專題02 確定二次函數(shù)的表達(dá)式（原卷版）

第二講確定二次函數(shù)的表達(dá)式

目錄

必備知識(shí)點(diǎn).......................................................................................................................................................1

考點(diǎn)一頂點(diǎn)式求表達(dá)式.................................................................................................................................2

考點(diǎn)二兩點(diǎn)式求表達(dá)式...............................................................................................................................3

考點(diǎn)三一般式求表達(dá)式.................................................................................................................................4

知識(shí)導(dǎo)航

必備知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的解析式的常見形式

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交

點(diǎn)坐標(biāo)是（0，c）。

（2）頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)，該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)

解析式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）。

（3）交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢(shì)是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x

軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）。

知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系

（1）對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）來說，當(dāng)y＝0時(shí)，就得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．拋物

線y＝ax2＋bx＋c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；

2、二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況（也即一元二次方ax2＋bx＋c＝0根的情況）

2

①拋物線y＝ax＋bx＋c（a≠0）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（x1，0）（x2，0）

當(dāng)Δ＞0時(shí)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，

②拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，恰好就是拋物線的頂點(diǎn)

當(dāng)＝0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

③拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸沒有交點(diǎn)

當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0沒有實(shí)數(shù)根。

知識(shí)點(diǎn)3待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求

解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的

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頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)

式來求解．

考點(diǎn)一頂點(diǎn)式求表達(dá)式

1．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為（）

A．y＝x2+2x﹣3B．y＝x2﹣2x﹣3C．y＝﹣x2+2x﹣3D．y＝﹣x2﹣2x+3

2．一個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4），且過另一點(diǎn)（0，﹣4），則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為（）

A．y＝﹣2（x+2）2+4B．y＝2（x+2）2﹣4

C．y＝﹣2（x﹣2）2+4D．y＝2（x﹣2）2﹣4

3．如圖，拋物線與直線交于點(diǎn)A（﹣4，﹣1）和點(diǎn)B（﹣2，3），拋物線頂點(diǎn)為A，直線與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線和直線的解析式；

（2）若y軸上存在點(diǎn)P使△PAB的面積為9，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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考點(diǎn)二兩點(diǎn)式求表達(dá)式

4．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過點(diǎn)A（3，0）、C（﹣1，0）．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)．

5．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，

3），D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求△CDB的面積．

（3）在其對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PDC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說明理由．

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6．如圖，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及△

DCA面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

考點(diǎn)三一般式求表達(dá)式

7．如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（2，﹣3），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PBC的面積是△BCD面積的4倍，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說明理由．

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8．已知：在直角坐標(biāo)系中直線y＝﹣x+4與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，拋物線y＝﹣+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如果直線AB與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)C，求OC的長(zhǎng)；

（3）P是線段OA上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線AB的平行線，與y軸相交于點(diǎn)Q，把△OPQ沿直線PQ翻折，點(diǎn)

O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，如果點(diǎn)D在拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

9．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，3），連接AC．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；