專題18 全等三角形模型之倍長中線與截長補(bǔ)短模型解讀與提分精練（全國）

專題18全等三角形模型之倍長中線與截長補(bǔ)短模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（倍長中線模型、截長補(bǔ)短模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.倍長中線模型 2模型2.截長補(bǔ)短模型 10 20模型1.倍長中線模型中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長中線法”添加輔助線。所謂倍長中線模型，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法。（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫中線的時(shí)候）。倍長中線在全等三角形的輔助線做法中，難度不是特別大，相對(duì)好理解和掌握。練習(xí)時(shí)要記住下面三點(diǎn)：①見中點(diǎn)，先倍長；②證明8字全等；③找關(guān)系。1）倍長中線模型（中線型）條件：AD為△ABC的中線。結(jié)論：證明：延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連結(jié)CE?！逜D為△ABC的中線，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）2）倍長類中線模型（中點(diǎn)型）條件：△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AB邊上一點(diǎn)（不同于端點(diǎn)）。結(jié)論：△EDB≌△FDC。證明：延長ED，使DF=DE，連接CF?！逥為BC邊的中點(diǎn)，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）3）倍長類中線模型拓展（中點(diǎn)+平行線型）條件：AB∥CD，E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)（不同于端點(diǎn)）。結(jié)論：△AFE≌△CGE。證明：延長FE，交DC的延長線于點(diǎn)G。∵E為AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS）若“中點(diǎn)+平行線型”按“中點(diǎn)型”來倍長，則需證明點(diǎn)G在CD上，為了避免證明三點(diǎn)共線，點(diǎn)G就直接通過延長相交得到。因?yàn)橛衅叫芯€，內(nèi)錯(cuò)角相等，故根據(jù)“AAS”或“ASA”證明全等。這里“中點(diǎn)+平行線型”可以看做是“中點(diǎn)型”的改良版。例1．（2024·廣東·校考二模）綜合與實(shí)踐：小明遇到這樣一個(gè)問題，如圖1，中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個(gè)問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長到，使，連接，構(gòu)造，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決請(qǐng)回答：(1)小明證明用到的判定定理是：________；（填入你選擇的選項(xiàng)字母）A．

B．

C．

D．(2)的取值范圍是________．小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點(diǎn)就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在正方形中，為邊的中點(diǎn)，、分別為，邊上的點(diǎn)，若，，，求的長．例2．（23-24遼寧錦州七年級(jí)期末）【問題提出】期末復(fù)習(xí)課上，數(shù)學(xué)丁老師出示了下面一個(gè)問題：如圖1，在中，是延長線的點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，且滿足，那么是的中點(diǎn)，請(qǐng)你說明理由．【思路探究】小王同學(xué)從條件出發(fā)分析解題思路：以為腰構(gòu)造等腰和平行八字型全等三角形，如圖2，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，先應(yīng)用等腰三角形的軸對(duì)稱性，再應(yīng)用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小張同學(xué)從結(jié)論出發(fā)分析解題思路：以為腰構(gòu)造等腰，將說明的問題轉(zhuǎn)化為說明的問題，如圖3，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，于是可得，再應(yīng)用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得．（1）請(qǐng)你選擇小張同學(xué)或小王同學(xué)的思路或按自己的思路寫出完整的解題過程；【學(xué)以致用】（2）請(qǐng)你在理解了小張同學(xué)或小王同學(xué)解題思路的基礎(chǔ)上，解答下面一道圖形較為復(fù)雜的同類問題：如圖4，在四邊形中，，過點(diǎn)作線段，且，連接，交的延長于點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．例3．（2024·江蘇·九年級(jí)?？计谥校締栴}情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是．A．SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL(2)由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形之中．(3)【初步運(yùn)用】如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求證AE＝FE．(4)【靈活運(yùn)用】如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．試猜想線段BE、CF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．例4．（23-24九年級(jí)上·吉林長春·階段練習(xí)）【問題探究】在學(xué)習(xí)三角形中線時(shí)，我們遇到過這樣的問題：如圖，在中，點(diǎn)D為邊上的中點(diǎn)，，，求線段長的取值范圍．我們采用的方法是延長線段到點(diǎn)E，使得，連結(jié)，可證，可得，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求的范圍，我們將這樣的方法稱為“三角形倍長中線”，則的范圍是：________．【拓展應(yīng)用】（1）如圖，在中，，，，，求的長．（2）如圖，在中，D為邊的中點(diǎn)，分別以為直角邊向外作直角三角形，且滿足，連結(jié)，若，則________．（直接寫出）模型2.截長補(bǔ)短模型截長補(bǔ)短模型分為截長模型和補(bǔ)短模型：適用于求證線段的和差倍分關(guān)系，截長補(bǔ)短的關(guān)鍵在于通過輔助線構(gòu)造出全等三角形、等腰三角形。該類題目條件中常出現(xiàn)等腰三角形（兩邊相等）、角平分線（兩角相等）等關(guān)鍵詞句，可采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程（往往需證2次全等）。截長：指在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：指將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。條件：AD為△ABC的角平分線，∠B=2∠C。結(jié)論：AB＋BD＝AC。證明：法1（截長法）:在線段AC上截取線段AB′＝AB，連接DB?！逜D為△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。法2（補(bǔ)短法）:延長AB至點(diǎn)C′使得AC′＝AC，連接BC′。∵AD為△ABC的角平分線，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。例1．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）【方法探究】如圖1，在中，平分，，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系；嘉銘同學(xué)通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補(bǔ)短”兩種方法解決問題：方法1：如圖2，在上截取，使得，連接，可以得到全等三角形，進(jìn)而解決此問題．方法2：如圖3，延長到點(diǎn)，使得，連接，可以得到等腰三角形，進(jìn)而解決此問題．（1）根據(jù)探究，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系；【遷移應(yīng)用】（2）如圖4，在中，D是上一點(diǎn)，，，于，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【拓展延伸】（3）如圖5，為等邊三角形，點(diǎn)為延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)．若，求證：．例2．（23-24八年級(jí)上·河南漯河·期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對(duì)角互補(bǔ)”可以通過“截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．例3．（23-24九年級(jí)上·江蘇南通·期中）如圖，四邊形是內(nèi)正方形，P是圓上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C，D不重合），連接．(1)若點(diǎn)P是弧上一點(diǎn)，①∠BPC度數(shù)為___________；②求證：；小明的思路為：這是線段和差倍半問題，可采用截長補(bǔ)短法，請(qǐng)按小明思路完成下列證明過程（也可按自己的想法給出證明）．證明：在的延長線上截取點(diǎn)E．使，連接．(2)探究當(dāng)點(diǎn)P分別在，，上，求的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案，不需要證明．例4．（23-24八年級(jí)下·遼寧盤錦·期中）【閱讀理解】截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．（1）如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．思路：延長到點(diǎn)，使，連接，根據(jù)，可證，易證得≌，得出是等邊三角形，所以，從而探尋線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請(qǐng)寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系是______；【拓展延伸】（2）如圖2，在中，，，若點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【知識(shí)應(yīng)用】（3）如圖3，兩塊斜邊長都為的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點(diǎn)之間的距離cm．

1．（2023秋·江西九江·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，則BC的長為．2．（2023·江蘇淮安·三模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，D為邊的中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)H，使，連接．由，得，則與的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，平分，D為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交CA的延長線于點(diǎn)Q，交邊于點(diǎn)K．試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，，，D為邊的中點(diǎn)，連接，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F．①若．求的長度；②在射線上取一點(diǎn)G，且，連接，直接寫出的最小值．

3．（23-24九年級(jí)上·廣東梅州·階段練習(xí)）閱讀下面材料：某同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，是邊上的中線，點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn)，求的值．他發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，通過構(gòu)造，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決（如圖2）．請(qǐng)回答：(1)的值為___．(2)參考這個(gè)同學(xué)思考問題的方法，解決問題：如圖3，在中，，點(diǎn)在的延長線上，與邊上的中線的延長線交于點(diǎn)，求的值____；(3)在（2）的前提下，若，則________．4．（2024·山東·?？家荒＃╅喿x材料：如圖1，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過延長DE到點(diǎn)F，使，連接CF，證明，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．類比遷移：（1）如圖2，AD是的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，且，求證：．小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長AD至點(diǎn)M，使，連接MC，……請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成證明過程．方法運(yùn)用：（2）如圖3，在等邊中，D是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，F(xiàn)是線段BE的中點(diǎn)，連接DF、CF．請(qǐng)你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．5．（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）[問題背景]在中，，求邊上的中線的取值范圍，小組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：延長到E，使得，再連接，把集中在中．(1)利用上述方法求出的取值范圍是_________；(2)[探究]如圖2，在中，為邊上的中線，點(diǎn)D在的延長線上，且，與相交于點(diǎn)O，若四邊形的面積為20，求的面積；(3)[拓展]如圖3，在四邊形中，，E為的中點(diǎn)，G、F分別為邊上的點(diǎn)，若，，，求的長．6．（2024·山西呂梁·一模）閱讀與思考：下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．“倍長中線法”中線是三角形中的重要線段之一，利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長中線法”加輔助線．如圖1．在中，平分，且恰好是邊的中點(diǎn)．求證：．

證明：如圖2，延長至點(diǎn)，使．∵是邊的中點(diǎn)∴．∵，，∴（依據(jù)）．∴．∵平分，∴，∴，∴，∴．任務(wù)：(1)材料中的“依據(jù)”是________．（填選項(xiàng)）A．

B．

C．

D．(2)在中，，，則邊上的中線長度的取值范圍是________．(3)如圖3，在四邊形中，，平分，且是的中點(diǎn)，，，求的長．7．（23-24八年級(jí)上·山西大同·期末）閱讀以下材料，完成以下兩個(gè)問題．[閱讀材料]已知：如圖，（）中，D、E在BC上，且，過D作交AE于點(diǎn)F，．求證：平分．結(jié)合此題，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，考慮倍長，并且要考慮連接哪兩點(diǎn)，目的是證明全等，從而轉(zhuǎn)移邊和角．有兩種考慮方法：①考慮倍長，如圖（1）所示；②考慮倍長，如圖（2）所示以圖（1）為例，證明過程如下：證明：延長至G，使，連接．在和中，，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴平分．問題1：參考上述方法，請(qǐng)完成圖（2）的證明．問題2：根據(jù)上述材料，完成下列問題：已知，如圖3，在中，是邊上的中線，分別以為直角邊向外作等腰直角三角形，，，，，求的長．8．（2024·河南南陽·一模）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，下面是李老師在“利用角的對(duì)稱性構(gòu)造全等模型”主題下設(shè)計(jì)的問題，請(qǐng)你解答．（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖1，是的角平分線，，在上截取，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是__________；②如圖2，的角平分線、相交于點(diǎn)P．當(dāng)時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系是__________；（2）【探究遷移】如圖3，在四邊形中，，的平分線與的平分線恰好交于邊上的點(diǎn)P，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角是時(shí)，直接寫出邊的長．9．（2023·湖南懷化·模擬預(yù)測(cè)）【證明體驗(yàn)】（1）如圖1，為的角平分線，，點(diǎn)E在上，．求證：平分．【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G．若，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對(duì)角線平分，點(diǎn)E在上，．若，求的長．10．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·期中）定義：如圖1，在．中，把繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)并延長一倍得到，把繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，并延長一倍得到，連結(jié)．當(dāng)時(shí)，稱為的“倍旋三角形”，的邊上的中線叫做的“倍旋中線”．(1)如圖①，當(dāng)，時(shí)，“倍旋中線”的長為______；(2)如圖②，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，“倍旋三角形”與的數(shù)量關(guān)系為______．(3)在圖③中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想“倍旋中線”與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．①

②

③11．（22-23九年級(jí)上·河南駐馬店·階段練習(xí)）如下表倍長中線（Methodoftimesthelengthofline）倍長中線的意思是：延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等，此法常用于構(gòu)造全等三角形，利用中線的性質(zhì)、輔助線、對(duì)頂角一般用“”證明對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系．請(qǐng)用倍長中線法解答下面問題：在中，，是邊上的中線，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)在上，，與相交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使得，連接，求的值．王林同學(xué)根據(jù)題意寫出了如下不完整的求解過程，請(qǐng)補(bǔ)全其過程．解：設(shè)，則；∵是邊上的中線，∴；∵在和中，∴（）∴=，∴；∴；又∵，∴；∴=．(2)類比探究如圖2，點(diǎn)在的延長線上，與的延長線交于點(diǎn)，，求的值．(3)拓展延伸在（2）的探究結(jié)論下，若，，求的長．12.（23-24九年級(jí)上·陜西西安·期中）閱讀下面材料，完成以下兩問：數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題．如圖，中，D為中點(diǎn)，且，M為中點(diǎn)，連接并延長交于N．探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．同學(xué)們經(jīng)過思考后，交流了自己的想法：小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)線段之間存在某種數(shù)量關(guān)系”．小強(qiáng)：“通過倍長不同的中線，可以得到不同的結(jié)論，但都是正確的”．小偉：“通過構(gòu)造、證明相似三角形、全等三角形，就可以將問題解決”．

(1)小偉在探索時(shí)，做法為：過B作交延長線于Q，構(gòu)造．請(qǐng)你按照他的做法，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系為：________(2)如圖（2）：延長至H，使，連接，則結(jié)論：是否成立？請(qǐng)說明理由；(3)如圖（3）,證明：．13．（2024·廣西賀州·一模）閱讀與思考：下面是小王的數(shù)學(xué)改錯(cuò)本上的改錯(cuò)總結(jié)反思請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．截長補(bǔ)短法：有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或“差”及其比例關(guān)系．這一類題目一般可以采取“截長”或“補(bǔ)短”的方法來進(jìn)行求解，所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段長度與已知線段長度相等，然后證明其中的另一條線段與已知的另一條線段的數(shù)量關(guān)系，所謂“補(bǔ)短”，就是將一條已知的較短的線段延長至與另一條已知的較短的線段長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的數(shù)量關(guān)系．有的是采取截長補(bǔ)短法后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解…．如圖1，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．是的直徑，．請(qǐng)說明線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．下面是該問題的部分解答過程：解：．理由如下：∵是的直徑，∴，∵，∴．如圖2，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)M，…．任務(wù)：(1)補(bǔ)全解答過程；(2)如圖3，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．是的直徑，，則線段，，之間的數(shù)量關(guān)系式是______．14．（23-24八年級(jí)上·吉林長春·階段練習(xí)）【閱讀理解】截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上