專題05 圓中的重要模型之圓中的翻折模型解讀與提分精練（北師大版）

專題05圓中的重要模型之圓中的翻折模型圓中的翻折模型是將一個圓形的紙片沿著一條直線翻折，使得紙片的邊緣與直線重合，從而形成新的圓形或圓環(huán)。翻折前后，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點之間的連線被折痕垂直平分。這種模型可以用于創(chuàng)建各種不同的圖形和圖案，是一種非常有趣的幾何模型。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19【知識儲備】1、翻折變換的性質(zhì)：翻折前后，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點之間的連線被折痕垂直平分；2、圓的性質(zhì)：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧、弦相等；同弧或等弧所對的圓周角相等；3、等圓相交：如圖，圓O和圓G為兩個相等的圓，圓O和圓G相交，相交形成的弦為AB，則弦AB為整個圖形的對稱軸，圓心O和圓心G關(guān)于AB對稱，弧ACB和弧ADB為等弧，且關(guān)于AB對稱；4、弧翻折（即等圓相交）：如圖，以弦BC為對稱軸，將弧BC翻折后交弦AB于點D，那么弧CDB所在的圓圓G與圓O是相等的圓，且兩個圓關(guān)于BC對稱，故圓心O、G也關(guān)于BC對稱。模型1.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）1）條件：如圖，以圓O的一條弦BC為對稱軸將弧BC折疊后與弦AB交于點D，結(jié)論：CD=CA2）條件：特別地，弧BC折疊后過圓心，結(jié)論：CD=CA，∠CAB=60°1）證明：如圖，設(shè)折疊后的所在的圓心是G，連接AC，CD.由題意得（折疊）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD，∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。2）證明：如圖，連接AC，CD，CO；由1）中證明知：CO=CA，∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC為等邊三角形，∴∠CAB=60°。例1．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，在中，AB為直徑，點為圓上一點，將劣弧沿弦翻折交AB于點，連結(jié)CD．若點與圓心不重合，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（23-24九年級下·浙江金華·階段練習）如圖，是的內(nèi)接三角形，將劣弧沿折疊后剛好經(jīng)過弦的中點D．若，，則的半徑長為（）A． B． C． D．例3．（2023·山東青島·一模）如圖，在中，，，以為直徑的交于點D，弧沿直線翻折后經(jīng)過點O，那么陰影部分的面積為．例4．（23-24九年級上·河南駐馬店·期末）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點D，再將沿AB翻折交BC于點E．若，AB＝4，則的長度為．例5．（2024·安徽·校聯(lián)考模擬預測）如圖，是的直徑，且，點是上一點，連接，過點作于點，將沿直線翻折．若翻折后的圓弧恰好經(jīng)過點，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．例6．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，使折疊后的弧恰好經(jīng)過圓心O，點P是優(yōu)弧上的一個動點（與A、B兩點不重合），若⊙O的半徑是2cm，則△APB面積的最大值是cm2例7．（23-24九年級上·浙江金華·期中）在中，為直徑，點C為圓上一點，將劣弧沿弦翻折交于點D，連接．(1)如圖1，若點D與圓心O重合，，求的半徑r；(2)如圖2，若點D與圓心O不重合，，請求出的度數(shù)．(3)如圖2，如果，，求的長．例8．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考三模）綜合實踐：在數(shù)學綜合實踐課上，第一小組同學展示了如下的操作及問題：如圖1，同學們先畫出半徑為的，將圓形紙片沿著弦折疊，使對折后劣弧恰好過圓心，同學們用尺子度量折痕的長約為，并且同學們用學過的知識驗證度量的結(jié)果是正確的．驗證如下：如圖1，過點作于點，并延長交虛線劣弧于點，∴，由折疊知，，連接，在中，，根據(jù)勾股定理得，，∴，通過計算：，同學們用尺子度量折痕的長約為是正確的．請同學們進一步研究以下問題：(1)如圖2，的半徑為，為的弦，，垂足為點，劣弧沿弦折疊后經(jīng)過的中點，求弦的長（結(jié)果保留根號）；(2)如圖3，在中劣弧沿弦折疊后與直徑相交于點，若，，求弦的長（結(jié)果保留根號）．1．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）如圖，AB是的直徑，點C是上一點，將劣弧BC沿弦BC折疊交直徑AB于點D，連接CD，若，則下列式子正確的是（

）

A． B． C． D．2．（2023·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知MN是⊙O的直徑，點Q在⊙O上，將劣弧沿弦MQ翻折交MN于點P，連接PQ，若∠PMQ＝16°，則∠PQM的度數(shù)為（）A．32° B．48° C．58° D．74°3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為圓上一點，∠BAC＝20°，將劣弧沿弦AC所在的直線翻折，交AB于點D，則弧的度數(shù)等于（）A．40° B．50 C．80° D．1004．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預測）如圖，、為的兩條弦，，，將折疊后剛好過弦的中點D，則的半徑為（

）

A． B． C．5 D．5．（2022秋·福建莆田·九年級校考期末）如圖，在中，點在優(yōu)弧上，將弧沿折疊后剛好經(jīng)過的中點．若的半徑為5，，則的長是（

）A． B． C． D．6．（23-24九年級下·福建福州·階段練習）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，先將沿BC翻折交AB于點D，再將沿AB翻折交BC于點E．若，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．22.5° B．30° C．45° D．60°7．（2024·廣東珠?！ば？家荒＃┤鐖D，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC＝8，將弧AB沿弦AB翻折后恰好經(jīng)過弦AC的中點D，則弦BC的長為，⊙O的半徑為．8．（2023·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將沿弦折疊交直徑于圓心O，則度．

9．（2023·浙江金華·三模）在綜合實踐課上，小慧將圖①中圓形紙片沿直徑AB向上對折得到圖②，再沿弦向下翻折得到圖③，最后沿弦BD向上翻折得到圖④．（1）若點E是弧BD的中點，則；（2）若，則．（用關(guān)于n的代數(shù)式表示）10．（23-24九年級上·山東威?！て谀⒌牧踊⊙叵艺郫B、剛好落在半徑的中點C處，已知，則．11．（2023·廣東惠州·?？级＃┤鐖D，，是的弦（不是直徑），將沿翻折交于點，若，．若，則．

12．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）如圖，是的弦（不是直徑），將沿翻折交于點．若，，則＝．13．（2022秋·廣西南寧·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB是的直徑，BC是的弦，先將弧BC沿BC翻折交AB于點D，再將弧BD沿AB翻折交BC于點E，若，設(shè)，則為°．14．（2024·河南南陽·二模）如圖，在扇形中，，半徑，點C是上一點，連接，沿將扇形折疊，使得點A落在的延長線上的點D處，連接，則圖中陰影部分面積為(結(jié)果保留π)．15．（2023·河北·九年級校聯(lián)考專題練習）已知⊙O的直徑AB=4，點C在⊙O上，連接AC，沿AC折疊劣弧，記折疊后的劣弧為．（1）如圖1，當經(jīng)過圓心O時，求的長．（2）如圖2，當與AB相切于A時．①畫出所在的圓的圓心P．②求出陰影部分弓形的面積．

16．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙O的直徑，且，與為圓內(nèi)的一組平行弦，弦交于點H．點A在上，點B在上，．(1)求證：．(2)求證：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直線作劣弧的軸對稱圖形，使其交直徑于點G．若，求的長．

17．（2023·江蘇·九年級?？茧A段練習）在中，為直徑，點為圓上一點，將劣弧沿弦翻折交于點，連結(jié)．（