專題03 軸對稱（3種經(jīng)典基礎(chǔ)練+2種提升練）解析版

專題03軸對稱（3種經(jīng)典基礎(chǔ)練+2種優(yōu)選提升練）軸對稱（共8題）一．選擇題（共4小題）1．（2023秋?四平期末）下列圖形中一定是軸對稱圖形的是A．梯形 B．直角三角形 C．角 D．平行四邊形【分析】如果一個圖形沿一條直線對折后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，據(jù)此進行判斷．【解答】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義：、梯形不一定是軸對稱圖形，故此選項錯誤；、直角三角形，不一定是軸對稱圖形，故此選項錯誤；、角的角平分線所在直線可以作為一條對稱軸，故是軸對稱圖形，故此選項正確；、平行四邊形不是軸對稱圖形，故此選項錯誤．故選：．【點評】本題考查軸對稱的定義，難度不大，掌握軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2023秋?扶余市期末）下列圖形中，不是軸對稱圖形的是A．①⑤ B．②⑤ C．④⑤ D．①②【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：①⑤的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；②③④的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：．【點評】本題考查軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（2023秋?扶余市期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點，平分，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到，再根據(jù)角平分線的定義，即可得出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到的度數(shù)．【解答】解：垂直平分，，又平分，，，故選：．【點評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．4．（2023秋?永吉縣期末）已知，求作射線，使平分，那么作法的合理順序是①作射線；②在射線和上分別截取、，使；③分別以、為圓心，大于的長為半徑在內(nèi)作弧，兩弧交于點．A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②【分析】根據(jù)作一個角的平分線的過程即可進行判斷．【解答】解：根據(jù)作一個角的平分線的過程可知：②在射線和上分別截取、，使；③分別以、為圓心，大于的長為半徑在內(nèi)作弧，兩弧交于點；①作射線．則射線平分．所以作法的合理順序是②③①．故選：．【點評】本題考查了作圖基本作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．二．填空題（共3小題）5．（2023秋?長春期末）如圖，在，，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，小于的長為半徑．畫弧，分別交、于點、；②分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點；③作射線，交邊于點，則的度數(shù)為．【分析】根據(jù)已知條件中的作圖步驟知，是的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：解法一：連接．點、是以點為圓心，小于的長為半徑畫弧，分別與、的交點，；是等腰三角形；又分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點；是線段的垂直平分線，平分，，；在中，，，（直角三角形中的兩個銳角互余）；解法二：根據(jù)已知條件中的作圖步驟知，是的平分線，，；在中，，，（直角三角形中的兩個銳角互余）；故答案為：．【點評】本題綜合考查了作圖復(fù)雜作圖，直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)作圖過程推知是平分線是解答此題的關(guān)鍵．6．（2023秋?榆樹市期末）如圖，在中，，，，分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線交于點，則的長為．【分析】連接，利用基本作法判斷垂直平分，則，所以，再判斷為等腰直角三角形，則，從而得到的長．【解答】解：由作法得垂直平分，連接，則，，，，為等腰直角三角形，，．故答案為．【點評】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．7．（2023秋?船營區(qū)期末）如圖，線段、的垂直平分線、相交于點，若，則．【分析】連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，進而得到，同理得到，根據(jù)平角的定義計算，得到答案．【解答】解：連接，垂直平分，，平分，即，同理可得：，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共1小題）8．（2023秋?渾江區(qū)期末）如圖，中，的垂直平分線分別交，于點，，的垂直平分線分別交，于點，，連接，．（1）若的周長為10，求線段的長；（2）若，求的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，結(jié)合圖形計算即可．【解答】解：（1）垂直平分，垂直平分，，，的周長為10，，；（2），，，，，，，．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．畫軸對稱圖形（共8題）一．選擇題（共2小題）1．（2023秋?通榆縣期末）在平面直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標是A． B．2，1 C． D．，1【分析】根據(jù)平面直角坐標系中對稱點的規(guī)律解答．【解答】解：根據(jù)平面直角坐標系中對稱點的規(guī)律可知，點關(guān)于軸的對稱點為．故選：．【點評】此題主要考查了平面直角坐標系中對稱點的規(guī)律．解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關(guān)于軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關(guān)于軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．2．（2023秋?臨江市期末）若點與關(guān)于軸對稱，則A．， B．， C．， D．，【分析】根據(jù)“關(guān)于軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)”解答．【解答】解：點與關(guān)于軸對稱，，解得：．故選：．【點評】本題考查了關(guān)于軸、軸對稱的點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關(guān)于軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關(guān)于軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．二．填空題（共2小題）3．（2023秋?臨江市期末）在平面直角坐標系中，點關(guān)于軸的對稱點的坐標為．【分析】關(guān)于軸對稱的點的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)，據(jù)此可得點關(guān)于軸的對稱點的坐標．【解答】解：點的坐標為，點關(guān)于軸的對稱點的坐標為．故答案為：．【點評】本題考查了關(guān)于軸對稱的點的坐標．解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：關(guān)于軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關(guān)于軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；關(guān)于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．4．（2023秋?朝陽區(qū)校級期末）在平面直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標為．【分析】根據(jù)關(guān)于軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變可得答案．【解答】解：點關(guān)于軸對稱的點的坐標為，故答案為：．【點評】此題主要考查了關(guān)于軸對稱的點的坐標，關(guān)鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．三．解答題（共4小題）5．（2023秋?磐石市期末）已知：如圖，已知（1）點關(guān)于軸對稱的點的坐標是，點關(guān)于軸對稱的點的坐標是；（2）畫出與關(guān)于軸對稱的△；（3）畫出與關(guān)于軸對稱的△．【分析】（1）分別利用關(guān)于軸以及軸對稱點的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標即可；（2）直接利用關(guān)于軸對稱點的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標即可；（3）直接利用關(guān)于軸對稱點的性質(zhì)得出對應(yīng)點坐標即可．【解答】解：（1）點關(guān)于軸對稱的點的坐標是：，點關(guān)于軸對稱的點的坐標是：；故答案為：，；（2）如圖所示：△，即為所求；（3）如圖所示：△，即為所求．【點評】此題主要考查了軸對稱變換，根據(jù)題意得出對應(yīng)點坐標是解題關(guān)鍵．6．（2023秋?東遼縣期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，如圖三個圖中的三角形為格點三角形，在圖中分別畫出與已知三角形成軸對稱（對稱軸不相同）的格點三角形．【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別確定出不同的對稱軸，然后作出軸對稱三角形即可．【解答】解：如圖所示：【點評】本題考查了作圖軸對稱變換，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?乾安縣期末）圖①、圖②、圖③都是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．，，均為格點．在給定的網(wǎng)格中，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，畫一條不與重合的線段，使與關(guān)于某條直線對稱，且，為格點．（2）在圖②中，畫一條不與重合的線段，使與關(guān)于某條直線對稱，且，為格點．（3）在圖③中，畫一個，使與關(guān)于某條直線對稱，且，，為格點．【分析】（1）根據(jù)對稱性在圖①中，畫一條不與重合的線段并且與對稱即可；（2）根據(jù)對稱性即可在圖②中，畫一條不與重合的線段并且與對稱；（3）根據(jù)對稱性在圖③中，畫一個，使與關(guān)于某條直線對稱即可．【解答】解：（1）如圖①，即為所求；（2）如圖②，即為所求；（3）如圖③，即為所求．（答案不唯一）．【點評】本題考查了作圖軸對稱變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱性質(zhì)．8．（2023秋?永吉縣期末）如圖，的三個頂點的坐標分別為，，．（1）畫出關(guān)于軸對稱的△；（2）在第四象限內(nèi)找出一個格點，畫出，使，并直接寫出點的坐標．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．（2）根據(jù)全等三角形的判定確定點的位置，即可得出答案．【解答】解：（1）如圖，△即為所求．（2）若，則，．在第四象限取格點，連接，．如圖，即為所求．由圖可知，點的坐標為．【點評】本題考查作圖軸對稱變換、全等三角形的判定，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定是解答本題的關(guān)鍵．等腰三角形（共23題）一．選擇題（共7小題）1．（2023秋?綠園區(qū)期末）若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為A．9 B．7 C．12 D．9或12【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【解答】解：（1）若2為腰長，5為底邊長，由于，則三角形不存在；（2）若5為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個三角形的周長為．故選：．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．2．（2023秋?四平期末）等腰三角形的頂角為，則它的一個底角是A． B． C． D．【分析】根據(jù)等腰三角形的兩個底角相等即可得出結(jié)論．【解答】解：一個等腰三角形的頂角為，它的底角．故選：．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩個底角相等是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023秋?磐石市期末）如圖，一艘海輪位于燈塔的南偏東方向的處，它以每小時40海里的速度向正北方向航行，2小時后到達位于燈塔的北偏東的處，則處與燈塔的距離為A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里【分析】根據(jù)方向角的定義即可求得，，則在中利用內(nèi)角和定理求得的度數(shù)，證明三角形是等腰三角形，即可求解．【解答】解：（海里），，，，，（海里）．故選：．【點評】本題考查了方向角的定義，以及三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定義是關(guān)鍵．4．（2023秋?龍山區(qū)期末）如圖，是等邊三角形，點在邊上，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【分析】等邊三角形的三個角都為，三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【解答】解：．故選：．【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等邊三角形的三個角都為，和三角形的外角的性質(zhì)．5．（2023秋?通榆縣期末）等腰三角形的一個內(nèi)角為，則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是A．， B．，或， C．， D．，或，【分析】已知給出了一個內(nèi)角是，沒有明確是頂角還是底角，所以要進行分類討論．【解答】解：分情況討論：（1）若等腰三角形的頂角為時，底角；（2）若等腰三角形的底角為時，它的另外一個底角為，頂角為．故選：．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．6．（2023秋?二道區(qū)校級期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，，兩點都在小方格的頂點上，如果點也是圖中小方格的頂點，且是等腰三角形，那么點的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】分為腰和為底兩種情況考慮，畫出圖形，即可找出點的個數(shù)．【解答】解：當為腰時，點的個數(shù)有2個；當為底時，點的個數(shù)有1個，故選：．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題．7．（2023秋?梅河口市期末）如圖，是等邊三角形，是線段上一點（不與點，重合），連接，點，分別在線段，的延長線上，且，點從運動到的過程中，周長的變化規(guī)律是A．不變 B．一直變小 C．先變大后變小 D．先變小后變大【分析】由“”可證，由全等三角形的性質(zhì)可得，，可得周長，即可求解．【解答】解：，，，，，，，，，且，，，，，周長，點在邊上從至的運動過程中，的長先變小后變大，周長先變小后變大，故選：．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，證明是本題關(guān)鍵．二．填空題（共12小題）8．（2023秋?雙陽區(qū)期末）如圖，的角平分線交于點，交于點，若，，則9．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，然后求出，再根據(jù)等角對等邊可得，然后根據(jù)，代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【解答】解：是的平分線，，，，，，，，，．故答案為：9．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋?寬城區(qū)期末）如圖，在中，．分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作直線交于點．若，則的大小是55度．【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可得是的垂直平分線，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可求得大小．【解答】解：．是等腰三角形，分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作直線交于點．垂直平分，是的平分線，．故答案為：55．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和尺規(guī)作圖，熟練掌握垂直平分線的作法是解題關(guān)鍵．10．（2023秋?寧江區(qū)期末）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰三角形是“倍長三角形”，底邊長為5，則等腰三角形的周長為25．【分析】由等腰是“倍長三角形”，可知或，若，可得的長為10；若，因，故此時不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；即可得答案．【解答】解：等腰是“倍長三角形”，或，若，則三邊分別是10、10、5，符合題意，等腰三角形的周長為；若，則，三邊分別是2.5、2.5、5，，此時不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；綜上所述，等腰三角形的周長為25，故答案為：25．【點評】本題考查了等腰三角形的定義以及三角形三邊關(guān)系，讀懂題意，理解“倍長三角形”是解本題的關(guān)鍵．11．（2023秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，在三角形鋼架中，，是連接點與中點的支架．若，則的大小為50度．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)推出平分，即可求出．【解答】解：，是中點，平分，．故答案為：50．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．12．（2023秋?雙陽區(qū)期末）借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分某些度數(shù)的角，這個“三等分角儀”由兩根有槽的棒，組成，兩根棒在點相連并可繞轉(zhuǎn)動，點固定，，點，可在槽中滑動，若，則26度．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)分別求出，的度數(shù)，由外角的性質(zhì)可求解．【解答】解：設(shè)，，，，，，，，，故答案為：26．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋?洮北區(qū)期末）如圖，是等邊三角形，點是邊上任意一點，于點，于點．若，則2．【分析】先設(shè)，則，根據(jù)是等邊三角形，得出，再利用三角函數(shù)求出和的長，即可得出的值．【解答】解：設(shè)，則，是等邊三角形，．，同理可得，，．故答案為：2．【點評】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，用到的知識點是三角函數(shù)，難度不大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問題的精神．14．（2023秋?長春期末）如圖，已知是等邊三角形，點、、、在同一直線上，且，，則15度．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【解答】解：是等邊三角形，，，，，．故答案為：15．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)．15．（2023秋?二道區(qū)校級期末）將含角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知，點，表示的刻度分別為，，則線段的長為2．【分析】先由平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)定理可得，則可得出的長．【解答】解：直尺的兩對邊相互平行，，，，，△是等邊三角形，．故答案為：2．【點評】此題主要是考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，能夠得出是解答此題的關(guān)鍵．16．（2023秋?延邊州期末）如圖，在中，，是角平分線，的垂直平分線交于點，交于點．若，則的度數(shù)為．【分析】設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后利用角平分線的定義可得，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而可得，最后利用三角形內(nèi)角和定理列出關(guān)于的方程，進行計算即可解答．【解答】解：設(shè)，，，平分，，是的垂直平分線，，，，，，解得：，，故答案為：．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，以及線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋?綠園區(qū)期末）如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點．已知的周長為，且，則的長為．【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，結(jié)合已知條件得到，進而求得，即可求出．【解答】解：的垂直平分線交于點，，的周長是，，，．，，故答案為：．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識；進行線段的等量代換后得到是正確解答本題的關(guān)鍵．18．（2023秋?鐵西區(qū)期末）如圖，為內(nèi)一點，平分，，垂足為，交與點，．若，，則的長為．【分析】根據(jù)平分，，證出，得到，即可．【解答】解：平分，，，，，，，，又，，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．19．（2023秋?渾江區(qū)期末）如圖，在中，，的垂直平分線交于點，垂足為點，若，則的長為10．【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，故可得出，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：在中，，的垂直平分線交于，，，，在中，，，．故答案為：10．【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和含的直角三角形的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題）20．（2023秋?龍山區(qū)期末）已知，如圖，在中，點在上，點、在上，且，，，問：是否為等腰三角形？為什么？【分析】欲證是否是等腰三角形，利用已知，，證明三角形中兩內(nèi)角是否相等來證是否等腰．【解答】解：是等腰三角形．，，又，，又，，，是等腰三角形．【點評】本題考查了等腰三角形的判定及平行線的性質(zhì)；角的等量代換的運用是正確解答本題的關(guān)鍵．21．（2023秋?渾江區(qū)期末）如圖是等邊三角形，是中線，延長到，使．求證：．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)角之間的關(guān)系求得，根據(jù)等角對等邊即可得到．【解答】證明：是等邊三角形，是中線，．（等腰三角形三線合一）．又，．又，．．（等角對等邊）．【點評】此題主要考查學(xué)生對等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的理解及運用；利用三角形外角的性質(zhì)得到是正確解答本題的關(guān)鍵．22．（2023秋?磐石市期末）如圖，在中，，平分，交于點，垂直平分，點為垂足，求證：（1）（2）．【分析】（1）根據(jù)題意可以得到，由垂直平分，可得，從而可以得到與的關(guān)系，從而可以解答本題．（2）由，平分，垂直平分，可得，由（1）中，可以得到與的關(guān)系，從而可以得到與的關(guān)系．【解答】解：（1）在中，，平分，垂直平分，，，．在和中．．．．（2），，，．在中，，平分，垂直平分，．．【點評】本題考查三角形的全等、直角三角形中角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出所求問題需要的條件，靈活變化，進行解答．23．（2023秋?梨樹縣期末）如圖，在中，垂直平分，分別交于點，交于點，且平分，．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的長．【分析】（1）是邊上的垂直平分線推，利用等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義推角相等，最后得出角的度數(shù)；（2）利用角平分線的性質(zhì)求出的長，再由直角三角形的性質(zhì)求出的長，進而可得出結(jié)論．【解答】解：（1）是邊上的垂直平分線，，．平分，，，；（2）平分，，，，垂直平分，．在中，．．．．【點評】本題考查的是含30度角的直角三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．等腰三角形中添加輔助線方法（共5題）1．（2023秋?江源區(qū)月考）如圖，為等邊內(nèi)一點，連接、，延長到點，使；延長到點，使，連接、．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）若，則度．【分析】（1）證明，再利用全等三角形性質(zhì)即可得到；（2）根據(jù)題意得到，再利用三角形內(nèi)角和定理即可得到；（3）延長，交于點，得到，再利用三角形內(nèi)角和定理即可得到．【解答】解：（1）在和中，，，，；（2），等邊，，，是等腰三角形，，，；（3）延長，交于點，如圖：，且，，，，，故答案為：60．【點評】本題考查全等三角形性質(zhì)及判定，平行線判斷，等腰三角形性質(zhì)及判定，等邊三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．2．（2020秋?洮北區(qū)期末）在中，，，是的角平分線，于點．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）點是線段上的一點（不與點，重合），以為一邊，在的下方作，交延長線于點．請你在圖2中畫出完整圖形，并直接寫出，與之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，點是線段上的一點，以為一邊，在的下方作，交延長線于點．試探究，與數(shù)量之間的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用“三邊相等”的三角形是等邊三角形證得是等邊三角形；（2）延長使得，連接，即可得出是等邊三角形，利用即可得出，再利用，即可得出答案；（3）利用等邊三角形的性質(zhì)得出，進而得出，再求出即可得出答案．【解答】（1）證明：如圖1所示：在中，，，，．平分，．．于點．．．是等邊三角形；（2）結(jié)論：．證明：如圖2所示：延長使得，連接，，，是的角平分線，于點，，，又，是等邊三角形，，在和中，，，．（3）結(jié)論：．證明：延長至，使得．由（1）得，．于點．．．是等邊三角形．，．．，．即．在和中，．．，．．【點評】此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知做出正確輔助線是解題關(guān)鍵．3．（2024秋?雙遼市期中）閱讀材料：如圖，△中，，為底邊上任意一點，點到兩腰的距離分別為，，腰上的高為，連接，則，即：，（定值），即為定值．（1）深入探究將“在△中，，為上一點”改成“為等邊三角形內(nèi)一點”，作，，，，垂足分別為、、、，有類似結(jié)論嗎？請寫出結(jié)論并證明；（2）理解與應(yīng)用當點在△外，（1）結(jié)論是否成立？若成立，請予以證明；若不成立，、、和之間又有怎樣的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）連接、、，利用計算即可；（2）連接、、，利用計算即可．【解答】解：（1），理由如下：連接、、，則，等邊三角形，，，，，，，，；（2），理由如下：連接、、，則，等邊三角形，，，，，，，，．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．4．（2023秋?東遼縣期末）如圖，在等邊三角形中，是上的一點，是延長線上一點，連接、，已知．（1）求證：是等腰三角形．（2）當，時，求的面積．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)，則，得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，過作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得的長，進而可得結(jié)論．【解答】（1）證明：是等邊三角形，，，，，，，是等腰三角形；（2）解：設(shè)，則，，，，，，如圖，過作于，是等腰直角三角形，，，的面積．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．5．（2020秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，已知在中，，是邊上任意一點，過點分別向，引垂線，垂足分別為，．（1）當點在的什么位置時，？并證明；（2）過點作邊上的高，試猜想，，的長之間存在怎樣的等量關(guān)系？（直接寫出你的結(jié)論）【分析】（1）根據(jù)證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可；（2）連接，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【解答】解：（1）當點在的中點上時，，證明：為中點，，，，，，，在和中，，．（2）證明：連接，，，，．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力軸對稱之最短路徑問題（共6題）一．填空題（共2小題）1．（2022秋?豐滿區(qū)期末）如圖，在中，，，，，平分，如果點，點分別為，上的動點，那么的最小值是．【分析】過點作交于點，交于點，過點作交于點，此時的值最小，再由三角形的面積求出邊上的高即為所求．【解答】解：過點作交于點，交于點，過點作交于點，平分，，，此時的值最小，的面積，，的值最小為，故答案為：．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?龍山區(qū)校級期末）如圖，已知點在銳角內(nèi)部，，在邊上存在一點，在邊上存在一點，能使最小，此時．【分析】過的作關(guān)于的對稱點，作于，交于，此時最短，即可求得的度數(shù)．【解答】解：過的作關(guān)于的對稱點，作于，交于，此時，根據(jù)點到直線的距離最短可知最短，，，，，，，．故答案為：．【點評】本題考查了軸對稱最短路線問題的應(yīng)用、點到直線的距離最短，關(guān)鍵是確定、的位置．二．解答題（共4小題）3．（2021秋?雙遼市期末）如圖，四邊形的對角線、相交于點，若為等邊三角形，，．（1）求證：垂直平分；（2）求的長；（3）若點為的中點，請在上找出一點，使取得最小值；的最小值為6（直接寫出結(jié)果）．【分析】（1）先證明，再證明，即可求證；（2）求出，利用直角三角形角所對直角邊等于斜邊的一半即可求解；（3）連接交于點，連接，的最小值為，求出即可．【解答】解：（1），，，，，，，，，，，垂直平分；（2），平分，，，，，，，，；（3）連接交于點，連接，是的垂直平分線，、關(guān)于對稱，，，的最小值為，是的中點，，，，故答案為：6．【點評】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?松原期末）如圖，在中，，，，平分，交邊于點，點是邊的中點．點為邊上的一個動點．（1）4，度；（2）當四邊形為軸對稱圖形時，求的長；（3）若是等腰三角形，求的度數(shù)；（4）若點在線段上，連接、，直接寫出的值最小時的長度．【分析】（1）根據(jù)題意可得，則，即可求出的長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．（2）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)即可解答．（3）根據(jù)題意可得，分三種情況：當時；當