2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高一上冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題1．（4分）集合，，則（）A． B． C． D．2．（4分）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且不存在零點(diǎn)的是（）A． B． C． D．3．（4分）定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意，，有，則（）A． B．C． D．4．（4分）已知命題p：，是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．5．（4分）關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法不正確的是（）A．有且僅有一個(gè)零點(diǎn) B．在，上單調(diào)遞減 C．的定義域?yàn)?D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)6．（4分）若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A． B．C． D．7．（4分）如果a，b，c滿(mǎn)足且，那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是（）A． B． C． D．8．（4分）已知a，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．（4分）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．（4分）函數(shù)，其中P，M為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集．又規(guī)定，．下列四個(gè)判斷其中正確的是（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．A．①③ B．②③ C．②④ D．①④二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線(xiàn)上）11．（5分）已知集合，B＝{a，a2+3}．若A∩B＝{1}，則實(shí)數(shù)a的值為．12．（5分）函數(shù)的定義域?yàn)椋?3．（5分）設(shè)，是方程的兩根，不解方程，求下列各式的值：（1）；（2）．14．（5分）設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則a的一個(gè)取值為；a的最大值為．15．（5分）設(shè)A是非空數(shù)集，若對(duì)任意x，，都有、，則稱(chēng)A具有性質(zhì)P，給出以下命題：①若A具有性質(zhì)P，則A可以是有限集；②若A具有性質(zhì)P，且，則具有性質(zhì)P；③若、具有性質(zhì)P，且，則具有性質(zhì)P；④若、具有性質(zhì)P，則具有性質(zhì)P．其中所有真命題的序號(hào)是．三、解答題（本大題共5小題，共55分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16．已知全集，集合，，．（Ⅰ）集合A＝_____；B＝_____；_____；_____；（Ⅱ）若，求a的取值范圍；（Ⅲ）若，求a的取值范圍．17．已知函數(shù)，為R上的奇函數(shù)且．（1）求a，b；（2）判斷在上的單調(diào)性并證明；（3）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值．18．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．（Ⅰ）求出當(dāng)時(shí)，的解析式；（Ⅱ）如圖，請(qǐng)補(bǔ)出函數(shù)的完整圖象，根據(jù)圖象直接寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅲ）結(jié)合函數(shù)圖象，討論函數(shù)在上的值域．19．近年來(lái)，國(guó)內(nèi)多個(gè)城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟(jì)”，以滿(mǎn)足不同層次的多元消費(fèi)，并拉動(dòng)就業(yè)、帶動(dòng)創(chuàng)業(yè)，進(jìn)而提升區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展活力．某夜市的一位工藝品售賣(mài)者，通過(guò)對(duì)每天銷(xiāo)售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），每件的銷(xiāo)售價(jià)格P（單位：元）與時(shí)間x（單位：天）的函數(shù)關(guān)系近似滿(mǎn)足（k為常數(shù)，且，，），日銷(xiāo)售量Q（單位：件）與時(shí)間x（單位：天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：x10152025302（x）5055605550已知第10天的日銷(xiāo)售收入為505元．給出以下三個(gè)函數(shù)模型：①；②；③．（Ⅰ）請(qǐng)你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來(lái)描述日銷(xiāo)售量與時(shí)間x的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；（Ⅱ）設(shè)該工藝品的日銷(xiāo)售收入為（單位：元），求的解析式．（Ⅲ）該工藝品的日銷(xiāo)售收入哪天最低？最低收入是多少？20．對(duì)于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱(chēng)集合A具有可分性．（Ⅰ）分別判斷集合，是否具有可分性，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）判斷是否存在五個(gè)元素的集合具有可分性，并說(shuō)明理由．（Ⅲ）若集合A具有可分性，求集合A中元素個(gè)數(shù)的最小值．答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題1．【正確答案】B【分析】由題意集合，，分別解出集合P，M，從而求出．解：∵集合，∴，∵，∴，∴，故選：B．2．【正確答案】D【分析】判斷函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的零點(diǎn)，判斷選項(xiàng)即可．解：，函數(shù)是偶函數(shù)，存在零點(diǎn)，所以A不正確；，不是偶函數(shù)，所以B不正確；，不是偶函數(shù)，所以C不正確；是偶函數(shù)，沒(méi)有零點(diǎn)，所以D正確．故選：D．3．【正確答案】A【分析】由題意函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．解：定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意，（），有，則函數(shù)在R上單調(diào)遞減，∵，∴，故選：A．4．【正確答案】D【分析】由題意得恒成立，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求．解：因?yàn)閜：，是假命題，故，恒成立，所以，所以．故選：D．5．【正確答案】D【分析】求解零點(diǎn)判斷A；化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷B；求解定義域判斷C；判斷對(duì)稱(chēng)性，判斷D．解：函數(shù)，令，可知，函數(shù)值域一個(gè)零點(diǎn)，所以A正確；函數(shù)，可知函數(shù)在，上單調(diào)遞減；所以B正確；函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以D不正確．的定義域?yàn)椋訡正確．故選：D．6．【正確答案】C【分析】由已知結(jié)合分式不等式的求法即可求解．解：關(guān)于x的不等式的解集為，則，關(guān)于x的不等式可化為，即，解得或．故選：C．7．【正確答案】C【分析】本題根據(jù)，可以得到與的符號(hào)，當(dāng)時(shí)，則A成立，時(shí)，B成立，又根據(jù)，得到D成立，當(dāng)時(shí)，C不一定成立．解：對(duì)于A(yíng)，∵且，∴則，，必有，故A一定成立，對(duì)于B，∵，∴，又由，則有，故B一定成立，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，成立，故C不一定成立，對(duì)于D，∵且，∴，∴，故D一定成立，故選：C．8．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意作差可得，由此結(jié)合充要條件的定義，判斷出正確答案．解：由，可得：若，則，當(dāng)時(shí)，，故不能推出；若，則當(dāng)時(shí)，，可得，也不能推出．綜上所述，“”是“”的既不充分也不必要條件．故選：D．9．【正確答案】B【分析】偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則不等式對(duì)任意恒成立，即不等式對(duì)任意恒成立，即可得到答案．解：由題意，偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則不等式對(duì)任意恒成立，即不等式對(duì)任意恒成立，∴對(duì)任意恒成立，∴，則故選：B．10．【正確答案】C【分析】通過(guò)取特殊集合分析①③；先分析的結(jié)果，根據(jù)結(jié)果判斷②；先考慮的情況，然后分析0的唯一性，由此判斷④．解：對(duì)于①：若，，滿(mǎn)足，此時(shí)，，，故錯(cuò)誤；對(duì)于②：若，則由函數(shù)定義可知，即，所以，則，所以，故正確；對(duì)于③：若，，滿(mǎn)足，此時(shí)，，，故錯(cuò)誤；對(duì)于④：若，則，；若，，假設(shè)，則，，所以，，所以，，所以，，，這顯然與矛盾，所以假設(shè)不成立，所以若，則，故正確．故選：C．二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線(xiàn)上）11．【正確答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】利用交集定義直接求解．解：∵集合，．，∴或，當(dāng)時(shí)，，，成立；無(wú)解．綜上，．故1．12．【正確答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，可得，從而解出x的取值范圍，得到函數(shù)的定義域．解：由題意可知，，解得：，且，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋剩?3．【正確答案】；．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可解．解：設(shè)，是方程的兩根，則，，（1）；（2）．故；．14．【正確答案】0，1．【分析】對(duì)函數(shù)分段函數(shù)的分界點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論，研究其不同圖像時(shí)函數(shù)取最小值時(shí)a的范圍即可．解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，不滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需滿(mǎn)足，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，不滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像如圖所示，要使得函數(shù)有最小值，需，無(wú)解，故不滿(mǎn)足題意；綜上所述：a的取值范圍是，故0，1．15．【正確答案】①③．【分析】舉特例判斷①；利用性質(zhì)P的定義證明③即可；舉反例說(shuō)④錯(cuò)誤；利用反證法判斷②，元素0是關(guān)鍵．解：設(shè)A是非空數(shù)集，若對(duì)任意x，，都有、，則稱(chēng)A具有性質(zhì)P，對(duì)于①，取集合具有性質(zhì)P，故A可以是有限集，故①正確；對(duì)于③，取x，，則，，，，又，具有性質(zhì)P，∴，，，，∴，，所以具有性質(zhì)P，故③正確；對(duì)于④，取，，，，但，故④錯(cuò)誤；對(duì)于②，若A具有性質(zhì)P，且，假設(shè)也具有性質(zhì)P，設(shè)，在中任取一個(gè)x，，此時(shí)可證得，否則若，由于也具有性質(zhì)P，則，與矛盾，故，由于A(yíng)具有性質(zhì)P，也具有性質(zhì)P，所以，，而，這與矛盾，故當(dāng)且A具有性質(zhì)P時(shí)，則不具有性質(zhì)P，同理當(dāng)時(shí)，也可以類(lèi)似推出矛盾，故②錯(cuò)誤．故①③．三、解答題（本大題共5小題，共55分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16．【正確答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）先求出集合A，B，再利用集合的基本運(yùn)算求解；（Ⅱ）由可得，分和兩種情況討論，分別求出a的取值范圍，最后取并集即可；（Ⅲ）先求出時(shí)a的取值范圍，再取補(bǔ)集即可．解：（Ⅰ）集合，，∴，，∴；（Ⅱ）∵，∴，①當(dāng)時(shí)，，∴，②當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，a的取值范圍為；（Ⅲ）若，①當(dāng)時(shí)，，∴，②當(dāng)時(shí)，或，∴或，綜上所述，若，則a的取值范圍為，故，則a的取值范圍．17.【正確答案】（1），；（2）在上為減函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（3），．【分析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的定義可得，變形可得，又由，即可得a的值，（2）根據(jù)題意，設(shè)，由作差法利用函數(shù)單調(diào)性的定義分析可得結(jié)論．（3）根據(jù)題意，由函數(shù)的單調(diào)性，分析可得在上的最小值為、最大值為，結(jié)合解析式計(jì)算可得答案．解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)，為R上的奇函數(shù)，則，即，變形可得，又由，則；（2）由（1）的結(jié)論，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明如下：設(shè)，則，又由，則，，則，故在上單調(diào)單調(diào)遞減．（3）根據(jù)題意，由（2）的結(jié)論以及函數(shù)是奇函數(shù)，可知在上遞減，則在上的最大值為，最小值為．18．【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函數(shù)的圖象如下：觀(guān)察圖象，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋痉治觥浚á瘢┯善婧瘮?shù)的定義求出解析式作答．（Ⅱ）由奇函數(shù)的圖象特征，補(bǔ)全函數(shù)的圖象，并求出單調(diào)增區(qū)間作答．（Ⅲ）利用圖象，分類(lèi)討論，求解值域即可．解：（Ⅰ）依題意，設(shè)，則，于是，因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，因此，所以當(dāng)時(shí)，的解析式；（Ⅱ）由已知及（1）得函數(shù)的圖象如下：觀(guān)察圖象，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：，；（Ⅲ）由（1）可知，，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令得，，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，，所以的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，，所以的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，，所以的值域?yàn)?，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋划?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?9．【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）該工藝品的日銷(xiāo)售收入第2天最低，最低收入是441．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意易得選擇函數(shù)模型②，從而再根據(jù)題意建立方程，即可求解；（Ⅱ），從而可求的解析式；（Ⅲ）利用基本不等式及函數(shù)單調(diào)性，即可求解．解：（Ⅰ）由表格中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間x變長(zhǎng)時(shí)，先增后減，①③函數(shù)模型都描述的是單調(diào)函數(shù)，不符合該數(shù)據(jù)模型，所以選擇函數(shù)模型②：，由，可得，解得，因?yàn)椋獾?，則日銷(xiāo)售量與時(shí)間x的關(guān)系式為；（Ⅱ）因?yàn)榈?0天的日銷(xiāo)售收入為505元，則，解得k＝1，所以，由（1）知，則；（Ⅲ）當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為，綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值441，所以該工藝品的日銷(xiāo)售收入第2天最低，最低收入是441．20．【正確答案】（1）集合{1，2，3，4}不具有可分性，集合{1，2，3，4，5}不具有可分性，理由見(jiàn)解析；（2）不存在，理由見(jiàn)解析；（3）7．【分析】（1）若集合具有可分性，則去掉任意元素之后，剩余元素之和必為偶數(shù)，由此可以快速判斷（1）中兩個(gè)集合不具有可分性；（2）存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在滿(mǎn)足要求的五元集合，再根據(jù)新定義進(jìn)行檢驗(yàn)；（3）根據(jù)新定義，設(shè)，則容易發(fā)現(xiàn)為偶數(shù)，若n為偶數(shù)，則可進(jìn)一步得到為偶數(shù)，為4的倍數(shù)，為8的倍數(shù)，……，從而得出矛盾，n必為奇數(shù)，易知不符合，由（2）知不符合要求，構(gòu)造出符合要求的7元集合即可說(shuō)明n的最小值為7．解：（1）對(duì)于集合{1，2，3，4}，去掉1時(shí)，剩下三個(gè)元素之和為9，不是偶數(shù)，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性，對(duì)于集合{1，2，3，4，5}，去掉2時(shí)，剩下四個(gè)元素之和為13，不是偶數(shù)，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性；（2）不存在，理由如下：假設(shè)存在滿(mǎn)足要求的五元集，其中，則去掉時(shí)，可能的情況為或，若，則去掉時(shí)，，不能分成兩個(gè)集合，且兩個(gè)集合的元素之和相等，若，則去掉時(shí)，，，不能分成兩個(gè)集合，且兩個(gè)集合的元素之和相等，故假設(shè)不成立，即不存在五元集合具有可分性；（3）先證明若集合A具有可分性，則集合A的元素個(gè)數(shù)n為奇數(shù)