專題09 圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）解讀與提分精練（北師大版）

專題09圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.瓜豆模型（圓弧軌跡類） 1 47模型1.瓜豆模型（圓弧軌跡類）“主從聯(lián)動(dòng)”模型也叫“瓜豆”模型，出自成語(yǔ)“種瓜得瓜，種豆得豆”。這類動(dòng)點(diǎn)問題中，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，我們把它們分別叫作從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)，從動(dòng)點(diǎn)和主動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一致的，即所謂“種”線得線，“種”圓得圓（而當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)軌跡是其他圖形時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)軌跡必然也是）。解決這一類問題通常用到旋轉(zhuǎn)、全等和相似。模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．Q點(diǎn)軌跡是？分析：如圖，連接AO，取AO中點(diǎn)M，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？分析：如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意時(shí)刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？分析：如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-4.為了便于區(qū)分動(dòng)點(diǎn)P、Q，可稱P為“主動(dòng)點(diǎn)”，Q為“從動(dòng)點(diǎn)”。此類問題的兩個(gè)必要條件：①主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；②主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之比是定量（AP：AQ是定值）。分析：如圖，連結(jié)AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。特別注意：很多題目中主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡并未直接給出，這就需要我們掌握一些常見隱圓的軌跡求法。（1）定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，則動(dòng)點(diǎn)P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。（2）定邊對(duì)定角（或直角）模型1）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB=90°，則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓?。鐖D，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。例1.（23-24九年級(jí)上·山東泰安·期末）如圖，點(diǎn)半徑為2，，點(diǎn)M是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，則的最大值是（）A． B． C． D．例2．（2024·重慶興·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)，，則面積的最小值為（）A．5 B．6 C． D．例3．（2023春·湖北黃石·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，P是以邊為直徑的上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊作等邊三角形，連接，若，則線段的最大值為．例4.（23-24九年級(jí)上·河南漯河·期末）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心，半徑為2的上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)Q，連接，則的最大值是．例5．（2024·江蘇南通·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°并縮短到原來(lái)的一半，得到線段DF，連結(jié)AF，則AF的最小值是．

例6．（2024·江蘇無(wú)錫·?？家荒＃┤鐖D，線段為的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為斜邊在的上方作，且使，連接，則長(zhǎng)的最大值為．例7．（23-24九年級(jí)上·湖北十堰·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，，點(diǎn)C為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，，連接，點(diǎn)M是線段上的一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)線段取最大值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是．例8．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于圖形與圖形給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，將圖形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，將所有組成的圖形記作，稱是圖形關(guān)于圖形的“關(guān)聯(lián)圖形”．(1)已知，，，其中．若，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)圖形”；若點(diǎn)關(guān)于線段的“關(guān)聯(lián)圖形”與坐標(biāo)軸有公共點(diǎn)，直接寫出的取值范圍；(2)對(duì)于平面上一條長(zhǎng)度為的線段和一個(gè)半徑為的圓，點(diǎn)在線段關(guān)于圓的“關(guān)聯(lián)圖形”上，記點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值和最小值的差為，當(dāng)這條線段和圓的位置變化時(shí)，直接寫出的取值范圍（用含和的式子表示）．1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；中，，連接，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接．將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．22．（2023·山東青島·二模）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作圓，E是上的任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的最小值是（

）A． B． C． D．3．（2024·浙江·一模）如圖，在矩形中，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，，若在運(yùn)動(dòng)過程中的度數(shù)最大值恰好為，則的長(zhǎng)度為．4．（2024四川成都·校考一模）在菱形中，，以A為圓心2半徑作，交對(duì)角線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)G為中點(diǎn)，連結(jié)，取中點(diǎn)H，連結(jié)，則的最大值為．5．（2024·河南鄭州·三模）如圖，點(diǎn)M是等邊三角形邊的中點(diǎn)，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，連接，將線段以A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．6．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓．點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，作，垂足為，點(diǎn)在直線的上方，且滿足，連結(jié)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)過程中，存在最大值為．7．（23-24九年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)E是⊙A上的任意一點(diǎn)，將點(diǎn)E繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，連接AF、DF，則的最小值是．8．（23-24九年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖，點(diǎn)A，C，N的坐標(biāo)分別為，以點(diǎn)C為圓心、2為半徑畫，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，連接，交于點(diǎn)Q，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，連接，則線段的最小值為．9．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，2），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝1，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為．10．（24-25九年級(jí)上·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，是矩形左側(cè)一點(diǎn)，連接、，且，連接，為的中點(diǎn)，連接，則的最大值為．11．（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為的與軸的正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，則面積的最大值為．12．（2024·浙江金華·二模）如圖，在正方形中，，，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形（為順時(shí)針排列），連接，則的長(zhǎng)為，的最大值為．13．（2023上·江蘇連云港·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知矩形為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，若點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，則的最小值為．

14．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，是正方形邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，線段以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．

15．（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)是半徑為4的上一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，則的長(zhǎng)度為；若點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最大值時(shí)，的長(zhǎng)度是．16．（23-24福建福州九年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）如圖，正方形中，，是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的圓與相交于點(diǎn)，為上另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值是．

17．（23-24九年級(jí)上·天津·階段練習(xí)）（1）如圖①，銳角中，，，的平分線交于點(diǎn)，，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；（2）如圖②，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，是邊的中點(diǎn)，若線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得線段，連接，則長(zhǎng)度的最小值為；（3）如圖③，正方形邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在邊上，．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫，點(diǎn)在上移動(dòng)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至，連接，在點(diǎn)移動(dòng)過程長(zhǎng)度的最大值為．18．（23-24九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，在平面內(nèi)有一點(diǎn)，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，且，連接為線段上一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為．19．（23-24九年級(jí)上·北京西城·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和，對(duì)于點(diǎn)定義如下：以點(diǎn)為對(duì)稱中心作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再將對(duì)稱點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)，稱點(diǎn)為點(diǎn)的反轉(zhuǎn)點(diǎn)．已知的半徑為1．(1)如圖，點(diǎn)，，點(diǎn)在上，點(diǎn)為點(diǎn)的反轉(zhuǎn)點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，在圖中畫出點(diǎn)；②當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段長(zhǎng)的最大值；(2)已知點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)和是外兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的反轉(zhuǎn)點(diǎn)．若點(diǎn)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)在第四象限內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出線段長(zhǎng)的最大值和最小值的差．20．（2024·吉林長(zhǎng)春·二模）【問題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，的半徑為2，點(diǎn)是外的一個(gè)定點(diǎn)，．點(diǎn)在上，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、．當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，試探究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑．【問題解決】經(jīng)過討論，小組同學(xué)想利用全等三角形的知識(shí)解決該問題；如圖②，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，通過證明，可推出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)為圓心、2為半徑的圓．下面是部分證明過程：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，