電子教案-高等數(shù)學(xué)(工科類)(魏寒柏-駢俊生)-第四章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用-電子課件

一元積分學(xué)及其應(yīng)用第四章第四章知識(shí)目標(biāo)：了解無(wú)限求和問(wèn)題的實(shí)際意義理解定積分的定義和幾何意義掌握定積分的線性性質(zhì)、區(qū)間可加性、積分中值定理掌握原函數(shù)和不定積分的概念掌握微積分基本公式理解不定積分的直接積分法和湊微分法掌握定積分的換元積分法和分部積分法理解無(wú)限區(qū)間上和無(wú)界函數(shù)的反常積分理解微元法的思想能力目標(biāo)：能解釋定積分的無(wú)限求和思想方法能解釋定積分的幾何意義能應(yīng)用定積分的性質(zhì)和微積分公式計(jì)算定積分能運(yùn)用MATLAB軟件計(jì)算不定積分和定積分能處理幾何、工程上常見(jiàn)無(wú)限求和問(wèn)題第一節(jié)定積分的概念一、無(wú)限求和問(wèn)題第一節(jié)定積分的概念一般的平面圖形面積求解問(wèn)題：

如果用水平和豎直方向上的幾條直線將其分割為若干塊面積之和后，發(fā)現(xiàn)其中除了矩形外，其它也都是如下的曲邊形。中間圖稱曲邊三角形，右圖稱曲邊梯形，顯然曲邊三角形是曲邊梯形的特例。

案例中的舵面積由于具備對(duì)稱性，可歸結(jié)為計(jì)算上半部分的曲邊形面積。第一節(jié)定積分的概念算例

求由曲線

及

軸所圍成的曲邊三角形的面積

。解：采取“分割”、“近似”、“求和”和“取極限”四個(gè)步驟.“分割”

在區(qū)間[0,1]內(nèi)均勻地插入

個(gè)分點(diǎn)：

得到n個(gè)等分小區(qū)間，記小區(qū)間對(duì)應(yīng)的小曲邊形面積為，于是有：第一節(jié)定積分的概念(2)“近似”以每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度

作底，區(qū)間的右端點(diǎn)

處的函數(shù)值

作高，就可得到n個(gè)小矩形，如果把它們的面積分別記作用來(lái)近似小曲邊梯形的面積，則有：(3)“求和”n個(gè)小矩形的面積之和是所求曲邊三角形面積

的近似值，即第一節(jié)定積分的概念(4)“取極限”上一步驟僅求出所求曲邊三角形面積的近似值，兩者之間存在誤差。我們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)誤差與等份數(shù)n的取值有關(guān)：在區(qū)間[0,1]內(nèi)插入的分點(diǎn)越多，分割就越密，誤差也就隨之越小。如果當(dāng)?shù)确輸?shù)n趨于正無(wú)窮大時(shí)，所有小區(qū)間長(zhǎng)度

會(huì)趨于0，這時(shí)，曲邊形面積被分割成無(wú)數(shù)小矩形面積之和，即當(dāng)

，精確等于n個(gè)小矩形面積和的極限，即有：第一節(jié)定積分的概念

算例中的四個(gè)步驟體現(xiàn)的就是一種無(wú)限求和的思想，最后的表達(dá)式也被稱為和式的極限。

我們用這種方法求出了例中這塊曲邊三角形面積為

平方單位，事實(shí)上，如果再作一條曲線

，根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)的對(duì)稱性就得到正方形面積的一種三等份方法了。請(qǐng)思考：這種方法適用于任意的矩形面積嗎？第一節(jié)定積分的概念二、定積分的概念定義

設(shè)函數(shù)

在上有界，在內(nèi)任取分點(diǎn)

，如果記，這樣就把區(qū)間

任意分成了個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)記為

，且將所有小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值記為

。在每個(gè)小區(qū)間

上任取一點(diǎn)

，作特定和式

，如果存在且為，并且與區(qū)間

分割方式和

的取法無(wú)關(guān)，則稱函數(shù)

在

上是可積的，并稱極限值為

在區(qū)間上的定積分，記為：第一節(jié)定積分的概念1.定義中，稱為積分符號(hào)，

稱為積分函數(shù)，稱為積分變量，

稱為積分表達(dá)式，稱為積分區(qū)間，分別稱為積分下、上限。2.定積分定義中之所以將無(wú)限區(qū)間和無(wú)界函數(shù)排除在外，是因?yàn)閷?duì)無(wú)限區(qū)間來(lái)說(shuō)，當(dāng)分割為n個(gè)小區(qū)間時(shí)，其中至少有一個(gè)小區(qū)間是無(wú)限區(qū)間，而它沒(méi)有長(zhǎng)度可言，我們根本得不到和式極限。對(duì)無(wú)界函數(shù)來(lái)說(shuō)，特定和式之和，會(huì)因

的選取改變而出現(xiàn)大幅度的變動(dòng)，而可能沒(méi)有極限。

對(duì)于無(wú)限區(qū)間和無(wú)界函數(shù)的情形，我們將用另外的方式來(lái)定義它們的積分，即反常積分。第一節(jié)定積分的概念定積分的幾何意義當(dāng)

時(shí)，定積分

的數(shù)值表示由曲線，直線

及軸所圍成的曲邊梯形的面積，此時(shí)定積分的值為正；當(dāng)

時(shí)，定積分

的數(shù)值表示由曲線，直線

及軸所圍成的曲邊梯形的面積的負(fù)值，此時(shí)定積分的值為負(fù)。第一節(jié)定積分的概念例

利用定積分的幾何意義，求下列定積分的值。(1)(2)解：(1)如圖為四分之一單位圓，所以(2)由定積分的幾何意義和圖形的對(duì)稱性知第一節(jié)定積分的概念(1)當(dāng)積分函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)時(shí)，定積分必定存在。

(2)定積分的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值，它僅與積分函數(shù)、積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量用什么字母無(wú)關(guān)，即(3)規(guī)定：第一節(jié)定積分的概念三、定積分的性質(zhì)線性性質(zhì)第一節(jié)定積分的概念例

計(jì)算解：由前面的算例知于是得第一節(jié)定積分的概念區(qū)間可加性（為任意實(shí)數(shù)）例

求

的值，其中解：第一節(jié)定積分的概念積分中值定理若函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，則在該區(qū)間中至少存在一點(diǎn)

，有如下關(guān)系成立：或幾何意義：當(dāng)時(shí)，定積分所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積必定與某個(gè)以

為高，區(qū)間

長(zhǎng)為寬的矩形面積相等。第二節(jié)定積分的計(jì)算一、不定積分定義

若

或，則稱

是

的一個(gè)原函數(shù)。的一切原函數(shù)稱為的不定積分，記為。例如：，?？梢?jiàn)：如果是的一個(gè)原函數(shù)，那么第二節(jié)定積分的計(jì)算如果將求不定積分稱為積分運(yùn)算的話，那么易得積分運(yùn)算與求導(dǎo)、求微分運(yùn)算是互逆的，并且有如下四個(gè)關(guān)系式：仔細(xì)觀察上面式子發(fā)現(xiàn)，積分運(yùn)算的結(jié)果是可以用求導(dǎo)的方法來(lái)檢驗(yàn)的。例如：第二節(jié)定積分的計(jì)算不定積分公式和性質(zhì)第二節(jié)定積分的計(jì)算例

求出下列不定積分(1)(2)解：(1)(2)不定積分運(yùn)算時(shí)，依次用求導(dǎo)公式的逆向思維方法寫(xiě)出每項(xiàng)積分函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)并加起來(lái)，記住最后加上一個(gè)任意常數(shù)

即可。第二節(jié)定積分的計(jì)算二、微積分基本定理定理

設(shè)函數(shù)

在閉區(qū)間

上連續(xù)，

是的一個(gè)原函數(shù)，則有如下公式（牛萊公式）：【小背景】

說(shuō)起微積分基本定理和牛頓-萊布尼茲公式，其背后還有一段關(guān)于微積分理論到底是由誰(shuí)先創(chuàng)建的歷史爭(zhēng)論。史料表明，他們兩人都是獨(dú)立地得到微積分中許多重要結(jié)果的，因此應(yīng)當(dāng)并列為微積分學(xué)的主要?jiǎng)?chuàng)始人。

現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號(hào)很多都是萊布尼茨精心選用的，比如積分符號(hào)是英文單詞Summa中首寫(xiě)字母的拉長(zhǎng)。第二節(jié)定積分的計(jì)算牛頓-萊布尼茲公式實(shí)際上給出了計(jì)算連續(xù)函數(shù)定積分的一種簡(jiǎn)單方法，為了方便，公式也常被簡(jiǎn)寫(xiě)為如下形式：下面我們用牛萊公式再來(lái)計(jì)算前面算例中的曲邊三角形面積就非常簡(jiǎn)便：第二節(jié)定積分的計(jì)算例

計(jì)算下列定積分(1)(2)解：先運(yùn)用相應(yīng)的積分公式求出原函數(shù)，再利用牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算它在上、下限處函數(shù)值的差。(1)(2)第二節(jié)定積分的計(jì)算三、不定積分的求法不定積分的直接積分法所謂不定積分的直接積分法是指最多對(duì)積分函數(shù)進(jìn)行一定的整理變形就可直接利用積分的線性性質(zhì)和積分公式計(jì)算不定積分的一種方法。例

求不定積分解：先把積分函數(shù)整理為指數(shù)函數(shù)，再利用積分公式得：第二節(jié)定積分的計(jì)算例

求不定積分解：因積分函數(shù)是一個(gè)分式，可先將它拆成幾個(gè)分式之和，再逐項(xiàng)積分。例

求不定積分解：利用三角函數(shù)恒等式將原積分轉(zhuǎn)化積分公式計(jì)算。第二節(jié)定積分的計(jì)算不定積分的湊微分法例

求不定積分解：例求不定積分解：第二節(jié)定積分的計(jì)算例

求不定積分解：例求不定積分解：第二節(jié)定積分的計(jì)算第二節(jié)定積分的計(jì)算解：令速度為零，先計(jì)算出制動(dòng)所用時(shí)間，即當(dāng)

，得（秒）。設(shè)汽車(chē)制動(dòng)后路程函數(shù)為

，由可知根據(jù)題意，當(dāng)

時(shí)，，代入上式得于是得到制動(dòng)路程函數(shù)為：將代入計(jì)算出制動(dòng)距離約為

（米）第二節(jié)定積分的計(jì)算四、定積分的求法定積分的換元積分法定積分的換元積分法，就是通過(guò)變量換元，將一個(gè)較難計(jì)算的定積分轉(zhuǎn)化為另一個(gè)數(shù)值相等的較簡(jiǎn)單定積分的計(jì)算。其原理如下注：換元積分法一般是用于積分函數(shù)中含有根式的積分，目的是通過(guò)換元去掉根號(hào)從而轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的積分。分為代數(shù)換元或三角換元兩種基本情形。第二節(jié)定積分的計(jì)算例

計(jì)算解法1：先用不定積分的湊微分法求出原函數(shù)，再利用牛萊公式計(jì)算：解法2：用定積分的換元法，設(shè)代數(shù)換元注意：“換元必?fù)Q限，上限對(duì)上限，下限對(duì)下限”第二節(jié)定積分的計(jì)算例

計(jì)算解：設(shè)代數(shù)換元

，則例

計(jì)算解：設(shè)三角換元

，則第二節(jié)定積分的計(jì)算

利用定積分的換元積分法我們可以推出一個(gè)對(duì)稱區(qū)間上定積分的重要結(jié)論，即

至于推導(dǎo)過(guò)程，有興趣的同學(xué)不妨一試。有了這個(gè)結(jié)論，如果遇到奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分時(shí)，可不用計(jì)算立即判定其結(jié)果為零。例如第二節(jié)定積分的計(jì)算定積分的分部積分法

所謂分部積分法就是依照下面一個(gè)可由乘法求導(dǎo)法則推導(dǎo)出的分部積分公式來(lái)簡(jiǎn)化定積分計(jì)算的一種方法：注：分部積分法一般用于解決積分函數(shù)為冪函數(shù)與其它基本初等函數(shù)乘積、三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的定積分計(jì)算問(wèn)題。關(guān)鍵在于如何湊成一個(gè)函數(shù)的微分

，才能使公式右邊的定積分比公式左邊的定積分容易求出。第二節(jié)定積分的計(jì)算例

計(jì)算解：將積分表達(dá)式中的

湊成，再用分部積分公式有例

計(jì)算解：將積分表達(dá)式中的

湊成，再用分部積分公式有第二節(jié)定積分的計(jì)算例

計(jì)算解：直接利用分部積分公式，得以上四種積分方法，即：求不定積分的直接積分法和湊微分法，求定積分的換元積分法和分部積分法。

在具體求定積分時(shí)，如何選擇合適的方法，有時(shí)還可能需要同時(shí)用到多種積分方法才能求解，這都需要一定量的練習(xí)逐步熟練掌握。第二節(jié)定積分的計(jì)算*五、反常積分無(wú)限區(qū)間上的反常積分無(wú)窮區(qū)間上反常積分的數(shù)值表示為一個(gè)“開(kāi)口曲邊梯形”的面積。例

求由曲線

、軸和軸所圍成的“開(kāi)口曲邊三角形”的面積。第二節(jié)定積分的計(jì)算解：設(shè)所求面積為

，先任取實(shí)數(shù)

，那么對(duì)應(yīng)于有限區(qū)間

上的部分是一曲邊梯形，因?yàn)?/p>

，根據(jù)定積分的幾何意義，其面積為定積分顯然該面積是“開(kāi)口曲邊三角形”面積的一部分，且與實(shí)數(shù)

有關(guān)，記為

。當(dāng)越大，

就越接近所求面積，考慮極限有第二節(jié)定積分的計(jì)算定義若上述極限存在，則稱相應(yīng)的反常積分收斂，否則，稱反常積分發(fā)散。對(duì)于區(qū)間

上的反常積分可轉(zhuǎn)化為定義中的兩種反常積分之和：第二節(jié)定積分的計(jì)算例

判別下列反常積分的斂散性，如果收斂，則計(jì)算反常積分的值。(2)解：(1)此反常積分發(fā)散。(2)第二節(jié)定積分的計(jì)算無(wú)界函數(shù)的反常積分如果函數(shù)

在有限區(qū)間

上存在無(wú)窮間斷點(diǎn)，則稱積分

為瑕積分，相應(yīng)地，這樣的無(wú)窮間斷點(diǎn)稱為瑕點(diǎn)。定義

設(shè)函數(shù)

在區(qū)間

上連續(xù)，點(diǎn)

為瑕點(diǎn)，如果

存在，則稱函數(shù)

在

上的暇積分收斂，否則稱發(fā)散。類似地，僅點(diǎn)為瑕點(diǎn)的函數(shù)在上的暇積分和僅

內(nèi)一點(diǎn)

為瑕點(diǎn)的暇積分分別定義為：第二節(jié)定積分的計(jì)算例

討論暇積分

的斂散性。解：因?yàn)?/p>

，所以暇點(diǎn)為

，根據(jù)暇積分定義有因此，暇積分

收斂，積分值為-1。另，如圖，根據(jù)反常積分的幾何意義，將例中變量

對(duì)換進(jìn)行處理：說(shuō)明兩種反常積分之間是可以相互轉(zhuǎn)化。第三節(jié)定積分的應(yīng)用一、微元法

定積分的思想是十七世紀(jì)人類最偉大的成果之一，它對(duì)于解決那些不規(guī)則、非均勻、非恒定的整體量計(jì)算問(wèn)題非常有用，因而定積分在各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。定積分的無(wú)限求和思想常被歸納為一種更為廣泛意義下的微元法。

回顧面積無(wú)限求和思想的四個(gè)步驟：

分割

近似

求和

取極限第三節(jié)定積分的應(yīng)用概括簡(jiǎn)化為如下兩個(gè)步驟：(1)有限分割并近似得面積微元：(2)將有限和變?yōu)闊o(wú)限累加：第三節(jié)定積分的應(yīng)用上述兩個(gè)步驟推而廣之，就是定積分的微元法。步驟如下：(1)根據(jù)問(wèn)題的具體情況，選取一個(gè)變量如為積分變量，并確定它的變化區(qū)間

；(2)任取區(qū)間

中一個(gè)微小區(qū)間

，求出相應(yīng)這個(gè)微小區(qū)間的部分量的微元

；(3)在區(qū)間

上寫(xiě)出定積分

。微元法的關(guān)鍵在于找到非均勻分布整體量的部分量

能近似表達(dá)為

的線性形式，即微元

，而實(shí)際問(wèn)題中，要找到一個(gè)方便計(jì)算的線性微元，近似誤差又是高階無(wú)窮小，往往不是一件容易事情，需要多次實(shí)踐積累。第三節(jié)定積分的應(yīng)用第三節(jié)定積分的應(yīng)用解：這是無(wú)窮區(qū)間

上的求整體量問(wèn)題。按照微元法，先找微元。因?yàn)?/p>

是該批飛機(jī)一年后的用油率，所以在第一年到第b年間的任取一個(gè)時(shí)間段

，該批飛機(jī)所需要的潤(rùn)滑油的數(shù)量為

，即微元，顯然從第一年到第b年間所需要的潤(rùn)滑油的數(shù)量等于

。

再無(wú)限求和，考慮到潤(rùn)滑油的終身服務(wù)，于是，就等于該批飛機(jī)終身所需的潤(rùn)滑油的數(shù)量了。第三節(jié)定積分的應(yīng)用二、求平面圖形面積和旋轉(zhuǎn)體的體積平面圖形的面積例

求由曲線

與所圍成的平面圖形面積。解：畫(huà)出所圍的平面圖形，并求出兩曲線的交點(diǎn)，即解方程組

，得。第三節(jié)定積分的應(yīng)用第三節(jié)定積分的應(yīng)用解：設(shè)所求面積為

，在參數(shù)

取值區(qū)間

相應(yīng)的

所在區(qū)間

內(nèi)任取一個(gè)區(qū)間圖中陰影部分表示對(duì)應(yīng)的面積部分量的微元：于是，所求面積為第三節(jié)定積分的應(yīng)用旋轉(zhuǎn)體的體積所謂旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)平面圖形繞著這個(gè)平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體。這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。車(chē)床切削加工出來(lái)的工件很多都是旋轉(zhuǎn)體，常見(jiàn)的有圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球等，它們可分別看成是由矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的直角邊、直角梯形繞它的直角腰和半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體。第三節(jié)定積分的應(yīng)用例

試推導(dǎo)底半徑為

，高為

的圓錐體的體積公式。解：將圓錐體放置到直角坐標(biāo)系中，如圖，

它可看作直角三角形OAB繞著其一條直角邊OA旋轉(zhuǎn)而成