專題29圓與相似及三角函數(shù)綜合問題（原卷版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國通用）

專題29圓與相似及三角函數(shù)綜合問題

【例1】（2022·四川·巴中市教育科學(xué)研究所中考真題）四邊形內(nèi)接于，直徑與弦交于點，直線

與相切于點．????⊙????????

⊙??

(1)如圖1，若，且，求證：平分；

(2)如圖2，連接∠???，=若30°??=??，求證：??∠???．

??∠???=2∠???△???∽△???

【例2】（2022·廣東深圳·中考真題）一個玻璃球體近似半圓為直徑，半圓上點處有個吊燈

的中點為?,??????,??//??,

??⊥??,???,??=4.

(1)如圖①，為一條拉線，在上，求的長度．

(2)如圖②，一?個?玻璃鏡與圓相?切，??為切點??，=為1.6,?上?一=點0.，8,?為?入射光線，為反射光線，

求的長?度．????????∠???=∠???=

3

(435)°如,t圖an③∠?，??是=線4,段??上的動點，為入射光線，為反射光線交圓于點在從運動到

的過程中，求?點的運??動路徑長．??∠???=50°,????,???

?

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【例3】（2022·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知是的直徑，點A，點B是上的兩個點，連接，點

D，點E分別是半徑的中點，連接??⊙，?且．⊙???,??

??,????,??,??∠???=2∠???

(1)如圖1，求證：；

(2)如圖2，延長∠交???于=點∠?F?，?若，求證：；

(3)如圖3，在（?2）?的?條?件下，點G?是?⊥?上?一點，連接??=??，若，，求的長．

????,??,??,????:??=5:3??=2??

【例4】（2022·黑龍江綏化·中考真題）如圖所示，在的內(nèi)接中，，，作

于點P，交于另一點B，C是上的一個動點⊙（不?與A，△M?重?合?），射∠?線??交=線90段°??的=延2長??線于點??D⊥，?分?

別連接和⊙?，交于點E．??????

????????

(1)求證：．

(2)若△??，?∽△???，求的長．

(3)在?點?C=運1動0過?程?中=，?當(dāng)???時，求的值．

3??

tan∠???=4??

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一、解答題【共20題】

1．（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，是的外接圓，與相切于點D，分別交，

的延長線于點E和F，連接交于點N⊙，?△的??平?分線交??于點⊙M?．??∥??????

????∠???????

(1)求證：平分；

(2)若??∠，???，求線段的長．

??:??=5:2??=14??

2．（2022·湖北黃石·中考真題）如圖是直徑，A是上異于C，D的一點，點B是延長線上一點，連

接、、，且．??⊙?⊙???

??????∠???=∠???

(1)求證：直線是的切線；

(2)若?，?求⊙?的值；

(3)在（??2）=的2?條?件下，ta作n∠???的平分線交于P，交于E，連接、，若，求的值．

∠?????⊙?????????=26?????

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3．（2022·湖北襄陽·中考真題）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，點D為的中點，連接AC，BC，

AD，AD與BC相交于點G，過點D作直線DEBC，交AC的延長線于點E．??

∥

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若，CG＝2，求陰影部分的面積．

??=??3

4．（2022·遼寧鞍山·中考真題）如圖，是的外接圓，為的直徑，點為上一點，交

的延長線于點，與交于點，連⊙接?，△若?????．⊙??⊙???∥????

1

????????∠???=2∠???

(1)求證：是的切線．

(2)若??，⊙?，求的半徑．

3

??=2sin∠???=5⊙?

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5．（2022·遼寧朝陽·中考真題）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E，點F為BD延長線上一點，∠DAF

＝∠B．

(1)求證：AF是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為5，AD是AEF的中線，且AD＝6，求AE的長．

△

6．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，以AB為直徑作交AC、BC于點D、E，且D是AC的中

點，過點D作于點G，交BA的△延?長?線?于點H．⊙?

??⊥??

(1)求證：直線HG是的切線；

(2)若⊙，?求CG的長．

2

??=3,cos?=5

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7．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在中，，以AB為直徑作⊙，分別交BC于點D，交AC

于點E，，垂足為H，連接DE并△延??長?交BA??的=延?長?線于點F．?

??⊥??

(1)求證：DH是⊙的切線；

(2)若E為AH的中?點，求的值．

??

??

8．（2022·貴州安順·中考真題）如圖，是的直徑，點是劣弧上一點，，且，

平分，與交于點．??⊙????∠???=∠?????=2??

∠????????

(1)求證：是的切線；

(2)若??⊙?，求的長；

2

(3)延長tan∠?，??=交于2點，??若，求的半徑．

???????=??⊙?

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9．（2022·山東棗莊·中考真題）如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上一點C的直

線，且AD⊥DC于點D，AC平分∠BAD，點E是BC的中點，OE＝6cm．

(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)求AD的長．

10．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，以AB的中點O為圓心，以O(shè)A為半徑作半圓，連接

OD交半圓于點E，在上取點F，使，連接BF，DF．

????=??

(1)求證：DF與半圓相切；

(2)如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面積．

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11．（2022·青海西寧·中考真題）如圖，在中，，點D在AB上，以BD為直徑的與AC相

切于點E，交BC于點F，連接DF，OE交??于△點?M??．∠?=90°⊙?

(1)求證：四邊形EMFC是矩形；

(2)若，的半徑為2，求FM的長．

??=5⊙?

12．（2022·遼寧大連·中考真題）是的直徑，C是上一點，，垂足為D，過點A作的切線，

與的延長線相交于點E．??⊙?⊙???⊥??⊙?

??

(1)如圖1，求證；

(2)如圖2，連接∠?，=若∠?的半徑為2，，求的長．

??⊙???=3??

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13．（2022·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，AB是的直徑，AC是的弦，AD平分∠CAB交于點D，過點D作

的切線EF，交AB的延長線于點E，⊙交?AC的延長線于點⊙F?．⊙?

⊙?

(1)求證：；

(2)若??，⊥??，，求BE的長．

??=1??=2??=4

14．（2022·廣西柳州·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點E是⊙O上異于A，B的點，點F是的中點，

連接AE，AF，BF，過點F作FC⊥AE交AE的延長線于點C，交AB的延長線于點D，∠ADC的平分??線DG交

AF于點G，交FB于點H．

(1)求證：CD是⊙O的切線；

(2)求sin∠FHG的值；

(3)若GH＝，HB＝2，求⊙O的直徑．

42

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15．（2022·廣西河池·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點，∠ABE的平分線交⊙O于點C，

過點C的直線交BA的延長線于點P，交BE的延長線于點D．且∠PCA＝∠CBD．

(1)求證：PC為⊙O的切線；

(2)若PC＝BO，PB＝12，求⊙O的半徑及BE的長．

22

16．（2022·山東聊城·中考真題）如圖，點O是的邊AC上一點，以點O為圓心，OA為半徑作，與

BC相切于點E，交AB于點D，連接OE，連接△O?D?并?延長交CB的延長線于點F，．⊙?

∠???=∠???

(1)連接AF，求證：AF是的切線；

(2)若，，求⊙F?D的長．

??=10??=6

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17．（2022·湖南湘西·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E，O為AC上一

點，經(jīng)過點A、E的⊙O分別交AB、AC于點D、F，連接OD交AE于點M．

(1)求證：BC是⊙O的切線．

(2)若CF＝2，sinC＝，求AE的長．

3

5

18．（2022·甘肅蘭州·中考真題）如圖，是的外接圓，AB是直徑，，連接AD，，

AC與OD相交于點E．⊙?