2024-2025學(xué)年北京市宣武區(qū)高二上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市宣武區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共10小題）1．直線的傾斜角是（

）A．30° B．60° C．120° D．150°2．已知直線：，.若，則實數(shù)（

）A．0或 B．0 C． D．或23．“”是“直線與互相垂直”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件4．已知為直線上的動點，點滿足，記的軌跡為，則（

）A．是一個半徑為的圓 B．是一條與相交的直線C．上的點到的距離均為 D．是兩條平行直線5．已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．為直線上一點，過總能作圓的切線，則的最小值（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的離心率為2，則（

）A．3 B． C． D．8．已知直線過點（1，2），且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，則直線的方程為（

）A．B．C．或D．或9．已知直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．笛卡爾、牛頓研究過方程，關(guān)于這個方程的曲線有下列說法，其中正確的是（）A．該曲線關(guān)于軸對稱 B．該曲線關(guān)于原點對稱C．該曲線不經(jīng)過第三象限 D．該曲線上有且只有三個點的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)二、填空題（本大題共6小題）11．已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為A，點B在C上.若，則直線AB的方程為.12．若直線與交于，兩點，則面積的最大值為，寫出滿足“面積最大”的的一個值.13．已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與該拋物線交于A，B兩點，，AB的中點橫坐標(biāo)為4，則_____________．14．已知，是橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于，兩點，則的周長為，若，則.15．已知雙曲線，請從以下四個條件中任選兩個條件，使雙曲線存在且唯一確定，并根據(jù)所選條件求雙曲線的漸近線方程.①焦距為4；②經(jīng)過點；③焦點到漸近線的距離為；④離心率為2.你選擇的兩個條件是，得到的雙曲線的漸近線方程是.16．若直線被圓所截的弦長不小于，則在下列曲線中：①②③④與直線一定有公共點的曲線的序號是.（寫出你認(rèn)為正確的所有序號）三、解答題（本大題共1小題）17．已知橢圓的焦點在軸上，中心在坐標(biāo)原點.以的一個頂點和兩個焦點為頂點的三角形是等邊三角形，且其周長為.(1)求栯圓的方程；(2)設(shè)過點的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于不同的兩點，與直線交于點.點在軸上，為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，四邊形是菱形.求證：直線過定點.

答案1．【正確答案】C【分析】先求解出直線的斜率，然后根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求解出傾斜角的大小.【詳解】因為直線方程為，所以斜率，設(shè)傾斜角為，所以，所以，故選：C.2．【正確答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行得到方程，求出或，檢驗后得到答案.【詳解】由題意得，解得或，當(dāng)時，直線：，：，滿足，當(dāng)時，直線：，：，兩直線重合，不合要求，舍去，綜上，.故選B.3．【正確答案】A【分析】判斷兩直線垂直的方法：設(shè)兩直線為，，，代入求解參數(shù)，根據(jù)充分必要性的判斷法則即可得答案.【詳解】解：由題意得：的充要條件是即，故解得于是“”是“直線與互相垂直”的充分不必要條件.故選：A4．【正確答案】C【分析】設(shè)，由可得點坐標(biāo)，由在直線上，故可將點代入坐標(biāo)，即可得軌跡，結(jié)合選項即可得出正確答案.【詳解】設(shè)，由，則，由在直線上，故，化簡得，即的軌跡為為直線且與直線平行，上的點到的距離，故A、B、D錯誤，C正確.故選C.5．【正確答案】D【詳解】解：表示直線上一動點到定點的距離之和，如圖所示：

設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以對稱點為，則由圖知：的最小值為，故選：D6．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，得到直線與圓相切或相離，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，點為直線上一點，過總能作圓的切線，可得直線與圓相切或相離，則滿足圓心到直線的距離，解得，即，所以的最小值為.故選：D.7．【正確答案】B【詳解】由雙曲線可得：，，所以，故選：B.8．【正確答案】C【詳解】當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時，設(shè)直線的方程為，把點代入方程，得，即，所以直線的方程為；當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0時，設(shè)直線的方程為，把點代入方程，得，即，所以直線的方程為．故選：C．9．【正確答案】B【分析】由題意首項得，再結(jié)合必要不充分條件的定義、斜率與傾斜角的關(guān)系，兩角差的余弦公式即可得解.【詳解】由題意可知兩直線均有斜率，所以，若取，則有，但；若，又，所以，而，綜上所述，“”是“”的必要而不充分條件.故選B.10．【正確答案】C【詳解】A選項，當(dāng)時，顯然等式不成立，故，所以，令，則，故，故A錯誤；B選項，，B錯誤；C選項，當(dāng)時，，故，所以該曲線不經(jīng)過第三象限，C正確；D選項，，其中，當(dāng)時，為整數(shù)，故整數(shù)點至少有8個，D錯誤.故選：C11．【正確答案】或【分析】先根據(jù)焦半徑公式求出點坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線方程.【詳解】設(shè)，則，則，此時，所以或，又由已知，直線AB的方程為或，整理得或.故或.12．【正確答案】21（均可）【分析】求出圓心到直線的距離，則，再由基本不等式求出面積最大值，以及此時的值.【詳解】直線，則，令，解得，所以直線恒過點，的圓心為，半徑，顯然點在上，圓心到直線的距離，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即，解得或.故；（均可）.13．【正確答案】【分析】根據(jù)拋物線定義有，結(jié)合已知即可求參數(shù)p的值.【詳解】由拋物線定義知：，而AB的中點橫坐標(biāo)為4，即，所以，即.故14．【正確答案】208【詳解】橢圓，∴，的周長是，所以故答案為∶20，815．【正確答案】答案見解析【詳解】由為雙曲線方程，可知，化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，此時，漸近線方程為：，若選①②，則，，所以，雙曲線方程為：，此時漸近線方程為：；若選①③，由焦點到漸近線的距離為，可知，又，雙曲線方程為：，此時漸近線方程為：；若選①④，則，，則，雙曲線方程為：，此時漸近線方程為：；若選②③，則，，雙曲線方程為：，此時漸近線方程為：；若選②④，則，，雙曲線方程為：，此時漸近線方程為：；若選③④，則，又，則，雙曲線方程為：，此時漸近線方程為：；故①②，；或①③，；或①④，；或②③，；或②④，；或③④，；16．【正確答案】①③【詳解】∵直線被圓：所截的弦長不小于，設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以，即圓心到直線的距離小于或等于，故直線一點經(jīng)過圓面內(nèi)的點，如圖所示：觀察圖象可得滿足關(guān)系，圓面在橢圓內(nèi)，故與直線一定有公共點的曲線的序號是①③.故①③.17．【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦點三角形的周長以及等邊三角形的性質(zhì)可得且，即可求解得解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)可得的方程為，即可求解，.進(jìn)而根據(jù)點斜式求解直線方程，即可求解.【詳解】（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為.因為以的一個頂點和兩個焦點為頂點的三角形是等邊三角形，且其周長為，所以且，所以.所以，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，令，得，即.由得.設(shè)，則，設(shè)的中點為，則，所以.因為四邊形為菱形，所以為的中點，，所以直線的斜率