2024-2025學(xué)年山東省濟南市高一上冊期中考試數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省濟南市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（每小題5分，共40分）1．（5分）已知集合，，則（）A． B． C． D．2．（5分）已知，則實數(shù)的值為（）A．3 B．5 C．3或5 D．無解3．（5分）不等式的解集為（）A． B．或C． D．或4．（5分）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）A． B． C． D．5．（5分）已知，則（）A． B．C． D．6．（5分）設(shè)，，，則（）A． B． C． D．7．（5分）已知函數(shù)的圖像恒過定點，且點在直線上，則的最小值為（）A．4 B．1 C．2 D．8．（5分）已知不等式恒成立，則的最小值是（）A． B．4 C． D．8二、多選題（每小題6分，共18分）（多選）9．（6分）對于任意實數(shù)，，，，有以下四個命題，其中正確的是（）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，，則（多選）10．（6分）已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．的最大值為 B．的最大值為4C．的最小值為 D．的最小值為0（多選）11．（6分）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)，被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（）A．函數(shù)滿足：B．函數(shù)的值域是C．對于任意的，都有D．在圖象上不存在不同的三個點、、，使得為等邊三角形三、填空題（每小題5分，共15分）12．（5分）設(shè)，，若，則實數(shù)_____．13．（5分）已知函數(shù)滿足對任意的實數(shù)，都有，則的取值范圍是_____．14．（5分）已知關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是_____．四、解答題（共77分）15．（13分）已知集合，或．（1）當時，求；（2）“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．16．（15分）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞增．（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．17．（15分）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）確定的解析式；（2）證明在上的單調(diào)性；（3）解關(guān)于的不等式．18．（17分）已知函數(shù)．（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)a，b的值；（2）解關(guān)于的不等式．19．（17分）已知函數(shù)，．（1）當時，求函數(shù)的值域；（2）設(shè)函數(shù)，若對任意，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．答案與試題解析一、單選題（每小題5分，共40分）1．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，利用集合并集的概念與運算，即可求解．解：，，則．故選：B．2．【正確答案】B【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系進行判斷．解：，當時，那么：，違背集合元素的互異性，不滿足題意．當時，，集合為滿足題意．實數(shù)的值為5．故選：B．3．【正確答案】C【分析】由分式不等式的求解方法計算即可．解：原不等式可化為，解得．故選：C．4．【正確答案】B【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域和具體函數(shù)定義域求法直接構(gòu)造不等式求解即可．解：的定義域為，，解得：，的定義域為．故選：B．5．【正確答案】B【分析】采用換元法，令，則，再代入中，化簡即可得解．解：令，則，，，即．故選：B．6．【正確答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)的比較大小即可．解：，在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞減，，．故選：A．7．【正確答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得定點坐標，代入直線方程得，的關(guān)系，然后由基本不等式求得最小值．解：由，解得，又，所以函數(shù)過定點為，代入直線中，得，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為2．故選：C．8．【正確答案】D【分析】由不等式恒成立，可得，利用基本不等式可求得的最小值．解：恒成立，，解得，，，（當且僅當，即，時取等號）．即的最小值是8．故選：D．二、多選題（每小題6分，共18分）（多選）9．【正確答案】BD【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出正誤．解：A．不一定成立；B．由，則，可得：．C．不一定成立，例如，．D．，，即，則，成立．故選：BD．（多選）10．【正確答案】ACD【分析】利用基本不等式判斷A，利用基本不等式“1”的妙用判斷B，利用完全平方公式與基本不等式判斷C，利用代入消元法，結(jié)合基本不等式判斷D，從而得解．解：對于A，因為，，且，所以，當且僅當時取等號，故A正確；對于B，，當且僅當，即，時取等號，故B錯誤；對于C，因為，對C，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故C正確；對于D，由，，且，可知，，所以，當且僅當，即，時，等號成立，故D正確．故選：ACD．（多選）11．【正確答案】AC【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的三要素、函數(shù)的奇偶性，對選項A、B、C三項依次分析，可得這三項的正誤；然后通過取特殊點進行說明，判斷出D項的正誤，可得答案．解：對于選項A，根據(jù)狄利克雷函數(shù)的解析式，若，則，可得；若，則，可得．綜上所述，對于任意，總有成立，故A項正確，對于選項B，的函數(shù)值只可能是0或1，所以的值域為，而不是，故B項錯誤，對于選項C，若，則，可得，若，則，可得，故C項正確，對于選項D，取，，，此時，可知為等邊三角形．所以圖象上存在不同的三點、、，使得為等邊三角形，故D項不正確．故選：AC．三、填空題（每小題5分，共15分）12．【正確答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)全集和，容易求出集合，再根據(jù)已知集合的等式判斷出的值解：，而，0，3為的兩個根解得故答案為-313．【正確答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)為減函數(shù)，進而可得關(guān)于的不等式組，解可得的取值范圍，即可得答案．解：根據(jù)題意，若函數(shù)滿足對任意的實數(shù)都有，則函數(shù)上為減函數(shù)，則有，解可得，即的取值范圍為；故．14．【正確答案】．【分析】把關(guān)于的不等式在上有解的問題，利用分離參數(shù)求最值轉(zhuǎn)化為，在上有解，再求，的最小值即可．解：關(guān)于的不等式在上有解，轉(zhuǎn)化為，在上有解，令，，轉(zhuǎn)化為求，上的最小值，則，當且僅當，即時等號成立，故時，，因此要使不等式在上有解，則．故．四、解答題（共77分）15．【正確答案】（1）或；（2）．詳解見解析．【分析】可利用集合間的關(guān)系進行求解．解：（1）當時，，所以或，（2）由題可知，，因為“”是“”的充分不必要條件，所以，可得，或，解得．16．【正確答案】（1），；（2）．【分析】（1）由冪函數(shù)的單調(diào)性求得，由，通過檢驗即可求解；（2）由已知得，兩邊平方，即可求解實數(shù)的取值范圍．解：（1）由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增知，，解得，又，則．當或時，，不符合的圖像關(guān)于軸對稱，故舍去．當時，，圖像關(guān)于軸對稱，符合題意．綜上所述，．（2）由（1）得為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，因為，所以，兩邊平方，得，化簡得，解得或，故實數(shù)的取值范圍為．17．【正確答案】（1）．（2）見解答過程．（3）【分析】（1）由題意，根據(jù)、，求出和的值，可得函數(shù)的解析式．（2）由題意，利用單調(diào)性函數(shù)的定義，證明函數(shù)的單調(diào)性．（3）由題意，利用函數(shù)的定義域和單調(diào)性解不等式，求得的范圍．解：（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，解可得．又由，則有，解可得，故．（2）由（1）的結(jié)論，，設(shè)，則，再根據(jù)，可得，，，，故有，即，可得函數(shù)在上為增函數(shù)．（3）由（1）（2）知為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，關(guān)于的不等式，即式，可得，解可得：，即不等式的解集為．18．【正確答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)不等式與對應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組求出、的值；（2）不等式化為，討論的取值，從而求出不等式的解集．解：（1）函數(shù)，不等式化為，由該不等式的解集為，所以，且1和2是方程的兩根，所以，解得，；（2）不等式，即．①當時，不等式為，解得；②當時，不等式為，此時，解得；③當時，不等式為，若，則，解得或；若，則，不等式為，解得；若，則，解得或；綜上知，時，不等式的解集為；時，不等式的解集為；時，不等式的解集為；時，不等式的解集為；時，不等式的解集為或．19．【正確答案】（1）；（2）．【分析】（1）將代入，利用換元法求解即可；（2）由題意