九年級(jí)暑假上冊(cè)數(shù)學(xué)課件

CONTENS

目錄

第一章數(shù)與式

第一講整式的恒等變形2

第二講因式分解16

第三講數(shù)與式29

-k章方程與不等式

第四講一元二次方程（一）48

第五講一元二次方程（二）66

第六講一元方程83

第七講方程組107

第八講不等式121

第一講整式的恒等變形

【知識(shí)概述】

乘法公式也叫做簡(jiǎn)乘公式，是在多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上，將多項(xiàng)式乘法的一般法則應(yīng)

用于一些特殊形式的多項(xiàng)式相乘，得到的既有特殊性、又有有用性的具體結(jié)論.它既是對(duì)

“多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式”的應(yīng)用，也是學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)因式分解、解一元二次方程、分式、根式等

的基礎(chǔ)，在復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算、代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、代數(shù)式的恒等變形、代數(shù)等式的證

明等方面有著廣泛的應(yīng)用，在初中階段占有很重要的地位.

除了常見的平方差公式與完全平方公式外，還有包括立方和差公式、完全立方公式等在

內(nèi)的一些乘法公式也是數(shù)學(xué)中常用公式之一，在初中數(shù)學(xué)、高中數(shù)學(xué)，甚至高等數(shù)學(xué)中經(jīng)

常見到.本講主要包含兩個(gè)模塊，在對(duì)一些基本的乘法公式作更習(xí)和鞏固的基礎(chǔ)上，對(duì)乘

法公式進(jìn)行一定程度的拓展和延伸，進(jìn)而引申出整式恒等變形的一些常見方法和思路.

【知識(shí)結(jié)構(gòu)】

?------------------------乘法公式

整式的恒等變形

整式的恒等變形

模塊一：乘法公式

【知識(shí)精要】

I.立方和、立方差公式：

4-3("-ab+b2)="+方；

(?-Z?)(6r2+ab+b2^=a3-b3；

其中要注意以下幾點(diǎn)：

(1)結(jié)果是立方和還是立方差由第一個(gè)因式是和還是差決定；

(2)這兩個(gè)公式還能進(jìn)一步推廣：

(a+b)(a2n-a^b+a2^^-------ab2nl+b2n)=a2n^+從川;

(a-b)(an-1+an~2b+…+abn-2+尸)=an-bn.

2.完全立方公式：

(a+b)3=/+3a2b+3ab'+b3；

(67-/?)3=a3-3a2h+3ah2-hy；

其中要注意以下幾點(diǎn)：

(1)運(yùn)用完全立方公式計(jì)算時(shí)，結(jié)果通常按一個(gè)數(shù)(或字母)降零排列;

(2)完全立方公式也有兩個(gè)常見變形：

(a+Z?)3=a3+b3+3ab(a+b),

a3+b3=(t?+Z?)3-3ab(a+b).

3.除了上述這些公式外，一下一些公式也比較常見：

(a+b+c)~=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

(a+b+c^a2+Z?2+c2一"一乩一喻=片+//+/-3abc；

(a++c)(c+a)=a2b+a2c+b2a+b2c+c2a+c2b+2abc：

(?一力)(0—<?)(c-a)=a2c+b~a+c2b-a2b-b2c-c2a.

其中要注意以卜幾點(diǎn):

（1）在一些乘法公式中，加入把〃-力理解成4+（-6）,則無(wú)數(shù)公式的記憶和理解會(huì)變

得很方便;

（2）第一個(gè)公式（一般稱作三項(xiàng)和的平方公式）有如下兩個(gè)常見變形:

a2+從+H_=+(Z?-c)2+(a-c)［?

【典型例題】

1.補(bǔ)全將下列乘法公式：

(1)(府+〃〃+破)=；

⑵()~-()+()-64；

(3)3-2?=；

(4)(x+y)3(x_y)3=.

【答案解析】(1)a-2b,。3一助3(2)a-4,12/,48a；(3)

277-54Yy+36；9,2-8y}；(4)x6-3x4y2+3x2yA-y6.

［試題解答］(1),/a2+lab+482=/+a?勸+(乃)?，

:.(a-2b)(a2+2ab+4b2)=a3-竭:

(2)vay-()+()-64=ti3-()+()-43,

.?.(a-.=々3-12/+48”64；

(3)原式二27x3-54d),+36孫2-8/；

(4)=(x2-/)3=x6-3x4/+3x2/-/.

2.化簡(jiǎn)下列各式并求值：

(1)(^+2)(^-2x+4)+(x-l)(x2+x+1),其中x=-l;

(2)卜+9)-卜一權(quán))+(3工一田(9工2+3個(gè)+力，其中x=-l,y=2.

【名師點(diǎn)撥】考查代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值.

【答案解析】(1)5；(2)-39.

【試題解答】(1)原式=丁+23+/-13=2丁+7,

代入x=-l可得，原式=-2+7=5；

33

(2)原式=2ry+(3x)3_=27x-y+2xy,

代入x=-l,y=2可得，原式=-27-8-4=-39.

3.(1)已知x+y=3,x2+y2=5,則/+丫③=,x4+y4=

x5+y5=；

(2)已知x+y=10,x3+/=100,則f+y2=.

(3)已知x+y+z=2,x2+y2+z2=6,x3+y3+z3=8,則秘=.

x4+y4+z4=.

【答案解析】(1)9,17,33；(2)40；(3)-2,18.

【試題解答】(1)?.?x+y=3,x2+j;2=5,

,3=3/+y)2一(/+力]=2'

/.x3+y5=(x+y)(x2-iy+y2)=3x(5-2)=9,

f+),4=(/+打一2%丁=25—2x4=17,

x5+y5=(x+y)(x4—^y+x2y2—xy3+y4)

=(x+y)[x4+y4f(f_/)+馬2]

=3x(17-2x54-4)=33；

(2)vx+y=10,x3+/=100,

=(%+加2_孫+力=(x+),)[(%+?_3孫],

,-.xy=30,x2-xy+y2=10,/.x2+y2=40；

222

(3)(3)vx+y+z=2tx+y+z=6,

：.xy+yz+zx=—\(x+y+z)i-(x2+y2+z2)j=-l

又V+y3+z3=3xyz+(jr+y+z)(x2+y2+z?一孫一尸一zr)=8,/.xyz=-2,

22222

又xR+yz+ZX=(xy+yz+z,v)-2xyz[x+y+z)=91

x4+y*+z4=(x2+y2+z2)2-2(x2/+y2z2+z2x2)=18.

i............g+力

11-----------(a+“

I2I---------+

1331--------g+M

4641-----(a+6)"

（1）請(qǐng)根據(jù)賈憲三角直接寫出S+A）4、（。+與,的展開式:

(a+b)4=,(a+bp=；

(2)請(qǐng)用多項(xiàng)式乘法或所學(xué)的乘法公式驗(yàn)證你寫出的S+b)'的結(jié)果.

【答案解析】(1)a4+4ayb+6a2b2+4步+b\

a5+5a?+10c?+1。。2力③+5加+b5；

(2)略.

【試題解答】(1)根據(jù)系數(shù)規(guī)律，對(duì)于(。+6)”的展開式，

〃=4時(shí)，系數(shù)為I、4、6、4、I,

〃=5時(shí)，系數(shù)為1、5、10、10、5、1,

(a+8J=a4+4a7+6a?b2+4ab3+bA,

(a+"=a5+5ab+10?V+i0a2b3+5ab4+b5；

(2)(a+8)4=(a+b)2-(a+

=(a24-2ab+b1)(a2+2ab+/)=a，+4a%+6a?b2++/

5.已知一個(gè)正整數(shù)a恰好等于另一個(gè)正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a為完全平方數(shù).如

64=82,64就是一個(gè)完全平方數(shù).

(1)若加=4刈6+2如7+1,求證：也是完全平方數(shù)：

(2)^W=20162+20162X20I72+20172,求證：，〃是完全平方數(shù).

【名師點(diǎn)撥】考查二項(xiàng)與三項(xiàng)的完全平方式及配方法.

【答案解析】(1)略；(2)略.

【試題解答】(1)由題意可知，

20Ms202m2016

m=4+2”+1=Q6丫+2x2刈6+1=(2+1。

二是完全平方數(shù)；

(2)由題意可知，

m=20162+20162x20172-20172,

令x=2016,則有:

m=x2+(x+1)2+(x+l)2

=x,+2/+3/+2x+1=x?+x2+1+2/+2/+2x

=(x2+x+l)2=(201624-2016+l)2,

:.m是完全平方數(shù).

6.已知26=52+/，53=72+2\26x53=1378,1378=372+32,觀察可知26、53

可表示為兩個(gè)平方數(shù)的和，將這兩個(gè)數(shù)相乘，乘積依然是兩個(gè)平方數(shù)的和，數(shù)學(xué)

中將26、53這樣的數(shù)稱為“不變心的數(shù)”.

(1)試找出另外兩個(gè)“不變心的數(shù)”；

(2)請(qǐng)說(shuō)明其中的道理.

【名師點(diǎn)撥】考查完全平方數(shù)和配方法的運(yùn)用.

【答案解析】(1)任取，如5和25；(2)略.

【試題解答】(1)另找兩個(gè)“不變心的數(shù)”，

如5=肝+22,25=32+42,

5X25=125=112+22；

(2)設(shè)/?=/+/，〃=C?+"2,

則mn=(a2+Z>2)(c2+J2)=a2c2+b2d2+b2c2+a2d2

=(a2c2+2abcd+b2d2)+17?2c2-2abcd+crd2)

=(ac+bd)-+(be-ad)2.

7.(1)已知a、b為正實(shí)數(shù)，且。+人=1,求證：a2+b2

2

(2)已知〃、爐二？，求證：p+qG2.

【名師點(diǎn)撥】考查配方法與完全平方公式在非負(fù)數(shù)性質(zhì)中的運(yùn)用.

【答案解析】(1)略；(2)略.

【試題解答】(1)\'a+b=l,

要證^2L即證片+從2創(chuàng)吆L,

22

即證：2(/+從)2(4+力，

即證：a2+b2>2ab,

即證：(tz-/?)2^0,得證；

(2)“、”=(〃+4)(〃2-%+d)

=；(〃+夕乂4/-4網(wǎng)+4/)

=W(〃+q)(〃2+2〃g+g2+3p2-6網(wǎng)+3爐)

=；(〃+")[(〃+夕『+3(〃一。)[之；(〃+力:

「?(〃+9)348,即p+qK2得證.

8.求證：

(x+y-2z)3+(y+z-2x)3+(z+x-2y^=3(x+y-2z)(y+z-2x)(z+x-2y).

【名師點(diǎn)撥】套用乘法公式

a3+b34-c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).整體換元.

【答案解析】略.

【試題解答】設(shè)。=x+y-2z,b=y+z-2x,c=z+x-2y,

則有a+b+c=O,

+Z>3+c3—3abc=(?+/?+c)[cT+tr+C2-ab-bc-ca]=0

：.^+b^+c3=3abc,即原式得證.

模塊二：整式的恒等變形

【知識(shí)精要】

當(dāng)然加入遇到不能直接使用乘法公式的問(wèn)題，可以適當(dāng)創(chuàng)造條件使之符合乘法公式的特

點(diǎn)，這種通過(guò)變換，將一個(gè)代數(shù)式化為另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式，稱為恒等變形.常見的

恒等變形的方法如下：

(1)整體代入(換元法)：

當(dāng)整式中字母的值求出比較麻煩甚至無(wú)法求出時(shí)，需要把注意力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的整

體結(jié)構(gòu)上，把緊密聯(lián)系的量作為一個(gè)整體來(lái)處理(或用一個(gè)新設(shè)的未知數(shù)表示)，運(yùn)

用“整體思想”可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化.

(2)消元降次：

一元一次，二元一次的問(wèn)題我們會(huì)解，這是解題的基石.在解答問(wèn)題時(shí)，加入未知數(shù)

的次數(shù)較高，就要考慮降次,降為一次或者是二次，相對(duì)來(lái)說(shuō)就簡(jiǎn)單多了，同樣的，

當(dāng)未知數(shù)多的時(shí)候就要想到消元(代入消元、加減消元)，消掉未知數(shù)，變?yōu)橐辉?/p>

問(wèn)題即可.

舉一個(gè)例子：若f+x-l=O,求f+Y+X-5的值.

x2=1-x,則x3x=(l-x)-x=x-x2=x-(l-x)=2x-l,

X4x=x(2x-\)=2x2-x=2(\-x)-x=2-3x(即反復(fù)利用。=l-x進(jìn)行降次),

故原式=2—3x+3x-1+x—5=1—5=—4；

(3)配方法：

配方法的應(yīng)用非常廣泛，既可以配方后利用非負(fù)性得到未知數(shù)滿足的條件，也可以配

方后結(jié)合所給條件進(jìn)行求值，關(guān)鍵是要找到合適的平方項(xiàng)和交叉項(xiàng)，有效地進(jìn)行配方.

具體變形步驟如下：

ax1-i-bx+c=a\x2+-.r+-|

(b弋(c(bY4ac-b2

（4）對(duì)稱式：

任意兩字母互換時(shí)，代數(shù)式保持不變，稱這樣的代數(shù)式為對(duì)稱式，對(duì)稱式中有幾個(gè)未知

數(shù)即稱為幾元對(duì)稱式.對(duì)稱式的一個(gè)最重要的性質(zhì)是二元對(duì)稱式中一般只需已知其中兩

個(gè)對(duì)稱式的值即可求出其余所有的二元對(duì)稱式的值；三元對(duì)稱式中一般只需已知其中三

個(gè)對(duì)稱式的值即可求出其余所有的三元對(duì)稱式的值，以此類推；求值時(shí)一般按照次數(shù)從

底到高的順序進(jìn)行，例如二元對(duì)稱式中一般首先求出（或已知）x+y,k的值再求

f+廣9+丫3,…

【典型例題】

9.正整數(shù)a、b、c滿足/+廿+/=3abc,且a+Z;=2,求(〃-b+c)”"的值.

【答案解析】1.

【試題解答】/+加+。3-9。=0,即

^a+b+c)(cr+br+C2-ab-bc—ac\=O,

而正整數(shù)a、b、c,則a+b+c/O,

所以/+從+。2-"-尻.一呢=3[(々—8)2+(a_c)2+(0-c)[=0,

因此a=Z?=c,結(jié)合〃+。=2,得到0=/?=(?=1,一方+C)-)"=1.

10.(1)已知4』_3/=7,3r+2y2=i9,求代數(shù)式14/一29的值;

(2)(2021上海交中初級(jí)中學(xué)初一期中)已知〃+人=8,必=-33,若

『+36-112,求從+3a的值；

(3)在等式尸加+Z?x+c中，當(dāng)x=l時(shí)，y=3；當(dāng)％=-1時(shí)，)?=5,

求3a-破+3c的值.

【答案解析】(1)52：(2)42；(3)8.

[試題解答](1)14x2-2/=2(7X2-/)=2[(4f-3y2)+(3x2+2y2)]

=2(7+19)=52；

(2)a2+3b+b2+3a=(a+b)~-lab+3(a+

=64+66+24=154,

所以從+3〃=154—("+“)=154—112=42；

(3)由題意得，

3=a+b+c+c=4

1人,解得八?.

{5=a-b+c(b=-l

故3"4/+3c=3(a+c)-4/=12-4=8.

11.(1)若f+3x-l=0,求/+丁+工一5的值；

(2)若x2+3x—l=0,求9+5/+5x+20的值；

(3)若f+3x+l=0,求3/+(f+5乂f-1)T(5X+6).

【答案解析】(1)Y;⑵22；(3)-3.

2

【試題解答】(1)由題意得，x=i-xy

plijx4+x3+x-5=x2(1-A)+x3+x-5

=X2-A3+X3+X-5=X2+X-5=1-5=T；

(2)由題意得，x2=-3x+1,

貝！1原式=x(-3x+l)+5(-3x+l)+5x+20

=-3f-9x+25=-3(f+3x|+25

=-3(X2+3X)+25=-3+25=22;

(3)由題意得，^+3x=-l,

則原式=丁+3/-x2-6x-5=x2(^x1+3x)-x2-6x-5=-2x2-6x-5

=-2(/+3x)-5=-3.

12.(1)若“2=x+i,y2=y+],且xwy,求d+y'的值；

(2)若丁”-針+1=0,求/+/+2017的值.

【答案解析】(1)11;(2)2021.

【試題解答】(1)兩式相減有f-y2=x-y,可得x+y=l,

x5=xxx2xx2=x(x+l)2=必%2+2X+1)=X(3X+2)=3X2+2X=5X+3,

同理可得了s=5y+3,

所以x5+y5=5(x+y)+6=ll；

(2)由已知得，

V"+V,+2017=f一[)+/+20]7

=丁"一x2"+/+2017=x"(f-1)一V“+%”+2017

=d"-Z-x2n+Z+2017=x2n-l-x2M+2017=2016.

13.(1)已知/+),2_4%+2),_5=0,求(3+)，戶”的值；

(2)若實(shí)數(shù)a、b^^a2lr+a2+b2-4ab+\=0.求a+2b的值；

(3)已知x-y=a,z-y=10,求代數(shù)式f+y?+z?-個(gè)一yz-zx的最小值;

(4)已知.+力+c=3,4+從+/=3,求產(chǎn)刈：滑。的值.

【答案解析】(1)1;(2)±3；(3)75：(4)3.

【試題解答】（1）M+y—4工+2），+5=0可化簡(jiǎn)為（x-2）2+（y+l）2=0,

二.x=2,y=T,

：./(x+y)\2013=11；

(2)+〃2+62_4々力+]=o可化簡(jiǎn)為(^a-b)2+(d/?-l)2=0,

」.4+2Z?=3或一3；

(3)因?yàn)閤-y=a,z-y=10,所以z_x=(z_y)_(x_y)=]0_a,

2222

所以V4-y4-Z-Xy,-yZ-ZX=L4-(y-￡)+(Z-%)]

=g[02+]()2+(10-a)2]=6i2-106Z4-100=(?-5)2+75,

顯然當(dāng)a=5時(shí)，原式取最大值75；

(4)由已知有(a—l)2+3—l)2+(c—l)2=(a2+b2+c2)—2(a+b+c)+3=3—6+3=0,

則a=b=c=l,所以0劉7+〃刈7+°刈7=3.

14.(1)已知2"+2Z/-4a=0,-6Z?+5=0,求a+/的值;

(2)已知4+Z>4+/+d,=46rZx?d,且。、b、c、d都是正數(shù),

求的值?

【答案解析】（D2；⑵q

【試題解答】（1）由題意得，/+2而+/一4?+4+/-砧+1=0,

整理得,a2+2ab+b2-4<z-4/?+4+Z>2-2Z?4-l=0,

酉己方得，（。+力一2『+（6-1）2=0,

故(a+b-2=0,解…出|a=1.

』，則》-=2；

(2)因?yàn)閍4+h4+c4+d4=4abcd,

所以/十〃&-2a2b2+c4+d4-2c2d2=-2(a2Z?2+c2d2-2abed),

22222

配方得(a-b)+(c-瑪2+2(ab-cd)=0,

a2=b2

由非負(fù)性可得“2=/,

ab=cd

解出a=b=c=d,a=b=-c=-d,a=-b=c=-d,a=-b=—c=d,

因?yàn)閍、b、c、d都是正數(shù)，故a=h=c=d,

匚匚I、Ia-2Z>+3c-4d1

所以-------------=——.

4a+3b-2c-d2

【課堂練習(xí)】

1.(10分)若x-y=2,金+9=4,則那6十/6的值是()

A.4B.20162C.220'6D.420,6

【答案解析】C.

【試題解答】門7=2,r+y=4,

.?.2孫=(/+力《一刃2=0

.,.x=O,y=-2或x=2,y=0,

.?.戶16+y珈6=0+2刈6=2初5,

故答案選C.

2.(10分)簡(jiǎn)便計(jì)算：

(1)99.82；(2)492+512；

【答案解析】(1)9960.04；(2)5002.

(試題解答］(1)原式=(100-0.2)2=1000G_40+0.04=9960.04；

（2）原式=（50-1）2+（50+1）?=2x502+2x1=5002.

3.（10分）計(jì)算：

（1）（4f/Z?+3c）（12abc-16a2b2—9c2）;

（2）（a-b）［（〃+城-ab］+2（a+〃）［（a-by+ab^.

【答案解析】（1）-64aV-27c3；（2）3/+死

【試題解答】（1）原式=-（4ab+女）［（4ab）~-4ab.3c+（3c）［=-64a%3-27c3；

（2）原式=（4一〃）（儲(chǔ)+（而+62）+2（4+人）（〃2-ab+b2^

=安一步十2（a'+//）=%'+//.

4.（20分）已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，且a+6+c=l,求證：a2+h2+c2>-.

3

【答案解析】略.

【試題解答】?.?a+b+c=l,

/.要證：a2+b2+c2zL即要證“2+從+c?之（"+"+c）

33

即證：3（儲(chǔ)+從+02）之（々+〃+），

即證：a2+Z?2+c2-ab-bc-ca>0,

即證：l［（a-Z,）2+（b-4+（c-a）2］>0,得證.

h2+2ac=\4

5.（25分）（1）已知三個(gè)正實(shí)數(shù)a、b、c滿足“2+2必=29,則a+8+c=

a2-2bc=2\

（2）已知a、b、c>d是正實(shí)數(shù)，且滿足￡+從=，+/=5,ad=be,則

ac+bd=.

［答案解析】（1）R：（2）5.

b2+2ac=14…①

【試題解答】（1）?+2^=29...@,

a2+2bc=21…③

①⑨可得：

a2+Z>2+c2+lab+2bc+2ca=（a+b+c）i=64,

..4+力+c=8；

（2）a2+b2=c2+d2=5.ad=be,

.'.（a1+/）=3）2+（々4）2+（兒）2+（9）2

=（〃c）2+2（ad）2+（6+2abcd+（hd）2=（ac+bdy=5x5=25,

又ac+bcl>0,/.ac+bd=5.

6.（25分）觀察下列各式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

1,2=.1=6—=1-x--2-x-3,

66

c2u302x3x5

1I2+22=5=——=------,

66

,2c2c2-843x4x7

1-+22+3=14=——=----,

66

N一與八1804x5x9

1r2+2-+3-+4-=30=—=------,

66

（1）填空：12+22+32+4?+???+（〃-爐+/=；

（2）試?yán)昧⒎讲罟阶C明這個(gè)公式.

【名師點(diǎn)撥】本題考查尋找規(guī)律及立方差公式在裂項(xiàng)相消中的運(yùn)用.

【答案解析】（1）M〃+l）（2〃+l）；⑵略.

【試題解答】(1)觀察可知，

2_6_lx(l+l)x(2xl+l)

1=1=6=6，

22

1I25_30=2X(2+1)X(2X2+1)

66

l2+22+32=14=—=3X^34-^X^X2+1\

66

F+22+3?+4?+…+(〃—I)?+〃2="(〃+J""+1)；

')6

(2)由立方差公式可知.

—(〃—1)3_3〃2-3〃十1.

-1)3--2)3=3(〃-1)2-3(n-l)+l,

(〃-2)3--3)3=3(〃-2)2-3(〃-2)+1,

.....

23-13=3X22-3X2+1,

13-O5=3X12-3x1+1,

累加可得，〃3=3任+22+…+〃2)-3(]+2+…+〃)+〃，

,27C，/八222/+3/+J7〃(〃+1)(2〃+1)

1~+2~+3-+4-+…-1)+n~=-----------=-....------L.

66

【課后作業(yè)】

1.(15分)計(jì)算：

(1)(x-2y)2(-x2-2xy-4y2)2；(2)(/%+〃)[(〃?-〃/+一加/十”6)；

(3)(X6-),6)2(X6-川+/)2(f+dy3+y6)2.

【名師點(diǎn)撥】考查立方和與立方差公式的計(jì)算.

【答案解析】(1)x6-l6rt/+64/；(2)m9+n9：(3)jr36-2x,8y18+y36.

【試題解答】(1)原式=卜①-8y3才2=(苗一8y3)2=,_i6xy+64y6；

(2)原式=+n)(nr-nm+n2-tnin3+z?6)

=(W+)(/-6％3+〃6)=旭9+/.

(3)原式=[(x3+力卜673y3+)(x6+??+力了

=[(x9+/)p-/)T=『.)2=/-238y8+y的.

2.(10分)(1)已知。一6=—2,h-c=5f貝!1/+/+c?—"一力c-ca=

(2)已知a?從+/+從+1=4[力，則。+b=.

【答案解析】(1)19；(2)一2或2.

【試題解答】(1)va-b=-2,b-c=5,

:.a—c=a—b+b—c=3y

/.a2+tr+(r-ab-be-ca

=-[(t?-/?)2+(Z?-c)2+(c-o)2]=^(4+25+9)=19；

(2)a2b2+a2+b2+1=4ab,

(")2-2ab+\+a2-lab+/=0,

B|J(ab-1)"+(4_力)~一0，

：.a=b=—\^.a=b=\,:.a+b=-2^(t2.

3.(20分)觀察下列各式，尋找規(guī)律：

Ix2x3x4+1=52,

2x3x4x5+l=ll2,

3x4x5x6+1=192,

（1）請(qǐng)寫出一個(gè)具有普遍性的結(jié)論，并給出證明;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，計(jì)算：2016x2017x2018x2019+1.（用完全平方數(shù)表示）

【答案解析】（1）〃（〃十1）（〃十2）（〃十3）+1=（〃2+3〃十（2）40703052.

【試題解答】（1）觀察可知，

等式左邊二〃（〃+1）（〃+2）（〃+3）+1

=〃（〃+3）（〃+1）（〃+2）+1=（1+3/。（〃2+3〃+2）+1

=.|_2（〃2+3〃）+1=+3〃+1）2,

,n（n+l）（/7+2）（n+3）+1=（H2+3〃+1丫；

（2）由（1）可得，

2016x2017x2018x2019+1

=（20162+3x2016+1）2=40703052.

4.（20分）加入一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)

為“神秘?cái)?shù)”，如：4=22-。2,12=42—22,20=62-42,因此4、12、20都是這

種“神秘?cái)?shù)”.

（1）28和2021這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”么？試說(shuō)明理由；

（2）試說(shuō)明“神秘?cái)?shù)”能被4整除；

<3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是“神秘?cái)?shù)”嗎？試說(shuō)明理由.

【答案解析】（1）28是“神秘?cái)?shù)”,2021不是“神秘?cái)?shù)”；（2）略;（3）不是.

【試題解答】（1）28=82-62,是“神秘?cái)?shù)”，

2021無(wú)法表示成兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，不是“神秘?cái)?shù)”；

（2）設(shè)神秘?cái)?shù)為M,可以表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)2（"+1）、2〃的平方差（〃為整

數(shù)），

則M=4（〃+1）2-4〃2=8〃+4=4（2〃+1）,

二“神秘?cái)?shù)”能被4整除;

(3)設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2八+1、2//-1,

則(2〃+1)2_(2〃-1)2=8?=4X2M,

.?.兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差不是“神秘?cái)?shù)”.

5.(15分)^a+b+c=a2+b2+c2=2,求證：a(\-a)2=b(\-b)2=c(l-c)2.

【答案解析】略.

【試題解答】由(a+b+c)2=/+c?+2"+2bc+2?c,可得ab+bc+ca=\,

(x-tz)(A；-/))(x-c)=x3-(?+/)+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc

=V-2x2+x-abc,

2

Blttx(l-x)=(x-a)(x-b)[x-c)+abct

故q(1_q)~=b(l-b^=c(l-c)2=abc.

6.(20分)若〃、b>c>d滿足a+b=c+d,a3+Z?3=c3+1/3,求證：對(duì)于任意正奇

數(shù)〃，都有"+b"=c"+d".

【答案解析】略.

【試題解答】因?yàn)閍+b=c+d,所以(a+4=(c+4,

即t?+/+3ab(a+b)=c3+dy+3cd(c+d),

又因?yàn)閍i+b3=c3+d\所以H(〃+b)=cd(c+4),

i.當(dāng)a+b/0時(shí)，ah=cd,所以(a—力『=(a+人一4〃力=(c+"『一4。"二年一〃)？，

所以a—6=c—d或a—A=d-c,

所以a=c,Z?=d或a=d,b=c,

址匕時(shí)c"+d",

ii.當(dāng)a+Z>=0時(shí)，c+d=O,因?yàn)椤檎鏀?shù)，所以a"+N=c”+d"=O,

綜上所述，對(duì)于任意正奇數(shù)小都有德+Zf=c"+d〃.

第二講因式分解

【知識(shí)概述】

把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也

叫作分解因式，是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具.

因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的觀察、思考、解運(yùn)算

和綜合分析解決問(wèn)題的功底都有著十分獨(dú)特的作用.既可以更習(xí)整式的乘法運(yùn)算，又可為接

下來(lái)學(xué)習(xí)分式、根式打好基礎(chǔ).

多項(xiàng)式理論是代數(shù)學(xué)的重要組成部分，它在理論上和方法上對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)都有深刻的

影響.與多項(xiàng)式有關(guān)的問(wèn)題除了出現(xiàn)在函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)領(lǐng)域中，還涉及到幾何、

數(shù)論等知識(shí)，是一個(gè)綜合性的工具.也是自招與比賽中的熱點(diǎn)問(wèn)題.

本講將重點(diǎn)介紹因式定理和有理根定理、待定系數(shù)法與主元法等新的因式分解的工具,

闡述常見的不同類型的多項(xiàng)式如何因式分解.

【知識(shí)結(jié)構(gòu)】

因式定理與有理根定理

因式分解待定系數(shù)法

主元法

模塊一因式定理與有理根定理

【知識(shí)精要】

形如〃x)=%￡+4-…為非負(fù)整數(shù)，4工0)的代數(shù)式叫做關(guān)于x的

一元〃次多項(xiàng)式.4,…,可稱為多項(xiàng)式的系數(shù)，〃稱為此多項(xiàng)式的次數(shù).

對(duì)于任意兩個(gè)多項(xiàng)式/(力，g(z)(ga)HO),總存在兩個(gè)多項(xiàng)式q(x)和r(x),使得

/(x)=g(X)?q(x)+r(x),其中/(x)叫做被除式，g(x)叫做除式,g㈤叫做商式，r(x)叫

做余式，余式r(x)的次數(shù)小于除式g(x)的次數(shù).當(dāng)r(x)=O時(shí)，有f(x)=g(x)p(x),此時(shí)

稱作/(%)被8(*)整除，或/(x)被g(x)整除，g(x)和“(%)叫做的因式.

加入g(x)是一次式x-〃，則r(x)的次數(shù)小于1,因此，r(x)只能是常數(shù)(0或非零常

數(shù))，這時(shí)，余式也叫余數(shù)，記為二即有f(x)=(x-4)?(x)+r；

令％得，/(a)=r；因此，有以下重要定理：

余數(shù)定理：多項(xiàng)式/")除以(X-。)所得的余數(shù)等于/(a).

由上述可知，加入“X)能被整除，那么必有r=0,反之，加入r=O,那么

能被x-a整除，因此，得到以下重要定理：

因式定理：加入多項(xiàng)式/(x)能被整除，亦即/(x)有一個(gè)因式x-a,那么〃a)=O,

反之，加入〃a)=O,那么x-a必為多項(xiàng)式/(x)的一個(gè)因式.

有理根定理：若=產(chǎn)、…%是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而工是“X)的

s

一個(gè)有理根，其中八s互質(zhì)，那么必有s|a“，，M。；特殊地，加入f(x)的首項(xiàng)系數(shù)4=1,

那么f(x)的有理根都是整根，而且是&的因子.

有理根定理的一個(gè)常見應(yīng)用即是利用這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行試根，結(jié)合因式定理對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分

解，具體步驟如下：

1)對(duì)于一個(gè)整系數(shù)一元高次多項(xiàng)式/(力=勺亡+可_]7+…++找到&的所有

因數(shù)；

2)將所有因數(shù)依次代入多項(xiàng)式，若存在一個(gè)因數(shù)a,使得/(a)=0,則。為多項(xiàng)式

/(x)的一個(gè)根；

3)由因式定理可知，/(力必有一個(gè)因式為x-a,因此可寫為/(x)=(x-a)g(x)；

對(duì)于多項(xiàng)式g(x)可以繼續(xù)利用試根法進(jìn)行因式分解，也可利用其它方法進(jìn)行因式分解,

最終將因式分解.

備注：多項(xiàng)式的根即為其所對(duì)應(yīng)的方程的根，故對(duì)于求解一個(gè)一元整式方程，加入可

以將其所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式因式分解，即可求出該方程的根.

【典型例題】

1.已知多項(xiàng)式2X3-12有一個(gè)因式是2x+l,求用的值.

【答案解析】m=~.

2

【試題解答】因?yàn)槎囗?xiàng)式謂-丁+加有一個(gè)因式是2x+l,故該多項(xiàng)式有一個(gè)根-1,

2

即2.+W=0,解得，m=g.

2.分解因式：X,-8X2+19X-20.

【答案解析】(^7乂丁一工+可.

【試題解答】由有理根定理，有理根可能為±1,±2,±4,±5,±10,±20,且

顯然任意x<0使得多項(xiàng)式為負(fù)，故不可能為有理根，

/(5)=0,故有一個(gè)有理根x=5,

丁一&?+19%-20=任一50一(3/-15句+(4X-20)=(工一5乂/一3%+4),

vx2一3x+4在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)法因式分解，」.丁一8/+19x-20=(x-5)(x2-3x+4).

3.分解因式：?+8x2+17x4-10.

【答案解析］(%+1)(%+2)(1+5).

【試題解答】根據(jù)有理根定理，可知多項(xiàng)式/+8/+174+10的有理根只可能是±1,

±2,±5,±10,因?yàn)楫?dāng)％=-1,-2,-5時(shí)，寸+8/+17%+10=0,

所以^+8/+17%+10必含有因式(x+l)(x+2)(x+5),

比較最高次系數(shù)，得x3+8r+17x+10=(x+l)(jt+2)(x+5).

4.求整系數(shù)多項(xiàng)式/(x)=f—d+5d-15/+2X+8的全部有理根.

【答案解析】1和-2?

【試題解答】4=1，故〃》)的有理根都是整數(shù)，且都是.的因子，

故/(x)可能的有理根是±1,±2,±4,±8,

代入，檢驗(yàn)得只有/⑴=0、/(-2)=0,故“X)的有理根只有1和-2.

模塊二待定系數(shù)法

【知識(shí)精要】

待定系數(shù)法：

將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，根據(jù)得到的恒等式的性質(zhì)得

到對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組，再通過(guò)解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出

某些系數(shù)所滿足的關(guān)系式，這種解決問(wèn)題的方法叫做待定系數(shù)法.

有些復(fù)雜的多項(xiàng)式因式分解可以借助于待定系數(shù)法.

用待定系數(shù)法因式分解，步驟如下：

(1)設(shè)原多項(xiàng)式分解為含待定系數(shù)的因式的積；

(2)依據(jù)等