得到，故，求出的最小值即為所求最小值，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最小，求出即可．【詳解】解：過(guò)作，菱形，，，，即為等邊三角形，，在中，，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，，，，在中，，則的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例4．（2023·廣東佛山·校考一模）在邊長(zhǎng)為1的正方形中，是邊的中點(diǎn)，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】0【分析】作于，可得出，從而得的最小值，將變形為，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作于，∵四邊形是正方形，，，的最小值為0，∵，∴的最小值為0，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題關(guān)鍵是作輔助線轉(zhuǎn)化線段．例5．（2024九年級(jí)·江蘇·專題練習(xí)）如圖，內(nèi)接于，，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】的最小值為9．【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用三角函數(shù)求出，推出即，由此得到當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求出即可得到答案.【詳解】如解圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，是的直徑，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，∵，∴，∴，即的最小值為9.【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角的性質(zhì)：直徑所對(duì)的圓周角是直角，銳角三角函數(shù)，三角形中位線的性質(zhì)，線段的最小值的問(wèn)題.例6．（2024九年級(jí)下·廣東·專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為A點(diǎn)，且與軸的正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，則的最小值為．【答案】6【分析】連接、，，作于，于，先利用拋物線解析式求出、，利用勾股定理求出，得到為等邊三角形，，再利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半求出，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，推出當(dāng)、、共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，通過(guò)正弦函數(shù)求出，即可得到的最小值．【詳解】解：連接、，，作于，于，如圖，時(shí)，，解得，，的坐標(biāo)為，，，的坐標(biāo)為，，，，為等邊三角形，，，，垂直平分，，，當(dāng)、、共線時(shí)，的值最小，最小值為的長(zhǎng)，，的最小值為6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半，垂直平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)換線段解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．例7．（2023·浙江寧波·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為_(kāi)_________．【答案】6【分析】先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，可證是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH＝AC，則，即當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)，∴AO＝3，，∴，作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，如圖所示：∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此時(shí)，，是等邊三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值為6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題是胡不歸問(wèn)題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．例8．（23-24九年級(jí)下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）在等腰△ABC中，AB=AC=，D、E兩點(diǎn)在△ABC邊上運(yùn)動(dòng)．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，D在邊BC上，E在邊AC上，BD=CE=2，求△ADE的面積．（2）如圖2，當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，D在邊BC上，E在AC延長(zhǎng)線上，BD=CE，連接AD、BE，取BE中點(diǎn)F，連接CF，H為CF上一點(diǎn)，G為AD上一點(diǎn)，連接BG、HG，且滿足CH=AG，求證：∠BGH=60°．（3）如圖3，當(dāng)∠A=90°時(shí)，D在邊AC上，E在邊AB上，連接DE，求CD+DE的最小值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)；根據(jù)等腰三角形和三角形內(nèi)角和性質(zhì)，得；根據(jù)等腰三角形三線合一和三角函數(shù)性質(zhì)，得、、、，通過(guò)關(guān)系式計(jì)算，即可得到答案；（2）邊上作,連接、，連接；根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，得，結(jié)合平行線性質(zhì)，得；根據(jù)三角形內(nèi)角和，得：；根據(jù)全等三角形性質(zhì)，分別通過(guò)證明和，得，；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得：，結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)，即可完成證明；（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)線上，作，連接、，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)、交于點(diǎn)；結(jié)合題意，根據(jù)直角三角形和三角函數(shù)的性質(zhì)，得，從而得；根據(jù)全等三角形性質(zhì)，通過(guò)證明，得；根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)到直線最小距離的性質(zhì)，得；設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵AB=AC=，∠BAC=120°∴∴，∴∵BD=CE=2∴，∴；（2）如圖，邊上作,連接、，連接∵BD=CE∴∵點(diǎn)F是BE中點(diǎn)∴∴∵∠BAC=60°，AB=AC=∴∴為等邊三角形∴∴∴∴∴，即∴∴∴，∴∵∴∴；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)線上，作，連接、，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)、交于點(diǎn)∵AB=AC=，∠A=90°∴，∵，即∴∴∵∴∴∵，且∴∴設(shè)則∴∴∵隨著的增大而增大∴當(dāng)時(shí)，取最小值，即取最小值，，∴最小值為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、等腰三角形、等邊三角形、全等三角形、三角形中位線、平行線、二次根式、三角函數(shù)、兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)到直線最短距離、一次函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、等腰三角形、等邊三角形、三角形中位線、平行線、三角函數(shù)、兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)到直線最短距離、一次函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．例9．（24-25九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接．(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，B________；C________．(2)點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，連接、．若的面積，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)設(shè)E為線段上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到C后停止，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值．

【答案】(1)，(2)或或(3)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值為7秒【分析】（1）根據(jù)拋物線計(jì)算即可；（2）利用同底等高的三角形面積相等構(gòu)造與平行直線，找到與拋物線的交點(diǎn)P；（3）如圖，在x軸上取一點(diǎn)G，連接，使得，作于N．作于交于．由點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，，推出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)A，E，N關(guān)系，點(diǎn)N與重合，點(diǎn)E與重合時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少．由此即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，，故答案為：，；（2）解：設(shè)x軸上點(diǎn)D，使得的面積，，解得：，，，則可求直線解析式為：，故點(diǎn)D坐標(biāo)為或，當(dāng)D坐標(biāo)為時(shí)，過(guò)點(diǎn)D平行于的直線l與拋物線交點(diǎn)為滿足條件的P，則可求得直線l的解析式為：，求直線l與拋物線交點(diǎn)得：，解得：，，則P點(diǎn)坐標(biāo)為或，同理當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為時(shí)，直線l的解析式為，求直線l與拋物線交點(diǎn)得：，解得：（舍棄），，則點(diǎn)P坐標(biāo)為，綜上滿足條件P點(diǎn)坐標(biāo)為：或或；（3）解：如圖，在x軸上取一點(diǎn)G，連接CG，使得，作于N．作于交BC于．

，，，，直線的解析式為，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)A，E，N關(guān)系，點(diǎn)N與重合，點(diǎn)E與重合時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少．由題意，，，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值為7秒，此時(shí)．【點(diǎn)睛】本題為代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)圖象性質(zhì)、一次函數(shù)圖象性質(zhì)及圓的有關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．1．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)B作射線BH，使得∠CBH＝30°，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BH，垂足為點(diǎn)E，由此可得PE＝BP，再過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BH，由此可證得OP＋BP≥OE≥OF，根據(jù)垂線段最短可得OP＋BP的最小值為線段OF的長(zhǎng)，再利用特殊角的三角函數(shù)值及矩形性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可求得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作射線BH，使得∠CBH＝30°，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BH，垂足為點(diǎn)E，則∠BEP＝90°，

在Rt△BPE中，sin∠PBE＝，∴sin30°＝＝，∴PE＝BP，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BH，垂足為點(diǎn)F，則∠OFB＝90°，∵OP＋PE≥OE≥OF，垂線段最短，∴OP＋BP≥OE≥OF，∴OP＋BP的最小值為線段OF的長(zhǎng)，∵在矩形ABCD中，∴∠BCD＝90°，，，，∴，，∴∠CBD＝30°，，∴∠HBD＝∠CBH＋∠CBD＝60°，，∵在Rt△BOF中，sin∠OBF＝，∴sin60°＝，解得：，∴OP＋BP的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，正確作出輔助線，證得OP＋BP的最小值為線段OF的長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．2．（2024·安徽·三模）如圖，在中，，，，于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值是（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】本題考查的是含30度角的直角三角形性質(zhì)，解直角三角形，垂線段最短的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)，先證出點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱，作于，交于，根據(jù)垂線段最短求出即可．【詳解】解：，，，，，，，，關(guān)于對(duì)稱，作于，交于，，，，的最小值，又，的最小值為．故選D．3．（2024·山東·九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H．根據(jù)，求出的最小值即可解決問(wèn)題．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．4．（2024九年級(jí)下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，中，，于點(diǎn)，，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．10【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，求解，，證明，可得，證明，結(jié)合，從而可得答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，，，，或（舍去），，，，，，，，在中，，，，，的最小值是：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，垂線段最短的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，證明是解本題的關(guān)鍵．5．（24-25九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，是直徑，，，點(diǎn)是弦上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值為（

）A．1+ B．1+ C． D．【答案】C【分析】作，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，在中，，則，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值為，再利用已知條件求得值即可．【詳解】解：作，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．，，∴在中，，，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值為，∵，，，∴，∵，∴∴在中，，∴由勾股定理得：，的最小值為故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性子，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵．6．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形ABCD中，，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且，點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】過(guò)M點(diǎn)作MH垂直BC于H點(diǎn)，與OB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)的長(zhǎng)度最小為MH，再算出MC的長(zhǎng)度，在中利用三角函數(shù)即可解得MH．【詳解】解：過(guò)M點(diǎn)作MH垂直BC于H點(diǎn)，與OB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，∵菱形中，，∴，為等邊三角形，∴，，∴在中，，∴，∴此時(shí)得到最小值，，∵，，∴，又∵，∴,故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與三角函數(shù)，能夠找到最小值時(shí)的P點(diǎn)是解題關(guān)鍵．7．（23-24九年級(jí)下·陜西西安·期中）如圖，在中，，，，D、F分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)E，垂足為G，連接，則的最小值為．【答案】【分析】首先由，，發(fā)現(xiàn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，再通過(guò)構(gòu)造直角三角形將轉(zhuǎn)化為，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)兩條線段和最小問(wèn)題來(lái)解決．【詳解】解：，，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作，作于，如圖，，，在中，，，當(dāng)、、共線時(shí)，最小，過(guò)作于，在中，，，，，，，作于，四邊形是矩形，，，，，最小值為，最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查以直角三角形為背景的兩條線段和最小問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑．8.（2024·廣西?？家荒＃┤鐖D所示，在中，，M為線段上一定點(diǎn)，P為線段上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，滿足的值最小時(shí)，則．【答案】【詳解】解：作，過(guò)M作交于一點(diǎn)即為點(diǎn)P，∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)的值最小，∴在中，,故答案為；9．（2023上·江蘇淮安·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知等邊中，，，若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為．【答案】12【分析】根據(jù)題意易得，則有，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，進(jìn)而可得，當(dāng)取最小時(shí)，即為最小，則有當(dāng)點(diǎn)B、P、E三點(diǎn)共線且時(shí)最短，進(jìn)而可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，如圖所示：∴，∴，∴當(dāng)取最小時(shí)，即為最小，∴當(dāng)點(diǎn)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)且時(shí)最小，如圖所示：∵為等邊三角形，∴，∴最小值為；故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及含角的直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及含角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.（2024·山東?？家荒＃┤鐖D，，，C（1，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為，在AD上的速度為4個(gè)單位/秒，在CD上的速度為1個(gè)單位/秒，則整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少時(shí)，D的坐標(biāo)為．【答案】【分析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．運(yùn)動(dòng)時(shí)間，由，推出，可得，推出當(dāng)共線且和重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．【詳解】如圖，作于H，于，交AO于．∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間，∵，，∴，∵，C（1，0），，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)C，D，H共線且和CM重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，，∴，∴，∵，設(shè)，則，則有：∴或（舍去），∴∴11．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期末）如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延長(zhǎng)線于H，由直角三角形的性質(zhì)可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，當(dāng)H、P、B三點(diǎn)共線時(shí)HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，四邊形是平行四邊形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，HP+PB有最小值，即有最小值，此時(shí)，，，∴，則最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問(wèn)題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)．構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知中，，則的最大值為．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)C作，垂足為D，取，即可說(shuō)明是等腰直角三角形，求出，進(jìn)一步求出，繼而將轉(zhuǎn)化為，推出點(diǎn)D在以為直徑的圓上，從而可知當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，最大，再求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為D，取，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，而一定，∴當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，最大，∵，∴點(diǎn)D在以為直徑的圓上，∴當(dāng)D平分時(shí)，點(diǎn)D到的距離最大，即高最大，則面積最大，此時(shí)，則為等腰直角三角形，∴，故答案為：．

．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，將最值轉(zhuǎn)化為的長(zhǎng)．13．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）6．如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到，再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？【答案】（1）；（2）或；（3）F．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，依次求出的值得到直線的解析式、點(diǎn)D的縱坐標(biāo)、的值得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC兩種情況討論即可；（3）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥DH于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求，理由是，由于點(diǎn)M在線段AF上以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，在線段FD上以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，從而根據(jù)直線BD的傾斜角是30°知道，又根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)知點(diǎn)F即為所求，從而根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求解即可．解：（1）拋物線，令，解得或，，．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得，直線解析式為：．當(dāng)時(shí)，，，．點(diǎn)，在拋物線上，，．拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．即．（2）由拋物線解析式，令，得，，．因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以為鈍角．因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是或．①若，則有，如答圖所示．設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，．，即：，．，代入拋物線解析式，得，整理得：，解得：或（與點(diǎn)重合，舍去），．，，即，解得：．②若，則有，如答圖所示．設(shè)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，．，即：，．，代入拋物線解析式，得，整理得：，解得：或（與點(diǎn)重合，舍去），．，，，解得，，，綜上所述，或．（3）方法一：如答圖3，由（1）知：，，如答圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，，，．過(guò)點(diǎn)作軸，則．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則．由題意，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為折線，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：，，即運(yùn)動(dòng)的時(shí)間值等于折線的長(zhǎng)度值．由垂線段最短可知，折線的長(zhǎng)度的最小值為與軸之間的垂線段．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，與直線的交點(diǎn)，即為所求之點(diǎn)．點(diǎn)橫坐標(biāo)為，直線解析式為：，，，．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少．方法二：作，，交直線于點(diǎn)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)為：，，，【點(diǎn)睛】本題考查單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；二次函數(shù)和一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題；曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直線段最短的性質(zhì)；分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┰诹庑沃?，．(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，連接，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接，若，求線段的長(zhǎng)度；(2)如圖2，連接．點(diǎn)Q是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求出，從而得到，，利用勾股定理求出，再運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)在直線的上方作，分別過(guò)點(diǎn)、作于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則，，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，．再根據(jù)菱形性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)即可求得答案．【詳解】（1）解：，，，在菱形中，，，在中，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)在直線的上方作，分別過(guò)點(diǎn)、作于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，則，、關(guān)于直線對(duì)稱，，，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，．當(dāng)點(diǎn)與不重合時(shí)，．四邊形是菱形，，，又，，，，，即的最小值是．的最小值是．【點(diǎn)睛】本題是菱形綜合題，考查的是軸對(duì)稱最短路徑問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等，掌握軸對(duì)稱最短路徑的確定方法、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．15.（2024.廣東九年級(jí)期中）如圖，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上．（1）試說(shuō)明CE是⊙O的切線；（2）若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB；（3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí)，求⊙O的直徑AB的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)試題解析；（2）AB=；（3）．【詳解】解：（1）連接OC，如圖1，∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切線；（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，連接OC，如圖2，由題可得CH=h，在Rt△OHC中，CH=OC?sin∠COH，∴h=OC?sin60°=OC，∴OC==，∴AB=2OC=；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，如圖3，則∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°，∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等邊三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四邊形AOCF是菱形，∴根據(jù)對(duì)稱性可得DF=DO，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴DH=DC?sin∠DCH=DC?sin30°=DC，∴CD+OD=DH+FD．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD（即CD+OD）最小，此時(shí)FH=OF?sin∠FOH=OF=6，則OF=，AB=2OF=，∴當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí)，⊙O的直徑AB的長(zhǎng)為．16．（2024·廣西·?？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）；（2），；（3）【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)代入y=ax2+bx+1，解方程組即可得到結(jié)論；（2）由條件可得BE?DE=OE?EM，設(shè)D(a，-x2?x+1)，則可表示BE、DE、OE、EM的長(zhǎng)，得到關(guān)于a的方程，解方程可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，求出AE、DE長(zhǎng)，則sin∠DAE的值可求；（3）作D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，交軸于點(diǎn)P，則∠DAE=∠HFD，DP+AP=FP+HP，此時(shí)FH最小，求出最小值即可．【詳解】解：（1）把點(diǎn)，點(diǎn)代入得，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）∵二次函數(shù)的表達(dá)式為，令，得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．∵軸，∴，．∵，∴．設(shè)，則，∴，，，，∴，解得，（舍去），（舍去），∴，∴，，∴，∴；（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，則，∵，∴，∴，∴，由垂線段最短可知此時(shí)長(zhǎng)度最小，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，垂線段最短，軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及解直角三角形的知識(shí)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問(wèn)題．17．（2023·廣東