專題12 二次函數(shù)-阿氏圓求最小值（原卷版）

第十二講二次函數(shù)--阿氏圓求最值

知識導航

必備知識點

點P在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題；

點P在圓周上運動的類型稱之為“阿氏圓”問題，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上

兩點A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數(shù)學家

阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。

如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB，

連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？

如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題

求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中與A與C為定點,P為動點，故當A、

P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：

【破解策略詳細步驟解析】

第1頁共8頁.

例題演練

1．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點，直線AC：y＝﹣x﹣6

交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．

（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達式；

（2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；

（3）①在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的四

邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；

②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為E上一動點，求AM+CM它的最小

值．⊙

第2頁共8頁.

2．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，﹣4），B（0，4），直線AC的解析式為y＝﹣x﹣6，且

與y軸相交于點C，若點E是直線AB上的一個動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F．

（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的解析式；

（2）點H是y軸上一動點，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，四邊形EAFH是矩形？求出此

時點E，H的坐標；

（3）在（2）的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為E上以動點，求AM+CM的最

小值．⊙

3．如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸正半軸交于點A，點B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．若

線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°，點B剛好與點C重合，點B的坐標為（3，0）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△ACP為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標，若不

存在，請說明理由；

（3）如圖2，以點B為圓心，以1為半徑畫圓，若點Q為B上的一個動點，連接AQ，CQ，求AQ+CQ

的最小值．⊙

第3頁共8頁.

4．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點A，B（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C．

（1）如圖①，若點D為拋物線的頂點，以點B為圓心，3為半徑作B．點E為B上的動點，連接

A，DE，求DE+AE的最小值．⊙⊙

（2）如圖②，若點H是直線AC與拋物線對稱軸的交點，以點H為圓心，1為半徑作H，點Q是

H上一動點，連接OQ，AQ，求OQ+AQ的最小值；⊙

⊙（3）如圖③，點D是拋物線上橫坐標為2的點，過點D作DE⊥x軸于點E，點P是以O(shè)為圓心，1

為半徑的O上的動點，連接CD，DP，PE，求PD﹣PE的最大值．

⊙

第4頁共8頁.

5．如圖，直線y＝x+2與拋物線y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋

物線的頂點為D，拋物線的對稱軸與直線AB交于點M．

（1）當四邊形CODM是菱形時，求點D的坐標；

（2）若點P為直線OD上一動點，求△APB的面積；′

（3）作點B關(guān)于直線MD的對稱點B'，以點M為圓心，MD為半徑作M，點Q是M上一動點，求

QB'+QB的最小值．⊙⊙

6．在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2+m的頂點為C，

（1）求點C的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）如圖，當m＝0時，直線y＝x+2與拋物線交于A、B兩點，點A，點B分別在拋物線的對稱軸左

右兩側(cè)；

①拋物線的對稱軸與直線AB交于點M，點G（1，3），在直線AB上，作B點關(guān)于直線MC的對稱點

B′，以M為圓心，MC為半徑作圓，動點Q在圓周上運動時，的比值是否發(fā)生變化？若不變，求

出比值；若變化，說明變化規(guī)律；

②直接寫出B′Q+QB的最小值．

第5頁共8頁.

7．如圖，已知點A（﹣4，0），點B（﹣2，﹣1），直線y＝2x+b過點B，交y軸于點C，拋物線y＝ax2+x+c

經(jīng)過點A，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）D為直線AC上方的拋物線上一點，且tan∠ACD＝，求點D的坐標；

（3）平面內(nèi)任意一點P，與點O距離始終為2，連接PA，PC．直接寫出PA+PC的最小值．

8．如圖，直線y＝﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A、B兩點．

（1）求二次函數(shù)解析式；

（2）如圖1，點E在線段AB上方的拋物線上運動（不與A、B重合），過點E作ED⊥AB，交AB于點

D，作EF⊥AC，交AC于點F，交AB于點M，求△DEM的周長的最大值；

（3）在（2）的結(jié)論下，連接CM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以

P、Q、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說

明理由．

（4）如圖2，點N的坐標是（1，0），將線段ON繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到ON′，旋轉(zhuǎn)角為（0°＜

＜90°），連接N′A、N′B，求N′A+N′B的最小值．αα

第6頁共8頁.

9．如圖1，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為（﹣1，0），

拋物線的對稱軸是直線x＝．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P是直線BC下方的拋物線上一個動點，是否存在點P使四邊形ABPC的面積為16，若存在，

求出點P的坐標若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，過點B作BF⊥BC交拋物線的對稱軸于點F，以點C為圓心，2為半徑作C，點Q為

C上的一個動點，求BQ+FQ的最小值．⊙

⊙

第7頁共8頁.

10．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點C（2，﹣3），且與x軸交于原點及點B（8，0），點A

為拋物線的頂點．

（1）求二次函數(shù)的表達式；