2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市江陰市高二上冊12月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市江陰市高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，若是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與關(guān)于虛軸對稱，則（

）A． B． C． D．3．如圖，在平行六面體中，E為延長線上一點(diǎn)，，則可以表示為（）

A． B．C． D．4．已知則“”是“”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要條件 D．既不充分也不必要5．《周髀算經(jīng)》是中國最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長的和是40.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立春的日影子長為（）A．10.5尺 B．11.5尺 C．12.5尺 D．13.5尺6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上動點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓上動點(diǎn)，則的最小值為（）A．5 B．4 C．3 D．27．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)M.若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B．C． D．8．2020年7月23日，“天問一號”在中國文昌航天發(fā)射場發(fā)射升空，經(jīng)過多次變軌后于2021年5月15日頭現(xiàn)軟著陸火星表面．如圖，在同一平面內(nèi)，火星輪廓近似看成以為圓心、為半徑的圓，軌道Ⅰ是以為圓心、為半徑的圓，著陸器從軌道Ⅰ的點(diǎn)變軌，進(jìn)入橢圓形軌道Ⅱ后在點(diǎn)著陸．已知直線經(jīng)過，，與圓交于另一點(diǎn)，與圓交于另一點(diǎn)，若恰為橢圓形軌道Ⅱ的上焦點(diǎn)，且，，則橢圓形軌道Ⅱ的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知方程（m為實(shí)數(shù)）表示的曲線C，則（）A．曲線C不可能表示一個圓 B．曲線C可以表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C．曲線C可以表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 D．曲線C可以表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線10．已知空間三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論正確的有（）A．存在唯一的實(shí)數(shù)x使B．對任意實(shí)數(shù)，三點(diǎn)都不共線C．當(dāng)時，與夾角的余弦值是D．當(dāng)時，是平面的一個法向量11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)B，Q的之間），則（

）A．直線與拋物線C相切 B．C．若P是線段的中點(diǎn)，則 D．存在直線l，使得三、填空題（本大題共3小題）12．寫出一個同時滿足下列條件①②的圓的方程：.①與圓相切，②與x軸相切.13．已知正四面體的每條棱長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，則的值為.14．設(shè)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為M，若的內(nèi)切圓與x軸切于點(diǎn)N，且，則C的離心率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線上.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求過點(diǎn)與圓相切的直線方程.16．已知數(shù)列和都是等差數(shù)列，公差分別為，，數(shù)列滿足.(1)數(shù)列是不是等差數(shù)列？若是，證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由.(2)若的公差為，的公差為，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.17．如圖，在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)．(1)求直線\到直線的距離；(2)求直線到平面的距離．18．如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，，，是邊長為2的等邊三角形，，是線段的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若，是否存在，使得平面和平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．如圖，已知橢圓的長軸長為4，離心率為，過點(diǎn)作直線l交橢圓于x軸上方兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)，直線和交于點(diǎn)G.(1)求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)；(2)若和的面積分別記為和，求的取值范圍.

答案1．【正確答案】D【詳解】由得：，所以直線的斜率為，直線的傾斜角為.故選：D2．【正確答案】C【詳解】，復(fù)數(shù)與關(guān)于虛軸對稱，故.故選：C3．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B.4．【正確答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，得到關(guān)于的方程，求出的值，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷可得；【詳解】解：因?yàn)槿?，則，解得或，當(dāng)時，直線與直線重合，所以，若時，所以“”是“”的充要條件；故選：C5．【正確答案】C【詳解】因?yàn)閺亩林掌?，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，故可設(shè)該等差數(shù)列為，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種的日影子長分別計為，，，，，公差為，由題可得：，即，解之得：，所以立春的日影子長為：（尺）.故選：C6．【正確答案】B【詳解】設(shè)圓的圓心為，半徑為，過點(diǎn)作垂直拋物線的準(zhǔn)線于，由拋物線的定義知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時，等號成立，而，所以，即的最小值為4．故選：B7．【正確答案】A【詳解】如圖：

因?yàn)?，所以，又，所以，且，所以?又.所以.所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A8．【正確答案】A【分析】不妨設(shè)，，結(jié)合橢圓的定義與圓的性質(zhì)綜合計算即可得、，即可得離心率.【詳解】法1：不妨設(shè)，，，則，，，所以，所以①，②，聯(lián)立①②解得，，所以橢圓離心率；法2：，，設(shè)軌道Ⅱ的長軸和焦距分別為和，，，則，，，得：，則，，，得：，故.故選：A.9．【正確答案】ACD【詳解】A：若，無解，故曲線C不能表示一個圓，對；B：若，無解，故曲線C不能表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，錯；C：若，可得，滿足曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，對；D：若，可得，滿足曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，對.故選：ACD10．【正確答案】BCD【詳解】對于A，，若，則，解得或1，故A錯誤；對于B，設(shè)三點(diǎn)共線，則，即，即，無解，故對任意實(shí)數(shù)，三點(diǎn)都不共線，故B正確；對于C，當(dāng)時，，所以，故C正確；對于D，當(dāng)時，，若是平面的一個法向量，則，即，所以當(dāng)時，是平面的一個法向量，故D正確；故選：BCD.11．【正確答案】AC【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，即拋物線方程為，焦點(diǎn)F0,1.對于A：直線的方程為，即，因?yàn)椋獾?，所以直線與拋物線C相切點(diǎn)，故A正確；對于B：設(shè)過點(diǎn)B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個交點(diǎn)，不合題意；所以直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，，由，得，則，即或，于是，又，所以，故B錯誤；對于C：由焦半徑公式可得，因?yàn)镻是線段的中點(diǎn)，所以，整理得，即，故C正確；對于D：若，則，得所以，即，解得，此時，則直線l與拋物線相切，故D錯誤.

故選：AC.12．【正確答案】（答案不唯一）【詳解】設(shè)圓的方程為，由題意可得，整理可得，可令，即，故（答案不唯一）.13．【正確答案】/【詳解】由題設(shè)，四面體各側(cè)面均是等邊三角形，且邊長都為1，，，所以.故14．【正確答案】【分析】結(jié)合題意，首先求出，由，通過運(yùn)算得到，再利用之間的關(guān)系得到關(guān)于離心率的方程，解出即可.【詳解】結(jié)合題意：雙曲線的漸近線方程為，即，所以F到漸近線的距離為，所以，則的內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)的內(nèi)切圓與FM切于點(diǎn)P，則，由，得，即，則，，由，得，即,由于，解得．故答案為.15．【正確答案】(1)(2)和【詳解】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，符合題意，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)該斜率為，此時直線方程為，即，圓心到該直線的距離為，即，解得，此時直線方程為，故所求直線方程為和.16．【正確答案】(1)數(shù)列是等差數(shù)列，理由見解析(2)【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，理由如下：因?yàn)閿?shù)列，都是等差數(shù)列，公差分別為，，所以，，因?yàn)椋詾槌?shù)，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列；（2）因?yàn)椋?，所以，由?）可知數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，因?yàn)榈墓顬?，的公差為，所以?shù)列的公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)到直線的距離即為直線到直線的距離，，，，，所以直線到直線的距離為；（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離，,，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，可得，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為.18．【正確答案】(1)證明見詳解；(2)存在，.【分析】（1）先在中，利用余弦定理求得，再由勾股定理可證，然后結(jié)合，利用線面垂直、面面垂直的判定定理，即可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面與平面的夾角的方法列出關(guān)于參數(shù)的方程，即可得解．【詳解】（1）證明：在中，由余弦定理知，，所以，即，因?yàn)椋?，、平面，所以平面，又平面，所以平面平?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，0，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則即取，則，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，，，則即取，則，，所以，，，因?yàn)槠矫婧推矫鎶A角的余弦值為，所以，整理得，，即，解得或，因?yàn)?，所以，故存在，使得平面和平面夾角的余弦值為，此時．【方法總結(jié)】向量法求兩個平面的夾角：首先求出兩個平面的法向量m，n，再代入公式cosα＝±(其中m，n分別是兩個平面的法