北京十一學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

北京十一學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的一條漸近線方程是，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．若，則()A． B． C． D．3．已知集合，，且、都是全集（為實(shí)數(shù)集）的子集，則如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為（）A． B．或C． D．4．某人2018年的家庭總收人為元，各種用途占比如圖中的折線圖，年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如圖中的條形圖，已知年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元，則該人年的儲畜費(fèi)用為（）A．元 B．元 C．元 D．元5．已知，滿足條件（為常數(shù)），若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9，則（）A． B． C． D．6．已知命題p：若，，則；命題q：，使得”，則以下命題為真命題的是（）A． B． C． D．7．記為數(shù)列的前項(xiàng)和數(shù)列對任意的滿足.若，則當(dāng)取最小值時(shí)，等于（）A．6 B．7 C．8 D．98．函數(shù)f(x)=lnA． B． C． D．9．已知橢圓，直線與直線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立，則橢圓的離心率取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列對任意的有成立，若，則等于（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)（其中，，）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為，則對于下列判斷：①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；②點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對稱中心；③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則公比（）A． B．4 C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)全集，集合，，則集合______.14．如圖，為測量出高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點(diǎn)，從點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角，點(diǎn)的仰角以及；從點(diǎn)測得．已知山高，則山高_(dá)_________．15．已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝_____，|z|＝_____．16．已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面與側(cè)面都是菱形，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點(diǎn)，平面，且，．（）求與平面所成角的正弦．（）求二面角的余弦值．19．（12分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，等比數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和.20．（12分）在極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），求直線與曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo).21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為()，將曲線向左平移2個(gè)單位長度得到曲線.（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.22．（10分）新高考，取消文理科，實(shí)行“”，成績由語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一高考成績和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級性考試科目成績構(gòu)成.為了解各年齡層對新高考的了解情況，隨機(jī)調(diào)查50人（把年齡在稱為中青年，年齡在稱為中老年），并把調(diào)查結(jié)果制成下表：年齡（歲）頻數(shù)515101055了解4126521（1）分別估計(jì)中青年和中老年對新高考了解的概率；（2）請根據(jù)上表完成下面列聯(lián)表，是否有95%的把握判斷對新高考的了解與年齡（中青年、中老年）有關(guān)？了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年中老年總計(jì)附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（3）若從年齡在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查，記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為，求的分布列以及.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】雙曲線的漸近線方程是，所以，即，，即，，故選D.2、D【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果．【詳解】∵，∴，故選D【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．3、C【解析】

根據(jù)韋恩圖可確定所表示集合為，根據(jù)一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合，根據(jù)補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】由韋恩圖可知：陰影部分表示，，，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，涉及到一元二次不等式和函數(shù)定義域的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)韋恩圖確定所求集合.4、A【解析】

根據(jù)2018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費(fèi)用占得到就醫(yī)費(fèi)用，再根據(jù)年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元，得到年的就醫(yī)費(fèi)用，然后由年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人，得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲畜費(fèi)用占總收人求解.【詳解】因?yàn)?018年的家庭總收人為元，且就醫(yī)費(fèi)用占所以就醫(yī)費(fèi)用因?yàn)槟甑木歪t(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元，所以年的就醫(yī)費(fèi)用元，而年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲畜費(fèi)用占總收人所以儲畜費(fèi)用：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的折線圖和條形圖的應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9，我們可以畫出滿足條件件為常數(shù)）的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)分析列出一個(gè)含參數(shù)的方程組，消參后即可得到的取值．【詳解】畫出，滿足的為常數(shù)）可行域如下圖：由于目標(biāo)函數(shù)的最大值為9，可得直線與直線的交點(diǎn)，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值，將，代入得：．故選：．【點(diǎn)睛】如果約束條件中含有參數(shù)，我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個(gè)不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點(diǎn)，然后得到一個(gè)含有參數(shù)的方程（組，代入另一條直線方程，消去，后，即可求出參數(shù)的值．6、B【解析】

先判斷命題的真假,進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表,即可得答案.【詳解】，，因?yàn)椋?，所以，所以，即命題p為真命題；畫出函數(shù)和圖象，知命題q為假命題,所以為真.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查真假命題的概念,以及真值表的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是判斷出命題的真假,難度較易.7、A【解析】

先令，找出的關(guān)系，再令，得到的關(guān)系，從而可求出，然后令，可得，得出數(shù)列為等差數(shù)列，得，可求出取最小值.【詳解】解法一：由，所以，由條件可得，對任意的，所以是等差數(shù)列，，要使最小，由解得，則.解法二：由賦值法易求得，可知當(dāng)時(shí)，取最小值.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查的是由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)，采用了賦值法，屬于中檔題.8、C【解析】因?yàn)閒x=lnx2-4x+4x-23=9、A【解析】

先求得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，判斷出直線過橢圓的焦點(diǎn).然后判斷出，判斷出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)恒在橢圓內(nèi)列不等式，化簡后求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)是橢圓的焦點(diǎn)，所以.直線過點(diǎn)，直線過點(diǎn)，由于，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.由于點(diǎn)在橢圓內(nèi)恒成立，所以橢圓的短軸大于，即，所以，所以雙曲線的離心率，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系，考查動點(diǎn)軌跡的判斷，考查橢圓離心率的取值范圍的求法，屬于中檔題.10、B【解析】

觀察已知條件，對進(jìn)行化簡，運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)法求出結(jié)果.【詳解】已知，則，所以有，，，，兩邊同時(shí)相加得，又因?yàn)?，所?故選：【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列某一項(xiàng)的值，運(yùn)用了累加法和裂項(xiàng)法，遇到形如時(shí)就可以采用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，需要掌握數(shù)列中的方法，并能熟練運(yùn)用對應(yīng)方法求解.11、C【解析】分析：根據(jù)最低點(diǎn)，判斷A=3，根據(jù)對稱中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T，再代入最低點(diǎn)可求得解析式為，依次判斷各選項(xiàng)的正確與否．詳解：因?yàn)闉閷ΨQ中心，且最低點(diǎn)為，所以A=3，且由所以，將帶入得，所以由此可得①錯(cuò)誤，②正確，③當(dāng)時(shí)，，所以與有6個(gè)交點(diǎn)，設(shè)各個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)依次為，則，所以③正確所以選C點(diǎn)睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．12、D【解析】

由得，又，兩式相除即可解出．【詳解】解：由得，又，∴，∴，或，又正項(xiàng)等比數(shù)列得，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分別解得集合A與集合B的補(bǔ)集，再由集合交集的運(yùn)算法則計(jì)算求得答案.【詳解】由題可知，集合A中集合B的補(bǔ)集，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】試題分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案為1．考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用．15、11【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算復(fù)數(shù)z，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和模長公式計(jì)算得解.【詳解】復(fù)數(shù)z，∵復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，∴，解得a＝1，∴z＝i，∴|z|＝1，故答案為：1，1．【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的概念和模長計(jì)算，根據(jù)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)建立方程求解，計(jì)算模長，關(guān)鍵在于熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.16、【解析】

當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化條件得有唯一實(shí)數(shù)根，令，通過求導(dǎo)得到的單調(diào)性后數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故不是函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即，令，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為，又，可作出的草圖，如圖：則要使有唯一實(shí)數(shù)根，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn)，連，，由等邊三角形三邊合一可知，，即證．（2）以，，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值．試題解析：（Ⅰ）證明：連，，則和皆為正三角形．取中點(diǎn)，連，，則，，則平面，則（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，所以．如圖所示，分別以，，為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以取面的法向量取，則，平面與平面所成的銳二面角的余弦值．18、(1).(2).【解析】分析：（1）直接建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出面的法向量和已知線的向量，再結(jié)合向量的夾角公式求解即可；（2）先分別得出兩個(gè)面的法向量，然后根據(jù)向量交角公式求解即可.詳解：（）∵是矩形，∴，又∵平面，∴，，即，，兩兩垂直，∴以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由，，得，，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，，∴，∴，故與平面所成角的正弦值為．（）由（）可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，，∴，∴，故二面角的余弦值為．點(diǎn)睛：考查空間立體幾何的線面角，二面角問題，一般直接建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量夾角公式求解即可，但要注意坐標(biāo)的正確性，坐標(biāo)錯(cuò)則結(jié)果必錯(cuò)，務(wù)必細(xì)心，屬于中檔題.19、（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】

（1）利用數(shù)列與的關(guān)系，求得；（2）由（1）可得：，，算出公比，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)檫m合上式，所以.（2）由（1）得，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力..20、【解析】

將直線的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程,聯(lián)立直角坐標(biāo)方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合的取值范圍進(jìn)行取舍即可.【詳解】因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為，所以直線的普通方程為，又因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，聯(lián)立方程,解得或，因?yàn)?，所以舍去，故點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化;考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.21、（1）的極坐標(biāo)方程為，普通方程為；（2）【解析】

（1）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換可得，，可得曲線的普通方程，再運(yùn)用圖像的平移得依題意得曲線的普通方程為，利用極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)互化的公式可得方程；（2）法一：將代入曲線的極坐標(biāo)方程得，運(yùn)用韋達(dá)定理可得，根據(jù)，可求得的范圍；法二:設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，為直線的傾斜角)，代入曲線的普通方程得，運(yùn)用韋達(dá)定理可得，根據(jù)，可求得的范圍；【詳解】（1），，即曲線的普通方程為，依題意得曲線的普通方程為，令，得曲線的極坐標(biāo)方程為；（2）法一：將代入曲線的極坐標(biāo)方程得，則，，，異號，，，；法二:設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，為直線的傾斜角)，代入曲線的普通方程得，則，，，異號，，.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，求解幾何量的取值范圍，關(guān)鍵在于明確極坐標(biāo)系中極徑和極角的幾何含義，直線的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.22、（1）；（2）見解析，有95%的把握判斷了解新高考與年齡（中青年、中老年）有關(guān)聯(lián)；（3）分布列見解析，.【解析】

（1）分別求出中青年、中老年對高考了解的頻數(shù)，即可求出概率；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，求出的觀測值，對照表格，即可得出結(jié)論；（